METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR

PLAGIAT PLAGIATMERUPAKAN MERUPAKANTINDAKAN TINDAKANTIDAK TIDAKTERPUJI TERPUJI

METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika

Oleh: Yohana Buragoran NIM: 09 3114 001

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA 2013


KARMARKAR METODE TO SOLVE THE PROBLEM LINEAR PROGRAM

THESIS

Presented As a Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain The Sarjana Sains Degree In Mathematics

by: Yohana Buragoran Student Number: 09 3114 001

MATHEMATICS STUDY PROGRAM DEPARTMENT OF MATHEMATICS FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY SANATA DHARMA UNIVERSITY YOGYAKARTA 2013

i


ii


iii


HALAMAN PERSEMBAHAN

Matius 21:22 “Dan apa saja yang kamu minta dalam doa dengan penuh kepercayaan, kamu akan menerimanya.”

Dengan penuh cinta karya ini ku persembahkan untuk: Bapak-Ibuku, Yakobus Bedatuan-Ariadne Trisnani Ketiga adikku, Imelda, Elis dan Valensia Kekasihku Benediktus Eki Prabowo

Terimakasih……….. Telah mendorongku untuk mempertahankan mimpi-mimpiku Menunjukkan padaku untuk tidak terpengaruh oleh rintangan Menghapuskan air mataku kala aku sedih Mengubah kebingunganku menjadi senyuman Mengubah keputus asaanku menjadi harapan

Terimakasih karena kalian memberikan semangat dan keceriaan untukku

iv


PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta,17 Oktober 2013

v


ABSTRAK

Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Salah satu metode untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, adalah metode Karmarkar yang merupakan salah satu kelas dari metode titikinterior. Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar, suatu masalah program linear dalam bentuk standar harus diubah dahulu ke dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan menggunakan transformasi proyektif. Ide dasar metode Karmarkar, dimulai dengan memilih titik-interior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titik-interior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu kemudian memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titikinterior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga nilai fungsi sasaran sama dengan nol.

vi


ABSTRACT

The problem in linear programming is finding points that optimizing a linear function with linear constrained, in form of equalities or inequalities. One method to solve linear programming problems is the Karmakar method, which is one of a class of interior-point method. Using Karmakar method, a linear programming problem in standard form must be converted first into a canonical form using Karmarkar projective transformation. The basic idea of Karmarkar method, starts with choosing an interior-point early in the feasible space. Gradient of the objective function at the initial interior point is the direction that makes the objective function is increasing rapidly. If one is placed at an arbitrary point along the gradient, and then project it perpendicularly to a feasible space, then the result of the transformation of selected interior points positioned closer to the optimum point. The results of transformation chosen run to another interior with an appropriate direction and length of step. This iterative process is repeated until the objective function value equal to zero.

vii


LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPERLUAN AKADEMIS Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma: Nama

: Yohana Buragoran

Nomor Mahasiswa : 09 3114 001 Demi mengembangkan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul: “METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR” Beserta perangkat yang diperlukan. Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikannya di Internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis. Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta, 17 Oktober 2013

viii


KATA PENGANTAR Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala kasih dan perlindungan-Nya sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan. Skripsi ini disusun dalam rangka melengkapi salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta. Penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1. Tuhan Yesus Kristus yang telah menyertai, membimbing dan menuntun penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini sehingga tugas akhir ini dapat selesai dengan baik. 2. Ibu Lusia Krismiyati, S.Si, M.Si sebagai dosen pembimbing akademik dan dosen pembimbing skripsi yang penuh perhatian dan kesabaran telah membimbing serta memberi saran dan kritik kepada penulis selama proses penulisan skripsi ini. 3. Ibu Any Herawati, S.Si, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik dalam skripsi ini. 4. Bapak Y.G.Hartono, S.Si, M.Sc, Ph.D selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan kritik dalam skripsi ini. 5. Bapak dan Ibu dosen di Program Studi Matematika yang telah membimbing dan mendidik penulis selama menuntut ilmu di Universitas Sanata Dharma

ix


sehingga penulis mendapatkan ilmu yang berguna untuk menyelesaikan tugas akhir ini. 6. Bapak dan Ibu karyawan Universitas Sanata Dharma, khususnya sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi, dan perpustakaan Universitas Sanata Dharma atas segala bantuan dan fasilitas yang telah diberikan. 7. Keluargaku, Bapak Yakobus Bedatuan, Ibu Ariadne Trisnani, adik-adikku Imelda Memen Tokan, Elisabeth Hala Tokan, Valensia Ina Tokan, dan Kekasihku Benediktus Eki Prabowo yang selalu memberi dukungan, semangat dan mendoakan penulis. 8. Sahabat-sahabatku Mbak Ratih, Herta, Metri, Rina, Sefi, Lia, Berta, Ita, Nita, Ana, dan teman-teman kos yang telah memberikan dukungan, semangat, dan mendoakan penulis. 9. Temen-temen seperjuangan Yohanes Dimas, Faida, Rossi, Etik, Erlika, Dwi, Dimas, Sekar yang telah membantu dan mendukung penulis. 10. Semua pihak yang telah membantu penulis baik secara langsung maupun tidak langsung hingga selesainya penulisan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih banyak kekurangannya. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih bila ada kritik dan saran yang dapat membangun penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan menjadi referensi bagi pembaca. Yogyakarta,....Oktober 2013

Penulis

x


DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... ii HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................... iii HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... iv PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ............................................................... v ABSTRAK ............................................................................................................ vi ABSTRACT .......................................................................................................... vii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN ................................................... viii KATA PENGANTAR .......................................................................................... ix DAFTAR ISI ......................................................................................................... xi DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiv BAB I PENDAHULUAN ................................................................................... 1 A. Latar Belakang .................................................................................. 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................. 2 C. Tujuan Penulisan .............................................................................. 3

xi


D. Batasan Masalah ............................................................................... 3 E. Manfaat Penulisan ............................................................................ 3 F. Metode Penulisan ............................................................................. 4 G. Sistematika Penulisan ....................................................................... 4 BAB II OPTIMISASI UNTUK PERSOALAN LINEAR ................................... 6 A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear ............................................. 6 B. Ruang Vektor .................................................................................... 13 C. Masalah Program Linear .................................................................. 53 BAB III METODE KARMARKAR .................................................................... 60 A. Bentuk Kanonik Karmarkar .............................................................. 63 B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar ..................................... 64 C. Transformasi Proyeksi ...................................................................... 64 D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Umum ke Bentuk Kanonik Karmarkar .......................................................................... 82 E. Algoritma Karmarkar ........................................................................ 98 F. Aplikasi Metode Karmarkar dalam menyelesaikan masalah Program Linear ............................................................................................... 124 BAB IV KESIMPULAN .................................................................................... 128 A. Kesimpulan ...................................................................................... 128 B. Saran ................................................................................................ 129

xii


DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................... 130 LAMPIRAN ........................................................................................................ 131

xiii


DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 2.1 –

....................................................................................... 44

Gambar 3.1 Ilustrasi algoritma Karmarkar ........................................................... 61

xiv


BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan dan pertidaksamaan linear. Untuk menyelesaikan masalah program linear terdapat beberapa metode yang umum digunakan, yaitu metode grafik dan metode simpleks. Metode grafik, hanya dapat digunakan untuk masalah dengan dua variabel saja, sehingga apabila masalah program linear memuat lebih dari dua variabel akan sulit penyelesaiannya. Meskipun dalam prakteknya masalah program linear jarang yang hanya memuat dua variabel, tetapi metode grafik mempermudah untuk memahami pengertianpengertian yang timbul dalam masalah program linear. Sedangkan metode simpleks adalah metode aljabar yang digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yang melibatkan lebih dari dua variabel dan pada prakteknya, lebih sesuai dilakukan dengan program komputer dengan ratusan atau ribuan variabel dan kendala. Ada metode lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah program linear yaitu metode titik-interior. Perbedaan antara metode titikinterior dengan metode simpleks adalah pada metode simpleks penyelesaian dilakukan dengan meninjau setiap titik sudut pada batas dari daerah layak hingga dicapai titik optimum. Sedangkan pada metode titik-


2

interior penyelesaian dilakukan dengan meninjau titik-titik yang berada dalam daerah layak hingga dicapai titik optimum. Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu affine scaling methods, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar, path-following methods, dan

potential-reduction methods.

Dalam tugas akhir ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang digunakan adalah tranformasi proyektif. Ide dasar metode Karmarkar, yaitu dimulai dengan memilih titikinterior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titikinterior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titik-interior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga penyelesaian optimum dicapai.

B. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian di atas, maka permasalahan yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah: 1. Apa yang dimaksud dengan metode Karmarkar?


2. Bagaimana

menyelesaikan

masalah

program

linear

3

dengan

menggunakan metode Karmarkar? 3. Bagaimana aplikasi metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear?

C. Tujuan Penulisan Bedasarkan rumusan masalah, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah: 1. Memahami apa yang dimaksud dengan metode Karmarkar. 2. Dapat menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar. 3. Dapat menyelesaikan aplikasi metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear.

D. Batasan Masalah Agar penulisan mencapai tujuan yang dimaksud, maka perlu ada batasan mengenai permasalahan yang diangkat. Adapun batasan masalahnya, yaitu penulis akan membahas masalah program linear dalam bentuk standar meminimumkan.

E. Manfaat Penulisan Adapun manfaat yang diharapkan penulis dalam tugas akhir ini adalah dapat menambah referensi tentang penyelesaian masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar.


4

F. Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear.

G. Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut : BAB I Pendahuluan A. Latar Belakang B. Rumusan Masalah C. Tujuan Penulisan D. Batasan Masalah E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II Optimisasi untuk Persoalan Linear A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear B. Ruang Vektor C. Masalah Program Linear BAB III Metode Karmarkar A. Bentuk Kanonik Karmarkar B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar


5

C. Transformasi Proyeksi D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Umum ke Bentuk Kanonik Karmarkar E. Algoritma Karmarkar F. Aplikasi Metode Karmarkar dalam menyelesaikan masalah Program Linear BAB IV Penutup A. Kesimpulan B. Saran


BAB II RUANG VEKTOR DAN MASALAH PROGRAM LINEAR

A. Matriks dan Sistem Persamaan Linear Definisi 2.1 Matriks Diagonal Suatu matriks A berorde

disebut matriks diagonal jika

untuk

, yaitu

(2.1)

Teorema 2.1: Sifat Transpos Jika ukuran matriks

adalah matriks dengan sedemikian sehingga

operasi berikut dapat dilakukan, maka 1. 2.


