MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 12 Februari 2014
Bab Sebelumnya 8. Bentuk 8 Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Integral Tak Wajar 8.1 Bentuk Tak Tentu 0/0 82 8.2 Bentuk k Takk Tentu Lainnya i 8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga 8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
2
MA1201 MATEMATIKA 2A
BAB 9. DERET TAK TERHINGGA BAB 9. DERET TAK TERHINGGA
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
3
Sasaran Kuliah Hari Ini 9.1 Barisan 9 1 Barisan Tak Terhingga Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin, menghitung mungkin menghitung limitnya 9.2 Deret Tak Terhingga Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
4
MA1201 MATEMATIKA 2A
9.1 BARISAN TAK TERHINGGA 9.1 BARISAN Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan bila mungkin, menghitung dan, bila mungkin menghitung limitnya 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Mengapa Barisan Tak Terhingga Masih ingatkah dgn Metode Bagi Dua untuk mendapatkan hampiran akar dari suatu per‐ samaan f(x) = 0 pada suatu selang? Pada setiap langkah, kita membagi dua selang dan menaksir akar persamaan itu dengan titik tengah selang tersebut. Dengan metode ini, kita ini kita dapatkan barisan titik‐ titik tengah selang x1, x2, x3, … yang merupakan hampiran akar persamaan. persamaan 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Apa itu Barisan Tak Terhingga Barisan tak terhingga, atau singkatnya barisan, dari bilangan real, adalah suatu fungsi dengan daerah asal N dan daerah nilai R, yang biasanya disajikan sebagai {an} atau a1, a , a2, a , a3, … ,… dengan an R untuk setiap n N. Contoh 1: Barisan {2n – 1} adalah barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, … 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Contoh Lagi 2. Barisan 2 Barisan {( {(‐1) 1)n} adalah } adalah barisan bilangan ‐1 1, 1, 1 ‐1, 1, ‐1, 1, … Catatan: Bedakan antara barisan {(‐1) Catatan: Bedakan {( 1)n} dan } dan himpunan {(‐1)n : n N} = {‐1, 1}. 3 B i 3. Barisan { n} yang didefinisikan {a } did fi i ik dengan d rumus rekursif: a1 = 1 dan an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, … g 1, 1.5, 1.75, … , , , adalah barisan bilangan 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
8
“Grafik” Grafik Barisan Barisan (1) Barisan dapat kita plot pada plot pada bidang koordinat x5 x4 x3 x2 x1 1
2/12/2014
2
3
(c) Hendra Gunawan
4
5
9
“Grafik” Grafik Barisan Barisan (2) Barisan dapat kita plot pada plot pada garis bilangan real x1
x2 x3 x4 x5
1/4 1/3
1/2
Contoh: {1/n} 0
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
1
10
Kekonvergenan Barisan Diberikan suatu barisan {an}, apa } apa yang terjadi yang terjadi bila n ∞? Definisi: Barisan {an} dikatakan Definisi: Barisan } dikatakan konvergen ke suatu bilangan L, ditulis
lim an L, n
apabila untuk tiap ε > 0 terdapat N N sehingga
n N an L . 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Catatan. Tidak semua barisan konvergen. g Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Contoh: 1. Barisan {1/n} konvergen { / }k k 0, yakni ke k
lim 1n 0 n
Untuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/ε gg jjika n ≥ N, maka , sehingga 1 n
2/12/2014
0 1n
1 N
(c) Hendra Gunawan
. 12
2. Barisan {( {(‐1))n}} merupakan p barisan yyang g divergen, yakni: untuk tiap L R,
lim(1) L. n
n
Sebagai g contoh, untuk , L = 1, ada , ε = 1 sehingga berapapun N N yang kita pilih, selalu ada bilangan g gganjil j n ≥ N sehingga gg
(1) 1 2 . n
I i menunjukkan Ini j kk bahwa b h
lim(1) 1. n
n
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
13
9.1b Beberapa Teorema Bantuan untuk Memeriksa Kekonvergenan B i Barisan d Menghitung dan M hit Li it Limitnya
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Teorema Limit Barisan Limit Barisan Misalkan {an} dan {bn} barisan yang konvergen, dan k konstanta. Maka 1 lim k k 1. n
2. lim kan k lim an n
n
3. lim(an bn ) lim an lim bn n
n
n
4. lim anbn lim an lim bn n
li 5. lim n
2/12/2014
an bn
n lim an
n
lim bn
n
n
, asalkan lk lim li bn 0. n
(c) Hendra Gunawan
15
Teorema Limit Barisan Limit Barisan Jika lim f ( x) L, maka lim f (n) L. x
n
L
1
2/12/2014
2
3
4
(c) Hendra Gunawan
5
6
16
Contoh: 1. lim 2 nn3 lim 213 / n n
n
4n2 2 3 n n 3 n 1
...
