OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN TESIS

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN

TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung

Oleh HERRY PRIBAWANTO SURYAWAN NIM : 20106006 Program Studi Matematika

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2008


ABSTRAK

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN Oleh Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Lebesgue tak homogen dan di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Ukuran di ruang tak homogen tidak memenuhi kondisi doubling seperti halnya di ruang homogen, tetapi merupakan ukuran growth. Selanjutnya juga akan dibahas ketaksamaan Olsen di kedua ruang tersebut. Kata kunci: Operator integral fraksional, Ukuran growth, Ruang Lebesgue tak homogen, Ruang Morrey tak homogen yang diperumum


ABSTRACT

FRACTIONAL INTEGRAL OPERATORS AND OLSEN’S INEQUALITIES ON NON-HOMOGENEOUS SPACES By Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

In this thesis we discuss the boundedness of fractional integral operators on non-homogeneous Lebesgue spaces as well as on generalized non-homogeneous Morrey spaces. Non-homogeneous spaces are spaces that are endowed with a growth measure. We will also prove Olsen’s inequalities on both spaces. Key words: Fractional integral operators, Growth measure, Non-homogeneous Lebesgue spaces, Generalized non-homogeneous Morrey spaces


OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN

Oleh Herry Pribawanto Suryawan NIM : 20106006

Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung

Bandung,

Februari 2008

Telah diperiksa dan disetujui oleh Pembimbing

Prof. Dr. Hendra Gunawan


PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

Tesis Magister yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya. Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.


Tuhan adalah gembalaku, takkan kekurangan aku. Ia membaringkan aku di padang yang berumput hijau, Ia membimbing aku ke air yang tenang; Ia menyegarkan jiwaku. Ia menuntun aku di jalan yang benar oleh karena namaNya. Sekalipun aku berjalan dalam lembah kekelaman aku tidak takut bahaya, sebab Engkau besertaku; gadaMu dan tongkatMu, itulah yang menghibur aku. Engkau menyediakan hidangan bagiku, di hadapan lawanku; Engkau mengurapi kepalaku dengan minyak; pialaku penuh melimpah. Kebajikan dan kemurahan belaka akan mengikuti aku, seumur hidupku; dan aku akan diam dalam rumah TUHAN sepanjang masa. (MAZMUR 23: 1-6)

Untuk Mama dan seluruh keluargaku dan untuk mengenang Papa.


Kata Pengantar Segala puji syukur, hormat, dan kemuliaan untuk Tuhan Yesus Kristus, atas kasih dan tuntunan-Nya, penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Banyak hal terjadi selama penulis menempuh studi dan menulis tesis ini, namun penulis menyadari semua itu merupakan bagian dari rencana Tuhan yang indah untuk hidup penulis. Tesis ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung. Penulis menyadari bahwa tesis ini tidak akan terwujud tanpa adanya dukungan moral, material, dan doa dari berbagai pihak. Untuk itu dengan segala kerendahan hati, penulis menyampaikan terima kasih kepada: (1) Prof. Dr. Hendra Gunawan, yang telah berkenan dengan sabar membimbing penulis, memberikan ilmu, ide, saran, teguran, dan perhatian yang sangat berharga bagi penulis. (2) Dr. Wono Setya Budhi dan Dr. Yudi Soeharyadi, yang telah berkenan menjadi penguji pada ujian tesis ini dan memberikan masukan yang sangat berarti. (3) Dr.

Irawati dan Dr.

Hilda Assiyatun sebagai wali akademik, yang

telah memberikan pengarahan kepada penulis selama menempuh program magister di Institut Teknologi Bandung.

vii


(4) Bapak dan Ibu Dosen di Program Studi Matematika ITB, yang telah membagikan ilmu dan pengalamannya yang sangat berharga. Khususnya penulis mengucapkan terimakasih kepada Prof. Dr. Hendra Gunawan, Dr. Wono Setya Budhi, Dr. Jalina Widjaya, Dr. Irawati, Dr. M. Intan Detiena, Dra. Muliana H. Arinardi, M.Si, Prof. Dr. Edy Soewono, Dr. Oki Neswan, dan Dr. Achmad Muchlis. (5) Yayasan Sanata Dharma dan Universitas Sanata Dharma, yang telah memberikan beasiswa dan kemudahan, sehingga penulis dapat menempuh pendidikan di ITB dengan baik dan lancar. (6) Rekan-rekan di ITB dan di USD, atas dukungan dan perhatiannya kepada penulis. Secara khusus penulis ingin berterimakasih kepada Ibu Dra. Idha Sihwaningrum, M.Sc, rekan satu bimbingan, yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini melalui diskusi, ide, saran, dan perhatiannya. (7) Mama Yuniati, kakak-kakakku, dan seluruh keluargaku atas doa, perhatian, dan kasih sayangnya kepada penulis. (8) Sahabatku dalam suka dan duka, Anton Wardaya, yang tidak pernah bosan membagikan kasih Allah, dukungan, doa, dan bantuan kepada penulis. (9) Semua pihak yang telah membantu sehingga penulisan tesis ini terselesaikan dengan baik, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca. Bandung, Januari 2008 Penulis

viii


Daftar Isi Abstrak

ii

Abstract

iii

Halaman Pengesahan

iv

Pedoman Penggunaan Tesis

v

Halaman Persembahan

vi

Kata Pengantar

vii

Daftar Isi

ix

1 Pendahuluan

1

1.1

Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3

Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak Homogen

7

2.1

Keterbatasan Operator M n di Ruang Lp (µ) . . . . . . . . . . .

2.2

Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Lebesgue Tak Homogen . . 15

ix

7


2.3

Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Morrey Tak Homogen yang Diperumum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen

27

3.1

Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp (µ) . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2

Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ (µ) . . . . . . . . . . . . . . 28

4 Kesimpulan

32

Daftar Pustaka

33

x


Bab 1 Pendahuluan 1.1

Latar Belakang Masalah

Salah satu objek kajian dalam Analisis Fourier adalah operator integral. Di dalam tesis ini akan dipelajari salah satu operator integral yang dikenal sebagai operator integral fraksional atau sering juga disebut potensial Riesz. Operator ini pertama kali dipelajari oleh Hardy, Littlewood, dan Sobolev pada sekitar tahun 1930. Operator ini dapat diperoleh melalui transformasi Fourier dari operator Laplace (lihat Stein [13] hal. 117 atau Lieb and Loss [9] hal. 123). Untuk fungsi f yang terdefinisi pada Rd dan α ∈ R dengan 0 < α < d, operator integal fraksional (orde α) Iα didefinisikan sebagai Z f (y) 1 dy Iα f (x) := γ(α) Rd |x − y|d−α dengan γ(α) =

Γ( d−α ) 2 d

2α π 2 Γ( α2 )

.

Notasi Lp menyatakan ruang Lebesgue, yaitu ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur f sehingga kf kLp < ∞ dengan µZ ¶ p1 p kf kLp = |f (y)| dy , Rd

1

1≤p<∞


dan

© ª kf kL∞ = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd .

