TRANSFORMASI FOURIER FRAKSIONAL QUATERNION SISI KANAN
RIGHT SIDE of FRACTIONAL QUATERNION FOURIER TRANSFORM
Nani Sukartini Sangkala, Mawardi Bahri, Amir Kamal Amir Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Hasanuddin
Alamat korespondensi: Nani Sukartini Sangkala Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Hasanuddin Makassar, 90245 HP : 085255570344 Email :
[email protected]
Abstrak Transformasi Fourier (TF) merupakan teori matematika yang dikembangkan untuk mengatasi kerumitan analisis sinyal non periodik, Transformasi Fourier Fraksional (TFF), Transformasi Fourier Quaternion(TFQ) dan Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ) adalah pengembangan dari TF. Penelitian ini bertujuan untuk membangun definisi dan merumuskan sifat-sifat transformasi khususnya TFFQ sisi kanan. Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ), merupakan pengembangan dari teori TFF dan aljabar quaternion. Quaternion merupakan perluasan bilangan kompleks dalam bentuk empat dimensi dan perkaliannya bersifat nonkomutatif. Metode penelitian dilakukan dengan mengkaji materi-materi yang berkaitan dengan sifat-sifat TFFQ seperti sifat-sifat dasar Transformasi Fourier. Kemudian mengkaji karakteristik dari sifat-sifat transformasi. Sifat-sifat dasarnya yaitu linearitas, translasi, modulasi dan differensiasi. Setiap fungsi dari sifatsifat tersebut dioperasikan dengan kernel yang telah diberikan. Perumusan sifat-sifat ini dilakukan dengan teknik manipulasi aljabar dan memperhatikan sifat-sifat integral. Sehingga diperoleh rumusan transformasi dari setiap sifat-sifat. Berdasarkan hasil penelitian, disimpulkan bahwa sifat-sifat TFFQ similar dengan sifat-sifat TFF. Hal ini disebabkan karena kernel dari kedua transformasi ini memiliki kesamaan, sehingga mempengaruhi karakterisik dari sifat-sifatnya. Kata kunci:Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ), Transformasi Fourier Fraksional (TFF), Transformasi Fourier (TF), aljabar quaternion
Abstract Fourier Transform (TF) is a mathematical theory that was developed to overcome the complexity of the analysis of non-periodic signals. Fractional Fourier transform (TFF), Quaternion Fourier Transformation (TFQ) and Fractional Fourier transform Quaternion (TFFQ) is the development of TF. This study aims to establish definitions and formulate transformation properties TFFQ especially the right side. Fractional Fourier transform Quaternion (TFFQ), is a development of the theory of TFF and quaternion algebra. Quaternion is an extension of complex numbers in the form of four-dimensional and its multiplication non komutatif. The method of research is done by reviewing materials related to properties such TFFQ basic properties of the Fourier Transform. Then examines the characteristics of the properties of the transformation. The properties are essentially linearity, translation, modulation and differentiation. Every function of the properties operated by the kernel that has been given. The formulation of these properties is done by algebraic manipulation techniques and rule of integration. In order to obtain the transformation formula of any nature. Based on the research results, it was concluded that TFFQ properties similar to the properties of the TFF. This is because the kernel of this transformation both have in common, so the influence of the characteristics of its properties. Key word: Fractional Quaternion Fourier Transform (FQFT), Fractional Fourier Transform (FFT), Fourier Transform (FT), quaternion algebra.
