Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel Fendi Alfi Fauzi
∗
Ringkasan Ketaksamaan Cauchy Schwarz merupakan Ketaksamaan yang cukup ampuh untuk memecahkan berbagai macam persoalan yang menyangkut soal ketaksamaan pada olimpiade matematika tingkat nasional maupun internasional. Pada paper ini akan diperkenalkan bentuk lain dari ketaksamaan Cauchy Schwarz yaitu Ketaksamaan Cauchy Schwarz Engel [CS Engel] yang di populerkan oleh Arthur Engel. CS Engel ini terbukti ampuh dalam menyelesaikan bentuk ketaksamaan rumit dengan cukup mudah. Dalam paper ini juga akan disajikan permasalahan yang terjadi pada soal-soal olimpiade matematika tingkat Dunia.
1
Ketaksamaan Chaucy Schwarz
Ketaksamaan Chaucy Schwarz merupakan salah satu bentuk pertidaksamaan yang terkenal dalam penyelesaian soal-soal kompetisi matematika di berbagai negara. Indonesia termasuk salah satunya. Bersama dengan AM-GM, keduanya menjadi senjata yang wajib dimiliki setiap orang yang berangkat berkompetisi dalam olimpiade bidang matematika. Berikut secara ringkas saya paparkan bentuk tersebut, Teorema 1 (Ketaksamaan Chaucy Schwarz). Misalkan a1 , a2 , . . . an dan b1 , b2 , . . . bn adalah bilangan-bilangan bernilai Real maka berlaku, a21 + a22 + · · · + a2n
b21 + b22 + · · · + b2n ≥ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2
Kesamaan terjadi jika dan hanya jika
a2 an a1 = = ··· = b1 b2 bn
Ketaksamaan Chaucy diatas dapat kita tulis menjadi n X k=1
!2 ak b k
≤
n X
! a2k
k=1
n X
! b2k
k=1
Nah sekarang kita mencoba membuktikan ketaksamaan tersebut. ∗
Mahasiswa Jurusan Pend. Matematika FMIPA UNG
1
(1)
Bukti. Didefenisikan fungsi F : R → R dengan F (t) :=
n X
(ak − tbk )2
k=1
Jelas F fungsi taknegatif, karena itu diperoleh F (t) = =
n X
2
a2k − 2tak bk + t2 bk
k=1 n X
! b2k
t2 − 2
k=1
n X
! ak b k
t+
n X
k=1
! a2k
≥ 0.
k=1
Jadi F merupakan fungsi kuadrat definit tak negatif, sehingga diskriminannya pun tak negatif, yaitu !2 ! n ! n n X X X 4 ak b k − 4 a2k b2k ≤ 0 k=1
k=1
k=1
Akhirnya dengan memindahkan ruas pada ketidaksamaan ini terbuktilah bahwa n X
!2 ak b k
k=1
≤
n X k=1
! a2k
n X
! b2k
k=1
Untuk pembahasan selanjutnya dapat anda lihat buku-buku teks analisis real ataupun pada buku referensi di [2] t1 √ Pada ketaksamaan Chaucy Schwarz apabila dipilih a1 = √ dan b1 = w1 dengan w1 w1 ≥ 0 diperoleh
t2 t2 t21 + 2 + ··· + n w1 w2 wn
(w1 + w2 + · · · + wn ) ≥ (t1 + t2 + · · · + tn )2
(2)
Dari sini kita dapatkan kesimpulan, untuk sembarang bilangan Real t1 , t2 , · · · , tn dan sembarang bilangan real positif w1 , w2 , · · · , wn berlaku t22 t2n (t1 + t2 + · · · + tn )2 t21 + + ··· + ≥ w1 w2 wn w1 + w2 + · · · + wn
(3)
Ketaksamaan (3) diatas dikenal dengan “ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel [CS Engel]” yang dipopulerkan oleh Arthur Engel di Jerman. Sedangkan di Amerika sering disebut “Lemma Adreescu”. Berikut beberapa contoh penggunaan Ketaksamaan CS Engel ini. Contoh 2. Misalkan a dan b bilangan real positif, Buktikan bahwa 8(a4 +b4 ) ≥ (a+b)4 2
Solusi. Dengan menerapkan CS Engel dua kali kita mendapatkan a4 + b4 =
a4 b 4 (a2 + b2 )2 + ≥ ≥ 1 1 1+1
(a+b)2 2
2
2
=
(a + b)4 8
Contoh 3 (South Africa, 1995). Tunjukkan untuk setiap bilangan real positif a, b, c, d berlaku 1 1 4 16 (a + b + c + d) + + + ≥ 64 a b c d 2 1 1 1 4 16 12 22 42 Solusi. Bentuk a + b + c + d dapat kita tulis menjadi a + b + c + d . Sehingga
