Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005 (143-152)
GEOMETRI PROJEKTIF DAN APLIKASINYA Sangadji dan Marsodi*
ABSTRAK GEOMETRI PROJEKTIF DAN APLIKASINYA. Geometri projektif adalah cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat dan konfigurasi geometri yang tidak mengalami perubahan bila diprojeksikan. Geometri projekif juga disebut geometri posisi atau geometri deskriptif. Geometri ini digunakan di engineering khususnya di bidang konstruksi. Makalah ini membahas antara lain teorema Pascal, dualitas, teorema Brianchon, dan juga aplikasinya. Kata-kata kunci: teorema Pascal, dualitas, teorema Brianchon
ABSTRACT PROJECTIVE GEOMETRY AND ITS APPLICATIONS. Projective geometry is a branch of geometry dealing with the properties and invariants of geometric figures under projection. Projective geometry is also called geometry of position or descriptive geometry. It is used in engineering, especially in construction. The paper discusses . Pascal’s theorem, duality, Brianchon’s theorem and some others, as well as the applications. Keywords: Pascal’s theorem, duality, Brianchon’s theorem
PENDAHULUAN
Arti Geometri Projektif Geometri projektif adalah cabang geometri yang mempelajari sifat-sifat dari konfigurasi geometri yang tidak mengalami perubahan bila konfigurasi geometri tersebut diprojeksikan. Sebagai contoh, pengertian panjang, luas, volume jelas mengalami perubahan bila diprojeksikan, sehingga pengertian tersebut tidak dibicarakan dalam geometri projektif. Sedangkan pengertian titik terletak pada garis dan garis terletak pada bidang dibicarakan dalam geometri projektif.
*
Pusat Pengembangan Teknologi Informasi dan Komputasi - BATAN
143
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
Prinsip Dualitas Hasil yang mengagumkan dari geometri projektif adalah prinsip dualitas yang menyatakan bahwa teorema-teorema misalnya teorema Pascal dan teorema Brianchon dapat ditransformasikan dari satu ke yang lain. Secara umum, semua proposisi dalam geometri projektif terjadi dalam pasangan dual, dengan pertukaran titik dan garis.
Aksioma-aksioma dalam Geometri Projektif Aksioma-aksioma dalam geometri projektif adalah: 1. Bila A dan B adalah dua titik yang berlainan pada bidang, terdapatlah sekurangkurangnya satu garis yang memuat kedua titik tersebut. 2. Bila A dan B adalah dua titik yang berlainan pada bidang, terdapatlah tidak lebih dari satu garis yang memuat kedua titik tersebut. 3. Setiap dua garis pada bidang mempunyai paling sedikit satu titik (mungkin titik di tak berhingga) berserikat pada bidang tersebut. 4. Terdapat paling sedikit satu garis pada suatu bidang. 5. Setiap garis memuat paling sedikit tiga titik pada bidang yang memuatnya. 6. Semua titik-titik pada bidang bukan kepunyaan satu garis yang sama. BEBERAPA TEOREMA Dalam geometri projektif dikenal beberapa teorema penting. Di bawah ini diberikan teorema-teorema dari Pappus, Desargues, Pascal dan Brianchon.
Teorema Pappus Misalkan P1 , P2 , P3 tiga titik pada garis g1 dan Q1 , Q2 , Q3 tiga titik pada garis
g 2 . Misalkan R perpotongan P2 Q3 dan P3 Q2 , S perpotongan P1Q3 dan P3Q1 , dan T perpotongan P1Q2 dan P2 Q1 . Maka R, S, T kolinier.
144
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
P1
P2 P3
T
S
R
Q3 Q2 Q1
Teorema Desargues Misalkan titik P tidak terletak pada segitiga ABC. Misalkan A’, B’, C’ berturutturut titik-titik pada garis-garis PA, PB, PC. Misalkan perpanjangan garis-garis BC dan B’C’ berpotongan di R. Juga, AC dan A’C’ berpotongan di S serta AB dan A’B’ berpotongan di T. Maka R, S dan T kolinier.