Hardy, Littlewood, dan Sobolev telah membuktikan bahwa operator Iα terbatas dari Lp ke Lq , yakni kIα f kLq ≤ C kf kLp untuk

1 q

=

1 p

−

α d

dan 1 < p <

d . α

(1.1)

Ketaksamaan (1.1) ini dikenal sebagai

ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev (lihat Stein [14]). Dari ketaksamaan ini dapat dikatakan bahwa operator Iα memetakan fungsi f menjadi fungsi lain, yaitu Iα f , yang secara lokal bersifat lebih baik dalam hal keterintegralan. Selanjutnya pada tahun 1987 F. Chiarenza dan M. Frasca memperlihatkan keterbatasan operator Iα di ruang Morrey, yang merupakan perumuman dari ruang Lebesgue. Apabila Lploc menyatakan ruang Lebesgue lokal —ruang kelaskelas ekuivalen fungsi terukur f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K dari Rd berlaku

Z |f (x)|p dx < ∞, K p,λ

maka ruang Morrey L

didefinisikan sebagai ruang semua fungsi f ∈ Lploc

sehingga µ kf kLp,λ := sup

B(x,r)

1 rλ

Z p

|f (y)| dy

¶ p1

<∞

(1.2)

B(x,r)

dan B(x, r) adalah bola dengan pusat x ∈ Rd dan berjari-jari r, dan 0 ≤ λ ≤ d. Khususnya untuk λ = 0 diperoleh Lp,λ = Lp . Perhatikan dari (1.2) diperoleh bahwa terdapat C > 0 sehingga untuk 0 ≤ λ ≤ d berlaku Z 1 |f (y)|p dy ≤ C rλ B(x,r) atau

Z |f (y)|p dy ≤ C rλ . B(x,r)

2


Hasil Chiarenza dan Frasca adalah ketaksamaan berikut kIα f kLq,λ ≤ C kf kLp,λ untuk 1 < p < αd , 0 < λ < d − αp, dan

1 q

α = p1 − d−λ . Dalam pembuktian keter-

batasan Iα dari Lp,λ ke Lq,λ , Chiarenza dan Frasca memanfaatkan keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood (klasik) Z 1 M f (x) = sup d |f (y)| dy r>0 r B(x,r) di Lp,λ (lihat Chiarenza and Frasca [1]). Dalam penelitian sepuluh tahun terakhir telah diperlihatkan bahwa kondisi doubling di dalam analisis Fourier bukanlah hal yang esensial tapi dapat diganti dengan kondisi growth. Hal inilah yang memotivasi munculnya pengertian ruang tak homogen (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5], Garcia-Cuerva and Gatto [4], dan Nazarov, et al. [10]). Ruang tak homogen adalah ruang Rd yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif µ yang memenuhi kondisi growth. Ini berbeda dengan ruang homogen yang dilengkapi dengan ukuran yang memenuhi kondisi doubling. Diberikan kubus dengan panjang sisi l, Q(l) di Rd , maka ukuran µ pada Rd dikatakan memenuhi kondisi doubling apabila untuk terdapat C > 0 sehingga µ(Q(2l)) ≤ C µ(Q(l)). Sementara itu ukuran µ dikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila terdapat C > 0 sehingga µ(Q(l)) ≤ C ln untuk suatu n ∈ R dengan 0 < n ≤ d. Dengan menggunakan pengertian ukuran growth tersebut di atas dapat didefinisikan ruang Lebesgue tak homogen serta ruang Morrey tak homogen yang 3


diperumum. Ruang Lebesgue tak homogen Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga kf kLp (µ) < ∞, dengan µZ kf kLp (µ) = dan

¶ p1 |f (y)| dµ(y) , p

Rd

© ª kf kL∞ (µ) = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd .

© ª Di sini ess sup |f (x)| : x ∈ Rd menyatakan batas atas terkecil esensial dari |f |. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lploc (µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku Z |f (y)|p dµ(y) < ∞ K

dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ (µ) didefinisikan sebagai ruang dari semua fungsi f ∈ Lploc (µ) sehingga kf kMp,φ (µ)

1 := sup r>0 φ(r)

µ

1 rn

¶ p1 |f (y)| dµ(y) <∞

Z

p

Q(x,r)

dan untuk p = ∞ 1 kf kL∞ (Q) Q(x,r) φ(Q)

kf kM∞,φ (µ) := sup

dengan φ adalah suatu fungsi yang memenuhi beberapa kondisi tertentu. Khun

susnya untuk φ(t) = t− p maka didapat Mp,φ (µ) = Lp (µ) dan untuk φ(t) = c, suatu fungsi konstan positif maka didapat M∞,φ (µ) = L∞ (µ). Selanjutnya operator integral fraksional (orde α) dalam konteks ruang tak homogen Lp (µ) dengan µ ukuran growth orde n, didefinisikan sebagai Z f (y) n dµ(y) Iα f (x) := n−α Rd |x − y| dengan α, n ∈ R dan 0 < α < n ≤ d (lihat Garcia-Cuerva and Martell [5]). Pokok pembahasan di dalam tesis ini adalah masalah keterbatasan operator 4


Iαn di ruang tak homogen, khususnya Lp (µ) dan Mp,φ (µ), dan untuk hal itu akan dibahas juga operator maksimal Hardy-Littlewood M n yang didefinisikan sebagai 1 M f (x) := sup n r>0 r

Z

n

|f (y)| dµ(y). Q(x,r)

Khususnya akan dibuktikan bahwa M n terbatas di Lp (µ), yakni terdapat C > 0 sehingga kM n f kLp (µ) ≤ C kf kLp (µ) , untuk p > 1. Catat bahwa untuk n = d diperoleh M n = M yaitu operator maksimal HardyLittlewood klasik.

1.2

Tujuan Penulisan

Di dalam tesis ini akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Selanjutnya untuk suatu fungsi W yang terdefinisi pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan operator W Iα di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Hasil penulisan tesis ini diharapkan dapat memberikan kontribusi pengetahuan mengenai keterbatasan operator Iαn serta ketaksamaan Olsen di ruang tak homogen, khususnya Lp (µ) dan Mp,φ (µ).

1.3

Sistematika Penulisan

Sistematika dari tesis ini adalah sebagai berikut. Bab 1 merupakan bab pendahuluan yang berisi latar belakang masalah, tinjauan pustaka, tujuan penulisan, dan sistematika penulisan. Pada bab 2 dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak homogen dan ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Subbab pertama 5


memberikan bukti keterbatasan operator maksimal Hardy-Littlewood M n di ruang Lp (µ). Subbab kedua membahas keterbatasan operator Iαn di ruang Lebesgue tak homogen dengan memanfaatkan keterbatasan operator M n di ruang tersebut. Sementara pada subbab ketiga akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Bab 3 menyajikan hasil yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Pada subbab pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ). Selanjutnya pada subbab kedua dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ (µ). Bab 4 merupakan kesimpulan yang memberikan penegasan tentang hasil temuan yang diperoleh dari fakta yang telah dibicarakan pada bab-bab sebelumnya.