2. lim
lim 1
n
lim 2 3 lim 1 / n
n
n
1 2 30
12 .
3. lim enn ... n
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Teorema Apit untuk Barisan Jika an ≤ bn ≤ cn untuk n ≥ K (K N tertentu) dan
lim an lim cn L, maka lim bn L. n
2/12/2014
n
n
(c) Hendra Gunawan
18
Contoh: 1. lim sinn n 0, karena 1n n
sin n n
1 n
dan lim 1n 0. n
2. Jika lim an 0, maka lim an 0, karena n
an an an
2/12/2014
n
n N. N
(c) Hendra Gunawan
19
Barisan Monoton Barisan {an} dikatakan } dikatakan naik apabila an ≤ a ≤ an+1 1 untuk setiap n N. Barisan {an} dikatakan } dikatakan turun apabila an ≥ a ≥ an+1 untuk setiap n N. B i Barisan naik ik atau turun disebut di b barisan b i monoton. Contoh: {1/n} turun, sedangkan { / } , g {{2n}} naik. 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Teorema Barisan Monoton Jika barisan {an} naik } naik dan terbatas di atas, yakni atas yakni terdapat M R sehingga an ≤ M untuk tiap n N, maka {an} konvergen. } konvergen Jika barisan Jik b i { n} turun {a } d terbatas dan b di bawah, b h yakni terdapat m R sehingga apabila m ≤ an untukk tiap i n N, maka N k {a { n} konvergen. }k
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh/Latihan Barisan {an} yang didefinisikan dengan rumus rekursif: a1 = 1 dan an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, … adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … . Buktikan bahwa barisan ini naik dan terbatas di atas. Jelas bahwa a2 = 1.5 > 1 = a1. Selanjutnya misalkan ak+1 ≥ ak. Maka, ak+2 = 0.5(ak+1 + 2) ≥ 0.5(ak + 2) = ak+1. Jadi, berdasarkan Prinsip Induksi Matematika*, an+1 ≥ an untuk tiap n N, yakni {an} naik. 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa {an} ter‐ batas di atas, persisnya bahwa an ≤ 2 untuk tiap n N, juga dengan Prinsip Induksi Matematika. Jelas bahwa a1 ≤ 2. Selanjutnya misalkan ak ≤ 2. Maka ak+1 = 0.5(a Maka, a = 0 5(ak + 2) ≤ 0.5(2 + 2) = 2. Jadi, + 2) ≤ 0 5(2 + 2) = 2 Jadi berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, kita simpulkan bahwa an ≤ 2 untuk ≤ 2 untuk tiap n N. N Dengan demikian {an} naik dan terbatas di atas, sehingga menurut Teorema Barisan Monoton, Monoton {an} konvergen. 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
23
*Prinsip Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) adalah P(n) adalah pernyataan atau kalimat matematika yang berkenaan dengan n N. [Sebagai contoh, P(n) adalah contoh P(n) adalah kalimat “n n < 2n < 2n”.]] Jika (i) P(1) benar, dan P(1) b d (ii) P(k) benar mengakibatkan P(k+1) benar, maka P(n) benar untuk setiap n N. P(n) benar N 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Bahan Diskusi Ke manakah barisan {an} tadi } tadi konvergen? Buktikan!
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
25