7

Bukti:

Misalkan

, dengan

, dengan

1. 2.

i)

ii)

dan misalkan

. Akan dibuktikan


8

Teorema 2.2 Jika matriks A adalah sebuah matriks

dan

, maka

persamaan matriks (2.2) (2.3) Persamaan (2.2) dan (2.3) mempunyai penyelesaian tunggal untuk X


9

Bukti: Misalkan tunggal

, akan dibuktikan matriks X mempunyai penyelesaian yang memenuhi

, dan karena itu merupakan

penyelesaian dari kedua persamaan (2.2) dan (2.3). Untuk melihat bahwa penyelesaian ini tunggal misalkan bahwa Y juga memenuhi persamaan (2.2), yaitu

. Kemudian

Karena itu penyelesaian dari persamaan (2.2) adalah tunggal, dan argumen yang sama diterapkan pada persamaan (2.3).

Definisi 2.2 Invers Matriks Suatu matriks A berorde

dikatakan taksingular (nonsingular) atau

dapat dibalik (invertible) jika terdapat matriks B sehingga

.

Matriks B disebut sebagai invers perkalian (multiplicative inverse) dari A. Notasi yang umum untuk invers adalah

.

Definisi 2.3 Persamaan Linear Suatu persamaan linear dalam n variabel

adalah persamaan

yang dapat dinyatakan dalam bentuk (2.4)


dengan dan

dan

adalah konstanta real,

10

adalah variabel

tidak semua sama dengan nol.

Definisi 2.4 Sistem Persamaan Linear Suatu sistem persamaan linear dalam

adalah himpunan

persamaan linear

variabel, yang dapat dinyatakan dalam bentuk

(2.5)

dengan

dan

adalah konstanta real dan

semua sama dengan nol, untuk , dapat terjadi

,

tidak

. Dalam sistem persamaan linear , atau

.

Definisi 2.5 Matriks Lengkap Matriks Lengkap dari sistem persamaan linear (2.5) adalah


11

Definisi 2.6 Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Apabila

,

dimana

adalah

konstanta-konstanta real yang memenuhi semua sistem persamaan linear dalam (2.5), maka konstanta

disebut penyelesaian dari sistem

persamaan linear.

Definisi 2.7 Sistem persamaan linear disebut konsisten jika sistem persamaan tersebut setidak-tidaknya mempunyai paling tepat sedikit satu penyelesaian atau takberhingga banyak penyelesaian. Sistem persamaan linear disebut tidak konsisten jika sistem persamaan tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Definisi 2.8 Sistem Persamaan Linear Homogen Suatu sistem persamaan linear disebut sistem persamaan linear homogen jika konstanta-konstanta di ruas kanan semuanya nol. Sistem persamaan linear homogen dapat dinyatakan dalam bentuk

(2.6)


12

Sistem persamaan linear homogen selalu mempunyai penyelesaian konsisten. Jadi, jika dalam sistem persamaan linear homogen penyelesain tunggal

, memiliki

maka penyelesaian ini disebut

penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain maka penyelesaian itu disebut penyelesaian taktrivial.

Definisi 2.9 Operasi baris elementer Operasi baris elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi: 1. Menukar letak dari dua baris matriks tersebut, yakni menukar baris ke-i dan ke-j, dengan notasi

.

2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol, yakni mengalikan baris ke-i dengan bilangan c, dimana

, dengan notasi

.

3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain, yakni mengganti baris ke-i ditambah dengan c kali baris ke-j, dengan notasi

.

Definisi 2.10 Bentuk eselon baris Suatu matriks dikatakan memiliki bentuk eselon baris jika 1. Entri bukan nol pertama dalam setiap baris adalah 1. 2. Jika baris k tidak seluruhnya mengandung nol, maka banyaknya entri nol di bagian depan pada baris dibagian depan pada baris k.

lebih besar dari banyaknya entri nol


13

3. Jika terdapat baris-baris yang entrinya semuannya nol, maka baris-baris ini berada di bawah baris-baris yang memiliki entri-entri bukan nol.

Definisi 2.11 Matriks Elementer Suatu matriks yang diperoleh dari matriks satuan I dengan melakukan satu operasi baris elementer disebut matriks elementer. Terdapat tiga jenis matriks elementer yang berkorespondensi dengan ketiga jenis operasi baris elementer. 1. Matriks elementer jenis 1 adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan dua baris dari I. 2. Matriks elementer jenis 2 adalah

matriks yang diperoleh dengan

mengalikan satu baris dari I dengan konstanta bukan nol. 3. Matriks elementer jenis 3 adalah matriks yang diperoleh dari I dengan menjumlahkan kelipatan dari satu baris pada baris yang lain.

Definisi 2.12 Ekivalen Baris Matriks B dikatakan ekivalen baris dengan A jika terdapat matriks elementer sehingga

B. Ruang Vektor Definisi 2.13 Ruang Vektor Misalkan V adalah suatu himpunan tak kosong yang terdiri dari objek-objek di mana didefinisikan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.


14

Himpunan V dengan operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi: 1. 2. 3. Terdapat elemen

sehingga

4.

sehingga

5.

untuk setiap skalar

6.

untuk setiap skalar

7.

untuk setiap skalar

8. 9. Jika 10. Jika

dan

suatu skalar,

maka

Contoh 2.1

Misalkan

pada

dan

adalah vektor-vektor di

. Penjumlahan

didefinisikan sebagai berikut:

(2.7)


dan operasi perkalian dengan skalar

di R didefinisikan sebagai berikut:

(2.8)

Tunjukkan bahwa

merupakan ruang vektor.

Bukti:

Misalkan

,

, dan

,

1. Akan ditunjukkan

2. Akan ditunjukkan

3. Akan ditunjukkan terdapat elemen

sehingga

15


4. Akan ditunjukkan

Invers dari

5. Akan ditunjukkan

6. Akan ditunjukkan

7. Akan ditunjukkan

sehingga

adalah

sehingga

16


17

8. Akan ditunjukkan

9. Akan ditunjukkan

Seperti pada persamaan (2.8) 10. Akan ditunjukkan

Seperti pada persamaan (2.7)

Definisi 2.14 Ruang bagian (subspace) Jika S adalah subhimpunan tak kosong dari suatu ruang vektor V, dan S memenuhi syarat-syarat berikut: a. b.

jika jika

untuk sembarang skalar . dan

Maka S disebut ruang bagian dari V.

.


18

Contoh 2.2

Tunjukan apakah bagian dari

merupakan ruang

atau tidak.

Bukti: 1. Akan dibuktikan

jika

untuk sembarang skalar .

dan karena

maka

karena

maka

2. Akan dibuktikan

jadi

jika

dan

.

.

dan karena

karena

dan

maka

dan

dan

maka

. Sehingga


19

ruang bagian dari

Definisi 2.15 Kombinasi linear Misalkan

adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V.

Jumlahan vektor-vektor yang berbentuk (2.9) dimana

adalah skalar-skalar disebut sebagai kombinasi linear

dari

Definisi 2.16 Merentang (span) Misalkan

adalah vektor-vektor dalam suatu ruang vektor V dan

jika masing-masing vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari merentang V.

maka dapat dikatakan bahwa vektor-vektor


20

Definisi 2.17 Bebas linear (linearly independent) Vektor-vektor

dalam ruang vektor V disebut bebas linear jika (2.10)

mengakibatkan semua skalar-skalar

sama dengan 0.

Definisi 2.18 Bergantung linear (linearly dependent) Vektor-vektor

dalam ruang vektor V disebut bergantung linear

jika terdapat skalar-skalar

yang tidak semuanya nol sehingga (2.11)

Definisi 2.19 Basis Vektor-vektor

membentuk basis untuk ruang vektor V jika dan

hanya jika: a.

bebas linear.

b.

merentang V.


21

Definisi 2.20 Dimensi dari ruang vektor V adalah

banyaknya vektor-vektor yang

membentuk basis untuk ruang vektor V. Selain itu, mendefinisikan ruang vektor nol sebagai berdimensi nol.

Definisi 2.21

Misalkan matriks

,

yaitu

. Vektor-vektor dalam

,

,

,

yang dibentuk dari baris-baris matriks A dinamakan

vektor-vektor baris dari A dan vektor-vektor dalam

,

,

, yaitu

,

yang dibentuk dari kolom-kolom matriks A

dinamakan vektor-vektor kolom dari A.

Definisi 2.22 Jika A adalah matriks

, maka ruang bagian dari

yang direntang

oleh vektor-vektor baris dari A disebut ruang baris dari A. Ruang bagian dari


22

yang direntang oleh vektor-vektor kolom dari A disebut ruang kolom dari A. Ruang kolom dari A dapat di notasikan

Contoh 2.3: Misalkan

Ruang baris dari A adalah himpunan ketiga tupel yang berbentuk

Ruang kolom dari A adalah himpunan semua vektor yang berbentuk

Jadi ruang baris dari A adalah ruang bagian berdimensi dua dari ruang kolom dari A adalah

.

Teorema 2.3 Dua matriks yang ekivalen baris memiliki ruang baris yang sama.

dan


23

Bukti: Jika B ekivalen baris dengan A, maka B dapat dibentuk dari A dengan sebarisan operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi vektor-vektor baris dari B harus merupakan kombinasi linear dari vektor-vektor baris dari A. Sebagai akibatnya, ruang baris dari B harus merupakan ruang bagian dari ruang baris A. Karena A ekivalen baris dengan B, maka dengan alasan yang sama, ruang baris dari A adalah ruang bagian dari ruang baris B.

Definisi 2.23 Ruang Nol (Null Spaces) Misal

adalah matriks

. Misalkan

penyelesaian dari sistem persamaan homogen

menyatakan himpunan semua . Jadi (2.12)

disebut sebagai ruang nol

Definisi 2.24 Rank dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris dari A. Nulitas dari matriks A adalah dimensi ruang nol dari A.


24

Untuk menentukan rank dari suatu matriks dapat dilakukan dengan mereduksikan matriks yang bersangkutan menjadi bentuk eselon baris.

Teorema 2.4 Jika suatu matriks

berada dalam bentuk eselon baris, maka vektor-vektor

baris dengan 1 utama (yaitu vektor-vektor baris taknol) membentuk suatu basis untuk ruang baris dari .

Bukti: Misalkan matriks

berada dalam bentuk eselon

baris, yakni

Akan dibuktikan vektor-vektor baris dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari . Ruang baris dari A dapat dibentuk sebagai berikut

Jadi ruang baris dari

adalah himpunan matriks-matriks


25

.

