MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 27 Januari 2017
Bab Sebelumnya 7. Teknik Pengintegralan 7.1 Aturan Dasar Pengintegralan 7.2 Pengintegralan Parsial 7.3 Integral Trigonometrik 7.4 Teknik Substitusi yang Merasionalkan 7.5 Integral Fungsi Rasional 7.6 Strategi Pengintegralan 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
2
MA1201 MATEMATIKA 2A
BAB 8. BENTUK TAK TENTU DAN INTEGRAL TAK WAJAR 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
3
Sasaran Kuliah Hari Ini 8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l’Hopital 8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya Menghitung limit bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
4
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.1 BENTUK TAK TENTU TIPE 0/0 Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l’Hopital 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Di Semester I, kita pernah membahas limit-limit berikut:
sin x x 1 f ( x ) f (c ) lim , lim , lim . x 0 x 1 x 1 x c x xc 3
Ketiga bentuk limit ini mempunyai kemiripan: baik pembilang maupun penyebutnya samasama menuju 0. Ketiga limit tsb merupakan limit bentuk tak tentu tipe 0/0. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Catatan • Ketika kita membahas sistem bilangan real, 0/0 tidak didefinisikan. • Yang sedang kita bahas adalah limit “bentuk tak tentu 0/0”, bukan 0/0. • Limit tsb disebut “bentuk tak tentu”, karena nilainya memang tak tentu (bisa ada, bisa tidak; dan kalaupun ada, bisa berbeda antara satu bentuk 0/0 dan bentuk 0/0 lainnya). 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Aturan L’Hôpital Misalkan lim f ( x) lim g ( x) 0 . Jika x c
x c
f ' ( x) lim ada (terhingga) atau tak terhingga, x c g ' ( x ) f ( x) f ' ( x) lim lim . maka x c g ( x ) x c g ' ( x ) Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c-, ∞ atau -∞. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Contoh/Latihan x 1 1. Hitung lim . x 1 x 1 Jawab: Bentuk limit di atas merupakan bentuk 0/0. Dengan Aturan L’Hopital: 3
x 1 3x 3 .1 lim lim 3. x 1 x 1 x 1 1 1 3
( L)
2
2
Catatan: (L) berarti bhw kita menggunakan Aturan L’Hopital. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
9
x sin x x sin x 2. Hitung (a) lim , (b) lim . 2 3 x 0 x 0 x x Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
10
x sin 2 x . 3. Hitung lim x 0 tan x Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
11
x
e e 4. Hitung lim . x 0 2 sin x Jawab: x
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
12
ln x 2 5. Hitung lim 2 . x 1 x 1 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk limit berikut: 2 x sin( 1x ) lim . x 0 tan x • Apakah limit ini merupakan bentuk 0/0? • Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan? • Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengan cara apa). 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
14
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.2 BENTUK TAK TENTU LAINNYA Menghitung limit bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞ 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Bentuk Tak Tentu Tipe ∞/∞ Selain bentuk tipe 0/0, limit berbentuk seperti x2 lim x x e juga sering kita hadapi. Dalam bentuk ini, baik pembilang maupun penyebut sama-sama menuju tak hingga. Bentuk limit ini merupakan bentuk tak tentu juga, yang kita sebut sebagai bentuk tak tentu tipe ∞/∞. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
16
Aturan L’Hôpital utk Bentuk ∞/∞ Misalkan lim f ( x) lim g ( x) . Jika x c
x c
f ' ( x) ada (terhingga) atau tak terhingga, lim x c g ' ( x ) f ( x) f ' ( x) maka lim lim . x c g ( x ) x c g ' ( x ) Catatan. Di sini c dapat digantikan dgn c+, c-, ∞ atau -∞. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Contoh/Latihan x
e 1. Hitung lim . x 2 x Jawab: Bentuk limit di atas merupakan bentuk ∞/∞. Dengan Aturan L’Hopital: x ( L)
x
e e lim lim . x 2 x x 2 Catatan: Seperti biasa, (L) berarti bahwa kita menggunakan Aturan L’Hopital. 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
18
x2 2. Hitung lim x . x e Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk limit berikut: x lim . x x2 1 • Apakah limit ini merupakan bentuk ∞/∞? • Apakah Aturan L’Hopital dapat diterapkan? • Hitunglah nilai limit tsb (terserah dengan cara apa). 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Bentuk 0.∞ 3. Hitung lim x ln x. x 0
Jawab: Di sini x 0+ dan ln x -∞ bila x 0+. Untuk menghitung limit ini, kita tuliskan
ln x lim x ln x lim . x 0 x 0 1 / x Perhatikan bahwa bentuk di ruas kanan merupakan bentuk ∞/∞. Karena itu ln x ( L ) 1/ x lim x ln x lim lim lim ( x) 0. 2 x 0 x 0 1 / x x 0 1 / x x 0 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
21
4. Hitung lim sin x. ln x. x 0 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Bentuk ∞ – ∞ 1 1 . 5. Hitung lim x 0 x sin x Jawab: Kita ubah terlebih dahulu bentuk di atas ke bentuk 0/0 atau ∞/∞.
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
23
6. Hitung lim (sin x) x . [Wow, bentuk apakah ini?] x 0 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
24
7. Hitung lim (1 1x ) x . [Eh, bentuk apa lagi ini?] x Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
25
8. Hitung lim (tan x) cos x . [Bentuk apa pula ini?] x 2 Jawab:
2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
26
Bahan Diskusi Perhatikan bentuk limit berikut: (a) lim (sin x) cos x . x 2
x (b) lim . x 0 ln x
• Apakah mereka merupakan bentuk tak tentu? • Hitunglah nilai masing-masing limit tersebut (terserah dengan cara apa). 2/5/2014
(c) Hendra Gunawan
27
