MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan
5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan antara satu dan lainnya.
(c) Hendra Gunawan (2015)
2
Operator Diferensial Diberikan sebuah fungsi f dan bilangan h ≠ 0, kita definisikan diferensial Δhf(x) := f(x + h) – f(x). Δh dapat dipandang sebagai operator yang menerima f sebagai input dan menghasilkan fungsi f(x + h) – f(x) sebagai output. Kita juga dapat memandang turunan sebagai operator yg menghasilkan f’ sebagai output. (c) Hendra Gunawan (2015)
3
Hubungan antara Turunan dan Diferensial Δ h f ( x) f '( x) = lim h →0 h Hubungan inilah yang membuat aturan untuk turunan mirip dengan aturan untuk diferensial.
(c) Hendra Gunawan (2015)
4
Aturan untuk Diferensial Δ h ( f ± g )( x)= Δ h f ( x) ± Δ h g ( x) Δ h ( f ⋅ g )( x) =f ( x + h)Δ h g ( x) + g ( x)Δ h f ( x)
Δh ( f = ⋅ g )( x) f ( x)Δ h g ( x) + g ( x + h)Δ h f ( x) f g ( xΔ) h (f )x − (f )Δ x h g( )x Δ h ( x) = g ( x + h) g ( x ) g
(c) Hendra Gunawan (2015)
5
Aturan untuk Turunan Jika f dan g terdiferensialkan di x0, maka f ± g dan f∙g juga terdiferensialkan di x0, dengan (f ± g)’(x0) = f’(x0) ± g’(x0) dan (f∙g)’(x0) = f(x0)g’(x0) + f’(x0)g(x0). Sebagai tambahan, jika g(x0) ≠ 0, maka f/g juga terdiferensialkan di x0, dengan f g ( x0 ) f '( x0 ) − f ( x0 ) g '( x0 ) . '( x0 ) = 2 [ g ( x0 )] g (c) Hendra Gunawan (2015)
6
Komposisi dan Diferensialnya Diberikan dua fungsi f dan g, komposisi antara f dan g didefinisikan sebagai (g ◦ f)(x) := g(f(x)), untuk x di domain f dengan f(x) di domain g. Perhatikan bahwa Δh(g ◦ f)(x) = g(f(x + h)) – g(f(x)) = g(f(x) + f(x+h) – f(x)) – g(f(x)) = g(f(x) + Δhf(x)) – g(f(x)) = Δ Δh f ( x ) g ( f ( x)).
(c) Hendra Gunawan (2015)
7
Apa yang Terjadi bila Kita Bagi dengan h dan h 0 Misalkan u = Δhf(x). Maka Δ h ( g f )( x) (Δ u g )( f ( x)) = h h Δ u g ( f ( x)) u = . u h Δ u g ( f ( x)) Δ h f ( x) = . u h
Limitnya ada untuk h 0 apabila u = Δhf(x) ≠ 0 untuk h ≠ 0, dan limit kedua suku pada baris terakhir ada untuk h 0. (c) Hendra Gunawan (2015)
8
Aturan Rantai (Turunan Komposisi) Jika f terdefinisi pada suatu lingkungan dari x0 dan terdiferensialkan di x0, dan g terdefinisi pada suatu lingkungan dari f(x0) dan terdiferensialkan di f(x0), maka g ◦ f terdiferensialkan di x0, dengan (g ◦ f)’(x0) = g’(f(x0))∙f’(x0). Catatan. Kekontinuan f di x0 dan kekontinuan g di f(x0) mengakibatkan kekontinuan g ◦ f di x0. Bukti Aturan Rantai tidak dapat diperoleh langsung dari diferensial komposisi. [Jika h 0, maka u 0; tetapi dapat terjadi u = 0 untuk h ≠ 0.] (c) Hendra Gunawan (2015)
9
Ide pembuktian. Aturan Rantai dibuktikan dgn menunjukkan bahwa g(f(x0)) + g’(f(x0))∙f’(x0)(x – x0) merupakan hampiran linear dari (g ◦ f)(x) yg menuju (g ◦ f)(x0) lebih cepat drpd x menuju x0. Untuk itu kita tinjau g(f(x)) – g(f(x0)) – g’(f(x0))∙f’(x0)(x – x0) = [g(f(x)) – g(f(x0)) – g’(f(x0))∙(f(x) – f(x0))] + [g’(f(x0))∙{f(x) – f(x0) – f’(x0)(x – x0)}]; Lalu coba buktikan bahwa bentuk ini dapat dibuat lebih kecil daripada |x – x0|/m, untuk x cukup dekat ke x0. (c) Hendra Gunawan (2015)
10
Fungsi Invers dan Turunannya Misal f fungsi satu-ke-satu dari A ke B dan f(A) = B (yakni, f pada). Maka, invers dari f, yakni f-1, didefinisikan pada B sebagai f-1(y) = x jika dan hanya jika f(x) = y. Catat bahwa f-1 ◦ f = IA (fungsi identitas pada A) dan f ◦ f-1 = IB (fungsi identitas pada B). Dgn Aturan Rantai, kita peroleh (dari f-1 ◦ f = IA) (f-1)’(f(x))∙(f’(x)) = 1, sehingga (f-1)’(y) = 1/f’(x), dgn y = f(x). Ini berlaku bila f-1 terdiferensialkan di f(x), dan f’(x) ≠ 0. (c) Hendra Gunawan (2015)
11
Teorema Fungsi Invers (Global) Misalkan f terdiferensialkan secara kontinu pada interval buka I := (a,b) dgn f’(x) > 0 atau f’(x) < 0 pada I. Misalkan f(I) = (c,d) =: J. Maka f-1 terdefinisi dari J ke I, terdiferensialkan secara kontinu, dan (f-1)’(y) = 1/f’(x) bila y = f(x).
(c) Hendra Gunawan (2015)
12
Ide pembuktian. Misal x0 ϵ I dan y0 = f(x0). Dari keterdiferensialan f di x0, kita mempunyai y − y0 lim = f ' ( x0 ), x → x0 x − x 0 ada dan tidak sama dengan 0. Dari sini kita x − x0 1 dapatkan lim = . x → x0 y − y f ' ( x0 ) 0 Namun yang ingin kita buktikan adalah x − x0 1 lim = . y → y0 y − y f ' ( x0 ) 0 Untuk itu kita harus membuktikan jika y cukup dekat ke y0, maka x akan cukup dekat ke x0. (c) Hendra Gunawan (2015)
13
Teorema Fungsi Invers (Lokal) Misalkan f terdiferensialkan secara kontinu pada suatu lingkungan di sekitar x0 dgn f’(x0) ≠ 0. Maka, terdapat suatu lingkungan I = (a,b) dari x0 sedemikian sehingga pembatasan f pada I mempunyai invers f-1 yang terdiferensialkan secara kontinu pada J = f(I).
(c) Hendra Gunawan (2015)
14
Latihan 1. Buktikan jika f kontinu dan merupakan fungsi satu-ke-satu pada (a,b), maka atau f naik murni atau f turun murni pada (a,b). 2. Buktikan jika f terdiferensialkan pada (a,b) dan f’(x) ≠ 0 untuk setiap x ϵ (a,b), maka atau f’(x) > 0 atau f’(x) < 0 untuk setiap x ϵ (a,b). 3. Buktikan bahwa polinom berderajat genap (bukan nol) mempunyai nilai maksimum global atau nilai minimum global, tetapi tidak mungkin dua-duanya. (c) Hendra Gunawan (2015)
15