Akan ditunjukkan bahwa baris 1 sampai baris m dari matriks basis untuk ruang baris dari

membentuk

. Misalkan vektor-vektor baris dapat dinyakan

sebagai

.

Akan ditunjukkan

membentuk basis.

1. Akan ditunjukkan Vektor

bebas linear disebut bebas linear jika

mengakibatkan semua skalar persamaan

sama dengan nol. Perhatikan , yakni


26

Matriks lengkap dari sistem persamaan tersebut dapat ditulis

Dengan operasi baris elementer terhadap baris 2, yakni

maka

akan diperoleh

Operasi baris elementer dilakukan sampai pada baris ke-m, yakni dengan operasi baris elementer

dengan operasi baris elementer

maka akan diperoleh

maka akan diperoleh


maka

27

, . Karena

, maka

bebas linear. 2. Akan dibuktikan

merentang ruang baris dari A.

dikatakan merentang jika masing-masing vektor pada ruang baris di ruang bagian dari

dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari

. Ambil sembarang vektor bagian dari

. Akan ditunjukkan untuk setiap

kombinasi linear , yakni

pada ruang baris di ruang dapat dinyatakan sebagai

. Perhatikan persamaan


atau dapat ditulis


maka akan diperoleh


maka akan diperoleh


maka akan diperoleh

Karena maka

merentang ruang baris dari A.

28


Karena

29

bebas linear dan merentang maka vektor-vektor tersebut

membentuk basis untuk ruang baris dari A.

Contoh 2.4 Misalkan

Dengan mereduksikan A menjadi bentuk eselon baris, maka diperoleh matriks

Akan dibuktikan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U dengan 1 utama membentuk suatu basis untuk ruang baris dari U. Ruang baris dari U yakni dapat dibentuk

Jadi ruang baris dari U adalah

.


30

Akan ditunjukkan bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U. Misalkan ditunjukkan

membentuk basis.

1. Akan dibuktikan Vektor

, akan

bebas linear

disebut bebas linear jika

semua skalar

mengakibatkan

sama dengan nol.

atau dapat ditulis


maka akan diperoleh


maka

,

,

. Karena

31

maka

bebas linear. 2. Akan dibuktikan

merentang ruang baris dari U

dikatakan merentang jika masing-masing vektor di

dapat

dinyatakan sebagai kombinasi linear. Perhatikan persamaan dibawa ini

atau dapat ditulis


maka maka

,

, dan

maka akan diperoleh

. Karena

dan

merentang ruang baris dari U. Karena

bebas linear dan merentang maka vektor-vektor

tersebut membentuk basis untuk ruang baris dari U. Jelas bahwa baris 1 dan baris 2 dari matriks U membentuk basis untuk ruang baris dari U adalah

, maka rank dari U adalah 2. Karena U dan A


32

ekivalen baris, maka matriks U dan A memiliki ruang baris yang sama sehingga rank dari A adalah 2.

Definisi 2.25 Variabel utama adalah variabel-variabel yang bersesuaian dengan 1 utama pada matriks yang diperluas. Sedangkan variabel yang bukan 1 utama disebut sebagai variabel bebas.

Teorema 2.5 Jika A adalah matriks

, maka dimensi ruang baris dari A sama dengan

dimensi ruang kolom dari A.

Bukti Jika A adalah matriks

dengan rank r, maka bentuk eselon baris

U dari A akan memiliki 1 utama sebanyak r. Kolom-kolom dari U yang berkorespondensi dengan 1 utama akan bebas linear. Akan tetapi, tidak membentuk basis untuk ruang kolom dari A, karena pada umumnya A dan U akan memiliki ruang-ruang kolom yang berbeda. Misalkan matriks yang diperoleh dari

melambangkan

dengan menghapus semua kolom-kolom yang

berkorespondesi dengan peubah-peubah bebas. Hapuskan kolom-kolom yang


sama dari A dan nyatakan matriks yang baru dengan dan

33

. Matriks-matriks

adalah ekivalen baris. Jadi, jika x adalah penyelesaian dari

maka x juga harus merupakan penyelesaian dari kolom dari

bebas linear, x harus sama dengan

sebelumnya karena linear. Karena

,

. Karena kolom. Berdasarkan uraian

x sama dengan 0 maka kolom-kolom dari

bebas

memiliki r kolom, maka dimensi ruang kolom dari A

satidaknya adalah r. Berdasarkan Definisi matriks transpos, baris-baris dari matriks A merupakan kolom-kolom dari matrik

sehingga dapat ditulis

Seperti yang telah dibuktikan bahwa untuk sembarang matriks dimensi ruang kolomnya lebih besar atau sama dengan dimensi ruang barisnya, sehingga

Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik kolom-kolom dari matrik

merupakan


Jadi untuk sembarang matriks A, dimensi ruang barisnya harus sama dengan dimensi ruang kolomnya.


34

Teorema 2.6 Jika A adalah suatu matriks dengan n kolom, maka

Bukti Karena A memiliki n kolom, maka sistem linear homogen

memiliki n

faktor yang tidak diketahui (variabel). Variabel ini terbagi dalam dua kategori, variabel utama dan variabel bebas. Jadi

Tetapi banyaknya variabel utama adalah sama dengan banyaknya 1 utama di dalam bentuk eselon baris tereduksi dari A, dan banyaknya variabel satu utama merupakan rank dari A. Jadi

Banyaknya variabel bebas adalah sama dengan nulitas dari A. Hal ini terjadi karena nulitas dari A adalah dimensi ruang solusi dari

, yang sama

dengan banyaknya parameter pada solusi umum yang sama dengan banyaknya variabel bebas. Jadi


35

Definisi 2.26 Ruang hasil kali dalam Hasil kali dalam pada ruang vektor V adalah sebuah operasi pada V yang menunjuk setiap pasang vektor-vektor x dan y di dalam V dengan sebuah bilangan real a.

yang memenuhi syarat berikut: ,

b.

dan ,

c.

jika dan hanya jika

.

. ,

dan

.

Sebuah ruang vektor V dengan hasil kali dalamnya disebut ruang hasil kali dalam.

Contoh 2.5 Ruang vektor

. Tunjukkan bahwa hasil kali skalar yang didefinisikan:

(2.13)

adalah hasil kali dalam untuk

. Persamaan (2.13) dapat juga ditulis (2.14)

dengan

menyatakan transpose matriks x.


36

Penyelesaian:

Ambil sembarang vektor

vektor

,

, dan

, dalam ruang

dan sembarang skalar

a. Akan dibuktikan

,

dan

jika dan hanya jika

. Akan dibuktikan Diketahui

(2.15) maka dari persamaan (2.15) dapat diperoleh

Jadi

Akan dibuktikan Diketahui

dan

maka diperoleh


37

Jadi b. Akan dibuktikan

,

.

Jadi terbukti c. Akan

dibuktikan .

,

dan


38

=

Jadi terbukti Dari a, b, dan c terbukti bahwa hasil kali dalam di ruang vektor

adalah

hasil kali dalam skalar

Definisi 2.27 Panjang vektor atau norma Jika x adalah sebuah vektor di dalam sebuah ruang hasil kali dalam panjang atau norma dari x didefinisikan

(2.16)

Teorema 2.7 Jika

adalah vektor pada

, maka:

a. b.

jika dan hanya jika

,


39

Bukti: a. Misalkan

adalah vektor pada

ditulis

, akan dibuktikan .

atau dapat

ini jelas karena hasil dari akar

tidak akan bernilai negatif dan nilai dari kuadrat tidak akan bernilai negatif.

b. Akan dibuktikan

jika dan hanya jika

Diketahui

dan akan dibuktikan

.

(2.17) karena hasil dari

untuk setiap

negatif maka

untuk setiap

tidak akan bernilai . Sehingga persamaan

(2.17) bernilai benar jika dan hanya jika setiap

atau

, jadi

untuk

.

. Diketahui

, dan akan dibuktikan

Karena diketahui

, maka

. . Akibatnya


40

Teorema 2.8 .

Bukti: Misalkan x vektor sedemikian sehingga yaitu x memenuhi relasi . Karena

. Maka

. Oleh karena itu , maka jelas

, dan . Sebaliknya, jika

. Dengan demikian

maka akibat dari Teorema 2.6,

dimana n adalah banyaknya kolom A. Oleh karena itu teorema tersebut terbukti.

Teorema 2.9 Jika A adalah suatu matriks sebarang, maka

Bukti: Misalkan A sembarang matrik. Menurut Definisi rank maka

.


41

Berdasarkan Definisi matrik transpos, baris-baris dari matrik A merupakan kolom-kolom dari matrik


Berdasarkan Teorema 2.5, maka

Definisi 2.28 Ortogonal Dua vektor x dan y dalam

dikatakan ortogonal, jika (2.18)

dan dilambangkan dengan

Definisi 2.29 Subruang yang ortogonal Dua ruang bagian X dan Y dalam

dikatakan ortogonal, jika (2.19)

Jika X dan Y saling ortogonal , dapat dilambangkan dengan


42

Definisi 2.30 Komplemen Ortogonal Misalkan Y adalah ruang bagian dari dalam

. Himpunan semua vektor-vektor di

yang ortogonal pada setiap vektor di Y akan dinotasikan dengan

.

Jadi

Himpunan

disebut komplemen ortogonal dari Y.

Teorema 2.10 1. Jika X dan Y adalah ruang bagian ortogonal dari

, maka

2. Jika Y adalah ruang bagian dari

juga merupakan ruang

bagian dari

, maka

.

.

Bukti: 1.

Misalkan

dan

, akan ditunjukkan

berdasarkan definisi ortogonal maka 2.7 b

2. Misalkan

. Karena , akibat dari teorema

.

dan

adalah bilangan skalar, maka untuk setiap

,


Oleh karena itu,

. Misalkan

43

adalah elemen-elemen dari

, maka

Untuk setiap dari

. Maka diperoleh

adalah ruang bagian

.

Definisi 2.31 Rank Penuh Jika A adalah matriks

dengan rank

, maka dapat

dikatakan bahwa matriks tersebut memiliki rank penuh.

Teorema 2.11 Misalkan

matriks berukuran

penuh m. Misalkan ruang kolom dari

. Misalkan matriks

menyatakan ruang nol maka

dan

Bukti: dan

Akan dibuktikan Berarti cukup dibuktikan

, artinya

menyatakan

merupakan subruang yang saling

orthogonal.

Misalkan

dan

mempunyai rank

,


44

Perhatikan bahwa dan

Maka (2.20) Karena

maka persamaan (2.20) dapat di ubah menjadi

atau Dengan demikian Jadi

Gambar 2.1. –


Dari Teorema 2.11 telah diperlihatkan bahwa adalah subruang yang saling orthogonal. Misalkan dan –

.

