MA1201 MATEMATIKA 2A MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 Semester II, 2013/2014 26 Maret 2014
Kuliah yang Lalu yang Lalu 12.1 Fungsi . u gs dua (atau lebih) peubah eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan 12.6 Aturan Rantai 12 7 Bidang singgung dan aproksimasi 12.7 Bidang 12.8 Maksimum dan minimum 12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini 12.1 Fungsi . u gs dua (atau lebih) peubah eb ) peuba 12.2 Turunan Parsial 12.3 Limit dan Kekontinuan 12.3 Limit dan 12.4 Turunan fungsi dua peubah 12 5 Turunan berarah dan gradien 12.5 Turunan 12.6 Aturan Rantai 12 7 Bidang singgung dan aproksimasi – Bag I 12.7 Bidang Bag I 12.8 Maksimum dan minimum 12 9 Metode pengali Lagrange 12.9 Metode 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.4 TURUNAN FUNGSI DUA PEUBAH 12.4 TURUNAN • Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyaii turunan t di titik tertentu t t t dan d menentukan turunannya
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Turunan Parsial Saja Tidak Cukup Kita sudah Kita sudah mendefinisikan turunan parsial dari suatu fungsi dua peubah; tapi peubah; tapi eksistensi turunan parsial di suatu titik tidak memberi kita informasi tentang nilai fungsi di sekitar titik tsb. tsb
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
z P
?? y x
5
Bagaimana Mendefinisikan Turunan Turunan dari fungsi g satu p peubah y = f(x) di f( ) x = c didefinisikan sebagai f (c h ) f (c ) f ' (c) lim . h 0 h Sayangnya bentuk ini tidak dapat diperumum untuk fungsi dua peubah f (c h ) f (c ) f ' (c ) lim , h 0 h k karena pembagian b d vektor dgn k tidak d k terdefinisi. d f 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Turunan Fungsi Satu Peubah Jika yy = f(x) mempunyai f( ) p y turunan di x = c, yakni ,y f (c h ) f (c ) f ' (c) lim m, h 0 h h maka f linear secara lokal di x ≈ c, yaitu f (c h) f (c) hm h h (h), ) dengan f (c h ) f (c ) m 0. lim (h) lim h 0 h 0 h 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Turunan Fungsi Satu Peubah Sebaliknya, jika y , j f linear secara lokal di x ≈ c, , sebutlah
f (c h) f (c) hm h (h), ) dengan
f (c h ) f (c ) lim (h) lim m 0, h 0 h 0 h maka f mempunyai turunan di x = c, yakni f (c h ) f (c ) f ' (c) lim m. h 0 h 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Turunan Fungsi Dua Peubah Fungsi g dua p peubah f dikatakan mempunyai p y turunan di p = (a,b) jika dan hanya jika f linear p, y secara lokal di sekitar p, yakni
f ( p h ) f ( p ) ( f x ( p ), f y ( p )) h (h ) h , dengan (h ) ( 1 (h ), 2 (h )), h (h1 , h2 ), dan lim (h ) (lim 1 (h ), lim 2 (h )) (0,0). h 0
3/26/2014
h 0
h 0
(c) Hendra Gunawan
9
Turunan Fungsi Dua Peubah Vektor f ( p ) : ( f x ( p ), f y ( p )) disebut turunan atau gradien f di p. Jadi f mempunyai turunan di p jika dan Jadi, f hanya jika
f ( p h ) f ( p ) f ( p ) h ( h ) h , dengan lim (h ) 0 . h 0
Catatan: Operator disebut d l d b operator del. 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Beberapa Catatan 1. Jika turunan fungsi g satu p peubah merupa‐ p kan bilangan f ’(p), maka turunan fungsi peubah merupakan p vektor dua p f ( p ) : ( f x ( p ), f y ( p )) 2 Hasil kali dan 2. kali f ( p ) h dan (h ) h merupakan hasil kali titik. 3. Definisi f turunan fungsi f tiga (atau ( l b h) lebih) peubah dapat dirumuskan secara serupa. 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh Turunan dari fungsi f ( x, y ) x y di (1,2) (1 2) adalah f (1,2) (2 x,2 y ) (1, 2 ) (2,4). Perhatikan bahwa untuk (h,k) ≈ (0,0) fungsi (h k) ≈ (0 0) fungsi f linear secara lokal: 2 2 f (1 h,2 k ) (1 h) (2 k ) 2