6


Bab 2 Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Tak Homogen 2.1

Keterbatasan Operator M n di Ruang Lp(µ)

Pada bagian ini akan dibahas operator maksimal M n , khususnya akan diperlihatkan bahwa M n bersifat terbatas di ruang Lp (µ). Hasil ini cukup penting karena akan dipergunakan dalam pembuktian keterbatasan operator Iαn dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk suatu q > p. Dalam hal ukuran Lebesgue, sifat invarian terhadap translasi dan sifat dilasi merupakan alat yang sangat baik dalam pengembangan Analisis Fourier. Suatu perluasan dari hal ini adalah konsep ruang tipe homogen, yaitu ruang kuasi-metrik yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang memenuhi kondisi doubling, artinya untuk setiap kubus Q, ukuran dari kubus yang didilasi dua kali, 2Q, didominasi oleh ukuran kubus semula (lihat Krantz [8]). Penelitian dalam beberapa tahun terakhir menunjukkan bahwa kondisi dou-

7


bling bukanlah hal yang esensial yaitu banyak hasil dalam Analisis Fourier yang tetap berlaku ketika kondisi doubling diganti dengan kondisi growth. Misalnya pada F. Nazarov, et al. [10] mengenalkan ruang tak homogen sebagai ruang metrik—termasuk Rd —yang dilengkapi dengan ukuran Borel tak negatif yang memenuhi kondisi growth. Diberikan kubus Q ⊂ Rd dengan sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat. Ukuran Borel tak negatif µ pada Rd dikatakan memenuhi kondisi growth (orde n) apabila terdapat konstanta C > 0 sehingga µ(Q) ≤ C ln dengan l = l(Q) menyatakan panjang sisi kubus Q dan n bilangan real tertentu dengan 0 < n ≤ d. Karena ukuran suatu kubus didominasi oleh panjang sisinya dipangkatkan n, maka ukuran growth (orde n) sering juga disebut sebagai ukuran berdimensi-n. Untuk suatu k > 0, kQ menyatakan kubus yang sepusat (konsentris) dengan kubus Q tetapi panjang sisinya adalah k kali panjang sisi kubus Q, yaitu l(kQ) = k l(Q). Lebih lanjut, Q(x, r) menyatakan kubus yang berpusat di x dan berjari-jari r. Dalam hal ini yang dimaksud dengan jari-jari kubus adalah setengah panjang sisinya. Untuk selanjutnya di dalam seluruh tesis ini, C merupakan konstanta positif yang tidak perlu sama dari satu baris ke baris yang lainnya. Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel tak negatif pada Rd yang memenuhi kondisi growth

orde n dan 1 ≤ p < ∞. Ingat

kembali ruang Lebesgue tak homogen Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞, adalah ruang kelaskelas ekuivalen f sehingga kf kLp (µ) < ∞, dengan µZ ¶ p1 p kf kLp (µ) = |f (y)| dµ(y) , Rd

dan

ª © kf kL∞ (µ) = ess sup |f (x)| : x ∈ Rd . 8


ª © Di sini ess sup |f (x)| : x ∈ Rd menyatakan batas atas terkecil esensial dari |f |, yakni © ª ess sup |f (x)| : x ∈ Rd = inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M a.e. − µ pada Rd }. Dua buah fungsi f dan g di Lp (µ) dikatakan ekuivalen jika f = g hampir di mana-mana. Selanjutnya, ingat fungsi maksimal Hardy-Littlewood Z 1 n M f (x) = sup n |f (y)| dµ(y). r>0 r Q(x,r) Dalam hal ini M n disebut sebagai operator maksimal. Terdapat pendefinisian lain untuk fungsi maksimal yang dikenal sebagai fungsi maksimal tak terpusat yaitu

Z

1 Muc f (x) = sup n Q3x l

|f (y)| dµ(y). Q

Akan diperlihatkan bahwa fungsi maksimal setara titik demi titik (pointwise equivalent) dengan fungsi maksimal tak terpusat. Untuk setiap x ∈ Rd , Z Z 1 1 |f (y)| dµ(y) = 1 n |f (y)| dµ(y) rn Q(x,r) ( 2 l) Q(x,r) Z 2n = n |f (y)| dµ(y) l Q(x,r) Z 1 n ≤ 2 sup n |f (y)| dµ(y). Q3x l Q Jadi diperoleh 1 sup n r>0 r

Z

1 |f (y)| dµ(y) ≤ 2 sup n Q3x l Q(x,r)

Z

n

|f (y)| dµ(y). Q

Dengan kata lain M n f (x) ≤ 2n Muc f (x). Di lain pihak, 1 ln

Z

1 |f (y)| dµ(y) ≤ n r Q

Z

9

|f (y)| dµ(y) Q(x,r)

(2.1)


1 ≤ sup n r>0 r

Z |f (y)| dµ(y). Q(x,r)

Hubungan ini berlaku untuk setiap kubus Q dengan panjang sisi l, sehingga diperoleh 1 sup n Q3x l

Z

1 |f (y)| dµ(y) ≤ sup n r>0 r Q

Z |f (y)| dµ(y). Q(x,r)

Dengan kata lain, Muc f (x) ≤ M n f (x).

(2.2)

Dengan demikian dari (2.1) dan (2.2) diperoleh Muc f (x) ≤ M n f (x) ≤ 2n Muc f (x), untuk setiap x ∈ Rd . Untuk membuktikan keterbatasan operator M n di Lp (µ) terlebih dahulu diberikan pengertian operator tipe lemah dan tipe kuat serta teorema interpolasi Marcinkiewicz. Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran dan T operator dari Lp (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y . Operator T merupakan operator tipe lemah (p, q), q < ∞ jika untuk setiap λ > 0 berlaku ¶ µ Ckf kLp (X,µ) q . ν {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} ≤ λ dan T merupakan operator tipe lemah (p, ∞) jika T merupakan operator terbatas dari Lp (X, µ) ke L∞ (Y, ν). Operator T merupakan operator tipe kuat (p, q) jika T terbatas dari Lp (X, µ) ke Lq (Y, ν), yakni terdapat C > 0 sehingga kT f kLq (Y,ν) ≤ C kf kLp (X,µ) . Catat bahwa jika T adalah operator tipe kuat (p, q), maka T tipe lemah (p, q). Misalkan T suatu operator tipe kuat (p, q). Tulis Eλ = {y ∈ Y : |T f (y)| > λ} maka ¯ ¯ µ ¶ kT f kqLq (Y,ν) ¯ T f (x) ¯q Ckf kLp (X,µ) q ¯ ¯ dν ≤ ν(Eλ ) = ≤ . ¯ λ ¯ dν ≤ λq λ Eλ Eλ Z

Z

10


Jadi T operator tipe lemah (p, q). Didefinisikan Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) sebagai ruang semua fungsi f sehingga f = f1 +f2 dengan f1 ∈ Lp1 (X, µ) dan f2 ∈ Lp2 (X, µ). Misalkan p1 < p2 , maka berlaku Lp (X, µ) ⊂ Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) untuk setiap p dengan p1 ≤ p ≤ p2 . Untuk melihat hal ini, ambil sebarang f ∈ Lp (X, µ) dan k suatu konstanta positif. Tulis

  f (x) f1 (x) =  0

dan

  f (x) f2 (x) =  0

jika |f (x)| > k jika |f (x)| ≤ k jika |f (x)| ≤ k jika |f (x)| > k.