Maka

dapat juga ditulis

45

dan dan

–

(2.21)

Karena

, maka persamaan (2.21) dapat di ubah menjadi –

(2.22)

Kalikan kedua ruas dengan , maka didapatkan – Diketahui bahwa

, maka didapatkan

– –

atau

Dengan demikian

–

(2.23)

Subsitusikan persamaan (2.23) ke persamaan (2.22), maka didapatkan –

–

– –


–

46

(2.24)

dengan

(2.25)

Definisi 2.32 Matriks proyeksi ortogonal Matriks P berukuran

, dengan

disebut matriks

proyeksi ortogonal atau matriks proyeksi ruang nol dari .

Teorema 2.12 Jika A adalah sebuah matriks

, maka

dan

Bukti: Sebelumnya telah diketahui bahwa bahwa

. Di lain pihak, misalkan

dari

, maka

akibatnya

dimisalkan matriks

adalah sembarang vektor

ortogonal pada setiap vektor-vektor kolom dari

. Jadi x merupakan elemen dari

dan

dan ini mengimplikasikan

maka . Jadi

dan

. Karena . Secara khusus, dapat


47

Teorema 2.13 Jika S adalah ruang bagian dari

, maka

.

Bukti: Jika

, maka

ortogonal pada setiap

, sehingga sembarang elemen dari dan

. Karena

dan mengakibatkan,

di dalam

. Oleh karena itu,

. Di lain pihak, misalkan bahwa z adalah . Misalkan z sebagai penjumlaha , maka

ortogonal pada

. Oleh karena itu,

dan

, dimana

dan . Sehingga

.

Teorema 2.14 Sistem persamaan linear homogen

memiliki penyelesaian taktrivial jika

.

Bukti: Sistem homogen selalu konsisten. Bentuk eselon baris dari matriks yang bersangkutan memiliki paling banyak m baris bukan nol. Jadi terdapat paling banyak m peubah utama. Karena semuanya secara keseluruhan terdapat n


peubah dan

48

, maka harus terdapat beberapa peubah bebas. Peubah-

peubah bebas ini dapat diberi sembarang nilai. Untuk setiap pemberian nilai ke peubah-peubah bebas ini terdapat satu penyelesaian bagi sistem yang bersangkutan.

Teorema 2.15 Misalkan A matriks

. Hal-hal berikut adalah ekivalen:

a. A taksingular b.

hanya mempunyai penyelesaian trivial

Bukti: 

Misalkan A taksingular. Akan dibuktikan

hanya mempunyai

penyelesaian trivial . Misalkan A taksingular dan

Karena

merupakan penyelesaian dari

merupakan penyelesaian dari

, maka

, maka


Jadi 

49

hanya mempunyai penyelesaian trivial.

Misalkan


. Akan

dibuktikan A taksingular. Misalkan


. Dengan

menggunakan operasi-operasi baris elementer, sistem tersebut dapat ditransformasikan menjadi bentuk

, dimana U berbentuk eselon

baris. Jika salah satu elemen diagonal dari U adalah 0, maka baris terakhir dari U seluruhnya terdiri dari 0. Tetapi kemudian

akan ekivalen

dengan suatu sistem dengan lebih banyak peubah daripada banyaknya persamaan dan dengan demikian berdasarkan Teorema 2.14 sistem akan memiliki penyelesaian taktrivial. Jadi U haruslah merupakan matriks segitiga dengan elemen-elemen diagonal semuanya sama dengan 1. Sebagai akibatnya maka I adalah bentuk eselon baris tereduksi dari A sehingga A ekivalen baris dengan I. Karena A ekivalen baris dengan I, maka terdapat matriks-matriks elementer

tetapi karena

sehingga

dapat dibalik,

juga dapat dibalik. Jadi A taksingular dan

maka hasil kali


50

Teorema 2.16 Matriks

adalah matriks bujur sangkar yang berorde

jika dan hanya jika

nonsingular

.

Bukti: Akan dibuktikan Misalkan

adalah nonsingular. Untuk membuktikan ini, misalkan z

sebagai penyelesaian untuk yakni

(2.26)

Berdasarkan Teorema 2.15, trivial maka

hanya mempunyai penyelesaian

. Sebagai akibatnya

hanya mempunyai

penyelesaian trivial dan vektor-vektor kolom dari linear, maka Akan dibuktikan

mempunyai rank

adalah bebas

.

adalah nonsingular

Untuk membuktikan ini, misalkan z sebagai penyelesaian untuk persamaan (2.26). Kemudian . Karena mempunyai

Jelas bahwa, , maka akibatnya

, maka vektor-vektor kolom dari

bebas linear dan sebagai akibatnya penyelesaian trivial. Jadi

. Jika adalah

hanya mempunyai

dan persamaan (2.26) hanya mempunyai


51

penyelesaian trivial. Oleh karena itu berdasarkan Teorema 2.15 adalah nonsingular.

Definisi 2.33 Persekitaran Persekitaran dari titik

adalah himpunan dari titik-titik , dengan

(2.27)

Definisi 2.34 Titik Interior Suatu titik dari

dikatakan titik interior dari himpunan S jika ada persekitaran

sedemikian sehingga semua titik dalam persekitaran dari

juga

berada dalam S, yakni (2.28)

Definisi 2.35 Transformasi Misalkan V dan W dua ruang vektor. Transformasi atau pemetaan atau fungsi T dari V ke dalam W adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x di V dengan satu dan hanya satu elemen di W . Untuk selanjutnya, transformasi ini ditulis


52

Ruang vekror V disebut daerah asal T. Nilai transformasi T untuk elemen ditulis

yang merupakan elemen di W. Elemen

disebut peta

dari x. Maka transformasi

T dari V ke W jika dan hanya jika

Definisi 2.36 Misalkan

transformasi pada S, maka dan

, untuk setiap

adalah invers dari yaitu komposisi dari

jika dan

adalah transformasi identitas pada S. Notasi yang umum untuk invers adalah

.


, maka

.

Bukti: Misalkan

adalah transformasi dari

. Akan dibuktikan

. i.

Misalkan , maka transformasi, sehingga

ini berarti bahwa dan dan

. Karena

adalah .


ii.

Misalkan

, karena

berarti ada

. Maka

berarti

53

sehingga maka

. Misalkan Akan

.

dibuktikan

adalah

dan jika Misalkan

karena

sehingga

transformasi

dari

dan

atau maka

, berarti ada

.

sedemikian

atau

maka

maka

. Misalkan

dan

, maka

dan

, tetapi

berarti

dan

adalah sebuah transformasi.

C. Masalah Program Linear Program linear (linear programming), adalah salah satu teknik analisis dari kelompok teknik riset operasi yang diterapkan dalam berbagai bidang yang memakai model matematika atau model simbolik sebagai wadahnya. Dengan demikian setiap persoalan yang dihadapi dalam suatu sistem permasalahan, haruslah dapat dirumuskan dalam simbol-simbol matematika tertentu. Misalnya di bidang ekonomi, masalah memaksimumkan laba dan meminimumkan

ongkos

produksi.

Manusia

cenderung

untuk

hidup

berprinsipkan ekonomi dengan usaha sedikit dapat memperoleh hasil sebanyak mungkin. Suatu perusahaan mempunyai kendala terbatasnya sumber input produksi dan berupaya mengoptimalkan output produksi untuk


54

memenuhi permintaan pasar dan mengoptimalkan penggunaan sumber produksi yang dimiliki. Permasalahan tersebut ada di dalam dunia nyata, sedangkan simbol matematika adalah dunia abstraksi yang dibuat sedemikian rupa sehingga mendekati kenyataan. Tujuan program linear adalah membantu dalam mengambil keputusan yang terbaik dari sekian banyak alternatif yang tersedia. Kelahiran teknik program linear ini berasal dari seorang ahli matematika bangsa Amerika Serikat yang bernama Dr. George Dantzig, yaitu dengan dikembangkannya metode simpleks pada tahun 1947. Pada tahun itu, Dantzig merupakan salah seorang teknokrat yang tergabung dalam kelompok Riset Operasi dari Angkatan Udara Amerika Serikat. Sebelum lahirnya karya Dantzig yang sistematis, telah terdapat pula berbagai ahli matematika lainnya yang melahirkan teknik-teknik penyelesaian masalah dengan memakai pendekatan aljabar linear (aljabar matriks) pada tahun 1930-an. Penerapan program linear untuk pertama kalinya di bidang perencanaan militer, khususnya dalam Perang Dunia II oleh angkatan bersenjata Amerika Serikat dan Inggris. Sejak itulah bersamaan dengan berkembangnya waktu, pembagunan dan teknologi, teknik-teknik program linear dengan cepat menjalar dan diterapkan dalam berbagai bidang dan disiplin ilmu dalam rangka memecahkan berbagai permasalahan yang dihadapi.


55

Dalam merumuskan masalah program linear, diperlukan adanya fungsi sasaran dan kendala-kendala.

Definisi 2.37 Fungsi Sasaran Fungsi sasaran dalam masalah program linear dapat dinyatakan sebagai (2.29) dengan n merupakan bilangan bulat yang menyatakan banyaknya variabel, merupakan variabel ke-j, dan variabel ke-j, dengan

merupakan koefisien ongkos dari

.

Kendala-kendala dibagi dua, yakni kendala utama dan kendala tak negatif. Definisi 2.38 Kendala utama Kendala utama masalah program linear berbentuk (2.30) dengan m merupakan banyaknya persamaan, variabel ke-j pada persamaan ke-i dan kanan untuk persamaan ke-i.

merupakan koefisien menyatakan konstanta di ruas


56

Definisi 2.39 Kendala Tak Negatif Kendala tak negatif berbentuk (2.31) Bentuk standart masalah program linear dapat dituliskan sebagai berikut: Minimumkan

(2.32)

dengan kendala

(2.33)

dengan

dan

adalah konstanta real,

tidak semua sama dengan nol, untuk

, dan .

Fungsi sasaran (2.32) dan sistem pertidaksamaan linear (2.33) di atas dapat dituliskan dengan notasi matriks sebagai berikut: Minimumkan

(2.34)

dengan kendala


57

(2.35)

Atau dapat ditulis Minimumkan

(2.36)

dengan kendala

(2.37)

Dalam masalah program linear timbul hubungan dual antara dua soal program linear tertentu dan masing-masing penyelesaian optimumnya akan berkaitan. Bentuk umum masalah primal-dual adalah sebagai berikut: Masalah primal (P):

Meminimumkan

(2.38)

Dengan kendala

, .

