MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 5 Februari 2014
Bab Sebelumnya 7. Teknik 7 Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan 2 i l Parsial i l 7.3 Integral Trigonometrik 7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan 7.5 Integral Fungsi Rasional 7.5 Integral Fungsi 7.6 Strategi Pengintegralan 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
2
MA1201 MATEMATIKA 2A
BAB 8. BENTUK BAB 8. BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
3
Sasaran Kuliah Hari Ini 8.1 Bentuk 8 1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan ll’Hopital Hopital 8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ ‐ ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
4
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0 8.1 BENTUK Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan ll’Hopital Hopital 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Kita masih ingat bagaimana kita berhadapan dengan limit‐limit berikut:
i x x 1 f ( x ) f (c ) sin lim , lim , lim . x 0 x 1 x 1 x c x xc 3
Ketiga limit ini mempunyai kemiripan, yaitu bahwa pembilang dan penyebutnya sama‐sama menuju 0. Ketiga limit tsb merupakan limit bentuk tak tentu tipe 0/0. / 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Catatan • Ketika kita membahas sistem bilangan real, real 0/0 tidak didefinisikan. • Yang sedang Yang sedang kita bahas adalah limit limit “bentuk bentuk tak tentu 0/0”, bukan 0/0. • Limit tsb Li i b disebut di b “bentuk “b k takk tentu”, karena ”k nilainya memang tak tentu (bisa ada, bisa tidak; dan id k d kalaupun k l ada, bisa d bi berbeda b b d antara satu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya). 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Aturan LL’Hôpital Hôpital Misalkan lim f ( x) lim g ( x) 0 . Jika Jika x c
x c
f ' ( x) lim li ada d (terhingga ( hi atau takk terhingga), hi ) xc g ' ( x ) f ( x) f ' ( x) lim lim . maka x c g ( x ) x c g ' ( x ) Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c‐, ∞ atau ‐∞. ∞ 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Contoh/Latihan x 1 1. Hitung lim . x 1 x 1 Jawab: Bentuk limit di limit di atas merupakan bentuk 0/0. 0/0 Dengan Aturan L’Hopital: 3
x 1 3x 3.1 lim lim 3. x 1 x 1 x 1 1 1 3
( L)
2
2
Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakan At Aturan L’H it l L’Hopital. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
9
x sin x x sin x 2. Hitungg ((a) , (b) ) lim , ( ) lim . 2 3 x0 x0 x x Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
10
x sin 2 x . 3. Hitungg lim x0 tan x Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
11
x
e e 4. Hitungg lim . x0 2 sin x Jawab: x
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
12
2
ln x 5. Hitungg lim 2 . x 1 x 1 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk limit berikut: limit berikut: 2 x sin( 1x ) lim . x0 tan x • Apakah limit ini merupakan bentuk 0/0? • Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan? • Hitunglah nilai limit tsb limit tsb (terserah dengan cara apa). 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
14
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYA 8.2 BENTUK Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0 ∞ ∞ ‐ ∞, 0 0.∞, ∞ ‐ ∞ 00, ∞ ∞0, dan dan 1∞ 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Bentuk Tak Tentu Tipe ∞/∞ / Selain bentuk tipe 0/0, limit berbentuk 0/0 limit berbentuk seperti x2 lim x x e juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baik pembilang maupun penyebut sama‐sama menuju tak hingga. Bentuk seperti merupakan bentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagai bentuk tak tentu tipe ∞/∞. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
16
Aturan LL’Hôpital Hôpital utk Bentuk ∞/∞ / Misalkan lim f ( x) lim g ( x) . Jika . Jika x c
x c
f ' ( x) ada (terhingga atau tak terhingga), terhingga) lim li xc g ' ( x ) f ( x) f ' ( x) maka k lim lim . x c g ( x ) x c g ' ( x ) Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c‐, ∞ atau ‐∞. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Contoh/Latihan x
e 1. Hitung lim . x 2x 2 Jawab: Bentuk limit di limit di atas merupakan bentuk ∞/∞. ∞/∞ Dengan Aturan L’Hopital: x ( L)
x
e e lim lim . x 2 x x 2 Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kita menggunakan k Aturan At L’H it l L’Hopital. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
18
x2 2. Hitungg lim x . x e Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Bentuk 0. 0.∞ 3. Hitung lim x ln x. x 0
Jawab: Di sini x 0+ dan ln x ‐∞ bila x 0+. Untuk menghitung limit ini, kita limit ini kita tuliskan
ln x lim x ln x lim . x 0 x 0 1 / x Perhatikan bahwa bentuk di ruas kanan merupakan bentuk ∞/∞. Karena itu ln x ( L ) 1/ x lim x ln x lim lim lim ( x) 0. 2 x 0 x 0 1 / x x 0 1 / x x 0 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
20
4. Hitungg lim sin x. ln x. x 0 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Bentuk ∞ – ∞ 1 1 5. Hitungg lim . x 0 x sin x Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di atas k bentuk ke b t k 0/0 atau 0/0 t ∞/∞. /
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
22
6. Hitungg lim ((sin x) x . [[Wow, bentuk , apakah p ini?]] x 0 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
23
7. Hitungg lim(1 1x ) x . [[Eh, bentuk , apa p lagi g ini?]] x Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
24
8. Hitungg lim ((tan x) cos x . [[Bentuk apa p p pula ini?]] x 2 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
25
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk limit berikut: limit berikut: (a) lim (sin x) cos x . x 2
x (b) lim . x 0 ln l x
• Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu? • Hitunglah nilai masing‐masing limit tersebut (terserah dengan cara apa). apa) 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
26
