MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
3. Topologi Garis Bilangan Real 3.1 Teori Limit – Limit, supremum, dan infimum – Titik limit
3.2 Himpunan Buka dan Himpunan Tutup 3.3 Himpunan Kompak
(c) Hendra Gunawan (2015)
2
3.1 Teori Limit Pada bab ini kita akan mendalami sifat-sifat bilangan real, barisan bilangan real, dan himpunan bilangan real tertentu. Sejak sekarang, kita dapat menganggap sistem bilangan real sebagai suatu garis bilangan real. Yang menjadi fokus kita adalah sifat-sifat geometris kualititatif, alias sifat-sifat topologi pada garis bilangan real (yang kelak muncul lagi dalam pembahasan ruang metrik). (c) Hendra Gunawan (2015)
3
Limit Barisan bilangan real (xk) dikatakan konvergen ke x apabila untuk setiap bilangan asli n terdapat m sedemikian sehingga |xk – x| < 1/n untuk setiap k ≥ m. Bilangan x disebut sebagai limit barisan (xk) dan ditulis x = lim xk. Jika (xk) konvergen, maka limitnya tunggal!
(c) Hendra Gunawan (2015)
4
Untuk setiap bilangan asli n, ketaksamaan |xk – x| < 1/n berarti bahwa xk berada dalam interval buka (x – 1/n, x + 1/n), yg berpusat di x dan “berjari-jari” 1/n. Perhatikan bahwa interval-interval buka ini mengecil dan “bersarang”.
“Ekor” barisan (xk) yang konvergen x pada akhirnya akan “tertangkap” dalam setiap interval buka tersebut. (c) Hendra Gunawan (2015)
5
Limit Tak Hingga (1) Tidak semua barisan konvergen. Di antara barisan yang divergen, barisan (xk) yang membesar tak terbatas menarik untuk dibahas. Kita tuliskan lim xk = +∞ apabila untuk setiap bilangan bulat n terdapat m sedemikian sehingga xk > n untuk setiap k ≥ m. Bila interval buka (x – 1/n, x + 1/n) disebut sebagai lingkungan dari x, interval (n, +∞) = {x : x > n} disebut lingkungan dari +∞. (c) Hendra Gunawan (2015)
6
Limit Tak Hingga (2) Kita tuliskan lim xk = –∞ apabila untuk setiap bilangan bulat n terdapat m sedemikian sehingga xk < n untuk setiap k ≥ m. Interval (–∞, n) = {x : x < n} disebut lingkungan dari –∞. Kadang ada untungnya menganggap +∞ dan –∞ sebagai bilangan, yang dengan seluruh bilangan real membentuk sistem bilangan real yang diperluas. (c) Hendra Gunawan (2015)
7
Keterbatasan Ketika kita mengamati apakah sebuah barisan konvergen atau tidak, kadang kita selidiki terlebih dahulu bagaimana suku-suku barisan tersebut tersebar; apakah barisan tersebut terbatas atau tidak. (Ingat bahwa keterbatasan merupakan syarat perlu bagi kekonvergenan.) Konsep keterbatasan tidak hanya didefinisikan pada barisan, tetapi juga pada himpunan bilangan real sembarang. (c) Hendra Gunawan (2015)
8
Supremum dan Infimum (1) Jika E adalah himpunan sejumlah terhingga bilangan real, kita definisikan supremum dan infimum E, ditulis sup E dan inf E, sebagai bilangan terbesar dan bilangan terkecil di E, berturut-turut. Namun jika E adalah himpunan tak terhingga bilangan real, bilangan terbesar atau bilangan terkecil di E belum tentu ada. Sebagai contoh, himpunan bilangan real positif tidak mempunyai bilangan terbesar maupun bilangan terkecil. (c) Hendra Gunawan (2015)
9
Supremum dan Infimum (2) Walau demikian, bila kita bayangkan himpunan E pada garis bilangan real, mestilah terdapat titik paling kiri dan titik paling kanan (mungkin –∞ atau +∞) yang berkenaan dengan di mana anggota E berada. Kedua titik ini belum tentu merupakan anggota E; mereka itulah yang kita sebut sebagai inf E dan sup E. Bagaimana persisnya kita mendefinisikan sup E dan inf E, khususnya untuk himpunan E yang tak kosong? (Selanjutnya E diasumsikan tak kosong.) (c) Hendra Gunawan (2015)
10
Himpunan Terbatas di Atas & Supremum Def. Himpunan tak kosong E dikatakan terbatas di atas apabila terdapat bilangan real y sedemikian sehingga x ≤ y untuk setiap x ϵ E. Bilangan y dalam hal ini disebut sebagai batas atas dari E. Catatan. Tidak semua himpunan terbatas di atas. Sebagai contoh, himpunan bilangan asli tidak terbatas di atas. Def. Jika E terbatas di atas, maka sup E didefinisikan sebagai batas atas terkecil. Jika E tak terbatas di atas, kita definisikan sup E = +∞. (c) Hendra Gunawan (2015)
