JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
1
Analisa Dan Simulasi Model Quaternion Untuk Keseimbangan Pesawat Terbang Rizki Fauziah, Kamiran Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111 E-mail:
[email protected]
AbstrakβPermasalahan dalam kendali pesawat salah satunya adalah gangguan yang terjadi saat pesawat berada di ketinggian tertentu. Pada Tugas akhir ini akan dikaji beberapa cara pesawat untuk menyeimbangkan posisinya saat terjadi gangguan dengan torsi kecil. Dalam hal ini posisi pesawat pada koordinat bumi sangat penting untuk di diketahui. Dalam tugas akhir ini akan dikaji sebuah pesawat yang mengalami gangguan dengan torsi yang sangat kecil. Agar metode pengendalian juga bisa menstabilkan posisi pesawat dalam waktu yang cepat. Oleh karena itu digunakan sebuah metode Quaternion, yang banyak digunakan dalam permasalahan rotasi. Pada penelitian β penelitian sebelumnya sudah banyak digunakan pada spacecraft. Dalam Tugas akhir ini metode Quaternion digabungkan dengan metode Sliding Mode Control untuk menghasilkan sebuah rancangan kontrol yang mendukung posisi pesawat agar tetap seimbang diudara. Kata kunciβ attitude aircraft, position update, Sliding Mode Control (SMC), dan Quaternion
I. PENDAHULUAN Atematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang Mmempunyai banyak aplikasi dalam kehidupan sehari-hari. Aplikasi matematika selanjutnya disebut sebagai matematika terapan. Dalam bidang matematika terapan banyak teori-teori matematika yang dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Salah satunya adalah aplikasi matematika dalam dunia penerbangan. Definisi dari pesawat terbang (aircraft) itu sendiri adalah sebagai benda-benda yang dapat terbang, baik benda tersebut lebih ringan daripada udara (lighter than air) ataupun yang lebih berat daripada udara. Tetapi didalam makalah tugas akhir ini menitikberatkan permasalahan pada kontrol posisi pesawat terbang saat berada diudara agar bisa seimbang. Ketepatan posisi dan orientasi pesawat terbang (aircraft), atau yang biasa disebut dengan attitude pesawat terbang, sangat penting untuk mendukung tujuan utama pesawat agar bisa mencapai posisi stabil diudara. Pesawat terbang mempunyai tiga sumbu putar, yaitu vertikal, longitudinal dan lateral. Gerakan pesawat pada sumbu vertikal disebut yaw. Dan gerakan pada sumbu lateral disebut pitch. Sedangkan gerakan pada sumbu longitudinal disebut roll. Masing-masing gerakan ini dikontrol oleh sistem kendali terbang (flight control systems) dari pesawat, yaitu ruder, aileron dan elevator. Metode pengerjaan Tugas akhir ini menggunakan metode Quaternion yang pada penelitian sebelumnya pernah
digunakan pada satelit orbit rendah. Pergerakan pesawat atau rotasi pesawat terbang saat mengalami gangguan dapat diperoleh dengan matriks rotasi R, sudut Euler, dan quaternion. Disini model dasar pergerakan pesawat akan dibentuk menggunakan metode quaternion. Kemudian pengendali akan disusun agar perilaku pesawat sesuai dengan yang diinginkan menggunakan Sliding Mode Control (SMC). Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai analisa model pergerakan pergerakan pesawat terbang berdasarkan model quaternion serta bagaimana desain pengendali perilaku pesawat terbang tersebut.
II. GERAK PESAWAT TERBANG Berdasarkan sifat gerakan pesawat terbang, dinamika pesawat terbang dikelompokkan menjadi dua model dinamik yaitu dinamika lateral dan dinamika longitudinal. Dinamika lateral, adalah model matematika yang menggambarkan dinamika gerakan pesawat terbang untuk gerakan mendatar yang meliputi gerakan berbelok. Pada gerak lateral hanya dua kontrol defleksi yang berpengaruh pada respon gerak pesawat yaitu aileron dan rudder. Dinamika longitudinal, adalah model matematika yang menggambarkan dinamika gerakan pesawat terbang untuk gerakan dalam arah vertikal misalnya gerakan mendaki atau menukik. Pada gerak longitudinal hanya satu kontrol defleksi yang berpengaruh pada respon gerak pesawat yaitu elevator[1].
