MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
2. Konstruksi Bilangan Real 2.1 Barisan Cauchy – Motivasi & Definisi
2.2 Sistem Bilangan Real sbg Lapangan Terurut – Aritmetika pada bilangan real – Sifat-sifat lapangan – Sifat-sifat urutan
2.3 Limit dan Kelengkapan 2.4 Bilangan Real Versi Lainnya (c) Hendra Gunawan (2015)
2
2.1 Barisan Cauchy Motivasi: Secara intuitif, bilangan real telah dikenal dan dipakai sejak zaman Yunani Kuno untuk pengukuran ruang dan waktu, dan besaran fisis lainnya. Namun konsep bilangan real secara formal baru dirumuskan dengan memuaskan pada paruh kedua abad ke-19, antara lain oleh Weierstrass, Dedekin, Cantor, Peano, Russell, Whitehead, dan Frankel. (c) Hendra Gunawan (2015)
3
Yang dipelajari di Analisis Real (S1) Sistem Bilangan Real diperkenalkan secara aksiomatis sebagai sistem bilangan yang memenuhi: 1. Sifat-sifat lapangan 2. Sifat-sifat urutan 3. Sifat kelengkapan Pertanyaannya: adakah himpunan bilangan yang memenuhi ketiga sifat tsb, bila yang kita punyai (sbg bekal) adalah himpunan bilangan rasional? (c) Hendra Gunawan (2015)
4
Permasalahan yang Dihadapi Anda mungkin berpikir bahwa untuk memperoleh bilangan real, yang perlu kita lakukan hanya menambahkan limit dari barisan-barisan bilangan rasional yang konvergen. Pertanyaannya adalah: bagaimana kita tahu bahwa suatu barisan konvergen bila limitnya justru belum dikenal? Sebagai contoh, kita dapat mengkonstruksi barisan bilangan rasional (rk) sehingga (rk2) konvergen ke 2. Apakah (rk) konvergen? Konvergen ke bilangan apa? [Bilangan √2 belum dikenal. Jadi bagaimana mungkin kita bisa mengukur ‘jarak’ dari rk ke √2?] (c) Hendra Gunawan (2015)
5
Barisan Konvergen Def.: Barisan (xk) dikatakan konvergen ke x apabila untuk setiap bilangan asli n, terdapat bilangan asli m sedemikian sehingga untuk setiap k ≥ m berlaku |xk – x| < 1/n. [Kita tidak menggunakan ε > 0 karena kita dalam posisi belum mengenal bilangan real.] Contoh: Barisan (1/k) konvergen ke 0. [Pilih m=n.] Namun, bila kita belum mengetahui x, kita tidak mungkin dapat menghitung |xk – x|. (c) Hendra Gunawan (2015)
6
Barisan Cauchy Pada 1820-an, Cauchy mempelajari kondisi yang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa barisan (xk) konvergen tanpa melibatkan limit barisan tersebut. Kondisi ini kemudian dikenal sebagai kondisi Cauchy. Def.: Barisan (xk) disebut barisan Cauchy apabila untuk setiap bilangan asli n, terdapat bilangan asli m sedemikian sehingga untuk setiap j, k ≥ m berlaku |xj – xk| < 1/n. (c) Hendra Gunawan (2015)
7
Contoh 1. Barisan (1/k) merupakan barisan Cauchy. Untuk setiap bilangan asli n, kita dapat memilih m = n, sedemikian sehingga untuk setiap j, k ≥ m berlaku |1/j – 1/k| < 1/n. 2. Misalkan x1 = 1 dan untuk k = 1, 2, 3, … definisikan
x= k +1 :
1 2
( xk + x2k ).
Maka, (xk) merupakan barisan Cauchy. Apakah (xk) konvergen? Konvergen ke mana? (c) Hendra Gunawan (2015)
8
Hubungan antara Barisan Cauchy dan Barisan Konvergen Jika (xk) konvergen ke x (bilangan yg diketahui), maka (xk) merupakan barisan Cauchy. (Buktikan!) Sebaliknya, apakah setiap barisan Cauchy pasti konvergen? Secara intuitif, atau persisnya dengan membayangkan setiap bilangan sebagai sebuah titik pada garis bilangan, kita cenderung mengatakan “ya”, setiap barisan Cauchy mestilah konvergen ke suatu titik. Masalahnya adalah bagaimana kita mendefinisikan bilangan yang terkait dengan titik tersebut. (c) Hendra Gunawan (2015)
9
Relasi Ekuivalen Relasi ekuivalen (pada suatu himpunan) adalah relasi yang memenuhi ketiga sifat berikut: (i) refleksif (A ekuivalen dengan A), (ii) simetris (A ekuivalen dengan B hanya jika B ekuivalen dengan A), dan (iii)transitif (jika A ekuivalen dengan B dan B ekuivalen dengan C, maka A ekuivalen dengan C). Relasi ekuivalen pada suatu himpunan membagi himpunan itu menjadi sejumlah kelas ekuivalen. (c) Hendra Gunawan (2015)
10
Barisan Cauchy yang Ekuivalen • Definisi: Dua barisan Cauchy (xk) dan (yk) dikatakan ekuivalen apabila untuk setiap bilangan asli n terdapat bilangan asli m sedemikian sehingga untuk setiap k ≥ m berlaku |xk – yk| ≤ 1/n. • Lemma: Ekuivalensi di antara dua barisan Cauchy memenuhi sifat refleksif, simetris, dan transitif. (c) Hendra Gunawan (2015)
11
Definisi Bilangan Real melalui Barisan Cauchy • Definisi: Misalkan C adalah himpunan semua barisan bilangan rasional (xk) yang merupakan barisan Cauchy, dan R adalah himpunan semua kelas ekuivalen pada C. Kita sebut R sebagai Sistem Bilangan Real, dan setiap kelas ekuivalen x ϵ R disebut sebagai bilangan real. Sebagai tambahan, setiap barisan Cauchy dalam kelas ekuivalen x dikatakan konvergen ke x atau mempunyai limit x. (c) Hendra Gunawan (2015)
12
Latihan 1. Diketahui sebuah bilangan desimal N.a1a2a3a4… (yang diperoleh dengan “metode bagi sepuluh”). Buktikan bahwa barisan bilangan N.a1, N.a1a2, N.a1a2a3, … merupakan barisan Cauchy. 2. Buktikan bahwa barisan 0.9, 0.99, 0.999, … ekuivalen dengan barisan 1, 1, 1, … . 3. Bilangan real apakah yang direpresentasikan oleh barisan Cauchy yang suku-sukunya merupakan bilangan bulat? 4. Buktikan bahwa terdapat tak terhitung barisan bilangan rasional Cauchy yang ekuivalen dengan sebuah barisan bilangan rasional Cauchy (xk) yang diberikan. (c) Hendra Gunawan (2015)
13