PENDAHULUAN Transformasi Fourier (TF) merupakan teori matematika yang pertama kali ditemukan oleh seorang matematikawan Joseph Fourier. Kerumitan
Analisis sinyal non periodik dan
kemudahan analisis sinyal di domain frekwensi adalah beberapa faktor yang melatar belakangi teori transformasi ini dikembangkan ke bentuk-bentuk transformasi integral lainnya, antara lain Transformasi Fourier Fraksional (TFF), Transformasi Fourier Quaternion(TFQ) dan Transformasi Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ). Seiring berkembangnya teori dan aplikasi TF di bidang analisis signal, ternyata para analis di bidang ini menganggap TF belum dapat memenuhi kebutuhan analisis signal (Guanlei, 2008). Kemudian teori TF dikembangkan oleh Namias pada tahun 1980, yang dikenal dengan nama Transformasi Fourier Fraksional (TFF). TFF merupakan generalisasi dari TF. Sifat-sifat dasar pada TFF merujuk pada sifat-sifat dasar TF. Teori TFF telah dikembangkan dalam penelitian matematika oleh Guanlei, dkk., (2009) dan Sharma (2013). Teori TFF kemudian diaplikasikan untuk memenuhi kebutuhan di bidang analisis signal. Setelah TF dikembangkan menjadi TFF, Ell (1993) membangun konsep baru dengan memadukan teori TF dengan aljabar Quaternion. . Quaternion merupakan perluasan bilangan kompleks dalam bentuk empat dimensi dan perkaliannya bersifat nonkomutatif (Morais, dkk., 2010). Perpaduan dua konsep ini dikenal dengan bentuk Transformasi Fourier Quaternion (TFQ). Konsep TFQ yang pertamakali diperkenalkan olehnya adalah TFQ dua sisi. Sifat nonkomutatif pada operasi perkalian quaternion, menyebabkan TFQ terbagi menjadi tiga tipe yaitu TFQ tipe I (dua sisi), TFQ tipe II (sisi kiri) dan TFQ tipe III (sisi kanan). Sifat-sifat TFQ sisi kanan dan konvolusi juga telah dikembangkan oleh Hitzer (2007) dan Resnawati (2013) sedangkan prinsip ketidakpastian TFQ dikembangkan oleh Bahri, dkk., (2008). Adapun aplikasi TFQ dalam pengolahan citra telah dikembangkan oleh Assefa, dkk., (2009). Teori TF dinilai masih bisa dikembangkan ke bentuk transformasi yang lain, selain bentuk TFF dan TFQ. Berbeda dengan Ell yang memadukan antara TF dan aljabar quaternion, Guanlei, dkk., (2008) menemukan ide baru dengan memadukan teori TFF dengan aljabar quaternion. Mereka menjadi orang pertama yang mendefinisikan bentuk
Transformasi
Fourier Fraksional Quaternion (TFFQ) dua sisi. Kemudian Deyun dan Yuanmin (2013) mendefinisikan bentuk TFFQ sisi kanan, berdasarkan bentuk TFQ tipe III. Peneltian ini bertujuan untuk membangun definisi dan merumuskan sifat-sifat TFFQ sisi kanan.
METODE PENELITIAN Lokasi dan Rancangan Penelitian Penelitian ini bertempat di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin. Rancangan penelitian ini berbentuk penelitian kualitatif dengan melakukan studi kepustakaan, dengan mengumpulkan dan mengkaji materi-materi yang berkaitan dengan sifat-sifat aljabar Quaternion, TF dan TFF. Analisis Data Penelitian dilakukan dengan melalui tahapan pertama yaitu membangun definisi TFFQ sisi kanan. Setelah definisi TFFQ dibangun, maka sifat-sifat TFFQ mulai dirumuskan dengan menggunakan definisi TFFQ. Sifat-sifat dasar TF seperti linearitas, translasi, modulasi dan skala (Asmar., 2000) menjadi dasar untuk merumuskan sifat-sifat TFFQ.
HASIL PENELITIAN Bentuk TFFQ sisi kanan yang diperoleh adalah sebagai berikut. Definisi 1 (TFFQ) Untuk beberapa sinyal Quaternion
f ( x, y) f 0 ( x, y) if1 ( x, y) jf 2 ( x, y) kf3 ( x, y), f 0 , f1 , f 2 , f3 R 2
2
Transformasi Fourier Fraksional Quaternion satu sisi dari f ( x, y ) L ( R ; H ) adalah F , (u, v) :
,
F
(u , v )
(1.1)
f ( x, y ) K , ( x, u ) K , ( y, v ) dxdy
dimana
K , ( x, u )
1 cot (( x2 u2 )/ 2tan ( xu /sin )) e 2
K , ( y, v )
1 cot ((y2 v2 )/2 tan ( yv /sin )) e 2
Teorema 1. (Linearitas) Jika f ( x, y ) f1 ( x, y ) f 2 ( x, y) untuk beberapa konstanta real
dan , maka:
F , (u, v ) F1 , (u, v ) F2 , (u , v)
(1.2)
Teorema 2. (Translasi) Misalkan