Maka diperoleh Z Z Z p1 p p1 −p p1 −p |f1 (x)| dµ = |f1 (x)| |f1 (x)| dµ ≤ k |f (x)|p dµ X

X

dan juga Z

X

Z |f2 (x)|

p2

Z p

dµ =

X

|f2 (x)| |f2 (x)| X

p2 −p

dµ ≤ k

p2 −p

|f (x)|p dµ. X

Jadi f1 ∈ Lp1 (X, µ) dan f2 ∈ Lp2 (X, µ) sehingga f ∈ Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ). Teorema berikut memegang peranan penting dalam pembuktian keterbatasan operator maksimal di ruang Lebesgue tak homogen. Bukti lengkap teorema ini dapat dilihat pada Duoandikoetxea [2] hal. 29, atau Krantz [8] hal 319, atau Stein [13] hal 21. Teorema 2.1. (Teorema interpolasi Marcinkiewicz). Diketahui (X, µ) dan (Y, ν) ruang ukuran, 1 ≤ p1 < p2 ≤ ∞ dan T operator sublinear dari Lp1 (X, µ) + Lp2 (X, µ) ke ruang fungsi terukur dari Y , yang merupakan tipe lemah (p1 , p1 ) dan juga merupakan tipe lemah (p2 , p2 ). Maka operator T merupakan tipe kuat (p, p) untuk sebarang p dengan p1 < p < p2 . 11


Teorema selanjutnya menyatakan keterbatasan operator M n di ruang Lp (µ). Pembuktian teorema ini melibatkan lema cover Vitali yang buktinya dapat dilihat pada Jones [7] hal. 448 atau Stein [13] hal. 9. Lema 2.2. (Lema cover Vitali). Diketahui {Q1 , Q2 , . . . , Qk , . . .} koleksi kubus di Rd . Maka ada subkoleksi terhitung kubus {Q˜1 , Q˜2 , . . . , Q˜j , . . .} sehingga 1. Q˜j saling lepas sepasang-sepasang, dan 2. berlaku

[

Qk ⊆

Ã [

! 3Q˜j

j

k

Teorema 2.3. Operator maksimal M n memenuhi Z © ª C d n µ x ∈ R : M f (x) > λ ≤ |f (x)| dµ(x) λ Rd dan kM n f kL∞ (µ) ≤ Ckf kL∞ (µ) . Bukti. Ambil f ∈ L1 (µ) dan didefinisikan © ª Eλ = x ∈ Rd : M n f (x) > λ . Jika x ∈ Eλ , yaitu x ∈ Rd dan M n f (x) > λ, maka terdapat rx > 0 sehingga Z 1 |f (y)| dµ(y) > λ. rxn Q(x,rx ) Lema cover Vitali memberikan koleksi kubus yang saling lepas sepasang- sepasang {Q(xj , rj )}j , dengan xj ∈ Eλ dan rj = rxj , sehingga Eλ ⊂

[

Q(x, rx ) ⊂

[ j

x∈Eλ

12

Q(xj , 3rj ).


Jadi diperoleh µ(Eλ ) ≤

X j

≤ 3n

µ(Q(xj , 3rj ))

X

rjn

j

X1Z ≤C |f (y)| dµ(y) λ Q(xj ,rj ) j Z CX ≤ |f (y)| dµ(y) λ j Q(xj ,rj ) Z C ≤ |f (y)| dµ(y). λ Rd Di sini kita menggunakan fakta bahwa kubus-kubus Q(xj , rj ) saling lepas sepasang-sepasang. Jadi terbukti ©

ª

C µ x ∈ R : M f (x) > λ ≤ λ d

n

Z |f (x)| dµ(x). Rd

Untuk bagian selanjutnya, apabila diambil sebarang x ∈ Rd dan kubus Q ⊂ Rd yang berpusat di x dan berjari-jari r, maka Z Z 1 1 |f (y)| dµ(y) ≤ n ess sup |f (y)| dµ(y) rn Q(x,r) r Q(x,r) Z 1 ≤ n kf kL∞ (µ) dµ(y) r Q(x,r) Z 1 = kf kL∞ (µ) n dµ(y) r Q(x,r) 1 = kf kL∞ (µ) n µ(Q) r ≤ Ckf kL∞ (µ) . Akibatnya 1 sup n r>0 r

Z |f (y)| dµ(y) ≤ Ckf kL∞ (µ) Q(x,r)

atau berarti kM n f kL∞ (µ) ≤ Ckf kL∞ (µ) . 13


Akibat 2.4. Operator maksimal M n terbatas di Lp (µ) untuk 1 < p < ∞ . Bukti. Untuk mendapatkan keterbatasan operator maksimal M n dari Lp (µ) ke Lp (µ) cukup dengan menerapkan teorema interpolasi Marcinkiewicz pada dua hasil di dalam Teorema 2.3. Catat bahwa M n merupakan suatu operator sublinear. Ambil sebarang f, g ∈ Lp (µ), 1 < p < ∞, maka Z 1 n M (f + g)(x) = sup n |(f + g)(y)| dµ(y) r>0 r Q(x,r) Z 1 ≤ sup n (|f (y)| + |g(y)|) dµ(y) r>0 r Q(x,r) Z Z 1 1 ≤ sup n |f (y)| dµ(y) + sup n |g(y)| dµ(y) r>0 r r>0 r Q(x,r) Q(x,r) = M n f (x) + M n g(x) dan juga Z 1 M (k.f )(x) = sup n |(k.f )(y)| dµ(y) r>0 r Q(x,r) Z 1 |k||f (y)| dµ(y) = sup n r>0 r Q(x,r) Z 1 = |k| sup n |f (y)| dµ(y) r>0 r Q(x,r) n

= |k|M n f (x). Karena diketahui juga bahwa M n merupakan tipe lemah (1, 1) dan juga tipe lemah (∞, ∞), maka menurut teorema interpolasi Marcinkiewicz, operator M n bertipe kuat (p, p) untuk 1 < p < ∞, yaitu berlaku kM n f kLp (µ) ≤ Ckf kLp (µ) . Dengan kata lain terbukti bahwa operator maksimal M n terbatas di Lp (µ) untuk 1 < p < ∞.

14


2.2

Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Lebesgue Tak Homogen

Pada bagian ini akan dibuktikan bahwa operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk suatu q > p. Ingat kembali definisi operator integral fraksional di ruang tak homogen sebagai berikut. Untuk 0 < α < n ≤ d dan α, n ∈ R, operator integral fraksional (orde α) adalah Z f (y) n dµ(y) Iα f (x) = n−α Rd |x − y| dengan f ∈ L∞ (µ) fungsi dengan tumpuan kompak. Pertama perlu dilihat bahwa operator Iαn ini terdefinisi dengan baik. Kernel dari operator integral ini bersifat singular pada diagonal x = y, namun demikian berlaku Z ∞ Z X 1 f (y) ∞ (µ) dµ(y) ≤ kf k dµ(y) L n−α n−α −k−1 ≤|x−y|<2−k |x − y| 2 |x−y|<1 |x − y| k=0 ∞ Z X 1 ≤ kf kL∞ (µ) dµ(y) (−k−1)(n−α) −k−1 ≤|x−y|<2−k 2 2 k=0 ¡ ¢ ∞ X µ Q(x, 2−k ) ≤ kf kL∞ (µ) 2(−k−1)(n−α) k=0 ≤ kf kL∞ (µ)

∞ X k=0

C 2(−k)n 2(−k−1)(n−α)

= C 2n−α kf kL∞ (µ)

