MA1101 MATEMATIKA 1A MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 Semester I, 2013/2014 13 September 2013
Latihan (Kuliah yang Lalu) yang Lalu) sin t 1, 1 Menggunakan fakta bahwa lim 1. t 0 t hitunglah:
sin( x 2 2 x) a. lim sin t. cot 2t b. lim x 0 t 0 2x2 x 1 cos t 0. bahas 2. Buktikan bahwa lim t 0 t sekarang!
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 1.5 Limit di 1 5 Limit di Tak Hingga dan Limit Tak Limit Tak Hingga Menghitung limit di tak hingga dan limit tak hingga. hingga 1.6 Kekontinuan Memeriksa kekontinuan fungsi dan menggunakan Teorema Nilai Antara untuk memecahkan masalah yang relevan.
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
3
MA1101 MATEMATIKA 1A
1.5 LIMIT DI TAK HINGGA & LIMIT 1.5 LIMIT DI TAK HINGGA & LIMIT TAK HINGGA 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
4
Apa yang Terjadi yang Terjadi Bila x → x → ∞ atau atau –∞?? x/(x^2+1) 0.6
0.4
0.2
0 ‐10
‐8
‐6
‐4
‐2
0
2
4
6
8
10
‐0.2
‐0.4
‐0.6
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
5
Limit di Tak Hingga Limit di Misalkan f terdefinisi pada [c,∞). Kita tuliskan
lim f ( x) L x
apabila untuk setiap ε > 0 terdapat M є R gg j x > M, maka , ||f(x) – ( ) L| < ε. | sehingga: jika [Secara intuitif, “limit f di tak hingga” sama dgn L jika untuk x cukup x cukup besar, nilai besar nilai f(x) dekat f(x) dekat ke L.]
1 Contoh 1. [jika 1 lim 0. [jika x > ??, maka x > ?? maka |1/x|<ε.] |1/x|<ε ] x x 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
6
Contoh 2 x 0. Buktikan bahwa lim 2 x x 1 Bukti. Diberikan k i ib ik ε > 0 sembarang, pilih 0 b ilih M > 1/ε. / Kita periksa: jika x > M, maka
1 1 x . 2 x 1 x M x 0. Ini membuktikan bahwa lim 2 x x 1 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
7
Limit di Minus Tak Limit di Minus Tak Hingga Misalkan f terdefinisi pada (‐∞,d]. Kita tuliskan
lim f ( x) L
x
apabila untuk setiap ε > 0 terdapat N є R gg j x < N, maka , ||f(x) – ( ) L| < ε. | sehingga: jika [Secara intuitif, “limit f di minus tak hingga” sama dgn L jika L jika utk x minus besar, nilai x minus besar nilai f(x) dekat f(x) dekat ke L.]
1 Contoh 3. [jika 3 lim 0. [jika x < ??, maka x < ?? maka |1/x|<ε.] |1/x|<ε ] x x 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
8
Contoh 4 x 0. Buktikan bahwa lim 2 x x 1 Bukti. (dikerjakan k i (dik j k di papan tulis) li )
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
9
Limit Tak Hingga Limit Tak Tinjau fungsi f(x) = 1/x, dengan f(x) = 1/x dengan x ≠ 0. x≠0 Apa yang terjadi di dekat x = 0? Berapakah k h nilai il i limit f di li i f di 0, bila 0 bil ada? d ? Misalkan f terdefinisi f terdefinisi di sekitar x = c. Kita tuliskan x = c Kita tuliskan
lim f ( x)
x c c
apabila untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < x – 0 < x – c < δ, maka c < δ maka f(x) > M. f(x) > M 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
10
Limit Tak Hingga Limit Tak Misalkan f terdefinisi f terdefinisi di sekitar x = c. Kita tuliskan x = c Kita tuliskan
lim f ( x)
x c c
apabila untuk setiap M > 0 terdapat δ > 0 sehingga: jika 0 < c 0 < c – x < δ, maka x < δ maka f(x) > M. f(x) > M
li f ( x) lim li f ( x) lim Catatan: dan x c x c didefinisikan secara analog. [Rumuskan sendiri d f definisinya, atau l h buku.] lihat b k ] 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh 1 1 lim [jika 0 < x < ??, maka 1. [jika 0 < x < ?? maka 1/x > M.] 1/x > M ] x 0 x 1 2. [jika 0 < ‐x < ??, maka 1/x < N.] lim x 0 x