P A’
R C’ B’
A
C
S
B T
145
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
Teorema Pascal
Misalkan ABCDEF adalah segienam dengan titik-titik sudutnya terletak pada konik (irisan kerucut dengan bidang datar). Misalkan R adalah titik potong sisi-sisi AB dan DE, S titik potong sisi-sisi BC dan EF, T titik potong sisi-sisi CD dan FA. Maka titik-titik R, S dan T kolinier.
A
F B E
D
C
T S R
Teorema Brianchon Misalkan dimungkinkan untuk melingkupi irisan kerucut dalam segienam ABCDEF. Maka diagonal-diagonal AD, BE, CF konkuren.
B
A
C
F E
D
146
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
APLIKASI Di bawah ini diberikan problem-problem yang sederhana tentang aplikasi dari geometri projektif menggunakan hasil pembahasan di muka.
Contoh 1 Bagian dari garis-garis g1 dan g 2 terletak pada sepotong kertas dan titik potong mereka terletak di luar sepotong kertas tersebut. Titik P terletak pada sepotong kertas tersebut dan tidak terletak pada g1 maupun g 2 . Konstruksikan suatu garis yang melalui P dan konkuren dengan g1 dan g 2 .
g1
P.
g2
147
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
Contoh 2 Bagian dari garis-garis g1 dan g 2 terletak pada sepotong kertas dan titik potong mereka (titik P) terletak di luar sepotong kertas tersebut. Demikian juga, bagian dari garis-garis h1 dan h2 terletak pada sepotong kertas itu dan titik potong mereka (titik Q) terletak di luar sepotong kertas tersebut. Konstruksikan bagian dari garis PQ yang terletak pada sepotong kertas tersebut.
g1
g2
h1
h2
148
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
KESIMPULAN 1. Telah diberikan empat teorema-teorema Pappus, Desargues, Pascal dan Brianchon. Teorema Pascal dan teorema Brianchon saling dual. 2. Dengan teorema-teorema tersebut dapat digunakan untuk membantu dalam masalah konstruksi.
149
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
DAFTAR PUSTAKA 1. BARAGAR, ARTHUR., A Survey of Classical and Modern Geometries with Computer Activities. New Jersey, USA, Prentice Hall, Upper Saddle River, 2001. 2. COURANT, RICHARD and HERBERT ROBBINS, What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods. New York, Oxford University Press, USA. 1978. 3. Projective Geometry. Mathworld.wolfram.com. Wolfram Research. 2005.
150
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
DISKUSI
ALVANO YULIAN Melalui Himpunan Matematika Indonesia agar diusulkan ke Departemen Pendidikan Nasional bahwa Mata Pelajaran Ilmu Ukur Sudut, Ilmu Ukur Ruang, Ilmu Ukur Bayangan (Stereometri) dapat diajarkan kembali di SMU-IPA karena sampai saat ini perangkat lunak khususnya image processing masih tetap menggunakan prinsipprinsip tersebut.
SANGADJI Usulan yang baik dan tugas kita bersama untuk merealisasikannya melalui jalur atau prosedur yang ada.
151
Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005
DAFTAR RIWAYAT HIDUP 1. Nama
: Sangadji
2. Tempat/Tanggal Lahir
: Solo, 16 Juni 1948
3. Instansi
: P2TIK-BATAN
4. Pekerjaan / Jabatan
: Peneliti
5. Riwayat Pendidikan
:
• S1 Matematika FMIPA UGM • S2 Matematika University of Arizona,USA • S3 Matematika University of Montana,USA 6. Pengalaman Kerja
:
• 1974-Sekarang,BATAN • 1998-Sekarang, UBINUS 7. Organisasi Professional
:
• Himpunan Matematika Indonesia
152
