MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 29 November 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu) yang Lalu) Seseorang yg tingginya ~1,60 m b d di berdiri d tepi atas tebing, melihat b lh ke laut yang berada ~18,40 m di bawahnya Pada saat itu terdapat bawahnya. Pada perahu yang menjauhi tebing g laju j 5 m/det. Bila θ dengan menyatakan besar sudut pandang‐ nya (terhadap garis horisontal), b berapakah k h besarnya b l j perubahan laju b h θ terhadap waktu, pada saat jarak perahu tsb berjarak 50 m dari 50 m dari tebing? 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
θ
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 6.7 Fungsi 6 7 Fungsi Hiperbolik dan Inversnya ‐ Menentukan turunan fungsi hiperbolik dan inversnya. inversnya 6.8 Persamaan Diferensial Linear Orde 1 ‐ Menyelesaikan persamaan diferensial linear orde 1 dan permasalahan yang relevan.
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
3
MA1101 MATEMATIKA 1A
6.7 FUNGSI HIPERBOLIK & INVERSNYA ‐ Menentukan turunan fungsi hiperbolik dan inversnya.
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Fungsi Hiperbolik & Invers & Invers‐nya nya x
e e sinh x 2 e x ex cosh x 2 i hx sinh tanh x cosh x cosh x coth x sinh x x
11/29/2013
sech x = 1/cosh x csch x = 1/sinh x (c) Hendra Gunawan
5
Grafik Fungsi y y = sinh sinh x dan y y = cosh cosh x y
1 0
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
x
6
Kesamaan Hiperbolik cosh2 x x – sinh2 x = 1. x=1 Bukti:
1 – tanh2 x = sech2 x. Bukti:
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
7
Turunan Fungsi Hiperbolik d sinh x cosh x dx d coshh x sinh i hx dx d tanh x ? dx d sech x = ? dx 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Menentukan Invers dari y y = sinh sinh x y = sinh x monoton naik, jadi y = sinh naik jadi mempunyai invers. invers x = sinh‐1 y j.h.j. y = sinh x. Dapat dibuktikan dib k ik bahwa b h sinh i h‐1 1 y = ln l (y + √y ( √ 2 2 + 1)) x x e e x x sbb: y e 2y e 0 2
(e ) 2 y (e ) 1 0 x 2
x
e x y y 2 1. 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Invers dari Fungsi Hiperbolik 1
2
1
2
sinh x ln( x x 1) coshh x ln( l ( x x 1), ) x 1 1 1 x 1 tanh x ln , 1 x 1 2 1 x sech‐1 x = ? x=?
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Turunan dari Invers Fungsi Hiperbolik d 1 sinh x dx d 1 cosh x d dx
1 x 1 1 2
x 1 2
,
x
,
x 1
Buktinya? 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
11
Sepeda Beroda Persegi Pernahkah anda melihat sepeda beroda persegi? Bagaimana sepeda tsb bergerak di atas jalan yang rata? Ia akan bergerak naik‐turun, ya ‘kan? Nah, bila kita menghendaki sepeda tsb bergerak mendatar tidak naik naik‐turun, turun, maka maka jalannya harus dibuat khusus.. Tapi seperti apa?
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Latihan Tentukan dy/dx bila: 1. y = tanh‐1 x. 2 y = sech 2. h‐1 1 x.
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
13
MA1101 MATEMATIKA 1A
6.8 PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR ORDE 1 ‐ Menyelesaikan y persamaan diferensial linear p orde 1 dan permasalahan yang relevan.
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Persamaan Diferensial Orde 1 Kita telah berhadapan dengan persamaan diferensial orde 1 yang sederhana, yang dapat diselesaikan dengan metode pemisahan peubah. Sebagai contoh: 1. dy/dt y = kyy 3. dT/dt = k(T – T1) 2. dy/dx = x/y 4. dy/dx = (y2 – 1)½ Bagaimana dengan persamaan diferensial ini: 5. dy/dx + xy 5. dy/dx xy = xx 6. y’ + y tan x 6. y y tan x = sec x sec x 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
15
Persamaan Diferensial Linear Orde Linear Orde 1 Persamaan diferensial orde 1 yang berbentuk y’ + P(x)y = Q(x) (*) disebut persamaan diferensial linear orde 1. Persamaan bentuk ini dapat diselesaikan dengan mencari terlebih dahulu faktor pengintegral‐nya, yaitu F(x) = e∫P(x)dx. 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Kalikan kedua ruas dengan F(x), persamaan F(x) persamaan (*) (*) menjadi F(x)y’ + F(x)P(x)y = F(x)Q(x). F(x)y + F(x)P(x)y = F(x)Q(x) Perhatikan bahwa ruas kiri merupakan turunan dari F(x)y; sehingga F(x)y; sehingga persamaan di atas menjadi (F(x)y)’ = F(x)Q(x). I Integralkan lk kedua k d ruas, kita ki peroleh l h F(x)y = ∫ F(x)Q(x) dx. Jadi y = e‐∫P(x)dx ∫ F(x)Q(x) dx. 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
17
Contoh Selesaikan persamaan diferensial berikut: y’ + xy ’ = x. Jawab: Faktor pengintegralnya adalah e∫x dx=exp(½x2). J di kita Jadi ki kalikan k lik kedua k d ruas dengan d f k ini, faktor i i
e
1 x2 2
y ' e
1 x2 2
xy e
1 x2 2
x
1 x2 d 12 x 2 (e y ) e 2 x dx
e 11/29/2013
1 x2 2
y e
y 1 Ce
1 x2 2
12 x 2
xdx e .
(c) Hendra Gunawan
1 x2 2
C 18
Latihan Selesaikan persamaan diferensial berikut: y’ + y tan x = sec x. ’ t Jawab: Faktor pengintegralnya adalah e∫tan x dx = … K lik kedua Kalikan k d ruas dengan d f k tsb, faktor b
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
19
Aplikasi PD Linear Orde PD Linear Orde 1 Bila tanki dialiri air garam dan pada saat yang sama larutan mengalir ke luar d i tanki dari ki tsb, berapakah b b k h kadar garam pada larutan tsb setelah sekian lama?
Air garam
11/29/2013
Diketahui: volume awal tanki = 120 liter air garam, dengan kandungan 75 gram garam. Air yang mengandung 1,2 gram garam per liter lit mengalir masuk ke dalam tanki dgn laju 2 liter/menit. 2 liter/menit Air yang teraduk rata keluar dari tanki dengan laju yang yang sama.
(c) Hendra Gunawan
20
Jawab: Misalkan y = y(t) menyatakan banyaknya garam yang terkandung k d d l dalam tanki ki setelah l h t menit. i Maka dyy y 2,4 ( garam.masuk garam.keluar ) dt 60 dy y 2,4 dt 60 1 t 60 Solusinya adalah y 144 Ce . Pada t = 0, y = 75; jadi C = ‐69, sehingga
y 144 69e 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
1 t 60
. 21
Latihan Rangkaian listrik R‐L dengan sumber tenaga E(t) akan dialiri arus I = I(t), yang memenuhi persamaan diferensial dif i l dI L RI E (t ), dt dengan L = induktansi (henry) dan R = resistansi (ohm). Selesaikan PD ini, jika L = 1 H, R = 106 Ω, dan E(t) = 1 V. 11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
R
S
L
E
22
Selamat Belajar! Sampai Jumpa Lagi Semester Depan!
11/29/2013
(c) Hendra Gunawan
23