QUATERNION DAN APLIKASINYA. Sangadji *

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVII, Agustus 2006 (301-307)

QUATERNION DAN APLIKASINYA Sangadji*

ABSTRAK QUATERNION DAN APLIKASINYA.Dalam matematika, quaternion merupakan perluasan dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga-dimensi. Quaternion diciptakan oleh Sir William Rowan Hamilton(1805-1865) pada tahun 1843, seorang algebraist, astronomer dan physicist dari Irlandia. Dalam makalah ini di samping membahas arti quaternion dalam matematika juga membahas aplikasi quaternion pada transformasi rotasi dalam ruang. Kata-kata kunci: quaternion, perluasan bilangan kompleks, normed division algebra.

ABSTRACT QUATERNION AND ITS APPLICATION.In mathematics, quaternions constitute an extension of complex numbers that is not commutative, and applied in three dimensional mechanics. Quaternions were firstly described by Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) in 1843, an algebraist, astronomer and physicist from Ireland. The paper discusses not only notion of quaternions in mathematics but also application of quaternions on spatial rotation. Keywords: quaternion, extension of complex numbers, normed division algebra.

PENDAHULUAN Suatu quaternion dapat dinyatakan dengan simbol x = x + x1i + x 2 j + x3 k , di mana x , x1 , x 2 , x3 bilangan-bilangan real. Perkalian skalar didefinisikan dengan

cx = cx + cx1 i + cx 2 j + cx3 k , jumlahan x dan y didefinisikan dengan

x + y = ( x + x1 i + x 2 j + x3 k ) + ( y + y1i + y 2 j + y 3 k ) = ( x + y ) + ( x1 + y 1 ) i + ( x 2 + y 2 ) j + ( x3 + y 3 ) k ,

*

Pusat Pengembangan Informatika Nuklir - Batan

301


sedangkan hasil kali xy didefinisikan sebagai hasilkali bila kita mengalikan x dan y menggunakan hukum distributif dan konvensi

i 2 = j 2 = k 2 = −1, ij = − ji = k , jk = −kj = i, ki = −ik = j. Himpunan dari semua quaternion dengan hukum komposisi jumlahan dan hasil kali di atas merupakan division ring dan skew field. Himpunan ini memenuhi semua aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian. Quaternion ditemukan oleh Sir William Rowan Hamilton(1805-1865) pada tahun 1843, seorang algebraist, astronomer dan physicist dari Irlandia.

ARTI QUATERNION DALAM MATEMATIKA Dalam matematika, quaternion merupakan ekstensi dari bilangan-bilangan kompleks yang tidak komutatif, dan diterapkan dalam mekanika tiga-dimensi. Dalam bahasa modern, quaternion membentuk normed division algebra empat-dimensi lewat field dari bilangan-bilangan real dan ditulis dengan notasi H. Quaternion juga diterapkan dalam rotasi tiga-dimensi. Setiap quaternion adalah kombinasi linier dari basis quaternion 1, i, j, dan k, yaitu setiap quaternion disajikan secara tunggal dengan bentuk a + bi + cj + dk di mana a, b, c, dan d adalah bilangan – bilangan real. Dengan kata lain, sebagai ruang vektor lewat bilangan – bilangan real . Himpunan H dari quaternion – quaternion mempunyai dimensi 4 yang mana bidang dari bilangan – bilangan komplek mempunyai dimensi 2. Himpunan dari semua quaternion dengan hukum komposisi jumlahan dan hasil kali di atas merupakan division ring dan skew field. Himpunan ini memenuhi semua aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian. Persamaan z2 + 1 = 0, di mana z = a + bi + cj + dk , sebagai contoh mempunyai solusi tak berhingga banyak quaternion dengan bentuk z = bi + cj + dk dengan b2 + c2 + d2 = 1. Conjugate z * dari quaternion z = a + bi + cj + dk didefinisikan sebagai

sedangkan nilai absolute dari z didefinisikan dengan

302


PENYAJIAN QUATERNION DENGAN MATRIKS Penyajian quaternion dengan matriks dapat dilakukan dengan dua cara. Cara pertama, quaternion a + bi + cj + dk dapat disajikan dengan matriks:

Sedangkan cara kedua,quaternion a + bi + cj + dk dapat disajikan dengan matriks:

Pada cara pertama, kelebihannya adalah bahwa matriksnya

hanya berordo

2 × 2 tetapi kekurangannya bahwa elemen-elemen matriksnya terdiri dari bilangan

kompleks. Sedangkan pada cara kedua, kelebihannya bahwa elemen-elemen matriksnya semuanya hanya merupakan bilangan real tetapi kekurangannya adalah bahwa matriksnya berordo 4 × 4.