Masalah Dual (D):

(2.39) (2.40)

Maksimumkan

(2.41)

Dengan kendala

(2.42) (2.43)


58

dengan x adalah penyelesaian dari soal primal dan y adalah penyelesaian dari soal dual. Perhatikan bahwa vektor suku tetap dalam (2.39) menjadi vektor ongkos dalam (2.41) dan sebaliknya vektor ongkos dalam (2.38) menjadi vektor suku tetap dalam (2.42). Sedangkan koefisien matriks kendala (2.39) adalah transpose matriks koefisien dalam (2.42).

Definisi 2.40 Titik Layak dan Daerah Layak Suatu titik

yang memenuhi semua kendala pada

persamaan (2.30) dan (2.31) disebut titik layak (feasible point) atau penyelesaian layak (feasible solution). Himpunan dari titik layak-titik layak disebut daerah layak (feasible region) atau himpunan layak (feasible set) dan dinotasikan oleh S. Pada umumnya sistem pertidaksamaan linear (2.30) mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Di antara penyelesaian-penyelesaian tersebut dicari juga yang memenuhi (2.31), dan pada umumnya masih mempunyai penyelesaian takhingga banyak. Kemudian di antara penyelesaian layak yang takhingga banyak ini dicari yang meminimumkan fungsi sasaran, maka akan diperoleh penyelesaian optimum.


59

Definisi 2.41 Penyelesaian optimum Penyelesaian layak yang juga mengoptimumkan f disebut penyelesaian optimum.


BAB III METODE KARMARKAR

Masalah dalam program linear adalah mengoptimumkan suatu fungsi linear yang terbatas oleh kendala-kendala berupa persamaan atau pertidaksamaan linear. Untuk menyelesaikan masalah dalam program linear, selain menggunakan metode grafik atau metode simpleks yang sudah umum digunakan dapat juga diselesaikan dengan menggunakan metode titik-interior. Titik-interior merupakan titik-titik yang berada di dalam daerah layak. Ada dua langkah yang diperlukan dari metode titik-interior, yaitu mencari arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran pada titik tertentu dari setiap iterasi, dan menentukan besar langkah yang menghasilkan titik baru yang berada pada daerah layak sesuai arah layak yang memperbaiki nilai fungsi sasaran. Algoritma titik-interior dapat dibagi dalam empat kelas utama, yaitu affine scaling methods, metode proyektif atau lebih dikenal dengan metode Karmarkar, path-following methods, dan potential-reduction methods. Dalam bagian ini akan dibahas metode Karmarkar. Disebut metode proyektif karena tranformasi yang digunakan

adalah

tranformasi

proyektif.

Pada

tahun

1984,

seorang

matematikawan dari laboratorium AT & T Bell Laboratories bernama Narendra Karmarkar berhasil mengemukakan suatu algoritma baru untuk menyelesaikan masalah program linear yang besar dalam waktu yang cukup singkat yang tidak bisa dilakukan oleh metode simpleks. Metode Karmarkar untuk menyelesaikan masalah program linear pada dasarnya berbeda dari metode simpleks yaitu bahwa


61

metode simpleks dimulai dengan masalah program linear dalam bentuk standar, sedangkan metode Karmarkar dimulai dengan masalah program linear dalam bentuk kanonik khusus, yang disebut bentuk kanonik Karmarkar. Untuk lebih memahami konsep dalam metode Karmarkar perhatikan permasalahan program linear berikut. Contoh 3.1 Maksimumkan dengan kendala Agar masalah program linear di atas menjadi bentuk standar, maka ditambahkan variabel pengetat pada masalah program linear di atas, sehingga menjadi Maksimumkan dengan kendala

dengan

adalah variabel pengetat.

Gambar 3.1 menggambarkan masalah program linear di atas. Ruang penyelesaian ditunjukan dengan garis AB. Arah kenaikan f berada di arah positif

.


62

Gambar 3.1. Ilustrasi algoritma Karmarkar Iterasi dimulai dari titik-interior C dalam ruang penyelesaian (garis AB). Gradien fungsi tujuan (

) di C adalah arah yang membuat fungsi tujuan

meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian (garis AB), maka diperoleh titik baru D. Dari sudut pandang nilai f, titik D yang baru ini lebih baik dari titik awal C. Perbaikan seperti ini diperoleh dengan bergerak dalam arah CD, yang merupakan gradien garis hasil proyeksi, atau disebut sebagai gradien terproyeksi. Jika prosedur yang sama ini diulang di D, maka akan ditemukan satu titik baru di E yang lebih dekat dengan titik optimum. Dapat diperkirakan jika bergerak dengan sangat hati-hati dalam arah gradien terproyeksikan, maka akan dicapai titik optimum B. Langkah-langkah yang dihasilkan di sepanjang gradien terproyeksi tidak akan meleset dari titik optimum di B, dan dalam kasus n dimensi pada umumnya, arah yang diciptakan oleh gradien terproyeksi tidak akan menyebabkan


63

terjebaknya algoritma tersebut di titik yang bukan optimum. Pada dasarnya inilah yang dicapai oleh algoritma Karmarkar.

A. Bentuk Kanonik Karmarkar Untuk menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar digunakan bentuk umum masalah program linear berikut: Meminimumkan

(3.1)

Dengan kendala

(3.2) (3.3) , i = 1, 2, … , n

di mana

A adalah matriks m × n,

(3.4) dan 0

adalah vektor kolom nol yang berukuran m.

Untuk memperkenalkan bentuk kanonik Karmarkar dimulai dengan memisalkan

adalah vektor dalam

komponen adalah 1. Misalkan .

dengan masing-masing

merupakan ruang nol (null spaces) dari A, maka


64

Definisi 3.1 Simpleks dalam adalah vektor dalam simpleks

adalah

, dan

dengan masing-masing komponen adalah 1. Pusat dari

adalah

maka

.

Berdasarkan Definisi 2.24 dan Definisi 3.1 bentuk kanonik Karmarkar dapat ditulis kembali menjadi Meminimumkan

(3.5)

dengan kendala

(3.6)

Himpunan kendala (himpunan layak)

dapat didefinikan sebagai

(3.7)

B. Asumsi-Asumsi dalam Masalah Karmarkar Algoritma Karmarkar dapat digunakan untuk menyelesaikan masalahmasalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan asumsi berikut:


a. Pusat

dari simpleks

adalah suatu titik layak sehingga

65

.

Asumsi ini tidak bersifat membatasi, artinya sembarang masalah program linear yang memiliki suatu penyelesaian optimum dapat diubah kedalam bentuk Karmarkar sehingga memenuhi asumsi ini. b. Nilai minimum dari fungsi sasaran terhadap himpunan layak adalah nol. Asumsi ini untuk menentukan nilai

yang memenuhi nilai

minimum dari fungsi sasaran, untuk menyelesaikan masalah-masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar. c. Matriks

yang berukuran

, mempunyai rank

.

Asumsi ini merupakan asumsi teknis yang diperlukan dalam implementasi algoritma

C. Transformasi Proyeksi Pada bagian sebelumnya telah dijelaskan bahwa sembarang masalah program linear perlu diubah ke dalam suatu masalah yang ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Ekuivalen diartikan bahwa penyelesaian dari masalah dalam bentuk yang baru dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian dari masalah dalam bentuk standar atau sebaliknya. Telah diketahui bahwa sembarang masalah program linear dapat ditransformasikan ke masalah yang ekuivalen dalam bentuk standar. Oleh karena itu, cukup ditunjukkan bahwa sembarang masalah program linear dalam bentuk standar dapat ditransformasikan ke suatu masalah ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Dalam kenyataanya, transformasi yang


66

diberikan berikut akan selalu menjamin bahwa asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar dipenuhi.

Definisi 3.2 Misalkan

dimana

,dengan

. Misalkan

merupakan transformasi proyeksi yang memetakan positive orthant dari ke simpleks

, yakni

, yang didefinisikan sebagai

dengan

(3.8)

Teorema 3.1 Untuk

, maka T merupakan transformasi proyeksi yang memiliki sifat-sifat

berikut: 1. T merupakan pemetaan satu-satu yaitu untuk 2. T memetakan setiap

,

. pada

, yaitu untuk , ada

sedemikian sehingga

3. Transformasi invers dari T ada pada sebagai

dengan

.

dan diberikan .


4. T

memetakan

a

ke

pusat

simpleks

,

67

yakni

. 5. Misalkan

x

memenuhi . Maka

,

dan

.

Misalkan

.

Bukti: 1. T merupakan pemetaan satu-satu,yakni

Jika mengigat persamaan (3.8) dapat didefinisikan

(3.9)

Misalkan dengan yakni

dengan Untuk

maka dapat disimpulkan (3.10)

Untuk

maka (3.11)

Dari persamaan (3.10) dan persamaan (3.11) dapat disimpulkan bahwa

atau


68


atau Jadi terbukti bahwa T adalah pemetaan satu-satu

2. Akan dibuktikan Ambil sembarang

, maka dan

Misalkan kolom ke i dari

adalah

dan akan ditunjukkan

dikalikan kolom ke i dari ,

maka diperoleh

Akan dibuktikan

dimana

,yakni


69

(3.12)


Karena mengambil sembarang

,berarti

70

dengan

dengan demikian

Jadi, dari persamaan (3.12) diperoleh

Karena

dipilih sembarang, maka .

Jadi terbukti

3. Berdasarkan sifat 1 dan sifat 2, karena satu dan pada maka

memenuhi sifat satu-

memiliki fungsi invers yang dapat ditulis

dan diberikan sebagai

dengan

. Akan dibuktikan bahwa

cukup ditunjukkan bahwa


Karena diketahui

maka

Bila diambil

maka diperoleh

Jadi terbukti

memiliki fungsi invers dengan

71


4. Jika mengigat persamaan (3.8) dan diketahui diberikan

Karena

72

, dan

, maka diperoleh

maka diperoleh

, yakni T memetakan a ke pusat dari simpleks.


5. Ambil sembarang

, maka

, dan

sehingga

Karena

73

maka diperoleh


74

(3.13)

Karena x memenuhi

maka persamaan (3.13) dapat di ubah

menjadi

Karena

maka diperoleh

Teorema 3.2 Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada Teorema 3.1 dan diberikan matriks sehingga

. Maka ada suatu matriks jika dan hanya jika

.

sedemikian


75

Bukti: T merupakan transformasi proyektif, dan Akan dibuktikan

Ambil sembarang

, maka

, dan akan

dibuktikan Misalkan kolom ke kolom ke

dari

dari

adalah

dikalikan kolom ke

dari

, dan

adalah – , maka diperoleh –

Akan dibuktikan maka diperoleh

dan karena

,


76

(3.14)

Karena



Ambil sembarang

, maka

77

, dan akan

dibuktikan Misalkan kolom ke kolom ke

dari

dari

adalah

dikalikan kolom ke

dari

adalah – , maka diperoleh –

karena

, dan

maka diperoleh

, dan


78


79

Teorema 3.3 Misalkan T merupakan transformasi proyektif seperti pada definisi 3.2 dan diberikan vektor

. Maka ada suatu vektor

jika dan hanya jika

sedemikian sehingga

.

