MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 10 Februari 2017
Kuliah yang Lalu 9.2 Deret Tak Terhingga Memeriksa kekonvergenan suatu deret dan, bila mungkin, menghitung jumlahnya 9.3 Deret Positif: Uji Integral Memeriksa kekonvergenan deret positif dengan uji jumlah terbatas dan uji integral
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 9.4 Deret Positif: Uji Lainnya Memeriksa kekonvergenan deret positif dengan uji perbandingan dan uji rasio 9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlak dan Kekonvergenan Bersyarat Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyarat deret ganti tanda
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
9.4 DERET POSITIF: UJI LAINNYA Memeriksa kekonvergenan deret positif dengan uji perbandingan dan uji rasio 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Mengapa Perlu Uji Lainnya Kita telah mempunyai beberapa ‘senjata’ utk menyelidiki kekonvergenan deret, ada: definisi, sifat deret geometri, teorema kelinearan deret, uji suku ke-n, uji jumlah terbatas, dan uji integral (termasuk uji deret-p). Namun, kita masih kesulitan menghadapi deret seperti
1 1 n 4 dan
n
2 n! .
Catatan. Di sini kita masih membahas deret positif. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Uji Perbandingan Misalkan 0 ≤ an ≤ bn utk n ≥ K (utk suatu K ϵ N). (i) Jika
b
(ii) Jika
a
n
n
konvergen, maka an konvergen.
divergen, maka bn divergen.
Catatan. Kedua pernyataan di atas ekuivalen. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Contoh 1 1 1 Deret konvergen karena 4 4 4 1 n 1 n n 1 untuk tiap n ϵ N dan 4 konvergen. n
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Uji Perbandingan Limit an L. Misalkan an ≥ 0 dan bn > 0 dan lim n b n (i) Jika 0 < L < ∞, maka an dan bn samasama konvergen atau divergen. (ii) Jika L = 0 dan bn konvergen, maka an konvergen.
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Contoh 1 1 1 1 Deret divergen karena lim n 1 n 1 n n 1 dan divergen. n
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
9
Soal ln n Selidiki kekonvergenan deret 2 . n
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
10
Uji Rasio Misalkan
a
deret dengan an > 0 dan an 1 lim . n a n (i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen. (ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen. (iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apapun. n
Catatan. Pada deret geometri, rasionya konstan. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Contoh n
2 Selidiki kekonvergenan deret . n! Jawab: Kita hitung n 1
n
2 2 2 lim lim 0. n ( n 1)! n! n n 1 n 2 Menurut Uji Rasio, deret konvergen. n! 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
12
Soal Selidiki kekonvergenan deret berikut:
n 1. n 1 . 2 n n 2. . n! n! . 3. n 2 n 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
13
n 1 2 3 2n1 4 8 16 ... 1.
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
14
MA1201 MATEMATIKA 2A
9.5 DERET GANTI TANDA Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyarat deret ganti tanda 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Apa itu Deret Ganti Tanda Kita telah mempelajari deret positif (dan deret negatif). Sekarang kita tinjau deret ganti tanda, yaitu deret berbentuk
a1 a2 a3 a4 ... dengan an > 0 untuk tiap n ϵ N. Sebagai contoh, kita akan menyelidiki kekonvergenan deret harmonik ganti tanda
1 12 13 14 ... 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
16
Kekonvergenan Deret Ganti Tanda Diketahui deret ganti tanda
a1 a2 a3 a4 ... Kita hitung jumlah parsialnya S1 a1
S 2 a1 a2 S1 a2 S 3 a1 a2 a3 S 2 a3 S 4 ... S 3 a4 dst. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Misalkan {an} turun. Maka S1, S3, S5, … turun dan terbatas di bawah, sehingga konvergen, katakan ke S*. Sementara itu, S2, S4, S6, … naik dan terbatas di atas, sehingga konvergen, katakan ke S**. Baik S* maupun S** berada di antara Sn dan Sn+1 (ilustrasi di papan tulis). Jadi, |S* – S**| ≤ |Sn – Sn+1| = an+1. Jadi, jika lim an 0, maka S* = S**, sehingga n 0 deret konvergen ke bilangan yang sama, sebutlah S. Dapat pula diperiksa bahwa |S – Sn| ≤ |Sn+1 – Sn| = an+1. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
18
Uji Deret Ganti Tanda Diketahui deret ganti tanda
a1 a2 a3 a4 ... dengan an > an+1 > 0 untuk tiap n ϵ N. Dari pengamatan sebelumnya, kita simpulkan:
Jika lim an 0, maka deret konvergen. n 0
Lebih jauh, jika jumlahnya ditaksir dengan Sn, maka kesalahannya tak lebih daripada an+1. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Contoh Deret 1 12 13 14 ... merupakan deret ganti tanda dengan an = 1/n turun dan menuju 0. Jadi, deret ganti tanda ini konvergen. Bila kita ingin menaksir jumlahnya dengan kesalahan tak lebih daripada 0.01, maka kita harus menaksirnya dengan S99, yaitu
S99 1 12 13 14 ... 981 991 .
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Kekonvergenan Mutlak Teorema. Diketahui deret u n sembarang. Jika
| u
n
| konvergen, maka u n konvergen.
Catatan. Deret u n dikatakan konvergen mutlak apabila | u n | konvergen. Kebalikan teorema di atas tidak berlaku: kekonvergenan u n tidak menjamin kekonvergenan | u n | . 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Contoh 1 Deret 1 12 14 18 161 32 ... konvergen mutlak, karena deret
1 12 14 18 161 321 ... konvergen.
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Kekonvergenan Bersyarat Deret harmonik ganti tanda 1 12 13 14 ... konvergen, tetapi tidak konvergen mutlak. Deret u n yang konvergen tetapi | u n | tidak konvergen dikatakan konvergen bersyarat. Sebagai contoh, 1 12 13 14 ... merupakan deret yang konvergen bersyarat. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
23
Uji Rasio Mutlak Misalkan u n deret sembarang dengan sukusuku tak nol, dan un 1 lim . n u n (i) Jika ρ < 1, maka deret konvergen mutlak. (ii) Jika ρ > 1, maka deret divergen. (iii) Jika ρ = 1, maka uji ini tidak memberikan kesimpulan apapun. 2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
24
Latihan Selidiki kekonvergenan deret dan, dalam hal konvergen, tentukan apakah ia konvergen mutlak atau bersyarat.
ln n . 1. (1) n n2 sin n 2. 2 . n 1 n n
2/19/2014
(c) Hendra Gunawan
25