2
1 2h h 4 4k k 2
2
5 (2,4) (h, k ) (h, k ) (h, k ). Di sini (h, k ) (h, k ) (0,0). 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Teorema Jika f mempunyai turunan parsial fx dan fy yang yang kontinu pada suatu cakram yang memuat (a,b), maka f mempunyai turunan di (a,b). (a b) Contoh. f(x,y) = x C h f( ) 2 2 + y2 2 mempunyaii turunan parsial fx = 2x dan fy = 2y yang kontinu pada R, k karena i f mempunyaii turunan di setiap itu i titik. i ik
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Sifat Turunan Operator del memenuhi: Operator del memenuhi: 1. [ f ( p ) g ( p )] f ( p ) g ( p ) 2. [ . f ( p )] .f ( p ) 3. [ f ( p ) g ( p )] f ( p )g ( p ) g ( p )f ( p ) 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Teorema Jika f mempunyai f mempunyai turunan di p, maka p maka f kontinu di p. Catatan. Kontraposisi teorema di atas berbunyi: jika f tidak kontinu di p, maka f tidak mempunyai turunan di p.
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Soal Selidiki apakah fungsi di bawah ini mempunyai turunan di titik (0,0).
xy 1. f ( x, y ) 2 , f (0,0) 0. 2 x y 2. f ( x, y ) x y . 2
3/26/2014
2
(c) Hendra Gunawan
16
Soal Buktikan bahwa
f g f f g 3. 3 . 2 g g
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
17
MA1201 MATEMATIKA 2A
12.7 BIDANG SINGGUNG DAN HAMPIRAN – BAGIAN I • Menentukan persamaan bidang singgung pada suatu permukaan di titik tertentu • Menghitung nilai hampiran dari suatu fungsi di sekitar titik tertentu 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Hampiran Linear & Bidang Linear & Bidang Singgung Bila f mempunyai p y turunan di p = (a,b), maka ( , ), kita mempunyai hampiran linear
f ( x, y ) f ( a , b ) f ( a , b ) ( x a , y b ) Dalam hal ini, persamaan z f ( a , b ) f ( a , b ) ( x a , y b )
f (a, b) f x (a, b)( x a ) f y (a, b)( y b) merupakan p persamaan bidangg singgung p gg g p pada permukaan z = f(x,y) di titik (a,b). 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Contoh Persamaan bidang singgung pada permukaan z = = 2 2 f ( x, y ) x y di (1,2) adalah
z f (1,2) f x (1,2)( x 1) f y (1,2)( y 2) 5 2( x 1) 4( y 2) 5 2 x 4 y. Menggunakan k persamaan bidang b singgung ini, kita mempunyai hampiran (1.1)2 + (1.9)2 ≈ 5 + 2(0.1) + 4(‐0.1) = 4.8. 3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Diferensial Misal z = f(x,y) mempunyai f( ,y) p y turunan di p = (a,b). ( , ) Jika dx dan dy adalah diferensial peubah bebas y, x dan y, maka
dz df (a, b) f (a, b) (dx, dy ) di b diferensial disebut dif i l dari d i f di (a,b). Jadi, hampiran ( b) J di h i linear di sekitar (a,b) dapat dituliskan sebagai f ( x, y ) f (a, b) df (a, b)
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh Jika z = , maka = f ( x, y ) x y maka diferensial dari f di (1,2) adalah 2
2
dz f x (1,2)dx f y (1,2)dy 2dx 4dy. Jika dx = 0.1 dan dy = ‐0.1, maka dz = 2(0.1) + 4(‐0.1) = ‐0.2. ( ) ( )
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Soal Diketahui rumus tekanan gas P = k(T/V) gas P = k(T/V) dinyatakan dalam suhu T dan volume V, dengan k menyatakan suatu konstanta. konstanta Jika dalam pengukuran T terdapat kesalahan maksimum 1% dan 1% dan dalam pengukuran V terdapat kesalahan maksimum 2%, taksirlah kesalahan maksimum dalam perhitungan P?
3/26/2014
(c) Hendra Gunawan
23