Bukti: T merupakan transformasi proyektif, dan Akan dibuktikan Ambil sembarang

, maka



Misalkan kolom ke

dari

, dan kolom ke

karena

adalah dari

dikalikan kolom ke

dari

80

untuk

adalah , maka diperoleh

, maka

(3.15)

Karena

, yakni



Ambil sembarang

Misalkan kolom ke kolom ke

Karena

dari

, maka

dari

81


adalah

dikalikan kolom ke

adalah , maka diperoleh

, dan

maka

dari , dan


82

D. Mengubah Masalah Program Linear Bentuk Standar ke Bentuk Kanonik Karmarkar Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan Dengan kendala

,

(3.16)

Perhatikan bahwa sembarang masalah program linear dapat diubah ke bentuk seperti di atas. Masalah dual dari bentuk standar (3.16) di atas adalah Maksimumkan Dengan kendala

,

(3.17)

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.


83

Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual Bila masalah primal dalam persamaan (3.16) dan malasah dual dalam persamaan (3.17) dikombinasikan akan diperoleh sistem berikut ini:

(3.18)

Lemma 3.1 Misalkkan x dan

masing-masing adalah penyelesaian layak untuk masalah

program linear primal dan dual, maka

Bukti

.

:

Karena x dan

adalah penyelesaian layak, maka

. Bila kedua sisi dari pertidaksamaan maka dihasilkan atau

. Karena

,

, dan

dikalikan dengan , maka


84


dan

masing-masing adalah penyelesaian layak untuk primal

dan dual. Jika

, maka

dan

adalah penyelesaian optimum

untuk masing-masing masalah.

Bukti

:

Misalkan x adalah sembarang penyelesaian layak untuk masalah primal. Karena

adalah suatu peyelesaian layak untuk dual, maka dengan lemma

dualitas (Lemma 3.1) diperoleh . Karena itu

. Jadi jika

, maka

adalah penyelesaian optimum untuk

masalah primal. Di lain pihak, misalkan masalah dual. Karena

adalah sembarang penyelesaian layak untuk

adalah suatu penyelesaian layak untuk primal, maka

dengan lemma dualitas (Lemma 3.1) diperoleh jika

, maka

. Oleh karena itu, . Karena itu

adalah

penyelesaian optimum untuk masalah dual.

Langkah 2: Menambahkan variabel pengetat Berdasarkan Teorema 3.4 masalah program linear asli dapat diselesaikan jika dan hanya jika dapat ditemukan suatu pasangan

sehingga

memenuhi relasi dari himpunan pada persamaan (3.18). Selanjutnya dapat diberikan variabel pengetat u dan surplus v, untuk mendapatkan himpunan relasi yang ekuivalen berikut:


85

(3.19)

Langkah 3: Bentuk variabel semu untuk mendapatkan titik interior awal. Misalkan yang memenuhi

, ,

memilih

, ,

, dan , dan

adalah titik-titik . Sebagai contoh, dapat

dan demikian juga dengan

, dan

.

Pertimbangkan masalah program linear berikut yang disebut sebagai masalah Karmarkar semu Minimumkan Dengan kendala (3.20)

Perhatikan bahwa titik berikut adalah suatu titik interior tegas untuk masalah (3.20) di atas.

(3.21)


86

Selanjutnya nilai minimum dari fungsi sasaran untuk masalah Karmarkar semu adalah nol jika dan hanya jika himpunan relasi sebelumnya pada persamaan (3.19) memiliki penyelesaian yakni ada

yang

memenuhi. Oleh karena itu, masalah program linear Karmarkar semu ekuivalen ke masalah program linear asli pada persamaan (3.16). Perbedaan utama antara masalah program linear asli di atas dan masalah Karmarkar semu adalah bahwa terdapat titik layak interior tegas yang eksplisit untuk masalah Karmarkar semu, sehingga harus dipenuhi asumsi yang telah ditentukan pada bab awal (asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar).

Langkah 4: Mengubah notasi Untuk mempermuda deskripsi dengan menulis ulang masalah (3.20) di atas dapat diwakili dalam notasi matriks berikut Minimumkan Dengan kendala

dimana

(3.22)


87

(3.23)

Langkah 5: Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks Pertama akan ditunjukkan sebuah cara sederhana untuk mengubah masalah di atas ke dalam bentuk kanonik Karmarkar, dengan mengabaikan syarat untuk memenuhi asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar. Untuk ini, definisikan sebuah variabel baru .

Juga

definisikan

dan

dengan .

Dengan

menggunakan notasi ini masalah program linear pada persamaan (3.22) dapat ditulis ulang menjadi

Minimumkan Dengan kendala

,

(3.24)

Diperlukan satu langkah lagi untuk mengubah masalah tersebut ke dalam bentuk yang memuat kendala yang jumlah variabel keputusannya adalah 1. Untuk ini, misalkan

, dimana


88

Transformasi dari x ke y ini disebut transformasi proyeksi. Hal ini dapat ditunjukkan bahwa

Oleh karena itu, masalah program linear yang diberikan dalam bentuk standar telah ditransformasikan kemasalah di bawah ini, yakni dalam bentuk kanonik Karmarkar:

Minimumkan

,

Dengan kendala

,

Teknik transformasi di atas dapat diubah sedikit untuk menjamin bahwa asumsi a dipenuhi. Pertama dengan menganggap bahwa diberikan suatu titik yang merupakan titik layak interior tegas, yaitu

, dan

. Akan ditunjukkan bagaimana asumsi tersebut dapat dipenuhi. Misalkan merupakan positive orthant dari

, yakni

menjadi simpleks di pemetaan

dengan

. Misalkan . Definisikan


89

dimana

Pemetakaan T disebut transformasi proyeksi dari positive orthant kedalam simpleks . Transformasi T memiliki beberapa sifat menarik. Secara khusus, dapat ditemukan vektor sehingga untuk setiap

dan matriks

,

Perhatikan bahwa untuk setiap

, mempunyai

, selain itu

. Selanjutnya, perhatikan bahwa untuk setiap

Sebagai aplikasi dari teorema yang sudah dibahas di atas, pertimbangkan masalah program linear berikut :


,

(3.25)


90

y Perhatikan bahwa masalah program linear pada persamaan (3.25) adalah dalam bentuk kanonik Karmarkar. Selanjutnya dalam definisi

dan

, masalah

program linear di atas ekuivalen dengan masalah asli dalam bentuk standar. Dengan demikian, masalah program linear dalam bentuk standar telah diubah ke masalah ekuivalen dalam bentuk kanonik Karmarkar. Selain itu, karena a adalah titik layak interior tegas, dan

adalah pusat dari simpleks , maka titik

adalah titik layak dari masalah yang ditransformasikan, oleh karena itu asumsi a dari asumsi-asumsi dalam masalah program linear dipenuhi untuk masalah program linear di atas.

Berdasarkan uraian di atas maka mengubah masalah program linear bentuk standar ke bentuk kanonik Karmarkar dapat dirangkum mengikuti langkahlangkah berikut: Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan Dengan kendala

,


91

Masalah dual dari bentuk standar adalah Maksimumkan Dengan kendala

,

Berikut ini adalah langkah-langkah untuk menjelaskan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar. 1. Kombinasikan masalah primal dan dual.

2. Menambahkan variabel pengetat

.


3. Bentuk variabel semu

92

untuk mendapatkan titik interior awal.


4. Mengubah notasi. Minimumkan Dengan kendala

dimana

5. Menentukan transformasi proyektif dari ortan positif ke simpleks. a.

Tentukan titik

b.

Dengan menggunakan masalah program linear pada langkah 4 dapat di tulis ulang menjadi

yang memenuhi

, dan

.


Minimumkan

,

dengan kendala

,

93

dengan

Berikut ini adalah contoh untuk menunjukkan bagaimana mengubah masalah program linear umum ke dalam bentuk kanonik Karmarkar. Contoh 3.2: Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan dengan kendala

Ubahlah masalah program linear diatas ke dalam bentuk kanonik Karmarkar.


Penyelesaian

Minimumkan

dengan kendala

Bentuk dual dari masalah Program Linear diatas adalah:

Maksimumkan

dengan kendala

Langkah 1: Kombinasikan masalah primal dan dual

94


Langkah 2: Menambah variabel pengetat

dan

95

, sehingga

diperoleh sistem

Langkah 3: Bentuk variabel semu z untuk mendapatkan titik interior awal yang memenuhi Minimumkan

dengan kendala

z


atau dapat ditulis Minimumkan

z

dengan kendala

Langkah 4: Mengubah notasi Minimumkan dengan kendala

96


97

dimana

Langkah 5: Menentukan

transformasi proyektif dari ortan positif ke

simpleks Langkah pertama dengan mencari suatu titik dan

, dimana

yang memenuhi

seperti pada langkah 4. Dengan melakukan

operasi baris elementer pada matriks

sampai memperoleh bentuk eselon

baris, dan dengan mengambil nilai random

maka diperoleh akan .

Selanjutnya seperti yang telah dibuktikan pada Teorema 3.2 dan Teorema 3.3 dapat ditemukan vektor

dan matriks

dimana


98

Sehingga diperoleh bentuk kanonik Karmarkar

Minimumkan

,

dengan kendala

,

dengan

E. Algoritma Karmarkar Pada bagian ini akan dibahas algoritma Karmarkar, dengan mengingat bahwa masalah program linear yang akan diselesaikan adalah masalah Karmarkar yang terbatas, yaitu masalah dari bentuk kanonik Karmarkar yang memenuhi asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar. Perhatikan kembali masalah Karmarkar berikut


99

Minimumkan dengan kendala dengan

, dan

.

Algoritma Karmarkar adalah algoritma iteratif, yakni diberikan titik awal dan diberikan parameter penghentian , maka akan menghasilkan urutan , yang memenuhi Untuk menentukan

.