11
Eksistensi Supremum (1) Berikut adalah alasan mengapa batas atas terkecil itu ada. Mulai dengan suatu batas atas, sebutlah y1, kita pilih batas atas yang lebih kecil daripadanya, sebutlah y2, sebagai berikut. Pilih x1 ϵ E dan tinjau titik tengah antara x1 dan y1, yaitu (x1 + y1)/2. Jika ia merupakan batas atas E, kita tetapkan x2 = x1 dan y2 = (x1 + y1)/2; jika bukan, berarti terdapat x2 ϵ E sedemikian sehingga (x1 + y1)/2 < x2 dan dalam hal ini kita tetapkan y2 = y1. [Ilustrasi di papan tulis!] (c) Hendra Gunawan (2015)
12
Eksistensi Supremum (2) Dengan langkah ini kita telah mengganti pasangan awal x1 dan y1 dengan pasangan baru x2 dan y2. Di sini x2 ϵ E dan y2 batas atas dari E. Perhatikan juga bahwa x1 ≤ x2 dan y1 ≥ y2, serta |x2 – y2| ≤ |x1 – y1|/2. Ulangi langkah ini sehingga kita peroleh barisan naik (xk) di E dan barisan turun (yk) yang sukusukunya merupakan batas atas E, dengan |xk – yk| ≤ |x1 – y1|/2k utk setiap k = 1, 2, 3, … . (c) Hendra Gunawan (2015)
13
Eksistensi Supremum (3) Kedua barisan (xk) dan (yk) merupakan barisan Cauchy yang ekuivalen, dan karenanya mereka konvergen ke limit yang sama! Misalkan lim yk = y. Maka dapat diperiksa bahwa: 1. y merupakan batas atas dari E. 2. Jika y’ adalah batas atas dari E, maka y ≤ y’. (Jadi, y merupakan batas atas terkecil dari E.) (c) Hendra Gunawan (2015)
14
Eksistensi Supremum (4) Teorema. Untuk setiap himpunan tak kosong E yang terbatas di atas terdapat tepat satu bilangan real sup E dengan sifat: 1. sup E merupakan batas atas dari E. 2. Jika y adalah batas atas dari E, maka y ≥ sup E. Ide Pembuktian. Bilangan y = sup E diperoleh dengan cara yang dijelaskan sebelumnya. Anda tinggal memeriksa dua sifat tersebut di atas (sila lakukan sebagai latihan). (c) Hendra Gunawan (2015)
15
Titik Limit (dari Barisan) Infimum dan supremum memberi tahu kita interval terkecil yang memuat suku-suku suatu barisan. Selanjutnya kita ingin tahu di mana suku-suku barisan tersebut “berkumpul”. Sebagai contoh, suku-suku barisan 3/2, -3/2, 4/3, -4/3, 5/4, -5/4, … , (n+1)/n, -(n+1)/n, … berkumpul di sekitar 1 dan -1. Barisan ini tidak konvergen, tetapi kita melihat ada dua titik yang menarik pada barisan ini, yaitu 1 dan -1. (c) Hendra Gunawan (2015)
16
Def. Misalkan (xk) adalah barisan bilangan real. Bilangan real x disebut titik limit atau titik akumulasi dari (xk) apabila untuk setiap bilangan asli n terdapat tak terhingga banyak xk yang memenuhi |xk – x| < 1/n. Jika terdapat tak terhingga xk dengan xk > n, maka +∞ dinobatkan sebagai titik limit dari (xk). Catatan. 1. Dapat diperiksa bahwa x merupakan titik limit dari (xk) apabila untuk setiap bilangan asli n dan m, terdapat k ≥ m sehingga |xk – x| < 1/n. 2. Dapat diperiksa bahwa +∞ merupakan titik limit dari (xk) apabila (xk) tak terbatas di atas. (c) Hendra Gunawan (2015)
17
Latihan 1. Buktikan bahwa barisan 1, -1, 1, -1, 1, -1, … hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1. 2. Buktikan bahwa barisan 3/2, -3/2, 4/3, -4/3, 5/4, -5/4, … , (n+1)/n, -(n+1)/n, … hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1. 3. Buktikan bahwa x merupakan titik limit dari (xk) apabila untuk setiap bilangan asli n dan m, terdapat k ≥ m sehingga |xk – x| < 1/n. 4. Buktikan jika (xk) konvergen ke x, maka x merupakan satu-satunya titik akumulasi dari (xk). (c) Hendra Gunawan (2015)
18
Sub-barisan Diberikan sebuah barisan (xk), kita dapat memperoleh suatu sub-barisan dari (xk) dengan mencoret sejumlah (mungkin tak terhingga) suku-sukunya. Sebagai contoh, dengan mencoret suku-suku berindeks ganjil, kita peroleh sub-barisan (x2j). Iseng: Ada berapa banyak cara memperoleh subbarisan dari suatu barisan? (c) Hendra Gunawan (2015)
19