∞ X

2−kα

k=0

< ∞. Jadi integral yang mendefinisikan Iαn konvergen mutlak. Pada akhirnya operator Iαn ini terdefinisi untuk f ∈ Lp (µ), 1 ≤ p ≤ ∞ sebab koleksi fungsi f ∈ L∞ (µ) dengan tumpuan kompak bersifat padat di Lp (µ). Berikutnya akan dibuktikan ketaksamaan Hedberg yang mempunyai peranan 15


penting dalam pembuktian keterbatasan operator integral fraksional Iαn di ruang Lebesgue tak homogen. Teorema 2.5. (Ketaksamaan Hedberg). Diberikan 0 < α < n dan f fungsi terbatas dengan tumpuan kompak. Maka untuk 1 ≤ p < pα

n α

berlaku

pα

|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLnp (µ) M n f (x)1− n . Bukti. Ambil sebarang t > 0, maka Z Z |f (y)| |f (y)| n |Iα f (x)| ≤ dµ(y) + dµ(y) . n−α n−α |x−y|
B

Akan dicari batas untuk masing-masing suku di atas yaitu A dan B. Untuk suku pertama, A, berlaku Z A= =

|x−y|
|f (y)| dµ(y) |x − y|n−α

2−k−1 t≤|x−y|≤2−k t

|f (y)| dµ(y) |x − y|n−α

Z ∞ X 2−kα ≤2 t |f (y)| dµ(y) −k t)n (2 −k t Q x,2 ( ) k=0 ∞ X n−α α 2−kα M n f (x) ≤2 t n−α α

k=0

= Ctα M n f (x). Selanjutnya untuk suku kedua yaitu B pertama kita perhatikan untuk kasus p = 1 sebagai berikut Z B= |x−y|≥t

≤

1 tn−α

Z

|f (y)| dµ(y) |x − y|n−α |f (y)| dµ(y)

|x−y|≥t

≤ t−(n−α) kf kL1 (µ) .

16


Untuk kasus 1 < p <

n , α

sekawan dari p yaitu

1 p

pilih β = p0 (n − α) − n, dimana p0 adalah pangkat

+

1 p0

= 1. Maka β > 0, dan dengan menggunakan

ketaksamaan Hölder diperoleh Z |f (y)| B= dµ(y) n−α |x−y|≥t |x − y| µZ ¶ p1 µZ p ≤ |f (y)| dµ(y) |x−y|≥t

|x−y|≥t

µZ

= kf kLp (µ) |x−y|≥t

dµ(y) |x − y|p0 (n−α)

dµ(y) |x − y|p0 (n−α)

¶ 10 p

¶ 10 p

Ã∞ Z X

dµ(y) = kf k n+β k k+1 t |x − y| k=0 2 t≤|x−y|≤2 Ã∞ ¡ ¢! 1 X µ Q(x, 2k+1 t) p0 ≤ kf kLp (µ) (2k t)n+β k=0 ! 10 Ã∞ p X β n −kβ 0 − p0 p 2 ≤ C kf kLp (µ) 2 t

! 10 p

Lp (µ)

k=0

= Ckf kLp (µ) t

− pβ0

= Ct−( p −α) kf kLp (µ) . n

Jika dipilih p = 1 dan C = 1, maka diperoleh ketaksamaan yang sama dengan kasus p = 1 di atas. Dengan demikian kita memperoleh untuk 1 ≤ p <

n α

berlaku |Iαn f (x)| ≤ A + B ³ ´ n ≤ C tα M n f (x) + t−( p −α) kf kLp (µ) untuk setiap t > 0. Selanjutnya dengan memilih µ n ¶− p M f (x) n t= >0 kf kLp (µ) dan mensubstitusikannya ke dalam ketaksamaan terakhir, diperoleh Ãµ Ãµ ¶− np !α ¶− np !−( np −α) n n M f (x) M f (x) |Iαn f (x)| ≤ C M n f (x) + C kf kLp (µ) kf kLp (µ) kf kLp (µ) 17


 =C

 n

M f (x)

n

M f (x)

− pα kf kLpn(µ)

 =C

− pα n

+

M f (x)

− pα +1

kf kLpn(µ)



n

1− pα n

M f (x)

− pα kf kLpn(µ) pα

− pα +1 n

n

kf kLp (µ) 

 pα

= C kf kLnp (µ) M n f (x)1− n . Dengan menggunakan fakta bahwa fungsi maksimal M n f terbatas di Lp (µ), maka bukti selesai. Sekarang akan diperlihatkan bahwa operator integral fraksional Iαn bersifat terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk suatu q > p. Teorema 2.6. Diberikan 0 < α < n. 1. Operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk 1 ≤ p < 2. Jika

1 q

n α

dan

1 q

= p1 − αn .

= 1 − αn , maka berlaku © ª µ x ∈ Rd : |Iα f (x)| > λ ≤

µ

C kf kL1 (µ) λ

¶q .

Bukti. 1. Dari Ketaksamaan Hedberg diperoleh pα

pα

|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLnp (µ) M n f (x)1− n yang berakibat µZ Rd

|Iαn f (x)|q

¶ 1q µZ pα n dµ(x) ≤ Ckf kLp (µ) pα n Lp (µ)

µZ

n

p

n

p

|M f (x)|

|M f (x)| dµ(x) µZ

Rd

= Ckf k

pα

q (1− pα n )

Rd

= Ckf k

pα n Lp (µ)

n

|M f (x)| dµ(x) Rd p

= Ckf kLnp (µ) kM n f kLq p (µ) 18

¶ 1q dµ(x) ¶ 1q ¶ p1 pq


p

pα

≤ Ckf kLnp (µ) kf kLq p (µ) pα

+p

= Ckf kLnp (µ)q

= Ckf kLp (µ) . Jadi berlaku kIαn f kLq (µ) ≤ Ckf kLp (µ) . Dengan kata lain terbukti Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ). 2. Untuk p = 1, Ketaksamaan Hedberg memberikan α

α

|Iαn f (x)| ≤ Ckf kLn1 (µ) M n f (x)1− n α

1

= Ckf kLn1 (µ) M n f (x) q . Menggunakan fakta bahwa M n merupakan operator tipe lemah (1, 1), diperoleh

 q     © ª λ  µ x ∈ Rd : |Iα f (x)| > λ ≤ µ x ∈ Rd : M n f (x) >  α  Ckf kLn1 (µ)   q α Z n C kf kL1 (µ)  ≤ |f (x)| dµ(x) λ Rd q  α C kf kLn1 (µ)  kf kL1 (µ) = λ µ ¶ C kf kL1 (µ) q = . λ

Ini merupakan ketaksamaan yang ingin dibuktikan.

2.3

Keterbatasan Operator Iαn di Ruang Morrey Tak Homogen yang Diperumum

Pada bagian ini akan dibuktikan keterbatasan operator Iαn dari Mp,φ (µ) ke Mq,ψ (µ) untuk suatu q ≥ p serta fungsi φ dan ψ yang memenuhi kondisi 19


tertentu. Terlebih dahulu akan diingat kembali mengenai ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Diberikan f sebarang fungsi terukur-µ, dengan µ ukuran Borel pada Rd yang memenuhi kondisi growth dan 1 ≤ p < ∞. Ruang Lebesgue tak homogen lokal, Lploc (µ), adalah ruang kelas-kelas ekuivalen fungsi terukur-µ f sehingga untuk setiap subhimpunan kompak K di Rd berlaku Z |f (y)|p dµ(y) < ∞. K

Khususnya jika f ∈ L1loc (µ) maka f disebut fungsi yang terintegral-µ secara lokal di Rd . Jelas bahwa Lp (µ) ⊂ Lploc (µ) untuk 1 ≤ p < ∞ (lihat Jones [7]). Pada Gunawan and Eridani [6], diperkenalkan pengertian ruang Morrey yang diperumum. Terilhami oleh hal tersebut, selanjutnya akan didefinisikan pengertian ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Misalkan diketahui fungsi φ : (0, ∞) → (0, ∞) merupakan fungsi yang memenuhi kondisi doubling, yaitu terdapat C > 0 sehingga φ(s) 1 ≤ ≤ C, C φ(t) apabila