Gambar 1. Macam gerakan pesawat Pada dasarnya, pesawat terbang mempunyai gerak dasar pesawat yang fungsinya agar pesawat dapat bergerak stabil pada saat terbang di udara. Adapun ketiga gerak dasar pesawat itu adalah sebagai berikut :
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 1. Pitching Pitching merupakan gerakan menggangguk atau gerakan keatas dan kebawah dari nose pesawat, pitching bergerak pada sumbu lateral pesawat. 2. Rolling Rolling merupakan gerakan berguling (roll) dari pesawat, rolling bergerak pada sumbu longitudinal pesawat. 3. Yawing Yawing merupakan gerakan menggeleng atau nose pesawat bergerak ke kanan dan ke kiri. III. MODEL MATEMATIKA Model matematika menunjukkan gangguan, input kontrol, spesifikasi pesawat terbang sebagai input, kecepatan linier dan kecepatan angular pada koordinat bodi pesawat sebagai outputnya. Berdasarkan penelitian sebelumnya telah diketahui persamaan gangguan total yang digunakan untuk menentukan kecepatan linier pada pesawat terbang. Berikut ini adalah model matematika pergerakan pesawat bedasarkan gerakan Roll, Pitch, dan Yaw : πΉπΉ ππΜ = ππππ β ππππ β ππ sin ππ + ππππ πΉπΉ ππΜ = ππππ β πππ
π
+ ππ sin ππ cos ππ + ππππ πΉπΉ ππΜ = ππππ β ππππ + ππ cos ππ cos ππ + ππ
dengan :
(1)
ππ
= Kecepatan linier sumbu x = Kecepatan linier sumbu y = Kecepatan linier sumbu z = Kecepatan sudut sumbu x P = Kecepatan sudut sumbu y Q = Kecepatan sudut sumbu z R = Gaya yang terjadi pada sumbu x FX = Gaya yang terjadi pada sumbu y FY = Gaya yang terjadi pada sumbu z FZ Dengan memisalkan input control sebagai c dan gangguan pada body axes sebagai d, maka didapat persamaan dinamika pesawat terbang sebagai berikut : (2) ππππΜ = ππππππ + ππ + ππ Dimana : ππ1 0 0 ππ = οΏ½ 0 ππ2 0 οΏ½ adalah matriks inersia Pesawat terbang 0 0 ππ3 ππ1 ππ ππ = οΏ½ππ οΏ½ = οΏ½ππ2 οΏ½ adalah vector matriks kecepatan sudut ππ3 π
π
ππ = [ππ1 ππ2 ππ3 ]ππ adalah vektor matriks input control pesawat terbang. ππ = [ππ1 ππ2 ππ3 ]ππ adalah gangguan eksternal pesawat. dengan memisalkan P = ππ1 , ππ = ππ2 , dan π
π
= ππ3 , maka diperoleh: 0 ππ3 βππ2 0 π
π
βππ 0 ππ1 οΏ½ ππ οΏ½ = οΏ½βππ3 ππ = οΏ½βπ
π
0 ππ βππ 0 ππ2 βππ1 0 U V W
2 Model matematika pesawat terbang ini lebih menegaskan pada koordinat pesawat. Ada hubungan langsung antara sudut pergerakan Euler dan kecepatan sudut pesawat terbang disekeliling body axes. Dari hubungan ini, maka sudut pergerakannya berubah menjadi : ππΜ = ππ + ππ sin ππ tan ππ + π
π
cos ππ tan ππ (3) ππΜ = ππ cos ππ β π
π
sin ππ ππΜ = ππ sin ππ sec ππ + π
π
cos ππ sec ππ Dengan cara menginverskan persamaan (2) maka akan diperoleh : ππ1 = ππ = ππΜ β ππΜ sin ππ (4) ππ2 = ππ = ππΜ cos ππ + ππΜ sin ππ cos ππ ππ3 = π
π
= βππΜ sin ππ + ππΜ cos ππ cos ππ Persamaan state untuk gerakan pesawat terbang pada gerakan Roll, Pitch, dan Yaw adalah : ππ π₯π₯ = οΏ½ππ ππΜ ππ ππΜ ππ ππΜοΏ½ = [π₯π₯1 π₯π₯2 π₯π₯3 π₯π₯4 π₯π₯5 π₯π₯6 ]ππ Pesamaan state diperoleh dengan mendekomposisikan pergerakan pesawat menjadi tiga , yaitu Roll(ππ), ππππππ(ππ), dan Pitch(ππ), sehingga dari persamaan (2) menjadi : ππ1 ππ1 0 0 ππ2 ππ3 ππ2 β ππ2 ππ3 ππ3 ππ1 (5) ππ οΏ½ 0 ππ2 0 οΏ½ ππΜ = οΏ½ ππ1 ππ3 ππ3 β ππ1 ππ3 ππ1 οΏ½ + οΏ½ 2 οΏ½ + οΏ½ππ2 οΏ½ ππ ππ ππ ππ β ππ ππ ππ 0 0 ππ3 ππ3 3 1 2 1 1 2 2 IV.
