MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 8 Maret 2017
Kuliah yang Lalu 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3 11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Kuliah Hari Ini 10.1-2 Parabola, Elips, dan Hiperbola 10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang 10.5 Sistem Koordinat Polar 11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3 11.2-4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang 11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva 11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang 11.8 Permukaan di Ruang 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.5 FUNGSI BERNILAI VEKTOR DAN GERAK SEPANJANG KURVA • Menghitung limit dan turunan fungsi bernilai vektor • Menentukan kecepatan dan percepatan dari suatu partikel yang bergerak sepanjang kurva yang diketahui persamaan posisinya 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Fungsi Bernilai Vektor Fungsi F yang memetakan tiap bilangan real t ϵ I ke suatu vektor 0 F(t) di R2 atau R3 disebut sebagai fungsi bernilai vektor. Sebagai contoh, F(t) = (cos t, sin t), 0 ≤ t ≤ 2π merupakan fungsi bernilai vektor. Daerah nilai fungsi ini adalah lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari-jari 1. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
2π
π/2
F(π/2)
1
5
Limit Fungsi Bernilai Vektor Kita tuliskan lim F (t ) L apabila t c untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga 0 t c F (t ) L .
L
F(t), t ≈ c
Secara intuitif: semakin dekat t ke c, semakin dekat F(t) ke L.
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Teorema Misalkan F(t) = f(t)i + g(t)j. Maka F mempunyai limit di c jika dan hanya jika f dan g mempunyai limit di c. Dalam hal ini,
lim F (t ) lim f (t ).i lim g (t ). j. t c
t c
t c
Sebagai akibatnya, F kontinu di c jika dan hanya jika f dan g kontinu di c. Dlm hal ini, lim F (t ) F (c). t c Catatan. Hal serupa berlaku utk fungsi bernilai vektor di R3. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Contoh/Latihan Tentukan nilai F(0) agar fungsi F yang didefinisikan t sin t 1 e F (t ) i j , t 0, t t menjadi fungsi yg kontinu di setiap titik.
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Turunan Fungsi Bernilai Vektor Misalkan F = (f, g) adalah fungsi bernilai vektor. Turunan F di c didefinisikan sebagai
F (t ) F (c) F ' (c) lim . t c t c Berdasarkan teorema tentang limit fungsi bernilai vektor, kita dapatkan: jika f dan g mempunyai turunan di c, maka
F ' (c) f ' (c)i g ' (c) j. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Teorema Misalkan F dan G mempunyai turunan, p fungsi skalar yang mempunyai turunan, dan c skalar. Maka 1. Dt [ F (t ) G (t )] F ' (t ) G ' (t ) 2. Dt [c.F (t )] c.F ' (t ) 3. Dt [ p(t ).F (t )] p(t ) F ' (t ) p' (t ) F (t ) 4. Dt [ F (t ) G (t )] F ' (t ) G (t ) F (t ) G ' (t ) 5. Dt [ F ( p(t ))] p' (t ).F ' ( p(t )) 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Teorema Misalkan F dan G fungsi bernilai vektor di R3. Jika F dan G mempunyai turunan, maka 6. Dt [ F (t ) G (t )] F ' (t ) G (t ) F (t ) G ' (t )
Catatan. Dt menyatakan operasi turunan terhadap t. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh/Latihan Tentukan apakah fungsi F yang didefinisikan sebagai sin t 1 et F (t ) i j , t 0, t t i j, t 0, mempunyai turunan di 0.
