MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 21 Februari 2014
Kuliah Sebelumnya 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya Memeriksa kekonvergenan deret positif dengan uji perbandingan dan uji rasio 9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlak dan Kekonvergenan Bersyarat Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyarat d t ganti deret ti tanda t d
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 9.6 Deret Pangkat Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat M l k k operasii pada Melakukan d deret d t pangkat k t (yang ( diketahui jumlahnya) untuk mendapatkan d t pangkat deret k t lainnya l i (d jumlahnya) (dan j l h )
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
9.6 DERET PANGKAT 9.6 DERET Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Deret Fungsi Sejauh ini kita baru membahas deret bilangan real. Sekarang kita akan mempelajari deret fungsi yang secara umum berbentuk un (x) . fungsi, yang secara Sebagai contoh, sin nx sin x sin 2 x sin 3x ... n 1 2 3 n 1 Perhatikan jika kita substitusikan nilai x tertentu, misal x = π/2, maka / , kita p peroleh deret bilangan. g 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Deret Pangkat Deret pangkat adalah deret yang berbentuk yang berbentuk
a x n 0
n
n
a0 a1 x a2 x ... 2
dengan an R untuk tiap n N. Pertanyaan yang perlu kita ajukan terkait dengan deret pangkat adalah: 1. Untuk nilai x manakah deret tsb konvergen? 2 Apakah kita dapat menentukan fungsi yang 2. yang merupakan jumlah deret tsb? 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Contoh 1 Jika a ≠ 0, maka ≠ 0 maka deret pangkat
ax
n
a ax ax ... 2
n 0
Merupakan deret geometri dengan suku pertama a dan rasio x. Kita tahu deret ini konvergen ke a BAGAIMANA S ( x) 1 x DENGAN DERET untuk |x|< 1. |x|< 1 PANGKAT LAINNYA? PANGKAT LAINNYA? 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Contoh 2 Tentukan untuk x mana sajakah deret berikut konvergen? n x x 2 x3 x ... 2 3 n 1 n Dengan Uji Rasio Mutlak, kita hitung
x n 1 x n nx lim lim x. n n 1 n n n 1 Jadi deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergen untuk |x| > 1. Untuk |x| > 1 Untuk |x| |x| = 1, Uji 1 Uji Rasio tidak memberikan kesimpulan apapun. So? 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
8
n
x Kita selidiki apa yang terjadi dengan n untuk |x| = 1, yakni untuk x 1 , secara tersendiri.
Jika x = 1, maka deret menjadi deret harmonik 1 yang divergen n yang divergen. Jika x = ‐1, maka deret menjadi deret harmonik n ( 1 ) gganti tanda yyang konvergen. g g n
xn Jadi deret pangkat konvergen pada [‐1,1). [ 1 1) n 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Latihan Tentukan pada selang manakah deret berikut konvergen.
xn 1. n 4 n 1 2 n n x 2. n 1 n!
3.
n! x
n
n 11
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Teorema Selang Kekonvergenan Deret Pangkat k
n a x Himpunan kekonvergenan deret pangkat n
selalu berupa salah satu dari tiga kemungkinan berikut: (i) Himpunan {0}. (ii) Selang (–R,R), mungkin dengan salah satu atau kedua titik ujungnya. (iii) Seluruh garis bilangan real R. Bila (i), (ii) atau (i) (ii) atau (iii) terjadi, deret (iii) terjadi deret dikatakan mem mem‐ punyai jari‐jari kekonvergenan 0, R, atau ∞. 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh selang kekonvergenan
jari‐jari kekonvergenan
xn 1. [–2,2] 2 n 4 n 1 2 n n x 2. R ∞ n 1 n!
n n ! x 3. {0}
0
n 1
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Teorema Deret pangkat an x n konvergen mutlak di setiap titik di dalam selang kekonvergenannya.
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Deret Pangkat dalam x – a Deret pangkat berbentuk n 2 a ( x a ) a a ( x a ) a ( x a ) ... n 0 1 2 di b deret disebut d pangkat k dalam d l x – a. Selang dan jari jari‐jari jari kekonvergenan deret pangkat dalam x – a dapat ditentukan melalui deret pangkat dalam t, t dengan t = x = x – a. a
( x 1) t n 4 n 4 g contoh, konvergen , n 1 2 n g Sebagai 2 n n 1
n
n
utk ‐2 ≤ t ≤ 2, yakni utk ‐1 ≤ x ≤ 3. 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Soal Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat n n ( x 1) (1) 2 n 1 n 1
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
15
MA1201 MATEMATIKA 2A
9.7 OPERASI PADA DERET PANGKAT Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkan deret pangkat lainnya (dan jumlahnya) 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
16
Jumlah Deret Pangkat
Deret pangkat ax yang merupakan yang merupakan deret n 0 geometri dengan suku pertama a dan rasio x mempunyai jumlah a S ( x) , 1 x 1. 1 x Bagaimana g dengan g deret p pangkat g lainnya? y Apakah kita dapat menentukan jumlahnya? n
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Penurunan dan Pengintegralan Suku k demi d Suku k Teorema. Misalkan S(x) adalah ( ) jjumlah suatu deret pangkat pada selang I, yakni
S ( x) an x n a0 a1 x a2 x 2 ... n 0
M k Maka, untuk t k x di di dalam d l selang l I b l k I, berlaku
(i) S ' ( x) nan x (i) n 0
x
n 1
a1 2a2 x 3a3 x ... 2
an n 1 a1 2 a2 3 (ii) S (t )dt x a0 x x x ... 2 3 n 0 n 1 0 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Contoh 1 Kita sudah tahu bahwa 1 x n 1 x x 2 ..., 1 x 1. 1 x n 0 Penurunan suku demi suku menghasilkan 1 n 1 1 nx 0 1 2 x ..., 1 x 1. 2 (1 x) n 0 Pengintegralan suku s k demi suku s k menghasilkan x n 1 x 2 x3 ln(1 x) x ..., 1 x 1. 2 3 n 0 n 1 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Contoh 2 (Substitusi 2 (Substitusi Peubah) Kita sudah tahu bahwa 1 x n 1 x x 2 ..., 1 x 1. 1 x n 0 Ganti x dengan –x, kita peroleh 1 n 2 ( x) 1 x x ..., 1 x 1. 1 x n 0 Ganti lagi x dengan x2, kita kita peroleh 1 2 n 2 4 ( x ) 1 x x ..., 2 1 x n 0 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
1 x 1. 20
Contoh 3 Tentukan deret pangkat untuk tan‐1 x. x
1 Petunjuk: tan x dt. 2 1 t 0 1
2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh 3 Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:
x 2 x3 S ( x) 1 x ... 2! 3! Catatan. Deret ini konvergen pada R. J Jawab: Penurunan b P t h d x menghasilkan terhadap h ilk x 2 x3 S ' ( x) 0 1 x ... S ( x). ) 2! 3! Solusi p persamaan diferensial ini adalah S(x) = ( ) Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex. 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Soal Tentukan deret pangkat untuk 1.
e
x2 x
e 2. 1 x x xe 3. 1 tan x 2/21/2014
(c) Hendra Gunawan
23
