MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 27 November 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu) yang Lalu) d x2 1 Tentukan 1. (10 ). ) dx 1
2 Hitunglah 2. i l h
5
3x
d . dx
0
a 1 3. Buktikan bahwa y x , a 1, monoton. a 1 Tentukan inversnya. inversnya x
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 6.5 Pertumbuhan 6 5 Pertumbuhan dan Peluruhan Ekponensial ‐ Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. 66F 6.6 Fungsi i Trigonometri Ti i Invers I ‐ Menentukan turunan fungsi trigonometri invers (dan integral yang bersesuaian).
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
3
MA1101 MATEMATIKA 1A
6.5 PERTUMBUHAN DAN PELURUHAN EKSPONENSIAL ‐ Menyelesaikan persamaan diferensial yang berkaitan dengan masalah pertumbuhan dan peluruhan eksponensial. 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Pertumbuhan Eksponensial Misalkan suatu p populasi p bertambah sebesar ∆yy dalam waktu ∆t, dan pertambahan populasi tsb sebanding dengan banyaknya penduduk pada waktu itu dan dengan lebar selang waktu, yakni ∆y = k y ∆t. dengan y = y(t) menyatakan jumlah populasi pada saat t, dan , k konstanta. Jadi y dy lim ky dt t 0 x dy k .dt y 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
5
I t Integralkan lk kedua k d ruas, kita kit peroleh l h
ln y kt C y e kt C Ae kt Misalkan diketahui jumlah populasi awal y(0) = y0. Maka y0 = Ae = Ae0 = A, sehingga = A sehingga y = y0 ekt. Nilai k dapat ditentukan apabila kita mempunyai informasi tambahan, misalnya y(10) = 2y0 (waktu melipat ganda = 10 satuan waktu). 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
6
Contoh Misalkan suatu koloni bakteri berkembang biak dengan laju sebanding dengan banyaknya bak‐ teri pada saat itu. Bila pada awal pengamatan terdapat 10.000 bakteri dan setelah 10 hari terdapat 24.000 bakteri, berapa banyaknya bakteri setelah 25 hari? Jawab: Misalkan Jawab: Misalkan y = y(t) = y(t) menyatakan banyaknya bakteri pada saat t. Maka (seperti tadi) dy k kt ky y Ae dt 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
7
P d saatt t = 0, diketahui Pada t 0 dik t h i y = 10.000. Jadi 10 000 J di 10.000 = A.e0 = A, sehingga y = 10.000ekt. Pada saat t t = 10, diketahui 10, diketahui y y = 24.000. Jadi 24.000. Jadi 24.000 = 10.000e10k, 10kk 10 sehingga hi e 2,4
10k ln 2,4 k 101 ln 2,4.
Pada saat t =25,, ( 2 , 5 ) ln 2 , 4 2,5 y 10.000e 10.000(2,4) . 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Peluruhan Eksponensial Mirip dengan pertumbuhan eksponensial yang yang terjadi pada suatu populasi, peluruhan ekspo‐ nensial terjadi pada zat radioaktif. radioaktif Zat radioaktif meluruh dengan laju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa yang tersisa pada saat itu. itu Jika y = y(t) menyatakan banyaknya zat yang tersisa i pada d saat t, maka k dy kt ky; y Ae (k 0) dt 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Hukum Pendinginan Newton Jika suatu benda dimasukkan ke dalam ruangan dengan suhu tetap T1, maka ‐‐menurut Newton‐‐ benda tsb akan mengalami pendinginan dengan laju sebanding dengan selisih suhunya (T) dengan suhu ruangan (T1), yakni ) yakni
dT k (T T1 )). d dt Jadi kita peroleh T T1 Ae kt . 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Latihan Misalkan suatu zat radioaktif meluruh dengan laju sebanding dengan banyaknya zat yang tersisa pada saat itu. Diketahui pada awal peng‐ amatan terdapat 20 gram dan setelah 1 tahun tersisa 15 gram. Tentukan waktu paruh zat tsb. Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknya zat pada saat t. Maka t Maka …