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Contoh/Latihan Diketahui F(t) = (cos t, sin t) dan p(t) = t2. Tentukan: 1. Dt[p(t).F(t)] 2. DtF(p(t))
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
13
Integral Fungsi Bernilai Vektor Intergral dari fungsi F = (f,g) yang bernilai vektor di R2 didefinisikan sebagai
F (t )dt f (t )dt .i g (t )dt . j F ( t ) dt f ( t ) dt . i g ( t ) dt a . j a a b
b
b
Catatan. Integral dari fungsi bernilai vektor di R3 didefinisikan serupa. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Gerak Sepanjang Kurva Misalkan sebuah partikel bergerak sepanjang suatu kurva di bidang dengan persamaan r(t) = f(t)i + g(t)j, t ϵ I, yakni, pada saat t, vektor posisi partikel tsb adalah (f(t),g(t)). Maka, kecepatan dan percepatan partikel tsb adalah v(t) = f’(t)i + g’(t)j, t ϵ I, a(t) = f’’(t)i + g’’(t)j, t ϵ I. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Gerak Sepanjang Kurva
v(t) r(t)
a(t)
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
16
Contoh Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang dengan persamaan r(t) = (cos 2t, sin 2t), t > 0. (a) Tentukan vektor kecepatan dan percepatannya. (b) Periksa bahwa v (t ) r (t ) dan a (t ) v (t ) . (c) Buktikan bahwa lajunya, yaitu|v(t)|, konstan.
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Soal Diketahui sebuah partikel bergerak di bidang/ ruang dengan r(t) menyatakan vektor posisinya pada saat t. Buktikan bahwa |r(t)| konstan jika dan hanya jika r(t) ● r ’(t) = 0.
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
18
MA1201 MATEMATIKA 2A
11.6 GARIS DAN GARIS SINGGUNG DI RUANG • Menentukan persamaan garis di ruang, baik dalam bentuk persamaan vektor, persamaan parametrik, atau persamaan Cartesius
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Persamaan Garis di Bidang Persamaan Cartesius garis di bidang m yang memotong sumbu-y di P(0,c) c dan mempunyai gradien m adalah 1 y = mx + c. Persamaan garis ini dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan parametrik Garis melalui (0,c) x = t, y = mt + c, dan mempunyai atau persamaan vektor vektor arah (1,m). r(t) = (t, mt+c) = (0,c) + t(1,m). 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Persamaan Garis di Bidang Dari persamaan parametrik x = t, y = mt + c, kita dapat pula memperoleh persamaan simetrik
m
c 1
x0 y c . 1 m
Perhatikan bahwa garis melalui P(0,c) dan mempunyai vektor arah v = (1,m) terekam dalam persamaan simetrik. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Persamaan Garis di Ruang Persamaan garis yang melalui titik P(x0,y0,z0) dan mempunyai vektor arah v = (a,b,c) adalah r(t) = (x0,y0,z0) + t(a,b,c) … persamaan vektor x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc … p. parametrik
x x0 y y0 z z0 ... persamaan simetrik a b c 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Contoh Diketahui sebuah garis melalui titik P(1,-2,3) dan Q(4,5,6). Tentukan persamaan vektor, persamaan parametrik, dan persamaan simetrik garis tsb. Jawab:
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
23
Soal 1 Persamaan bidang yang melalui titik P(x0,y0,z0) dan mempunyai vektor normal n = (n1,n2,n3) diberikan oleh (x – x0, y – y0, z – z0)●n = 0. Tentukan persamaan garis yang merupakan perpotongan dua bidang: 2x – y – 5z = -6 dan 4x + 5y + 4z = 9.
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Garis Singgung pada Kurva di Ruang Persamaan r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k menyatakan sebuah kurva di ruang. Pada saat t = t0, vektor posisinya adalah r(t0) dan vektor singgung-nya adalah r’(t0) = f’(t0)i + g’(t0)j + h’(t0)k. 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
r’(t0) r(t0)
25
Persamaan Garis Singgung pada Kurva Persamaan parametrik garis singgung pada kurva tsb di titik P = r(t0) adalah: x = f(t0) + t.f’(t0), y = g(t0) + t.g’(t0), z = h(t0) + t.h’(t0).
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
r’(t0) r(t0)
P
26
Contoh Tentukan persamaan garis singgung pada kurva r(t) = (t, t2, t3) di titik P(1,1,1). Jawab: r’(t) = (1, 2t, 3t2). Di titik P(1,1,1), t = 1, sehingga r’(1) = (1, 2, 3). Jadi, persamaan garis singgung di P adalah x=1+s y = 1 + 2s z = 1 + 3s dengan s menyatakan paramater. [Apa hubungan antara s dan t?] 3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
27
Soal 2 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva r(t) = (cos t, sin t, t) di titik P(-1,0,π).
3/12/2014
(c) Hendra Gunawan
28