ANALISA DAN PEMBAHASAN
A. Pembentukan Persamaan State Persamaan state diperlukan untuk menentukan bahwa persamaan adalah non-linier. Sehingga dari persamaan (5) pada baris pertama diperoleh penyelesaian persamaan state Roll (ππ) , baris kedua state Pitch(ππ), dan baris ketiga state ππππππ(ππ). 1. Persamaan state Roll Gerakan rolling dilakukan pada saat pesawat akan berbelok atau bergerak ke arah kiri atau ke arah kanan. π₯π₯1Μ = π₯π₯2 (6) π₯π₯ = [ππ, ππΜ ]ππ = [π₯π₯1 , π₯π₯2 ]ππ οΏ½ π₯π₯2Μ = ππ1 (π₯π₯) + ππ1 (π₯π₯)π’π’ + π·π·1 Dari persamaan (5) untuk persamaan Roll(ππ) : ππ1 ππ1Μ = ππ2 ππ3 ππ2 β ππ2 ππ3 ππ3 + ππ1 + ππ1 = (ππ2 β ππ3 )ππ2 ππ3 + ππ1 + ππ1 (ππ βππ ) ππ ππ ππ1Μ = 2 3 ππ2 ππ3 + 1 + 1 ππ 1
ππ 1
ππ 1
ππππ dimana ππ1Μ = 1 sedangkan ππ1 = ππ = ππΜ β ππΜ sin ππ, maka ππππ untuk langkah selanjutnya agar diperoleh sebuah fungsi adalah sebagai berikut : (ππ βππ ) ππππ 1 = 2 3 (βπ₯π₯4 2 sin π₯π₯1 cos π₯π₯1 + π₯π₯4 π₯π₯6 cos2 π₯π₯1 cos π₯π₯3 β ππππ
ππ 1
π₯π₯4π₯π₯6sin2π₯π₯1cosπ₯π₯3+π₯π₯6 2sinπ₯π₯1cosπ₯π₯1cos2π₯π₯3+ππ1ππ1+ππ1ππ1
dengan mengacu pada persamaan (4) bahwa sudut-sudut Roll(ππ), Pitch(ππ), dan Yaw(ππ) akan disubstitusi dengan statenya masing β masing. ππππ1 ππ(π₯π₯2 β π₯π₯6 sin π₯π₯3 ) = ππππ ππππ = π₯π₯2Μ β π₯π₯6Μ sin π₯π₯3 β π₯π₯3Μ π₯π₯6 cos π₯π₯3 dengan cara substitusi, maka diperoleh : (ππ βππ ) π₯π₯2Μ = 2 3 (βπ₯π₯4 2 sin π₯π₯1 cos π₯π₯1 + π₯π₯4 π₯π₯6 cos 2 π₯π₯1 cos π₯π₯3 β ππ 1
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 π₯π₯4 π₯π₯6 sin2 π₯π₯1 cos π₯π₯3 + π₯π₯6 2 sin π₯π₯1 cos π₯π₯1 cos2 π₯π₯3 ) + π₯π₯6Μ sin π₯π₯3 + π₯π₯3Μ π₯π₯6 cos π₯π₯3
ππ1 ππ 1
+
ππ 1 ππ 1
+
(7)
Dari semua langkah penyelesaian persamaan state untuk gerakan Roll (ππ) diperoleh sebuah fungsi non-linier sebagai berikut : (8) π₯π₯2Μ = ππ1 (π₯π₯) + ππ1 (π₯π₯) + π·π·1 dengan : (ππ βππ ) ππ1 (π₯π₯) = 2 3 (βπ₯π₯4 2 sin π₯π₯1 cos π₯π₯1 + π₯π₯4 π₯π₯6 cos2 π₯π₯1 cos π₯π₯3 β ππ 1
π₯π₯4π₯π₯6sin2π₯π₯1cosπ₯π₯3+π₯π₯6 2sinπ₯π₯1cosπ₯π₯1cos2π₯π₯3
ππ1 (π₯π₯) =
1
ππ 1
