MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 30 Oktober 2013
Latihan 1 Fungsi g(x) = x 1. g(x) = x3, 0 ≤ x ≤ 1, terintegralkan 0 ≤ x ≤ 1 terintegralkan pada [0, 1]. Nyatakan integral tentu g pada [0, 1] sebagai limit jumlah limit jumlah Riemann dengan Riemann dengan partisi reguler, dan hitunglah nilainya.
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 4.3.1 Teorema 4 3 1 Teorema Dasar Kalkulus Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus untuk menghitung integral tentu. integral tentu 4.3.2 Metode Substitusi Menggunakan metode substitusi dalam penghitungan p g g integral tentu. g
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
3
MA1101 MATEMATIKA 1A
4.3.1 TEOREMA DASAR KALKULUS Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus untuk g g integral tentu. g menghitung
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Teorema Dasar Kalkulus Sampai di sini kita hanya dapat mengatakan apakah sebuah fungsi terintegralkan pada suatu selang, dengan g melihat apakah p fungsi g tersebut terbatas dan kontinu kecuali di sejumlah terhingga titik. Namun, untuk menghitung integral tentu Namun, untuk integral tentu fungsi tersebut, selain dengan menggunakan definisinya, memerlukan ‘senjata’ yang lebih j y g ampuh. p Salah satu alat bantu untuk menghitung integral tentu adalah Teorema Dasar Kalkulus. 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
5
Teorema Dasar Kalkulus I Jika f kontinu dan mempunyai anti anti‐turunan turunan F pada [a, b], maka b
f ( x)dx F (b) F (a). a
Catatan: 1. Teorema ini mengaitkan integral tak tentu dengan integral tentu. integral tentu b 2. Notasi F ( x) a biasa digunakan untuk menyatakan F(b) F(b) – F(a). F(a) 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
6
Bukti Teorema Dasar Kalkulus I Misalkan f kontinu dan mempunyai p y anti‐turunan F p pada [a, b]. Maka, f terintegralkan pada [a, b], dan untuk setiap partisi a = x0 < x1 < x2 < … < xn‐1 < xn = b kita mempunyai p y n F (b) F (a ) [ F ( xi ) F ( xi 1 )] i 1
n
f (ti )xi , b
Karena itu f ( x)dx lim a
10/30/2013
| P| 0
i 1 n
f (t ).x i 1
(c) Hendra Gunawan
i
i
F (b) F (a ). 7
Contoh 1. Fungsi g f( f(x) = x ) 2 kontinu dan mempunyai p y anti‐ turunan F(x) = x3/3 pada [0, 1]; jadi 3 1
1
x 0 x dx 3 2
0
1 1 0 . 3 3
2. Lebih umum, untuk r ≠ ‐1, fungsi f f( ) r f(x) = x kontinu dan mempunyai anti‐turunan F(x) = xr+11/(r+1) /( ) pada d [a, b] (dalam [ b] (d l d daerah h asall f); f) b r 1 b r 1 r 1 jadi x b a r
x dx r 1 a
10/30/2013
a
r 1 r 1
(c) Hendra Gunawan
.
8
Kelinearan Integral Tentu Integral Tentu b
b
a b
a
d k . f ( x)dx d ; k. f ( x)dx b
b
a
a
[ f ( x) g ( x)]dx f ( x)dx g ( x)dx. a
Contoh: Dengan menggunakan kelinearan integral tentu, kita dapat menghitung tentu, kita 2
2
2
0
0
0
3. ( x 2 x )dx x 2 dx x dx 83 43 2. 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Latihan
2
1. (1 cos x)dx d ... 0 4
2. ( x
1 x
)dx ...
1
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
10
MA1101 MATEMATIKA 1A
4.3.2 METODE SUBSTITUSI Menggunakan metode substitusi dalam penghitungan p g g integral tentu. g
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
11
Bagaimana menghitung integral ini? integral ini? 4
x 2 x .(2 x 1)dx.
0
Atau integral ini: integral ini: 2 /4
cos x x
dx.
0
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Dengan menggunakan Aturan Pangkat yang Diper yang Diper‐ umum, kita dapat menghitung integral tak tentunya: ∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C. D Dengan d iki i t demikian, integral tentu l t t tadi t di dapat d t dihitung: dihit 4
( x x) (2 x 1)dx ( x x) 2
1/ 2
2 3
2
3/ 2 4 0
23 (20) 3 / 2 .
0
Integral semacam ini, baik integral tentu maupun integral tak tentu, dapat pula dihitung dengan metode substitusi, yang akan b i i k kita k bahas b h selanjutnya. l 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
13
Sebagai contoh, untuk contoh, untuk menghitung integral tak integral tak tentu ∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx, kita gunakan substitusi peubah u = x2 + x, sehingga du = (2x + 1)dx dan integral di atas menjadi ∫ u½ du. Dengan Aturan Pangkat, kita peroleh ½ du = ⅔ u ∫ ½ ∫ u d ⅔ 3/2 + C. C Substitusikan kembali u = x u = x2 + x, kita + x kita dapatkan ∫ (x2 + x)½.(2x + 1) dx = ⅔(x2 + x)3/2 + C, sebagaimana yang kita peroleh sebelumnya dengan Aturan Pangkat k yang Diperumum. 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Sekarang, untuk menghitung integral tentu 4
(x
2
x) (2 x 1)dx, 1/ 2
0
kita lakukan substitusi seperti tadi: u = x2 + x, du = (2x + 1)dx Selanjutnya kita perhatikan efek du = (2x + 1)dx. Selanjutnya substitusi ini terhadap kedua batas integral. Pada saat x = 0, kita , peroleh u = 0; sementara p ; pada saat p x = 4, kita dapatkan u = 20. Dengan demikian 4
20
( x x) (2 x 1)dx u du u 2
0
1/ 2
1/ 2
2 3
3 / 2 20 0
23 (20) 3 / 2 ,
0
sama seperti yang kita yang kita peroleh sebelumnya. sebelumnya 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
15
Catatan Dalam menghitung integral tentu dengan metode substitusi, kedua batas integral pada umumnya berubah; dan kita dapat meng‐ hitung integral dalam peubah baru tanpa harus mensubstitusikan kembali peubah lama. Bila agak rumit, integral tentu tsb dapat dihitung dalam dua tahap: pertama tahap: pertama cari dahulu integral tak tentunya, setelah itu baru gunakan Teorema Dasar Kalkulus. Kalkulus. 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Secara umum, dengan umum dengan melakukan substitusi peubah u = g(x), du = g’(x)dx, kita peroleh Integral tak tentu: ∫ f(g(x)).g’(x)dx = ∫ f(u) du. Integral tentu:
b
g (b b))
a
g (a)
f ( g ( x)).g ' ( x)dx f (u)du.
Jika F adalah anti‐turunan dari f, maka b
g (b )
a
g (a)
f ( g ( x)).g ' ( x)dx f (u)du F ( g (b)) F ( g (a)). 10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
17
Latihan Hitung integral tentu/tak Latihan. Hitung integral tentu/tak tentu berikut: 1. ∫ √3x + 2 dx. 1. ∫ √3x + 2 dx. 2. ∫ cos(3x + 2) dx. 1
3 ( 3 x 2 ) dx. 3. 0
2 /4
4.
cos x x
dx.
0
4
5.
1 t ( t 1) 3
dt.
1
10/30/2013
(c) Hendra Gunawan
18
