MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 28 Maret 2014
Kuliah yang Lalu yang Lalu 12.1 Fungsi . u gs dua (atau lebih) peubah eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan 12.6 Aturan Rantai 12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I 12.7 Bidang Bag I 12.8 Maksimum dan minimum 12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini 12.1 Fungsi . u gs dua (atau lebih) peubah eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12.5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan 12.6 Aturan Rantai 12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag II 12.7 Bidang Bag II 12.8 Maksimum dan minimum 12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.5 TURUNAN BERARAH 12.5 TURUNAN • Menentukan turunan berarah dari suatu f fungsi i di suatu t titik dalam d l arah h tertentu t t t
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Laju Perubahan dalam Arah h Sembarang b Misalkan z = f(x,y). Turunan parsial fx dan fy mengukur laju perubahan nilai f dalam arah sejajar dengan sumbu‐x dan sumbu‐y. Bagaimana bila kita bergerak dalam arah lainnya?
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
z P y x
5
Review: Definisi Turunan Parsial Review: Definisi Misalkan p = (x,y), i ( ,y), = (1,0), dan ( , ), j = (0,1). Maka ( , ) kedua turunan parsial dari z = f(x,y) di p dapat g didefinisikan ulangg sebagai
f ( p hi ) f ( p ) f x ( p ) lim . h 0 h f ( p hj ) f ( p ) f y ( p ) lim . h 0 h
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Definisi Turunan Berarah Dengan g menggantikan gg i atau j dengan g vektor satuan u = (u1,u2) sembarang, maka kita dapat f( ,y) mendefinisikan turunan berarah dari z = f(x,y) di p = (x,y) sebagai f ( p hu ) f ( p ) Du f ( p ) lim . h 0 h ) Jadi, dan d Di f ( p ) f x ( p ) d D j f ( p ) f y ( p ).
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Hubungan dengan Gradien Jika f mempunyai p y turunan ((atau linear secara lokal) di p, maka f mempunyai turunan berarah ( 1,,u2) sembarang, g, di p dalam arah vektor u = (u dan
Du f ( p ) u f ( p ) u1 f x ( p ) u 2 f y ( p ). )
Fakta ini dapat dibuktikan sebagai berikut: 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Bukti Karena f mempunyai turunan di p, maka p maka
f ( p hu ) f ( p ) f ( p ) (hu ) (hu ) (hu ), dengan lim (hu ) 0 . Bagi kedua ruas dgn h, h 0
f ( p hu ) f ( p ) f ( p ) u ( hu ) u . h Hitung limitnya untuk h 0, kita peroleh
Du f ( p ) f ( p ) u . 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Contoh Turunan parsial dari f ( x, y ) x y di (1,2) (1 2) adalah 2
Di f (1,2) 2 x (1, 2 ) 2;
2
D j f (1,2) 2 y (1, 2 ) 4.
Turunan berarah dari f di (1,2) (1 2) dalam arah vektor u = (0.6,0.8) adalah
Du f (1,2) (2,4) (0.6,0.8) 1.2 3.2 4.4. yang ternyata lebih l b h besar b d daripada d Dj f(1,2). f( ) 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Laju Perubahan Maksimum Misal θ adalah sudut antara u dan f ( p ) . Maka Maka
Du f ( p ) u f ( p ) u f ( p ) cos . Jadi Du f(p) akan bernilai maksimum bila θ = 0 dan minimum bila θ = π.
0 Du f ( p ) f ( p ) . Du f ( p ) f ( p ) . 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh Tentukan dalam arah vektor manakah turunan 2 2 berarah dari f ( x, y ) x y di (1,2) mencapai (a) nilai maksimum; maksimum; (b) nilai minimum. Tentukan laju perubahan maksimum dan minimumnya.
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Kurva Ketinggian dan Gradien Pada kurva ketinggian, nilai ketinggian, nilai f konstan. konstan. Jadi, jika kita bergerak dalam arah vektor singgung u pada kurva tsb, maka laju perubahan ketinggiannya akan sama dengan nol:
f ( p ) u
Du f ( p ) u f ( p ) 0. Jadi vektor gradien f di p tegak lurus pada kurva ketinggian f yang melalui p. 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Contoh Misal f ( x, y ) x y . Maka Maka turunan berarah 1 dari f di (1,2) dalam arah vektor u = ( 2,1) 5 sama dengan nol: 1 Du f ( p ) (2,1) (2,4) 0. 5 2
2
Ini terjadi karena vektor u merupakan vektor singgung pada kurva ketinggian f di (1,2).