1 2

≤

s t

≤ 2. Pertama perhatikan bahwa untuk setiap fungsi φ yang

memenuhi kondisi doubling berlaku Z 2k+1 r φ(t) dt ∼ φ(2k r) t 2k r untuk setiap bilangan bulat k dan r > 0. Hal ini dapat dilihat sebagai berikut. Karena φ memenuhi kondisi doubling maka terdapat C > 0 sehingga φ(t) 1 ≤ ≤C C φ(2k r) apabila t ∈ [2k r, 2k+1 r]. Jadi 1 φ(2k r) ≤ φ(t) ≤ Cφ(2k r), C yang berarti 1 φ(2k r) φ(t) φ(2k r) ≤ ≤ C . C 2k r t 2k r 20


Dengan mengintegralkan ketaksamaan ini pada [2k r, 2k+1 r] yaitu Z 2k+1 r Z 2k+1 r Z 2k+1 r φ(2k r) 1 φ(2k r) φ(t) dt ≤ dt ≤ C dt C 2k r t 2k r 2k r 2k r 2k r maka diperoleh Z

2k+1 r

k

K1 φ(2 r) ≤ 2k r

φ(t) dt ≤ K2 φ(2k r) t

dengan K1 dan K2 konstanta positif. Dengan demikian, disimpulkan untuk setiap bilangan bulat k dan r > 0 berlaku Z 2k+1 r φ(t) dt ∼ φ(2k r). t 2k r Untuk 1 ≤ p < ∞ dan fungsi φ seperti tersebut di atas, ruang Morrey tak homogen yang diperumum Mp,φ (µ) didefinisikan sebagai ruang dari semua fungsi f ∈ Lploc (µ) sehingga kf kMp,φ (µ)

1 := sup r>0 φ(r)

µ

1 rn

¶ p1 |f (y)| dµ(y) <∞

Z

p

Q(x,r)

dan untuk p = ∞ 1 kf kL∞ (Q) . Q(x,r) φ(Q)

kf kM∞,φ (µ) := sup

Berikut diberikan hubungan ruang-ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Lema 2.7. Apabila 1 < p < q < ∞ maka M∞,φ (µ) ⊆ Mq,φ (µ) ⊆ Mp,φ (µ) ⊆ M1,φ (µ). Bukti. Misalkan p0 adalah pangkat sekawan dari p, yaitu

1 p

+

1 p0

= 1 dan

Q sebarang kubus di Rd , maka dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh µZ

Z

¶ p1 µZ ¶ 10 p |f (y)|p dµ(y) dµ(y)

|f (y)| dµ(y) ≤ Q

Q

Q

21


µZ

¶ p1 1 |f (y)| dµ(y) (µ(Q)) p0 p

≤ µZ

Q

≤

¶ p1 1 |f (y)|p dµ(y) (C rn )) p0

Q

Jadi

µ

Z

1 rn

|f (y)| dµ(y) ≤ C Q

¶ p1 |f (y)| dµ(y)

Z

1 rn

p

Q

Ketaksamaan di atas menunjukkan bahwa Mp,φ (µ) ⊆ M1,φ (µ). Selanjutnya karena 1 <

q p

< ∞, maka 1 rn

µ

Z |f (y)| dµ(y) ≤ C Q

1 rn

¶ pq |f (y)| dµ(y) .

Z

q p

Q

Tulis f = |g|p , maka 1 rn atau

µZ

µ

Z p

|g(y)| dµ(y) ≤ C Q

1 rn

¶ pq |g(y)| dµ(y)

Z

q

Q

¶ p1 µ Z ¶ 1q 1 q |g(y)| dµ(y) ≤C |g(y)| dµ(y) . rn Q Q p

Ini berarti Mq,φ (µ) ⊆ Mp,φ (µ). Untuk melihat bahwa M∞,φ (µ) ⊆ Mq,φ (µ), perhatikan ketaksamaan µ

1 rn

Z

¶ 1q µ Z ¶ 1q 1 q |g(y)| dµ(y) ≤C kgkL∞ (µ) dµ(y) rn Q Q q

≤ C kgkL∞ (µ) .

Perhatikan bahwa untuk φ(t) = t

λ−n p

, 0 ≤ λ ≤ n, akan diperoleh

Mp,φ (µ) = Lp,λ (µ) — ruang Morrey tak homogen (klasik) (lihat Bab 1 Pendahuluan). Ingat n

kembali khususnya untuk λ = 0, yaitu φ(t) = t− p maka didapat Mp,φ (µ) = Lp (µ). Sementara apabila φ(t) = c > 0 suatu fungsi konstan maka didapat 22


M∞,φ (µ) = L∞ (µ). Jadi ruang Morrey tak homogen yang diperumum terkait dengan suatu fungsi tak naik φ(t) sehingga φ(t) → ∞ untuk t → 0. Sekarang akan dibuktikan keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey tak homogen yang diperumum. Teorema 2.8. Misalkan fungsi φ memenuhi kondisi doubling dan untuk setiap r > 0 berlaku

Z

∞

tα−1 φ(t) dt ≤ Crα φ(r),

r

serta fungsi ψ memenuhi rα φ(r) ≤ C1 ψ(r) untuk setiap r, dengan C1 tidak bergantung pada r. Maka, untuk 1 ≤ p <

n α

dan

1 q

=

1 p

− αn , terdapat C > 0

sehingga berlaku kIαn f kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) . ˜ = Q(a, 2r) dan Bukti. Untuk a ∈ Rd dan r > 0, tulis Q = Q(a, r) dan Q f = f1 + f2 = f χQ˜ + f χQ˜ c . Karena µZ

¶ p1 |f1 (x)| dµ(x) p

kf1 kLp (µ) = µZ =

Rd

¶ p1 |f (x)| dµ(x) p

˜ Q

1 = (2r) φ(r) φ(r)

µ

n p

1 (2r)n

Z

¶ p1 |f (x)| dµ(x) p

˜ Q

n p

≤ C(2r) φ(r)kf kMp,φ (µ) < ∞, maka f1 ∈ Lp (µ). Selanjutnya untuk x ∈ Q µZ Q

|Iαn f1 (x)|q

¶ 1q ≤ kIαn f1 kLq (µ) dµ(x)

23


≤ C kf1 kLp (µ) n

≤ C (2r) p φ(r) kf kMp,φ (µ) , sehingga diperoleh µ

1 rn

Z Q

|Iαn f1 (x)|q

dµ(x)

¶ 1q

n

n

≤ Cr p − q φ(r)kf kMp,φ (µ) ≤ Crα φ(r)kf kMp,φ (µ) ≤ CC1 ψ(r)kf kMp,φ (µ)

atau 1 ψ(r)

µ

1 rn

Z Q

¶ 1q |Iαn f1 (x)|q dµ(x) ≤ Ckf kMp,φ (µ) .

Akibatnya kIαn f1 kMq,ψ (µ) ≤ Ckf kMp,φ (µ) .

