MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2016/2017 1 Februari 2017
Kuliah yang Lalu 8.1 Bentuk Tak Tentu Tipe 0/0 Menghitung limit bentuk tak tentu 0/0 dengan menggunakan Aturan l’Hopital 8.2 Bentuk Tak Tentu Lainnya Menghitung bentuk tak tentu tipe ∞/∞, 0.∞, ∞ - ∞, 00, ∞0, dan 1∞
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
2
Sasaran Kuliah Hari Ini 8.3 Integral Tak Wajar dgn Batas Tak Terhingga Mengenali dan menghitung integral tak wajar dengan batas tak terhingga 8.4 Integral Tak Wajar dgn Integran Tak Terbatas Mengenali dan menghitung integral tak wajar dengan integran tak terbatas
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
3
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.3 INTEGRAL TAK WAJAR DENGAN BATAS TAK TERHINGGA Mengenali dan menghitung integral tak wajar dengan batas tak terhingga 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
4
Integral Tak Wajar
b
Dalam definisi integral tentu f ( x ) dx terdapat dua asumsi: a (i) selang pengintegralannya, yaitu [a,b], merupakan selang terhingga; (ii) fungsi integrannya (yang diintegralkan) merupakan fungsi terbatas. Namun, dalam aplikasinya, ada kalanya salah satu atau kedua asumsi ini tidak dipenuhi. Dalam hal demikian kita berhadapan dengan integral tak wajar. 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
5
Integral Tak Wajar dengan Batas Tak Terhingga Pada sub-bab ini kita akan membahas terlebih dahulu integral tak wajar dengan batas tak terhingga, misalnya integral berikut ini:
1 0 1 x 2 dx,
0
xe
x
2
dx,
2
x 1 x3 dx.
Kita akan mulai dengan bentuk yang pertama terlebih dahulu. 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
6
Bagaimana Menghitung f ( x)dx a
Untuk setiap b > a, kita dapat menghitung integral tentu b
f ( x)dx. a
Integral tak wajar
f ( x) dx
a
b
a
dapat didefinisikan sebagai limit dari integral tentu di atas, untuk b ∞. 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
7
Definisi Integral Tak Wajar f ( x)dx a
a
b
b
f ( x)dx : lim f ( x)dx, bila limit ini ada.
a
b
a
Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen. 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
8
Contoh/Latihan
1 dx, bila konvergen. 1. Hitung 2 1 x 0 Jawab: Untuk setiap b > 0, kita hitung b
1 1 b 1 1 1 0 1 x 2 dx tan x 0 tan b tan 0 tan b. Jadi b 1 1 1 dx lim tan b . 2 0 1 x 2 dx blim 1 x b 2 0 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
9
2. Hitung e x dx. 0 Jawab:
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
10
c
Definisi Integral Tak Wajar f ( x)dx
a
c
c
c
f ( x)dx : lim
a
f ( x)dx, bila limit ini ada.
a
Catatan. Bila limit tsb ada, integral dikatakan konvergen; bila tidak, integral divergen. 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
11
0
3. Hitung Jawab:
2/7/2014
xe
x2
dx
(c) Hendra Gunawan
12
Definisi Integral Tak Wajar f ( x)dx
0
0
f ( x)dx : f ( x)dx f ( x)dx,
bila kedua integral di ruas kanan konvergen.
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
13
1 4. Hitung dx, bila konvergen. 2 1 x Jawab:
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
14
x 5. Hitung dx, bila konvergen. 2 1 x Jawab:
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
15
Meluncurkan Roket ke Angkasa Menurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarak kuadrat, yakni -k/x2, dengan x = jarak dari pusat Bumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utk mengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2. Berapakah kerja yang diperlukan untuk meluncurkan roket dgn berat 500 N ke luar angkasa? 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
16
Meluncurkan Roket ke Angkasa Menurut Hukum Newton, gaya gravitasi yang dialami oleh roket berbanding terbalik dgn jarak kuadrat, yakni -k/x2, dengan x = jarak dari pusat Bumi. Karena itu, gaya yang diperlukan utk mengangkat roket tsb adalah F(x) = k/x2. Berapakah kerja yang diperlukan untuk meluncurkan roket dgn berat 500 N ke luar angkasa? 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
17
Bahan Diskusi Untuk nilai p berapakah integral tak wajar ini
konvergen?
2/7/2014
1 1 x p dx
(c) Hendra Gunawan
18
MA1201 MATEMATIKA 2A
8.4 INTEGRAL TAK WAJAR DENGAN INTEGRAN TAK TERBATAS Mengenali dan menghitung integral tak wajar dengan integran tak terbatas 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
19
Integral Tak Wajar dengan Integran Tak Terbatas Sekarang kita akan membahas integral tak wajar dengan integran tak terbatas, misalnya integral berikut ini: 1
0
1 dx, x
/2
tan x.dx, 0
2
1 0 ( x 1) 2 / 3 dx.
Pada integral pertama, integran tak terbatas di ujung kiri; sedangkan pada integral kedua, integran tak terbatas di ujung kanan. Apa yang membuat integral ketiga tak wajar? 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
20
c
Definisi Integral Tak Wajar f ( x)dx dengan f tak terbatas di a a
ab
c
c
c
f ( x)dx : lim f ( x)dx, bila limit ini ada. a 2/7/2014
ba
b (c) Hendra Gunawan
21
Contoh/Latihan 1
1 dx, bila konvergen. x
1
1 1 dx 2 x 2 2 b . b x
1. Hitung 0 Jawab: Untuk setiap b > 0, dengan b < 1, kita hitung
Jadi
b
1
0 2/7/2014
1
1 1 dx lim dx lim (2 2 b ) 2. b 0 b 0 x x b (c) Hendra Gunawan
22
3
dx , bila konvergen. 2. Hitung 1/ 3 (x 1) 1 Jawab:
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
23
1
dx , bila konvergen. 3. Hitung 1 x ln x 2 Jawab:
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
24
b
Definisi Integral Tak Wajar f ( x)dx dgn f tak terbatas di c є (a,b) a
a
b
a
c
b
c
b
a
c
f ( x)dx : f ( x)dx f ( x)dx,
bila kedua integral di ruas kanan konvergen. 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
25
Contoh/Latihan 2
dx 4. Hitung , bila konvergen. 2/3 (x 1) 0 Jawab: Integran tak terbatas di x = 1. Kita hitung dahulu: 1 c dx dx 1/ 3 c lim 3( x 1) 3. 2/3 0 ( x 1) 2 / 3 clim 0 1 c 1 ( x 1 ) 0 2 2 dx dx 1/ 3 2 lim 3( x 1) 3. 2/3 1 ( x 1) 2 / 3 clim c 1 c 1 ( x 1 ) c 2 dx Jadi: 3 3 6. 2/3 ( x 1) 0 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
26
3
1 5. Hitung 2 dx. x 1 Jawab:
2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
27
Bahan Diskusi Untuk nilai p berapakah integral tak wajar ini 1
1 0 x p dx
konvergen? Apakah ada bilangan p yang membuat integral
1 0 x p dx
konvergen? [Integral tak wajar jenis apa ini?] 2/7/2014
(c) Hendra Gunawan
28