APLIKASI QUATERNION DALAM 3D Sudah diketahui bahwa hasil kali vektor ada hubungannya dengan rotasi dalam ruang 3D. Kita akan mencari formula yang menyatakan rotasi dalam ruang 3D dengan menggunakan hasil kali quaternion. Mirip dengan formula untuk rotasi dalam 2D yang menggunakan hasil kali kompleks yang berbentuk

F ( w) = zw, di mana

z = eα i digunakan untuk rotasi dengan sudut α , Formula dalam 3D tidak dapat berbentuk sebagai hasil kali sederhana dengan quaternion. Seperti diketahui bahwa merotasikan vektor menghasilkan vektor. Tetapi

303


mengalikan vektor dengan quaternion yang non trivial menghasilkan quaternion dengan bagian real tidak sama dengan nol, jadi hasilnya bukan merupakan vektor. Perlu dicatat bahwa kita dapat menghilangkan bagian realnya bila kita mengalikan dengan quaternion dari satu sisi dan dengan invers-nya dari sisi yang lain. Misalkan z = a + u adalah suatu quaternion yang tidak sama dengan nol. Pandang fungsi f(v) = z v z-1 di mana z-1 adalah invers dari z dan v merupakan suatu vektor yang dipandang sebagai suatu quaternion dengan bagian realnya bernilai nol. Fungsi f dikenal sebagai konjugasi dengan z . Perlu dicatat bahwa bagian real dari f(v) adalah nol, karena pada umumnya zw dan wz mempunyai bagian real yang sama untuk sembarang quaternion z dan w. Jadi dapat ditulis ℜ (z v z-1) = ℜ (v z-1 z) = ℜ (v 1) = 0. Perlu dicatat bahwa bukti ini membutuhkan sifat asosiatif dari hasil kali quaternion. Hasilnya adalah bahwa sudut rotasi α dapat diperoleh jika kita memperhatikan unit quaternion z = a + v: kita mendapatkan

. Dapat diperlihatkan bahwa bahwa rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sebesar sudut α mengelilingi sumbu v dapat disajikan dengan konjugasi oleh unit quaternion z

di mana

adalah vektor satuan yang berbentuk

Quaternion sering digunakan dalam komputer grafik untuk menyatakan rotasi dan orientasi objek – objek dalam 3D. Sebagai contoh pandang rotasi f mengelilingi sumbu u = i + j + k, dengan sudut rotasi 120°, atau 2π⁄3 radial.

304


z (1,1,1)

α

u=i+j+k

O

y

x Gambar 1. Rotasi f mengelilingi sumbu u = i + j + k dengan sudut rotasi 120° Menggunakan konjugasi quaternion satuan diperoleh :

. Jadi dapat diperoleh hasil bahwa rotasi f berbentuk f(ai + bj + ck) = z (ai + bj + ck) z∗ di mana z∗ = 1/z. Mengingat z mempunyai modulus 1diperoleh z∗ = (1−i−j−k)/2. Menggunakan aritmetika quaternion, akhirnya dapat disimpulkan bahwa f(ai + bj + ck) = ci + aj + bk.

KESIMPULAN 305


1. Himpunan dari semua quaternion dengan hukum komposisi jamlahan dan hasil kali di atas merupakan division ring dan skew field. Himpunan ini memenuhi semua aksioma untuk suatu field, kecuali hukum komutatif untuk perkalian. 2. Quaternion sering digunakan dalam komputer grafik untuk menyatakan rotasi dan orientasi objek – objek dalam 3D. 3. Rotasi yang berlawanan arah dengan jarum jam sebesar sudut α mengelilingi sumbu v dapat disajikan dengan konjugasi oleh unit quaternion z, yaitu f(v) = z v z-1

DAFTAR PUSTAKA 1. "http://en.wikipedia.org/wiki/Quaternion" 2. ”http://www.euclideanspace.com/maths/algebra/_realNormedAlgebra/ quaternions/” 3. ”http://www.euclideanspace.com/maths/geometry/rotations/conversions/ eulerToQuaternion/

DISKUSI M. BUNJAMIN 1. Quaternion = jumlah skalar + vector. Jadi apa skalar + vector? 2. Rotasi di ruang 3D sebenarnya dapat dilakukan dengan sin/cos biasa, tidak perlu quaternion. SANGADJI 1. Jadi memang quaternion X adalah sebagai X = X0 +X1i+X2j + X3k, dimana pada X0, X1, X2, X3 bilangan real dan I,j,k vector-vektor satuan yang berturur-turut searah dengan sumbu-sumbu X+, Y+, Z+ 2. Memang rotasi di ruang 3D dapat dilakukan dengan sin/cos biasa DAFTAR RIWAYAT HIDUP 306


1. Nama 2. Tempat/Tanggal Lahir

: Sangadji : Solo, 16 Juni 1948

3. Instansi

: PPIN-BATAN

4. Pekerjaan / Jabatan

: Peneliti

5. Riwayat Pendidikan

:

• S1 Matematika FMIPA UGM, 1974 • S2 Matematika University of Arizona,USA, 1988 • S3 Matematika University of Montana,USA, 1997 6. Pengalaman Kerja

:

• 1974-Sekarang,BATAN • 1998-Sekarang, UBINUS 7. Organisasi Professional

:

• Himpunan Matematika Indonesia 8. Publikasi (Makalah) : Beberapa makalah di bidang matematika diterbitkan di

307

•

Prosiding LKSTN BATAN

•

Prosiding Himpunan Matematika Indonesia

•

Jurnal SIGMA(USD, Yogyakarta)

•

Jurnal Mat Stat(UBINUS)

QUATERNION DAN APLIKASINYA. Sangadji *

Recommend Documents