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
12
Latihan 1. Hitunglah: g x2 1 a. lim 2 x x 1
x4 1 b. lim x x 2 1
c. lim( x 1 x ) x
x x 2. Hitunglah lim dan lim . 2 2 x2 4 x x2 4 x
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
13
MA1101 MATEMATIKA 1A
1.6 KEKONTINUAN 1.6 KEKONTINUAN
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
14
Fungsi Kontinu di Suatu Titik Misalkan f terdefinisi f terdefinisi di sekitar c, termasuk di c. Fungsi f dikatakan f dikatakan kontinu di c apabila
lim f ( x) f (c), ) x c
yakni untuk setiap ε > 0 terdapat d δ > 0 sehingga: h jika |x – c|< δ, maka |f(x) – f(c)|< ε. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
f(c)
c
Fungsi f dikatakan f dikatakan kontinu pada (a,b) p f kontinu di apabila setiap titik c є (a,b). 15
Keluarga Fungsi Kontinu 1. Fungsi g p polinom kontinu di setiap p titik p pada R. Demikian pula fungsi rasional kontinu di p titik p pada daerah asalnya. [Ingat y [ g setiap Teorema Substitusi.] 2 Fungsi nilai mutlak f(x) = |x| 2. f(x) = |x| kontinu pada R. R 3. Fungsi akar f(x) = √x kontinu pada (0,∞). Fungsi ini kontinu kanan di c = 0. c 0 4. Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x kontinu pada d R. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
16
Teorema Jika f dan f dan g kontinu g kontinu di c dan c dan k konstanta, maka k konstanta, maka kf, f + g, f – g, fg, f/g, f n, dan n f kontinu di c. Jika lim g ( x) L dan f kontinu di L, maka x c
lim f ( g ( x)) f ( L). x c
Jika g kontinu di c dan f kontinu di g(c), maka f ◦ g kontinu f g kontinu di c. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
17
Contoh 1 f(x) 1. f(x) = x sin x = x sin x kontinu di setiap titik karena merupakan hasilkali dua buah fungsi yang kontinu di setiap titik (pada R). R) 2. F(x) = |x2 – 1| kontinu di setiap titik (pada R) karena h(x) = x h(x) = x2 – 1 kontinu 1 kontinu di setiap titik, titik g(x) = |x| juga kontinu di setiap titik, dan F(x) = g(h(x)) = (g ◦ h)(x). F(x) = g(h(x)) = (g ◦ h)(x)
9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
18
Fungsi Kontinu pada Selang Tutup Fungsi f dikatakan kontinu pada [a,b] apabila [a b] apabila f kontinu pada (a,b), kontinu kanan di a, dan kontinu kiri di b. b Contoh: f(x) = x C h f( ) 3 – x2 + 1 1 kontinu k i pada d [‐1,2]. [ 1 2] Grafik fungsi f yang kontinu pada selang tutup [[a,b] , ] tidak terputus p dari titik ((a,f(a)) ke , ( )) ((b,f(b)). , ( )) 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
19
Teorema Nilai Antara Jika ff kontinu p pada [[a,b], f(a) < 0 dan , ], f( ) f(b) > 0 f( ) (atau sebaliknya, f(a) > 0 dan f(b) < 0), maka terdapat c є c є (a,b) sehingga (a,b) sehingga f(c) f(c) = 0. 0. Contoh: f(x) = x ( ) 3 – x2 + 1 kontinu p pada [[‐1,2], , ], f(‐1) = ‐1 dan f(2) = 5. Menurut Teorema Nilai Antara terdapat c є (‐1,2) sehingga Antara, terdapat ( 1 2) sehingga f(c) = c3 – c2 + 1 = 0 (yakni, f mempunyai akar pada [‐1,2]). 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
20
Ilustrasi TNA y
a
9/13/2013
c
b
(c) Hendra Gunawan
x
21
Latihan 1. Tentukan nilai L agar f kontinu di 1.
x 1 , x 1 = L,
f(x) =
3
x 1 x 1
2. Tentukan a dan b agar f g f kontinu di setiap p titik. f ( x) 1, x 1
ax b,1 x 1 2,
x 1.
3 Buktikan bahwa p(x) = x 3. p(x) = x5 – x x – 1 mempunyai 1 mempunyai akar positif. 9/13/2013
(c) Hendra Gunawan
22