, digunakan persamaan (3.26)

dengan

adalah besar langkah sedemikian sehingga nilai

pada daerah layak dan sasaran. Besar langkah

tetap berada

adalah arah layak yang memperbaiki nilai fungsi yang dipilih memenuhi

aslinya Karmarkar merekomendasikan nilai yang memperbaiki nilai fungsi sasaran

. Dalam tulisan . Sedangkan arah layak

dipilih sebagai berikut. Pertama

perhatikan bahwa gradien fungsi objektif adalah c. Oleh karena itu, arah tingkat penurunan maksimum fungsi tujuan adalah –c. Akan tetapi, secara umum arah tersebut tidak dapat digunakan, karena

haruslah terletak di

himpunan kendala

(3.27)


dimana

100

didefinisikan dengan


, dan

dan

adalah titik interior tegas dari

. Misalkan A memenuhi

, dan D adalah matriks

diagonal yang entri-entri diagonalnya merupakan komponen dari matriks B didefinisikan sebagai

maka

, dan oleh karena itu

Bukti:

Misalkan

dan A memenuhi

Akan dibuktikan

i.

memenuhi

adalah nonsingular.

. Jika


ii.

101

adalah nonsingular.

Jika

adalah matriks

yang memenuhi

bentuk eselon baris

dari

, maka

akan memiliki

utama. Untuk membuktikan matriks , cukup membuktikan

banyaknya 1 memenuhi

adalah matriks

. Dimana

adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya merupakan komponen dari

, dan


dengan tegas dari

. Karena , maka

memenuhi

Misal

memenuhi

adalah titik interior

. Sehingga elemen-elemen pada D tidak

akan bernilai nol. Dengan demikian matriks

,

adalah matriks

dan

.

, akan dibuktikan

adalah nonsingular. Berdasarkan Teorema 2.15 diatas untuk menunjukan nonsingular dengan menunjukkan

. Seperti yang

diperlihatkan dalam Teorema 2.7 dan Teorema 2.9 , maka

adalah

adalah nonsingular.


Perhatikan karena

, yakni

yang juga terletak pada

102

, maka untuk yakni memenuhi,

maka diperoleh

atau

Dengan demikian dari

, maka vektor

. Oleh karena itu, dipilih

dari -c pada ruang nol dari

haruslah elemen ruang nol

yang merupakan arah proyeksi ortogonal

. Proyeksi ini dilakukan oleh matriks

yang

didefinisikan dengan

Perhatikan bahwa

adalah nonsingular dari asumsi c.

Dalam suatu jurnal A New Polynomial-Time Algorithm For Linear Programming (Karmarkar, 1984) menguraikan bahwa jari bola terbesar dalam simpleks

. Oleh karena itu, vektor

adalah jari,


dengan dari

menunjuk pada arah proyeksi

dari

103

pada ruang nol

.

Untuk iterasi selanjutnya, fungsi

, yakni

. Ide dasar pembaharuan tersebut mirip

dengan pembaruan dari perlu diketahui bahwa

diperbaharui dengan menggunakan

ke

yang telah dijelaskan di atas. Namun,

, secara umum bukan di pusat simpleks. Oleh

karena itu, titik tersebut haruslah ditransformasi ke pusat. Untuk melakukan hal ini, memisalkan

adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya

adalah komponen dari vektor

Karena

sehingga

adalah titik interior tegas dari , dan


interior tegas dari karena itu,

, yaitu

untuk setiap k, yakni

adalah nonsingular, dan

, selanjutnya

adalah titik . Oleh


Pertimbangkan pemetaan . Perhatikan bahwa

dengan

didefinisikan sebagai

104


Akan digunakan ini dilakukan sehingga

untuk mengubah variabel x ke

. Langkah

dipetakan ke pusat dari simpleks, seperti yang

diperlihatkan di atas. Perhatikan bahwa diinverskan, dimana

105

adalah pemetaan yang dapat


Misalkan

106

, maka dengan menerapkan prosedur yang

sudah dijelaskan sebelumnya untuk mendapatkan khusus,

dari

diperbaharui untuk memperoleh

pembaruan

menggunakan rumus

. Untuk menghitung

linear awal perlu dinyatakan dalam variabel

. Secara

, masalah program

yang baru:


,

(3.28)

Teorema 3.6 Misalkan diagonal


, dan

adalah matriks

yang entri-entri diagonalnya merupakan komponen dari

Didefinisikan pemetaan

dengan

.

. Misalkan

menunjukkan perubahan dari variabel. Maka masalah program linear tertransformasi berikut dalam variabel Minimumkan Dengan kendala

,

adalah ekuivalen terhadap masalah program linear

(3.29)


107

Meminimumkan Dengan kendala

yakni

(3.30)

adalah penyelesaian optimal dari masalah (3.30) jika dan hanya jika adalah penyelesaian optimal untuk masalah (3.29).

Bukti: Misalkan

adalah titik interior tegas dari dan

adalah matriks diagonal

diagonalnya merupakan komponen dari Akan dibuktikan

, yakni yang entri-entri

.

adalah penyelesaian optimal dari masalah (3.30)

adalah penyelesaian optimal untuk masalah (3.29).

Misalkan

yakni

adalah penyelesaian optimal dari masalah (3.30),

meminimumkan

Akan dibuktikan

dan memenuhi

.

adalah penyelesaian optimal untuk

masalah (3.29), yakni memenuhi

dan

dan

meminimumkan .

dan


i.

memenuhi

akan ditunjukkan

108

memenuhi

. Karena

Karena

ii.

memenuhi

maka

maka

akan ditunjukkan

Diketahui

memenuhi

maka

adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya merupakan komponen dari

, maka

sehingga


Karena

iii.

, maka

meminimumkan meminimumkan

109

akan

dibuktikan

.

Berdasarkan asumsi b dari asumsi-asumsi dalam masalah Karmarkar, jika

meminimumkan

Maka nilai minimum dari

, maka nilai minimum dari

.


Karena

110

maka diperoleh

adalah penyelesaian optimum untuk masalah (3.30) . adalah penyelesaian optimum untuk masalah (3.29)

Misalkan

adalah penyelesaian optimal dari masalah (3.29),

yakni

meminimumkan

dan

. Akan dibuktikan

masalah (3.30), yakni dan

dan memenuhi adalah penyelesaian optimal untuk

meminimumkan

dan memenuhi

.

i.

memenuhi memenuhi

. Karena

akan

ditunjukkan maka


Karena

ii.

111

, maka

memenuhi

akan ditunjukkan

memenuhi


Karena

iii.

, maka

meminimumkan meminimumkan Karena

akan

.

meminimumkan

maka

dibuktikan

112


Karena

113

, maka

. adalah penyelesaian optimum untuk masalah (3.29) adalah penyelesaian optimum untuk masalah (3.30). adalah

penyelesaian

meminimumkan

optimal

dan memenuhi

dari

masalah

(3.30),

dan

.

adalah penyelesaian optimal untuk masalah (3.29), yakni meminimumkan

dan memenuhi

dan

.

yakni


114

Dapat ditunjukkan bahwa masalah program linear di atas dalam variabel yang baru ekuivalen dengan masalah program linear dalam bentuk standar dalam arti bahwa

adalah penyelesaian optimal untuk masalah dalam bentuk

standar jika dan hanya jika

adalah penyelesaian optimal dari masalah

yang sudah ditransformasikan. Untuk melihat ini, perhatikan bahwa , dan fungsi tujuan serta kendala dapat ditulis kembali sebagai berikut. Perhatikan bahwa

Pilih

, dimana pada ruang nol dari

adalah proyeksi normal dari , dan

definisikan matriks proyeksi ortogonal

Perhatikan bahwa

dengan

adalah nonsingular. Oleh karena itu, vektor

diberikan

Maka vektor arah

. Untuk menentukan

dapat diperoleh

,


Vektor

115

, dijamin terletak pada daerah layak yang sudah

ditransformasikan

. Langkah terakhir adalah menerapkan

transformasi invers

untuk memperoleh

Perhatikan memetakan

terletak di himpunan

, yakni

. Dapat dilihat bahwa

dan

kedalam .

Dari uraian di atas maka algoritma Karmarkar dirangkum mengikuti langkah-langkah berikut: 1. Langkah awal: Tetapkan 2. Memperbaruhi:

Tetapkan

,

. ,

dimana

adalah

pembaruan pemetaan yang ditentukan melalui langkah-langkah berikut ini: 1. Hitunglah matriks:

2. Hitunglah proyeksi ortogonal pada ruang nol dari

:


116

3. Hitunglah proyeksi ortogonal ternormalisasi dari c pada ruang nol dari

:

4. Hitunglah vektor arah:

5. Hitunglah

dimana

menggunakan:

adalah ukuran langkah,

6. Hitunglah

.

dengan menerapkan transformasi invers

3. Periksa kriteria penghentian: Jika kondisi iterasi berhenti. Jika tidak, tetapkan

:

dipenuhi, maka , kembali ke langkah 2.

Berikut ini adalah contoh untuk menunjukkan bagaimana menyelesaikan masalah program linear dalam bentuk kanonik dengan menggunakan Algoritma Karmarkar. Contoh 3.3 Pertimbangkan masalah program linear berikut ini, yang sudah berada dalam bentuk kanonik Karmarkar. Minimumkan


117

dengan kendala

Iterasi 0 Tetapkan

Iterasi 1 Akan ditentukan

dengan

langkah berikut. i.

Menghitung matriks

ii.

Menghitung proyeksi ortogonal pada ruang nol dari

diperoleh dengan langkah-


118

iii.

Menghitung proyeksi ortogonal ternormalisasi dari c pada ruang nol dari

iv.

Menghitung vektor arah

v.

Menghitung

dengan


vi.

Menghitung


,

Karena

maka

119

:

iterasi

dilanjutkan. Tetapkan k=1.

Iterasi 2 Akan ditentukan langkah berikut.

dengan



120

i.

Menghitung matriks

ii.


iii.


iv.



v.

Menghitung

dengan

vi.

Menghitung


Karena

dilanjutkan. Tetapkan k=2.

Iterasi 3

,

maka

121

:

iterasi


Akan ditentukan

dengan

122


langkah berikut. i.

Menghitung matriks

ii.


iii.



iv.


v.

Menghitung

dengan

vi.

Menghitung


:

123


124

, maka iterasi dilanjutkan.

Karena

Untuk memenuhi

titik optimumnya, yakni

akan dibutuhkan 24 iterasi dan diperoleh

.