12 12 22 42 + + + a b c d
(1 + 1 + 2 + 4)2 a+b+c+d 82 ≥ a+b+c+d 64 ≥ (a + b + c + d)
≥
Seperti yang kita harapkan. Sekarang kita mencoba contoh soal yang lebih kompleks. Contoh 4. Misalkan x, y, z > 0. Buktikan 2 2 9 2 + + ≥ x+y y+z z+x x+y+z Solusi. √ √ √ 2 2 ( 2 + 2 + 2)2 2 + + ≥ x+y y+z z+x z+y+y+z+z+x √ (3 2)2 ≥ 2(x + y + y) 18 ≥ 2(x + y + z) 9 ≥ x+y+z
Tampaknya untuk tiga contoh soal diatas kita tidak mengalami kendala yang berarti. Oleh karena itu sekarang saya akan mengajak untuk mencoba memecahkan soal olimpiade berikut. 3
Contoh 5 (APMO 1991). Misalkan a1 , a2 , · · · , an , b1 , b2 , · · · bn adalah bilangan-bilangan real positif sehingga a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn . Tunjukkan bahwa a21 a22 a2n a1 + a2 + · · · + an + + ··· + ≥ a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n 2 Solusi. Dengan memanfaatkan Ketaksamaan Chaucy Schwarz Engel pada persamaan 3 kita dapatkan a21 a22 a2n (a1 + a2 + · · · an )2 + + ··· + ≥ a1 + b 1 a2 + b 2 an + bn a1 + a2 + · · · + an + b 1 + b 2 + · · · + b n
Karena a1 + a2 + · · · + an = b1 + b2 + · · · + bn maka diperoleh a21 a22 a2n (a1 + a2 + · · · an )2 + + ··· + ≥ a1 + b 1 a2 + b 2 an + b n 2(a1 + a2 + · · · an ) 1 (a1 + a2 + · · · an ) ≥ 2
Contoh 6 (Ketaksamaan Nesbitt’s). Jika a, b, c adalah bilangan real positif. Buktikan berlaku a b c 3 + + ≥ b+c c+a a+b 2 Solusi. b c a2 b2 c2 a + + = + + b+c c+a a+b (ab + ac) (bc + ab) (ac + cb) 2 2 2 b c (a + b + c)2 a + + ≥ (ab + ac) (bc + ab) (ac + cb) 2(ab + ac + bc) Kita tahu bahwa a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ≥ 0 maka (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) sehingga a b c 3(ab + ac + bc) + + ≥ b+c c+a a+b 2(ab + ac + bc) 3 ≥ 2 Contoh 7 (Czech and Slovak Republics, 1999). Jika a, b, c adalah bilangan real positif. Buktikan ketaksamaan a b c + + ≥1 b + 2c c + 2a a + 2b
4
Solusi. Karena a b c a2 b2 c2 + + = + + b + 2c c + 2a a + 2b ab + 2ca bc + 2ab ac + 2bc maka a2 b2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ ab + 2ca bc + 2ab ac + 2bc 3(ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca) a b c + + ≥ 1 b + 2c c + 2a a + 2b
Contoh 8 (Greece, 2008). Untuk x1 , x2 , · · · , xn bilangan bulat positif buktikan bahwa 2 kn x1 + x22 + · · · + x2n t ≥ x1 · x2 · · · xn x1 + x2 + · · · + xn dimana k = max{x1 , x2 · · · xn } dan t = min{x1 , x2 · · · xn } dan kapankan kondisi kesamaan terjadi ? Solusi. Dengan menggunakan CS Engel kita dapatkan
x21 + x22 + · · · + x2n x1 + x2 + · · · + xn
=
x22 x2n x21 + + ··· + x1 + x2 + · · · + xn x1 + x 2 + · · · + x n x1 + x2 + · · · + xn
(x1 + x2 + · · · + xn )2 n (x1 + x2 + · · · + xn ) x1 + x2 + · · · + xn = n
≥
kemudian kita tinggal membuktikan bahwa
x 1 + x2 + · · · + xn n
knt ≥ x1 · x2 · · · xn
Karena k = max{x1 , x2 · · · xn } ≥ min{x1 , x2 · · · xn } = t kita dapatkan kn ≥ n dan t n karena x1 +x2 +···+x ≥ 1 karena semua xi bernilai positif maka kita dapat membuktikan n bahwa kn x 1 + x2 + · · · + xn t ≥ x1 · x2 · · · xn n kesamaan terjadi jika x1 = x2 = · · · = xn
5
Pustaka [1] Tutur Widodo. 2010. Bentuk Lain Pertidaksamaan Cauchy Schwarz. Online [2] Radmila Bulajich Manfrino. 2009. Inequalities A Mathematical Olympiad Approach. Birkhauser
6
