MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 3 Februari 2017
Bab Sebelumnya 8. Bentuk Tak Tentu dan Integral Tak Wajar 8.1 Bentuk Tak Tentu 0/0 8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya 8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga 8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
2
MA1201 MATEMATIKA 2A
BAB 9. DERET TAK TERHINGGA
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
3
Sasaran Kuliah Hari Ini 9.1 Barisan Tak Terhingga Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin, menghitung limitnya
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
4
MA1201 MATEMATIKA 2A
9.1 BARISAN TAK TERHINGGA Memeriksa kekonvergenan suatu barisan dan, bila mungkin, menghitung limitnya 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Mengapa Barisan Tak Terhingga Masih ingatkah Metode Bagi Dua untuk mendapatkan hampiran akar dari suatu persamaan f(x) = 0 pada suatu selang? Pada setiap langkah, kita membagi dua selang dan menaksir akar persamaan itu dengan titik tengah selang tersebut. Dengan metode ini, kita dapatkan barisan titiktitik tengah selang x1, x2, x3, … yang merupakan hampiran akar persamaan. 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Apa itu Barisan Tak Terhingga Barisan tak terhingga, atau singkatnya barisan (dari bilangan real) adalah suatu fungsi dengan daerah asal N dan daerah nilai R, yang biasanya disajikan sebagai {an} atau a1, a2, a3, … dengan an ϵ R untuk setiap n ϵ N. Contoh 1: Barisan {2n – 1} adalah barisan bilangan ganjil 1, 3, 5, 7, … . 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Contoh Lagi 2. Barisan {(-1)n} adalah barisan bilangan -1, 1, -1, 1, -1, 1, … Catatan: Barisan {(-1)n} tidak sama dengan himpunan {(-1)n : n ϵ N} = {-1, 1}. 3. Barisan {an} yang didefinisikan dengan rumus rekursif: a1 = 1 dan an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, … adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
8
“Grafik” Barisan (1) Barisan dapat kita plot pada bidang koordinat x5 x4 x3 x2
x1 1
2/12/2014
2
3
(c) Hendra Gunawan
4
5
9
“Grafik” Barisan (2) Barisan dapat kita plot pada garis bilangan real x1
x2 x3 x4 x5
1/4 1/3
1/2
Contoh: {1/n} 0
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
1
10
Kekonvergenan Barisan Diberikan suatu barisan {an}, apa yang terjadi bila n ∞? Definisi: Barisan {an} dikatakan konvergen ke suatu bilangan L, ditulis
lim an L, n
apabila untuk tiap ε > 0 terdapat N ϵ N sehingga
n N an L . 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
11
Catatan. Tidak semua barisan konvergen. Barisan yang tidak konvergen disebut divergen. Contoh: 1. Barisan
1 𝑛
konvergen ke 0, yakni
lim 1n 0 n
Untuk tiap ε > 0, dapat dipilih N > 1/ε sehingga jika n ≥ N, maka 1 n
2/12/2014
0 1n
1 N
(c) Hendra Gunawan
. 12
2. Barisan {(-1)n} merupakan barisan yang divergen, yakni: untuk tiap L ϵ R,
lim (1) L. n
n
Sebagai contoh, untuk L = 1, ada ε = 1 sehingga berapapun N ϵ N yang kita pilih, selalu ada bilangan ganjil n ≥ N sehingga
(1) 1 2 . n
Ini menunjukkan bahwa
lim (1) 1. n
n
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
13
9.1b Beberapa Teorema Bantuan untuk Memeriksa Kekonvergenan Barisan dan Menghitung Limitnya
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
14
Teorema Limit Barisan Misalkan {an} dan {bn} barisan yang konvergen, dan k konstanta. Maka 1. lim k k n
2. lim kan k lim an n
n
3. lim (an bn ) lim an lim bn n
n
n
4. lim anbn lim an lim bn n
5. lim
n
2/12/2014
an bn
n lim an
n
lim bn
n
n
, asalkan lim bn 0. n
(c) Hendra Gunawan
15
Teorema Limit Barisan Jika lim f ( x) L, maka lim f (n) L. n
x
L
1
2/12/2014
2
3
4
(c) Hendra Gunawan
5
6
16
Contoh: 1. lim 2 nn3 lim 213 / n n
n
4n2 2 3 n n 3 n 1
...
2. lim
lim 1
n
lim 2 3 lim 1/ n
n
n
1 2 30
12 .
3. lim enn ... n
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Teorema Apit untuk Barisan Jika an ≤ bn ≤ cn untuk n ≥ K (K ϵ N tertentu) dan
lim an lim cn L, maka lim bn L. n
2/12/2014
n
n
(c) Hendra Gunawan
18
Contoh: 1. lim sinn n 0, karena 1n n
sin n n
1 n
dan lim 1n 0. n
2. Jika lim an 0, maka lim an 0, n
n
karena an an an
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
n N.
19
Barisan Monoton Barisan {an} dikatakan naik apabila an ≤ an+1 untuk setiap n ϵ N. Barisan {an} dikatakan turun apabila an ≥ an+1 untuk setiap n ϵ N. Barisan naik atau turun disebut barisan monoton. Contoh: {1/n} turun, sedangkan {2n} naik. 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
20
Latihan Selidiki apakah barisan berikut monoton (naik atau turun) atau tidak. 1. {1 – 2-n} 2. {(-1)n} 3. {ln n} 4. {n∙ln n} 5. {(ln n)/n} 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
21
Teorema Barisan Monoton Jika barisan {an} naik dan terbatas di atas, yakni terdapat M ϵ R sehingga an ≤ M untuk tiap n ϵ N, maka {an} konvergen. Jika barisan {an} turun dan terbatas di bawah, yakni terdapat m ϵ R sehingga apabila m ≤ an untuk tiap n ϵ N, maka {an} konvergen.
2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
22
Contoh/Latihan Barisan {an} yang didefinisikan dengan rumus rekursif: a1 = 1 dan an+1 = 0.5(an + 2), untuk n = 1, 2, 3, … adalah barisan bilangan 1, 1.5, 1.75, … . Dengan Prinsip Induksi Matematika*, dapat dibuktikan bahwa barisan ini naik dan terbatas di atas. Karena itu, menurut Teorema Barisan Monoton, barisan {an} konvergen. Ke manakah barisan {an} konvergen? 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
23
*Prinsip Induksi Matematika Misalkan P(n) adalah pernyataan atau kalimat matematika yang berkenaan dengan n ϵ N. [Sebagai contoh, P(n) adalah kalimat “n < 2n”.] Jika: (i) P(1) benar, dan (ii) P(k) benar mengakibatkan P(k+1) benar, maka: P(n) benar untuk setiap n ϵ N. 2/12/2014
(c) Hendra Gunawan
24