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Soal 1 Diketahui f(x,y) = 1 untuk f(x y) = 1 untuk (x,y) dengan (x y) dengan 0 < y < x 0 < y < x2, dan f(x,y) = 0 untuk (x,y) lainnya. Buktikan bahwa f mempunyai turunan berarah di (0,0) (0 0) dalam arah sembarang, tetapi f tidak mem‐ punyai turunan (bahkan tidak kontinu) di kontinu) di (0,0). (0 0)
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Soal 2 Diketahui f ( x, y ) x y . Gambarlah peta kontur dan medan gradiennya (yang menggambarkan vektor‐vektor (yang menggambarkan vektor vektor gradien f di sejumlah titik) pd sistem koordinat yg sama. 2
3/28/2014
2
(c) Hendra Gunawan
16
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.6 ATURAN RANTAI 12.6 ATURAN • Menggunakan Aturan Rantai untuk me‐ nentukan t k turunan t f fungsi i komposisi k i i antara t fungsi dua peubah dengan fungsi vektor • Menentukan M t k turunan t d i fungsi dari f i satu t peubah yang diberikan secara implisit 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Aturan Rantai, Versi Rantai, Versi Pertama Jika x = x(t) ( ) dan yy = y(t) y( ) mempunyai p y turunan di t dan z = f(x,y) mempunyai turunan di (x(t),y(t)), f( ( ),y( )) mempunyai p y turunan di t maka z = f(x(t),y(t)) dengan dz z dx z dy . dt x dt y dt
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Contoh Misalkan z = x z = x2y3 dengan x = t x = t2 + 1 + 1 dan y = t y = t2 – 1. 1 Maka
dz z d d dx z ddy 3 2 2 2 xy (2t ) 3 x y (2t ) dt dx dt dyy dt 4t (t 1)(t 1) 6t (t 1) (t 1) 2
2
3
2
4t (t 1) (t 1) 6t (t 1) 2
2
4
4
2
2
2
2
2t (t 1)(5t 4t 1). ) 4
3/28/2014
4
2
(c) Hendra Gunawan
19
Soal Diketahui volume tabung volume tabung V = πr V = πr2h. Misalkan h Misalkan pada saat r = 10 cm dan h = 20 cm, tabung tsb mengembang dengan jari jari‐jarinya jarinya bertambah 1 1 cm per jam dan tingginya bertambah 0.5 cm per jam Berapakah laju pertambahan volumenya? jam. Berapakah
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Aturan Rantai, Versi Rantai, Versi Kedua Jika x = x(s,t) ( , ) dan yy = y(s,t) y( , ) mempunyai p y turunan parsial di (s,t) dan z = f(x,y) mempunyai turunan ( , ),y( , )), z = f(x(s,t),y(s,t)) f( ( , ),y( , )) mem‐ di ((x(s,t),y(s,t)), maka punyai turunan di (s,t) dengan z z x z y . s x s y s
z z x z y . t x t y t 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh Misalkan z = x z = x2y dengan x = s + t x = s + t dan y = 1 y = 1 – st . Maka z z x z y 2 xy (1) x 2 (t ) s x s y s
2( s t )(1 st ) t ( s t ) . 2
z z x z y 2 xy (1) x 2 ( s ) t x t y t 2( s t )(1 st ) s ( s t ) . 2
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Turunan Fungsi Implisit (Lagi) Misalkan F(x,y) = 0 ( ,y) mendefinisikan y secara implisit sebagai fungsi dari x. Maka, dengan p x, kita , peroleh: p menurunkan terhadap
F dx F dy 0. x dx y dx Jadi,
3/28/2014
ddy F / x . dx F / y (c) Hendra Gunawan
23
Turunan Fungsi Implisit (Baru) Misalkan F(x,y,z) = 0 ( ,y, ) mendefinisikan z secara implisit sebagai fungsi dari x dan y. Maka, dgn parsial terhadap p x dan y, y, menurunkan secara p kita peroleh: z F / x . F / z x
z F / y . y F / z 3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Contoh/Latihan 1 Diketahui x3 + 2x 1. + 2x2y y – y3 = 0. Tentukan = 0 Tentukan dy/dx. dy/dx 2 Diketahui 2. ik h i z dan .
3 2z + y3 3x
–
xyz3
z = 0. Tentukan 0 k x
y y
3/28/2014
(c) Hendra Gunawan
25