Teorema. Misalkan (xk) adalah barisan bilangan real sembarang. Suatu bilangan real (atau bilangan real yang diperluas) x merupakan titik limit dari (xk) jika dan hanya jika terdapat sub-barisan (xk’) sedemikian sehingga lim xk’ = x. Bukti. Jika terdapat sub-barisan (xk’) dgn lim xk’ = x, maka utk setiap bilangan asli n terdapat m sedemikian sehingga |xk’ – x| < 1/n untuk setiap k ≥ m. Dengan demikian terdapat tak terhingga suku xk yang memenuhi |xk – x| < 1/n, karena suku barisan (xk’) berasal dari (xk). Jadi x merupakan titik limit dari (xk). (c) Hendra Gunawan (2015)
20
Bukti (lanjutan). Sebaliknya, misalkan x merupakan titik limit dari (xk). Pilih x1’ sedemikian sehingga |x1’ – x| < 1. Setelah itu, pilih x2’ dengan indeks lebih besar daripada indeks x1’ sedemikian sehingga |x2’ – x| < ½. Demikian seterusnya, setelah x1’, … , xk’, kita pilih xk+1’ dengan indeks lebih besar daripada indeks xk’ sedemikian sehingga |xk+1’ – x| < 1/(k+1). Dengan cara ini kita peroleh sub-barisan (xk’) yang konvergen ke x. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015)
21
Catatan Himpunan titik limit dari suatu barisan bisa sangat rumit. Barisan sederhana seperti 1, -1, 1, -1, 1, -1, … hanya mempunyai dua titik limit, yaitu 1 dan -1. Namun sekarang tengok barisan (xk) di mana setiap bilangan rasional muncul tak terhingga kali. [Ilustrasi di papan tulis.] Setiap bilangan real akan menjadi titik limit dari barisan ini: Jika x adalah bilangan real, maka x merupakan limit dari suatu barisan bilangan rasional Cauchy yang merupakan sub-barisan dari (xk). (c) Hendra Gunawan (2015)
22
Titik Limit Barisan Konvergen Teorema. Jika (xk) konvergen ke x, maka (xk) hanya mempunyai sebuah titik limit, yaitu x. Sebaliknya, jika (xk) hanya mempunyai sebuah titik limit (termasuk +∞ dan -∞), maka (xk) konvergen (atau menuju +∞ atau -∞). Bagian pertama mudah dibuktikan. Untuk kebalikannya, kita perlu mendefinisikan limsup dan liminf terlebih dahulu. (c) Hendra Gunawan (2015)
23
Limsup dan Liminf (1) Diberikan barisan (xk), kita ingin mencari titik limit terbesar dan titik limit terkecil. Untuk itu, mulai dengan sup {xk : k ≥ 1}. Selanjutnya (dengan alasan yang dijelaskan di kelas), kita tinjau sup {xk : k ≥ 2}, sup {xk : k ≥ 3}, dan seterusnya. Dalam hal ini kita peroleh barisan bilangan yang monoton turun, dan karena itu mempunyai limit (mungkin -∞). Def. limsupk->∞ xk := limm->∞ sup {xk : k ≥ m}. (c) Hendra Gunawan (2015)
24
Limsup dan Liminf (2) Fakta 1. limsup xk merupakan titik limit dari (xk). Fakta 2. limsup xk merupakan supremum dari himpunan titik limit dari (xk). Serupa dgn itu, jika kita definisikan liminfk->∞ xk := limm->∞ inf {xk : k ≥ m}, maka kita dapat membuktikan bahwa liminf xk merupakan titik limit dari (xk) dan infimum dari himpunan titik limit dari (xk). (c) Hendra Gunawan (2015)
25
Teorema sebelumnya menyatakan: jika (xk) hanya mempunyai sebuah titik limit, sebutlah x, maka (xk) mestilah konvergen ke x. Bukti. Tinjau kasus x terhingga. Mengingat limsup xk = liminf xk = x, kita mempunyai dua barisan yang konvergen ke x, yaitu (ym) dan (zm) dgn ym = sup {xk : k ≥ m} dan zm = inf {xk : k ≥ m}, dan zm ≤ xk ≤ ym untuk k ≥ m. Dengan memilih m cukup besar sedemikian sehingga |zm – x| < 1/n dan |ym – x| < 1/n, kita peroleh|xk – x| < 1/n untuk k ≥ m. Ini membuktikan bahwa (xk) konvergen ke x. [QED] (c) Hendra Gunawan (2015)
26
Latihan 1. Tentukan sup, inf, limsup, liminf, dan semua titik limit dari barisan berikut: a. ((-1)k)
b. ((-1)k/k)
2. Diketahui barisan (xk) terbatas dan suku-sukunya dapat dituliskan sebagai xk = yk + zk dengan (yk) monoton naik dan (zk) monoton turun. Apakah (xk) konvergen? Bagaimana jika (yk) dan (zk) terbatas? 3. Konstruksi sebuah barisan yang titik-titik limitnya persis sama dengan himpunan semua bilangan bulat. 4. Apakah ada barisan yang titik-titik limitnya persis sama dengan 1, ½, 1/3, … ? (c) Hendra Gunawan (2015)
27