F. Aplikasi Metode Karmarkar untuk Menyelesaikan Masalah Program Linear dengan Program MATLAB Contoh 3.4 Pertimbangkan masalah program linear berikut ini, yang sudah berada dalam bentuk kanonik Karmarkar. Minimumkan dengan kendala

dengan

,dan


Contoh 3.5: Pertimbangkan masalah program linear berikut dalam bentuk standar: Minimumkan dengan kendala

dengan

,

, dan

125


Output Bentuk kanonik Karmarkar untuk masalah program linear di atas adalah Minimumkan Dengan kendala Dengan

dan

seperti yang diperlihatkan di bawah

126


127


BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan yang telah di uraikan sebelumnya dapat di ambil kesimpulan bahwa masalah program linear dapat diselesaikan dengan mengunakan metode titik-interior yang salah satunya adalah metode Karmarkar. Suatu masalah program linear dalam bentuk standar untuk dapat diselesaikan dengan algoritma Karmarkar harus di ubah dahulu ke dalam bentuk kanonik Karmarkar. Masalah program linear dalam bentuk standar meminimumkan dapat diubah ke dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan menggunakan transformasi proyektif, yaitu dengan mengubah program linear standar ke bentuk kanonik Karmarkar. Ide dasar metode Karmarkar, yaitu dimulai dengan memilih titikinterior awal di dalam ruang penyelesaian. Gradien fungsi tujuan di titikinterior awal adalah arah yang membuat fungsi tujuan meningkat dengan cepat. Jika satu titik sembarang ditempatkan di sepanjang gradien itu dan lalu memproyeksikannya secara tegak lurus terhadap ruang penyelesaian, maka hasil transformasi titik-interior yang dipilih diposisikan lebih dekat dengan titik optimum. Hasil transformasi titik-interior yang dipilih dijalankan ke suatu titik-interior lain dengan arah layak dan besar langkah


129

yang sesuai. Proses iterasi ini diulang hingga nilai fungsi sasaran sama dengan nol. B. Saran Menyelesaikan masalah program linear dengan menggunakan metode Karmarkar dalam skripsi ini hanya bisa digunakan untuk meminimumkan nilai fungsi sasaran dengan menggunakan kendala lebih besar sama dengan saja. Bagi pembaca yang tertarik untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode titik-interior salah satu pilihannya dapat melanjutkan skripsi ini dengan menggunakan kendala campuran. Selain melanjutan skripsi ini, untuk menyelesaikan masalah program linear dengan metode titik-interior dapat juga digunakan misalnya affine scaling methods, path-following methods, dan potential-reduction methods.


130

DAFTAR PUSTAKA Anton, H. (1981). Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Chong, E. K.P. dan Zak, S. H. (1996). An Introduction To Optimazation. Newyork: John Wiley & Sons Inc. Karmarkar, N. (1984). A New Polynomial-Time Algorithm For Linear Programming. Combinatorica. 4(4): 373-395. Kurtz, D. (1992). Foundations of Abstract Mathematics. New York: McGrawHill. Leon, S. J. (1998). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga. Mirsky, L. (1955). An Introduction To Linear Algebra. London: Oxford University Press Nasendi, B. D. dan Anwar, A. (1985). Program Linear dan Variasinya. Jakarta: Gramedia. Nash, S. G. and Sofer, A. (1996). Linear and Nonlinear Programming. New York: McGraw-Hill. Retnojiwati, A. (2007). Metode Primal Affine-skaling untuk Masalah Program Linear (Skripsi). Yogyakarta: Fakultas MIPA USD. Taha, H. A. (1996). Riset Operasi. Suatu Pengantar. Jakarta: Bina Rupa Aksara. Winston, W. N. and Venkataramanan, M. (2003). Introduction to Mathematical Programming. London: Thomson Learning.


131

LAMPIRAN 1 Listing Program %Program menyelesaikan masalah program linear dengan metode Karmarkar %Fungsi YB0 menampilkan Program menyelesaikan masalah PL dalam bentuk baku masalah minimum %Fungsi YB1 menampilkan Program menyelesaikan masalah PL dalam bentukkanonik Karmarkar clc;clear all;close all; YB0='masukkan 0 untuk PL dalam bentuk baku masalah minimum'; YB1='masukkan 1 untuk PL dalam bentuk kanonik Karmarkar'; disp(YB0) disp(YB1) YB=input('masukkan pilihan '); tic if YB==1 Kanonik_Karmarkar elseif YB==0 Minimum_standar else YB='input yang anda masukkan salah'; disp(YB) end toc


132

LAMPIRAN 2 Listing Program Masalah Program linear dalam bentuk Kanonik Karmarkar %Program menyelesaikan masalah program linear dengan metode Karmarkar %Masalah program linear dalam bentuk Kanonik Karmarkar clear all;close all; 'Menyelesaikan masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar dengan algoritma Karmarkar' n=input('masukkan banyak variabel '); c=input('masukkan koefisien ongkos c= ')'; A=input('masukkan koefisien teknis A= '); x=((ones(1,n))*(1/n))'; e=(ones(1,n)); I=diag(e); r=1/(sqrt(n*(n-1))); alpa=(1/4); a=x; Q=0.00000001; salah=1; A_baru=[A;e]; p=A_baru(:,1); w=length(p); R=rank(A_baru); iterasi=0; if w==R while salah>=Q iterasi=iterasi+1; D=diag(x); AD=A*D; B=[AD;e]; P=I-B'*(inv(B*B'))*B; pdc=(P*(D*c)); ck=pdc/(norm(pdc)); dk=-r*ck; x_bar=(a)+(alpa*dk); x_baru=(D*(x_bar))/(e*D*(x_bar)); x=x_baru; salah=(c'*x_baru)/(c'*a); end iterasi=iterasi; 'Jadi diperoleh titik optimumnya, yakni' x else 'Asumsi c tidak dipenuhi dan matriks A tidak mempunyai invers' 'Tidak dapat diselesaikan dengan algoritma Karmarkar' end


133

LAMPIRAN 3 Listing Program Masalah Program linear dalam bentuk standar meminimumkan

%Program menyelesaikan masalah program linear dengan Karmarkar %Masalah program linear dalam bentuk baku meminimumkan clc;clear all;close all; warning('off');

metode

'Menyelesaikan masalah program linear dalam bentuk standar dengan mengunakan algoritma Karmarkar' N=input('masukkan banyak variabel '); M=input('masukkan banyak kendala '); c_awal=input('masukkan koefisien ongkos c= ')'; A_awal=input('masukkan koefisien teknis A= '); b_awal=input('masukkan suku tetap di ruas kanan b= ')'; n=(((N+M)*2)+1); baris=(N+M+1); c_tilda=[(zeros(((N+M)*2),1));1]; a1=[(c_awal)' (-(b_awal))' (zeros(1,N)) (zeros(1,M)) (((c_awal)'*(ones(N,1)))+((b_awal)'*(ones(M,1))))]; a2=[A_awal (zeros(M,M)) (zeros(M,N)) (-(diag(ones(1,M)))) ((b_awal)-((A_awal)*(ones(N,1)))+(ones(M,1)))]; a3=[(zeros(N,N)) (A_awal)' (diag(ones(1,N))) (zeros(N,M)) ((c_awal)-((A_awal)'*(ones(M,1))))]; A_tilda=[a1;a2;a3]; b_tilda=[0 (b_awal)' (c_awal)']'; A_baru=[A_tilda b_tilda]; r_ref=rref(A_baru); R=rank(r_ref); a_rand=rand(n-R,1); matrix=r_ref(:,n+1); matrix2=r_ref(:,n+1); col=1; col2=1; vektor=[]; for index1=1:n jml0=0; jml1=0; for index2=1:baris if r_ref(index2,index1)==0


jml0=jml0+1; end if r_ref(index2,index1)==1 jml1=jml1+1; end end if (jml0+jml1)==baris && jml1==1 isexist=0; for i=1:col if matrix(:,i)==r_ref(:,index1) isexist=1; end end if isexist == 0 matrix=[matrix r_ref(:,index1)]; vektor=[vektor index1]; col=col+1; else matrix2=[matrix2 r_ref(:,index1)]; col2=col2+1; end else matrix2=[matrix2 r_ref(:,index1)]; col2=col2+1; end end matrix2=matrix2(:,2:col2); matrix=[matrix(:,2:col) matrix(:,1)]; Abaru=[matrix(:,1:col-1) matrix(:,col)-(matrix2*a_rand)]; A=Abaru(:,R+1); z=A'; iterasi=0; tol=zeros(R,1); f=false; for index=1:length(z) if z(:,index)<=0; f=true; end end while f iterasi=iterasi+1; a_rand=rand(n-R,1); Abaru2=[matrix(:,1:col-1) matrix(:,col)-(matrix2*a_rand)]; A=Abaru2(:,R+1); g=0; z=A'; for index=1:length(z) if z(:,index)>0 g=g+1; end end

134


if g==length(z) f=false; end end a_rand; A1=A'; aa_rand=(a_rand)'; a_baru=[]; vektor; index_rand=1; for i=1:n exist=0; in=0; for a=1:R if i==vektor(:,a) vektor(:,a); in=a; exist=1; end end if exist==1 exist; a_baru=[a_baru A1(:,in)]; else a_baru=[a_baru aa_rand(:,index_rand)]; index_rand=index_rand+1; end end a_baru; c2=(c_tilda)'; for index=1:length(a_baru) A2(:,index)=A_tilda(:,index)*a_baru(:,index); c3(:,index)=c2(:,index)*a_baru(:,index); end A2; c3; 'dimana' c_aksen=[c3 0] A_aksen=[A2 -(b_tilda)] N_baru=n+1; x=((ones(1,N_baru))*(1/N_baru))'; e=(ones(1,N_baru)); I=diag(e); r=1/(sqrt(N_baru*(N_baru-1))); alpa=(1/4); a=x; Q=(10^(-4)); salah=1; i=0; c=(c_aksen)';

135


136

AA=[A_aksen;e]; p=AA(:,1); w=length(p); R=rank(AA); if w==R while salah>=Q i=i+1; D=diag(x); AD=A_aksen*D; B=[AD;e]; P=I-(B'*(inv(B*B'))*B); pdc=(P*(D*c)); ck=pdc/(norm(pdc)); dk=-r*ck; x_bar=(a)+(alpa*dk); x_baru=(D*(x_bar))/(e*D*(x_bar)); salah=(c'*x_baru); x=x_baru; end i=i 'Jadi penyelesaian untuk masalah program linear dalam bentuk kanonik Karmarkar, yakni' x x_barr=x'; z_solusi=c'*x for indeks=1:N y(:,indeks)=((a_baru(:,indeks))*(x_barr(:,indeks)))/x_barr(:,N_bar u); end 'Jadi penyelesaian untuk masalah program linear dalam bentuk standar adalah' y_solusi=y 'Dengan nilai fungsi sasaran adalah' solusi=(y_solusi)*c_awal else 'Asumsi c tidak dipenuhi dan matriks A tidak mempunyai invers' 'Tidak dapat diselesaikan dengan algoritma Karmarkar' end

METODE KARMARKAR UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM LINEAR

Recommend Documents