MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 2 Oktober 2013
Apa yang Telah yang Telah Dipelajari pada Bab 2 2.1 Dua Masalah Satu Tema 2.2 Turunan 2.3 Aturan Turunan 2.4 Turunan Fungsi Trigonometri 2 5 Aturan Rantai 2.5 Aturan 2.6 Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi 2 7 Turunan Implisit 2.7 Turunan 2.8 Laju yang Berkaitan 2 9 Dif 2.9 Diferensial i l dan d Hampiran H i 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
2
MA1101 MATEMATIKA 1A
BAB 3. PENGGUNAAN TURUNAN BAB 3. PENGGUNAAN TURUNAN
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
3
Sasaran Kuliah Hari Ini 3.1 Maksimum 3 1 Maksimum dan Minimum Menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi yang diberikan. yang diberikan 3.2 Kemonotonan dan Kecekungan Menentukan selang kemonotonan (dan titik ) selangg kecekungan g dan titik ekstrim), serta belok, dari suatu fungsi yang diberikan.
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
4
MA1101 MATEMATIKA 1A
3.1 MAKSIMUM DAN MINIMUM Menentukan nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi yang diberikan.
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
5
Maksimum dan Minimum Misalkan f : I → R dan c є I. (Pada umumnya, I me‐ rupakan suatu selang di R). R) Nilai f(c) disebut nilai maksimum apabila f(c) ≥ f(x) untuk setiap x є I. Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) ≤ f(x) untuk setiap x є I. Nilai maksimum atau minimum disebut minimum disebut nilai ekstrim. ekstrim y Contoh 1. Misalkan f(x) = x2, 4 x є [‐1,2]. Nilai x є [ 1 2] Nilai maksimumnya adalah 4 [= f(2)], sedangkan nilai minimumnya adalah 0 [= f(0)]. Perhatikan grafiknya. ‐1 0 2 x 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
6
Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim Jika f kontinu pada [a,b], maka [a b] maka f akan mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a,b]. Catatan. Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup untuk eksistensi nilai ekstrim (maksimum dan minimum). Sbg contoh, fungsi contoh fungsi pada Contoh 1 merupakan 1 merupakan fungsi yang kontinu pada [‐1,2], shg mempunyai nilai maksimum dan minimum pada minimum pada [[‐1 1,2]. 2] 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
7
Contoh 2. Fungsi 2. Fungsi yang tidak yang tidak kontinu mungkin saja mem mem‐ punyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikan sebagai berikut: f(x) = ‐1, jika x = 0, = x, jika jik 0 0 < x < 1, 1 = 2, jika x = 1, mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum ‐1 minimum 1 [[= f(0)]. Gambar f(0)] Gambar grafiknya! 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Contoh 3. Namun 3. Namun demikian, ketakkontinuan demikian, ketakkontinuan tidak menjamin eksistensi nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi 1
g(x) = ½, jika x = 0 atau 1, = x, jika 0 < x < 1, 0
1
tidak mempunyai nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Teorema Lokasi Titik Ekstrim Misalkan daerah asal f adalah selang I yang memuat titik c. Jika c Jika f(c) adalah nilai ekstrim, maka ekstrim maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c merupakan ((i) titik ) ujung j g selang g I, atau (ii) titik stasioner f, yakni f ’(c) = 0, atau (iii) titik singular f, yakni f ’(c) tidak ada. Catatan. Teorema ini mengatakan bahwa nilai ekstrim hanya mungkin tercapai di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis. Untuk menentukan nilai ekstrim suatu fungsi, teorema ini menganjurkan utk mencari titik‐titik kritisnya dulu. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Contoh y
f(x) = x f( ) 2,, x єє
4.. Fungsi u gs [[‐1,2], , ], mencapai nilai maksimum 4 di x = 2 (titik ujung kanan) d nilai dan l minimum 0 di d x = 0 (titik stasioner). 5 Fungsi 5. F i f(x) = |x|, x є f( ) | | [ 1 2] [‐1,2], mencapai nilai maksimum 2 di x x = 2 2 (titik ujung kanan) kanan) dan nilai minimum 0 di x = 0 (titik singular). 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
‐1
4
0
2 x
y 2
‐1
0
2 x
11
Contoh 6. Tentukan nilai maksimum dan minimum 3 + 3x2 + 1 pada [‐1,2]. fungsi f(x) = ‐2x ( ) 2 + 6x = 6x(1 – Jawab: Turunan f adalah ff ’(x) = ‐6x ( ) ( x). ) Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat empat titik kritis, yakni ‐1, 0, 1, dan 2 (dua ( titik ujung selang dan dua titik stasioner). M Menurut t Teorema T Ek i t i Nilai Eksistensi Nil i Ekstrim Ek t i dan d Teorema T Lokasi Titik Ekstrim, f mencapai nilai ekstrim di titik kritis tsb Sekarang bandingkan nilai f di titik tsb. Sekarang titik‐titik titik kritis tsb: f(‐1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = ‐3. Jadi f mencapai nilai maksimum 6 di x = ‐1 (titik ujung kiri) dan nilai minimum ‐3 di x = 2 (titik ujung kanan). 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Latihan 1. Tentukan 1 Tentukan nilai ekstrim fungsi f(x) = x f(x) = x3 – 12x 12x pada [‐3,3]. 2 Tentukan titik‐titik 2. Tentukan titik titik kritis fungsi g(x)= 50x – x2/2, = 60x – x2,
jika 0 ≤ x ≤ 20, jika 20 < x ≤ 60.