(2.3)

Selanjutnya diperoleh estimasi untuk Iαn f2 sebagai berikut. Z |f (y)| n dµ(y) |Iα f2 (x)| ≤ n−α ˜ c |x − y| Q Z |f (y)| dµ(y) ≤ n−α |x−y|≥r |x − y| ∞ Z X |f (y)| ≤ dµ(y) n−α k k+1 r |x − y| k=0 2 r≤|x−y|≤2 Z ∞ X 1 ≤ |f (y)| dµ(y) (2k r)n−α Q(a,2k+1 r) k=0 ¶ µ Z ∞ X 1 k α |f (y)| dµ(y) . = (2 r) k r)n (2 k+1 r) Q(a,2 k=0 Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder, diperoleh µ

1 k (2 r)n

¶ µ |f (y)| dµ(y) ≤

Z Q(a,2k+1 r)

¶ p1 Z 1 |f (y)| dµ(y) (2k r)n Q(a,2k+1 r) µ ¶1− p1 Z 1 dµ(y) . (2k r)n Q(a,2k+1 r)

24


Jadi berlaku |Iαn f2 (x)|

≤C

∞ X

µ k

(2 r)

k=0

µ

(2k+1 r)n =C

(2k+1 r)n

Q(a,2k+1 r)

µ

∞ X

k

(2 r)

Q(a,2k+1 r)

¶1− p1 dµ(y)

Z

1

¶ p1 |f (y)| dµ(y)

Z

1

α

¶ p1 |f (y)| dµ(y)

Z

1

α

(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r) µ ¶1− p1 µ(Q(a, 2k+1 r)) (2k+1 r)n µ ¶ p1 Z ∞ X 1 k α ≤C (2 r) |f (y)| dµ(y) (2k+1 r)n Q(a,2k+1 r) k=0 k=0

≤C

∞ X

(2k r)α φ(2k+1 r)kf kMp,φ (µ)

k=0

≤ Ckf kMp,φ (µ)

∞ X

(2k r)α φ(2k r).

k=0

Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka Z k

α

2k+1 r

k

(2 r) φ(2 r) ∼ 2k r

sehingga

∞ Z X k=0

2k+1 r

tα φ(t) dt = t Z

α−1

t

∞

φ(t) dt =

2k r

Z

2k+1 r

tα−1 φ(t) dt

2k r

tα−1 φ(t) dt.

r

Jadi berlaku Z |Iαn f2 (x)|

∞

≤ Ckf kMp,φ (µ)

tα−1 φ(t) dt

r

≤ Crα φ(r)kf kMp,φ (µ) . Maka diperoleh µ

1 rn

Z Q

|Iαn f2 (x)|q

¶ 1q µZ ¶ 1q α− n dµ(x) ≤ Cr q φ(r) kf kMp,φ (µ) dµ(x) Q

= Cr

α− n p

25

1

φ(r) kf kMp,φ (µ) (µ(Q)) q


≤ Crα φ(r) kf kMp,φ (µ) ≤ Cψ(r) kf kMp,φ (µ) atau 1 ψ(r)

µ

1 rn

Z Q

¶ 1q |Iαn f2 (x)|q dµ(x) ≤ C kf kMp,φ (µ) .

Akibatnya kIαn f2 kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) .

(2.4)

Dengan demikian dari (2.4), (2.5), dan ketaksamaan Minkowski diperoleh kIαn f kMq,ψ (µ) ≤ C kf kMp,φ (µ) . Ini berarti bahwa operator Iαn terbatas dari Mp,φ (µ) ke Mq,ψ (µ).

26


Bab 3 Ketaksamaan Olsen di Ruang Tak Homogen 3.1

Ketaksamaan Olsen di Ruang Lp(µ)

Pada bab ini akan dibahas ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Untuk suatu untuk suatu fungsi W pada Rd akan ditunjukkan keterbatasan operator W Iα di ruang Lp (µ) dan di ruang Mp,φ (µ). Pertama diberikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) yang buktinya cukup sederhana, yaitu dengan memanfaatkan keterbatasan operator Iαn dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q = Teorema 3.1. (Ketaksamaan Olsen) Untuk 1 ≤ p <

n α

np . n−αp

berlaku

kW Iαn f kLp (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kLp (µ) n

yaitu W Iαn terbatas di Lp (µ), apabila W ∈ L α (µ). Bukti. Ambil sebarang y ∈ Rd , dan selanjutnya dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh µZ

Z Rd

|W Iαn f (y)|p

dµ(y) ≤

|W (y)|

pq q−p

Rd

¶ q−p µZ q dµ(y) Rd

27

|Iαn f (y)|q

¶ pq dµ(y)


dengan

1 q

=

1 p

− αn . Apabila diambil akar pangkat p pada kedua ruas ketak-

samaan dan dengan memperhatikan bahwa µZ Rd

|W Iαn f (y)|p

¶ p1 µZ dµ(y) ≤

pq q−p

= αn , maka didapatkan

¶ αn µZ |W (y)| dµ(y) n α

Rd

Rd

|Iαn f (y)|q

¶ 1q dµ(y)

atau kW Iαn f kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f kLq (µ) . Karena operator integral fraksional Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q=

np , n−αp

maka didapatkan

kW Iαn f kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f kLq (µ) ≤ C kW kL αn (µ) k f kLp (µ) .

3.2

Ketaksamaan Olsen di Ruang Mp,φ(µ)

Pada bagian ini akan dibuktikan perumuman Teorema 3.1 yaitu ketaksamaan Olsen di ruang Mp,φ (µ). Bukti dari teorema ini serupa dengan bukti keterbatasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum (lihat Teorema 2.8). Teorema 3.2. (Ketaksamaan Olsen) Misalkan φ memenuhi kondisi doubling dan

Z

∞

tα−1 φ(t) dt ≤ Crα φ(r).

r

Maka, untuk 1 ≤ p <

n α

dan

1 q

=

1 p

−

α n

terdapat C > 0 sehingga berlaku

kW Iαn f kMp,φ (µ) ≤ CkW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) n

dengan W ∈ L α (µ). ˜ = Q(a, 2r) dan Bukti. Untuk a ∈ Rd dan r > 0, tulis Q = Q(a, r), Q f = f1 + f2 = f χQ˜ + f χQ˜ c . 28


Jadi f1 ∈ Lp (µ) dan berlaku µZ

¶ p1 |f1 (y)| dµ(y) p

kf1 kLp (µ) = µZ =

Rd

¶ p1 |f (y)| dµ(y) p

˜ Q

1 = (2r) φ(r) φ(r)

µ

n p

1 (2r)n

Z

¶ p1 |f (y)| dµ(y) p

˜ Q

n p

≤ C(2r) φ(r)kf kMp,φ (µ) . Karena µZ Q

|W Iαn f1 (y)|p

¶ p1 dµ(y) ≤ kW Iαn f1 kLp (µ) ≤ kW kL αn (µ) kIαn f1 kLq (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf1 kLp (µ) n

≤ C (2r) p φ(r)kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) , maka diperoleh µ ¶ p1 Z 1 1 n p |W Iα f1 (y)| dµ(y) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) , φ(r) (2r)n Q dan akibatnya kW Iαn f1 kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) . Selanjutnya untuk x ∈ Q berlaku Z |f (y)| n |Iα f2 (x)| ≤ dµ(y) n−α ˜ c |x − y| Q Z |f (y)| dµ(y) ≤ n−α |x−y|≥r |x − y| ∞ Z X |f (y)| ≤ dµ(y) n−α k r≤|x−y|≤2k+1 r |x − y| 2 k=0 Z ∞ X 1 |f (y)| dµ(y) ≤ k r)n−α (2 k+1 r) Q(a,2 k=0 29

(3.1)


µ ∞ X k α = (2 r) k=0

1 k (2 r)n

¶ |f (y)| dµ(y) .