∈
(ℝ ; ℍ) dan translasi dari fungsi
didefinisikan sebagai ( , ) =
maka TFFQ sisi kanan memenuhi sifat translasi, yaitu: ℱ
,
{ ( , )}( , ) = ℱ
,
{ }( −
, −
)
(
)
−
,
−
,
×
(1.3)
Teorema 3. (Modulasi) Misalkan sebagai ℱ
( , )= ( , )
,
,
,
( , )=ℱ
,
dimana
∈ ℝ . Jika modulasi dari fungsi
, −
dinyatakan
) (
(
Teorema 4. (Skala) Misalkan )
(ℝ ; ℍ), ,
, maka FrTFQ satu sisi memenuhi sifat modulasi, yaitu
{ }( −
×
(
∈
∈
(ℝ ; ℍ) dan skala dari fungsi
)
(1.4)
didefinisikan sebagai
( )=
∈ ℝ adalah konstanta tidak nol. Maka skala TFFQ sisi kanan dinyatakan sebagi
bentuk berikut:
ℱ
,
{ (
)}( ) =
1
ℱ
,
{ }( )
×
(1.5)
PEMBAHASAN Penelitian ini menghasilkan rumusan sifat-sifat TFFQ berdasarkan sifat-sifat dasar TF yaitu sifat linearitas, translasi, modulasi dan skala. Rumusan sifat-sifat ini diperoleh dengan mengoperasikan fungsi kuaternion dengan kernel TFFQ yang diberikan pada persamanaan (1.1).Kemudian diperoleh bentuk transformasi yang baru sebagaimana pada persamaan (1.2) sampai (1.5). Penelitian ini melibatkan proses manipulasi aljabar yang cukup sederhana. Manipulasi aljabar ini penting untuk menyusun bentuk kernel yang baru, sehingga diperoleh bentuk transformasinya. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa bentuk kernel yang diberikan mempengaruhi karakteristik sifat-sifat transformasi yang diperoleh. Bentuk kernel TFFQ menunjukkan bahwa bentuk transformasi dari sifat linearitas, translasi, modulasi dan skala menyerupai bentuk transformasi pada sifat-sifat TFF. Adapun letak perbedaannya pada dimensinya yaitu TFF berdimensi satu sedangkan TFFQ berdimensi dua.
KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil dan pembahasan dapat disimpulkan bahwa TFFQ memenuhi sifatsifat dasar yaitu linearitas, translasi, modulasi dan skala. Bentuk kernel yang diberikan mengakibatkan sifat-sifat ini similar dengan sifat-sifat TFF. Penelitian ini masih bisa dikembangkan lagi antaralain pada sifat korelasi yang belum diteliti. Sehinnga dapat menjadi peluang penelitian kedepan.
UCAPAN TERIMA KASIH Penulis menyampaikan terimakasih kepada KomisiPenasehat Dr. Mawardi Bahri dan Dr. Amir Kamal Amir yang telah memberikan pengarahan dan petunjuk dalam menyelesaikan jurnal ilmiah ini, serta kepada semua pihak yang telah memberikan bantuan dan fasilitas dalam penulisan jurnal ilmiah ini.
DAFTAR PUSTAKA Asmar, N., (2000) Partial Differential Equations with Fourier Series. Second edition. Pearson Prentice Hall. New Jersey. Assefa, D., Mansinha, L., Tiampo, K.F., Rasmusse, H., Abdella, K., (2009). Local Quaternion Fourier Transform and Color Image Texture Analysis: Signal Processing. 90:1825-1835. Bahri, M., Hitzer, E.SM., Hayashi, A., Ashino, R., (2008). An Uncertainty Principle for Quaternion Fourier Transform: Computers and Mathematics with Applications. 56: 2398-2410. Deyun dan Yuanmin., (2013). Different Forms of Plancherel Theorem for Fractional Quaternion Fourier Transform: Optik. Pages 4. Ell., (1993). Quaternion Fourier Transform for Analysis for Two-Dimensional Linear TimeInvariant Partial Differential System: Confrence and Decision Control. San Antonio, Texas. Guanlei, Xu., Xiaotong, W., Xiaogang, X. (2008). Fractional Quaternion Fourier Transform, convolution and correlation : Signal Processing. 88 : 2511-2517. Guanlei, Xu., Xiaotong, W., Xiaogang, X., (2009). Generalized Entropic uncertainty principle on Fractional Fourier Transform: Signal Processing. 89 : 2692-2697. Hitzer, E., (2007). Quaternion Fourier Transform on Quaternion Fields and Generalization: Advance Applications of Clifford Algebra. 17: 497-517. Morais, J.P., Georgiev, S., Sprobig, W., (2010). Real Quaternionic Calculus Handbook. New York. Resnawati., (2013). Transformasi Kanonikal Linear Quaternion :Tesis. Sharma, V.D., (2013). Modulation and Parsevals Theorem For Generalized Fractional Fourier Transform: Engineering Research and Applications. 3: 2248-9622.