Tentukan nilai maksimum dan minimumnya. minimumnya [Ingat baik‐baik fungsi ini; nanti akan ketemu lagi!] 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
13
MA1101 MATEMATIKA 1A
3.2 KEMONOTONAN & KECEKUNGAN Menentukan selang kemonotonan (dan titik ekstrim), serta selang kecekungan dan titik belok, dari suatu fungsi yang diberikan
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Kemonotonan Fungsi f dikatakan naik pada selang I apabila untuk setiap x, y є I dengan x < y berlaku f(x) < f(y) f(x) < f(y). Fungsi f dikatakan turun pada selang I apabila untukk setiap i x, y є I dengan d x < y berlaku b l k f(x) > f(y). Fungsi naik atau turun pada selang I dikatakan monoton p pada I. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
15
Teorema Kemonotonan Fungsi Misalkan f kontinu dan mempunyai turunan pada I. Jika f ’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka f naik pada I. Jika I Jika f f ’(x) (x) << 0 untuk setiap x є x є I, I maka f turun pada I.
c 10/02/2013
x (c) Hendra Gunawan
Catatan. Pada Catatan Pada gambar di samping, titik p g, c merupakan titik minimum. 16
Contoh 1 Diketahui f(x) f(x) = xx3 – 12x. Kita hitung 12x. Kita hitung turunannya: f ’(x) = 3x2 – 12 = 3(x – 2)(x + 2). Periksa tanda f ’(x) pada garis bilangan real: + + +
+ + +
– – – 2
‐2
Menurut Teorema Kemonotonan, fungsi f naik pada (‐∞,‐2) dan juga pada (2,∞); dan f turun pada (‐2,2). [Ctt. x = ‐2 titik maks, x = 2 titik min.] 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
17
Kecekungan Misalkan f mempunyai turunan pada I = (a,b). Jika f f ’ naik pada I, maka I maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’ turun pada I, maka grafik fungsi g f cekungg ke bawah p pada I.
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
cekungg ke atas
cekung ke bawah
18
Teorema Kecekungan Fungsi Misalkan f mempunyai turunan kedua pada I. Jika f ’’(x) > 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke atas pada I. Jika f ’’(x) < 0 untuk setiap x є I, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada I. f’’(x) > 0
Penjelasan. Jika f ’’(x) > 0, maka f ’(x) f (x) naik. Jadi naik Jadi f cekung ke atas. atas Jika f ’’(x) < 0, maka f ’(x) turun. Jadi f cekungg ke bawah. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
cekung ke atas f’’( ) f’’(x) < 0
cekung ke bawah
19
Contoh 2 Diketahui f(x) = x3 – 12x. Maka, f ’(x) = 3x2 – 12 dan f ’’(x) = 6x. Periksa tanda f ’’(x): – – –
+++ + + + 0
Menurut Teorema Kecekungan, grafik Kecekungan grafik fungsi f cekung ke atas pada (0,∞) dan cekung ke bawah pada ((‐∞,0). ,0). Catatan. Titik x = 0 merupakan titik infleksi (titik (t t be belok) grafik o ) g a fungsi u gs ff. Di titik t t ini, grafik ,g a fungsi f mengalami perubahan kecekungan. 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
20
Grafik fungsi f(x) = x f(x) = x3 – 12x. 12x 20 16 12 8 4 0 -4
-3
-2
-1 -4 0
1
2
3
4
-8 -12 12 -16 -20
10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
21
Latihan 1. Tentukan pada selang mana grafik fungsi f(x) = x3 – 2x 2 2 + x + 1 1 naik ik atau t turun. Tentukan t T t k pula l pada selang mana ia cekung ke atas atau cekung ke bawah, serta bawah serta titik belok‐nya, bila belok nya bila ada. ada 2. Air dituangkan ke dalam tangki berbentuk kerucut terbalik dengan laju 8 dm 8 dm3/menit. /menit Jika tinggi tangki tersebut adalah 24 dm dan jari‐jari permukaan atasnya 12 dm, nyatakan 12 dm nyatakan tinggi air (h) sebagai fungsi dari waktu (t). Selidiki kemonotonan dan kecekungan grafik fungsi h(t). 10/02/2013
(c) Hendra Gunawan
22