Z Q(a,2k+1 r)

Dengan menggunakan ketaksamaan Hölder diperoleh µ ¶ µ ¶ p1 Z Z 1 1 |f (y)| dµ(y) ≤ |f (y)| dµ(y) (2k r)n Q(a,2k+1 r) (2k r)n Q(a,2k+1 r) µ ¶1− p1 Z 1 . dµ(y) (2k r)n Q(a,2k+1 r) Jadi berlaku |Iαn f2 (x)|

µ ∞ X k α ≤C (2 r) µ

k=0

(2k+1 r)n

(2k+1 r)n

Q(a,2k+1 r)

¶1− p1 dµ(y)

Z

1

¶ p1 |f (y)| dµ(y)

Z

1

Q(a,2k+1 r)

µ ∞ X k α (2 r) =C

1

¶ p1 |f (y)| dµ(y)

Z

(2k+1 r)n Q(a,2k+1 r) µ ¶1− p1 µ(Q(a, 2k+1 r)) (2k+1 r)n µ ¶ p1 Z ∞ X 1 k α (2 r) ≤C |f (y)| dµ(y) k+1 r)n (2 k+1 r) Q(a,2 k=0 k=0

∞ X ≤C (2k r)α φ(2k+1 r)kf kMp,φ (µ) k=0 ∞ X ≤ C kf kMp,φ (µ) (2k r)α φ(2k r). k=0

Karena φ dan tα memenuhi kondisi doubling, maka Z 2k+1 r Z 2k+1 r α t φ(t) k α k dt = tα−1 φ(t) dt (2 r) φ(2 r) ∼ t k k 2 r 2 r sehingga

∞ Z X k=0

2k+1 r

Z α−1

t

∞

φ(t) dt =

2k r

tα−1 φ(t) dt.

r

Jadi berlaku Z |Iαn f2 (x)|

∞

≤ C kf kMp,φ (µ) r

30

tα−1 φ(t) dt


≤ C rα φ(r)kf kMp,φ (µ) . Oleh karena itu diperoleh 1 φ(r)

µ

1 rn

Z Q

α− n p

≤ C (r)

α− n p

≤ C (r)

|W Iαn f2 (x)|p µZ

¶ p1 |W (x)|p dµ(x)

kf kMp,φ (µ) µZ

¶ p1 dµ(x)

Q

¶ αn µZ ¶ 1q |W (x)| dµ(x) dµ(x) n α

kf kMp,φ (µ) Q

α− n p

= C (r)

n

Q

kf kMp,φ (µ) kW kL αn (µ(Q))

1 q

n

≤ C (r)α− p + q kf kMp,φ (µ) kW kL αn ≤ C kW kL αn kf kMp,φ (µ) , dan akibatnya kW Iαn f2 kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .

(3.2)

Dengan demikian dari (3.1), (3.2), dan ketaksamaan Minkowski, diperoleh kW Iαn f kMp,φ (µ) ≤ C kW kL αn (µ) kf kMp,φ (µ) .

31


Bab 4 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan pada bab-bab sebelumnya diperoleh bahwa hasil utama yang dibicarakan dalam tesis ini adalah keterbatasan operator Iαn di ruang Morrey tak homogen yang diperumum, yang tertuang pada Teorema 2.8. Untuk membuktikan sifat ini dipergunakan hasil dari Garcia-Cuerva dan Martell [5] yaitu operator Iαn terbatas dari Lp (µ) ke Lq (µ) untuk q =

np , n−αp

dan

dalam pembuktiannya keterbatasan operator maksimal M n di ruang Lp (µ) memegang peranan yang penting. Terilhami oleh hasil Gunawan and Eridani [6] tentang ketaksamaan Olsen di Lp dan Mp,φ , dapat dibuktikan ketaksamaan Olsen di ruang Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Kedua hasil ini berturut-turut tertuang di dalam Teorema 3.1 dan Teorema 3.2. Di sini tampak bahwa konsep kunci dalam penurunan hasil-hasil tersebut adalah ukuran growth yang mendefinisikan ruang tak homogen Lp (µ) dan Mp,φ (µ). Semua hasil ini mengukuhkan bahwa kondisi doubling di dalam Analisis Fourier khususnya operator integral bukanlah hal yang esensial, yaitu dapat diganti dengan kondisi growth. Hal ini sejalan dengan hasil dari Garcia-Cuerva and Gatto [4], Garcia-Cuerva and Martell [5], dan Nazarov et al. [10] tentang operator integral fraksional di ruang tak homogen.

32


Daftar Pustaka [1] F. Chiarenza and M. Frasca (1987), ”Morrey spaces and HardyLittlewood maximal function”, Rend. Mat. 7, 273-279. [2] J. Duoandikoetxea (2001), Fourier Analysis, Graduate Studies in Math, 29, AMS, Providence, Rhode Island. [3] G. B. Folland (1992), Fourier Analysis and Its Applications, Wadsworth and Brooks/Cole Advanced Book and Software, Pasivic Grove, California. [4] J. Garcia-Cuerva and A. E. Gatto (2004), ”Boundedness properties of fractional integral operators associated to non-doubling measures”, Studia Math 162, no. 3, 245-261. [5] J. Garcia-Cuerva and J. M. Martell (2001), ”Two weight norm inequalities for maximal operators and fractional integrals on non-homogeneous spaces”, Indiana University Mathematics Journal 50, no. 3, 1241-1280. [6] H. Gunawan and Eridani, ”Fractional integral and generalized Olsen inequalities”, to appear in Kyungpook Math. J. [7] F. Jones (1993), Lebesgue Integration on Euclidean Space, Jones and Bartlett Publishers Inc., Boston-London.

33


[8] S. G. Krantz (1999), A Panorama of Harmonic Analysis, The Carus Mathematical Monographs, no. 27, The Mathematical Association of America, USA. [9] E. H. Lieb and M. Loss (1997), Analysis, Graduate Studies in Math, 14, AMS, Providence, Rhode Island. [10] F. Nazarov, S. Treil, and A. Volberg (1998), ”Weak type estimates and Cotlar inequalities for Calderon- Zygmund operators on nonhomogeneous spaces”, Internat. Math. Res. Notices, no. 9, 463-487. [11] J. Peetre (1969), ”On the theory of Lp,λ spaces”, Journal of Functional Analysis, no. 4, 71-87. [12] I. Sihwaningrum dan H.P. Suryawan (2008), ”Operator integral fraksional dan ketaksamaan Olsen di ruang Lebesgue tak homogen”, Makalah dipresentasikan pada Simposium Analisis dan Aplikasinya, Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. [13] E. M. Stein (1970), Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. [14] E. M. Stein (1993), Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality, and Oscilatory Integrals, Princeton University Press, Princeton, New Jersey. [15] C. T. Zorko (1986), ”Morrey Space”, Proceeding of the American Mathematical Society, volume 98 no. 4, 586-592.

34

OPERATOR INTEGRAL FRAKSIONAL DAN KETAKSAMAAN OLSEN DI RUANG TAK HOMOGEN TESIS

Recommend Documents