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
11
MA1101 MATEMATIKA 1A
6.6 FUNGSI TRIGONOMETRI INVERS ‐ Menentukan turunan fungsi trigonometri g y g ) invers ((dan integral yang bersesuaian).
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Fungsi Trigonometri Invers Fungsi y = sin x naik pada [‐π/2, π/2], karena itu mempunyai invers x = sin‐1 y pada [‐1, 1]. x = sin‐1 y, ‐1 ≤ y ≤ 1 j.h.j. y = sin x, ‐π/2 ≤ x ≤ π/2. y y j j y Fungsi y = cos y = cos x turun pada [0, π], karena [0 π] karena itu mempunyai invers x = cos‐1 y pada [‐1, 1]. x = cos‐1 1 y, ‐1 ≤ y ≤ 1 1 ≤ ≤ 1 j.h.j. y = cos jhj x, 0 ≤ x ≤ π. 0≤ ≤
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
13
Fungsi Trigonometri Invers Fungsi y = tan x naik pada (‐π/2, π/2), karena itu mempunyai invers x = sin‐1 y pada (‐∞, ∞). x = tan‐1 y, ‐∞< x <∞ j.h.j. y = tan x, ‐π/2 < x < π/2. y j j y Fungsi y = sec x y = sec x 1‐1 pada 1 1 pada [0, π] – [0 π] – {π/2}, karena {π/2} karena itu mempunyai invers x = sec‐1 y pada {y : |y| ≥ 1}. x = sec‐1 1 y, |y|≥ 1 | |≥ 1 j.h.j. y = sec x, 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2. jhj 0≤ ≤ /2
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Grafik Fungsi Trigonometri Invers y
yy = sin = sin‐1 x
1
‐1 1
y = sin x 1
x
‐1
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
15
Contoh 1 1 2
sin (
2)
1 1 2
cos ( ) 1
tan (1)
4
3
4 1 sec (1) . 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Beberapa Kesamaan 1
2
1
2
1
2
sin(cos x) 1 x cos(sin x) 1 x sec(tan x) 1 x 1
tan(sec x) x 1 ( jika : x 1; jika : x 1) 11/27/2013
2
(c) Hendra Gunawan
17
Contoh 1 i (2 cos 1.sin(2
1 2 3
) 2sin(cos 2 i (
1 2 3
) cos(cos (
1 2 3
)
2 4 5 2 1 ( ) . . 3 9 2 2 3
1
sin(sin x) x . 2. tan(sin x) 1 2 cos(sin x) 1 x 1
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
18
Turunan Fungsi Trigonometri Invers d 1 1 sin x , 1 x 1 2 d dx 1 x d 1 1 cos x , 1 x 1 2 dx 1 x d 1 1 tan x , x 2 dx 1 x d 1 1 sec x , | x | 1 2 dx | x | x 1 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
19
Bukti bahwa
d 1 1 sin x 2 dx 1 x
Misal y = sin y = sin‐1 x. Maka x Maka x = sin y. Turunkan x = sin y Turunkan kedua ruas secara implisit terhadap x, diperoleh 1 1 = cos y.(dy/dx). (d /d ) Jadi
dy 1 1 . 2 dx cos y 1 x
11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
20
Integral yang Menghasilkan Fungsi Trigonometri Invers
1
1
1
dx sin x C cos x D
1 x 1 1 1 x 2 dx tan x C 1 1 d sec | x | C x x 2 1 dx 11/27/2013
2
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh 1
1 Hitung dx. 2 1 x 1 1 1 1 1 1 1 Jawab: b d tan x 1 tan (1) tan (1) dx 2 1 x 1
11/27/2013
( ) . 4 4 2
(c) Hendra Gunawan
22
Latihan Seseorang yang tingginya ~1,60 m b d di berdiri d tepi atas tebing, melihat b lh ke laut yang berada ~18,40 m di bawahnya Pada saat itu terdapat bawahnya. Pada perahu yang menjauhi tebing g laju j 5 m/det. Bila θ dengan menyatakan besar sudut pandang‐ nya (terhadap garis horisontal), b berapakah k h besarnya b l j perubahan laju b h θ terhadap waktu, pada saat perahu tsb berjarak 50 m dari 50 m dari tebing? 11/27/2013
(c) Hendra Gunawan
θ
23