Dan ππ π·π·1 = 1 + π₯π₯6Μ sin π₯π₯3 β π₯π₯3Μ π₯π₯6 cos π₯π₯3 ππ 1
Pada persamaan π·π·1 dapat dilihat adanya percepatan yang diasumsikan konstan. 2. Persamaan state Pitch Selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan state untuk persamaan Pitch(ππ) pada baris kedua pada persamaan: π₯π₯3Μ = π₯π₯4 ππ (9) π₯π₯ = οΏ½ππ, ππΜ οΏ½ = [π₯π₯3 , π₯π₯4 ]ππ = οΏ½ π₯π₯4Μ = ππ2 (π₯π₯) + ππ2 (π₯π₯) + π·π·2 Dari persamaan (5), yaitu persamaan matriks pada baris kedua, maka selanjutnya dapat digunakan sebagai langkahlangkah untuk menyelesaikan persamaan state Pitch(ππ) : ππ2 ππΜ2 = ππ1 ππ3 ππ3 β ππ1 ππ3 ππ1 + ππ2 + ππ2 = (ππ3 β ππ1 )ππ1 ππ3 + ππ2 + ππ2 (ππ βππ ) ππ ππ ππ2Μ = 3 1 ππ1 ππ3 + 2 + 2 ππ 2
ππ 2
ππ 2
Dengan mensubstitusikan nilai ππ(ππ1 ) dan π
π
(ππ3 ) maka : (ππ βππ ) ππ2Μ = 3 1 (π₯π₯2 β π₯π₯6 sin π₯π₯3 ) ππ 2 ππ2 ππ2 (βπ₯π₯4 sin π₯π₯1 + π₯π₯6 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 ) + + ππ2 ππ2 (ππ 3 βππ 1 ) (βπ₯π₯ = 4 sin π₯π₯1 β π₯π₯2 π₯π₯6 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 + ππ 2
π₯π₯4π₯π₯6sinπ₯π₯1sinπ₯π₯3βπ₯π₯6 2sinπ₯π₯3cosπ₯π₯1cosπ₯π₯3+ππ2ππ2+ππ2ππ2
ππππ2 πποΏ½ππΜ cos ππ + ππΜ sin ππ cos πποΏ½ = ππππ ππππ = π₯π₯4Μ cos π₯π₯1 + π₯π₯1Μ π₯π₯4 sin π₯π₯1 + π₯π₯6Μ sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 + π₯π₯1Μ π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 β π₯π₯3Μ π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 Karena : ππππ2 ππ2Μ = ππππ ππππ2 (ππ3 β ππ1 ) (βπ₯π₯4 sin π₯π₯1 β π₯π₯2 π₯π₯6 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 = ππ2 ππππ + π₯π₯4 π₯π₯6 sin π₯π₯1 sin π₯π₯3 ππ2 ππ2 β π₯π₯6 2 sin π₯π₯3 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 ) + + ππ2 ππ2 π₯π₯4Μ cos π₯π₯1 + π₯π₯1Μ π₯π₯4 sin π₯π₯1 + π₯π₯6Μ sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 + (ππ βππ ) π₯π₯1Μ π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 β π₯π₯3Μ π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 = 3 1 (βπ₯π₯4 sin π₯π₯1 β
π₯π₯2π₯π₯6cosπ₯π₯1cosπ₯π₯3+π₯π₯4π₯π₯6sinπ₯π₯1sinπ₯π₯3βπ₯π₯6 2sinπ₯π₯3cosπ₯π₯1cosπ₯π₯3+ππ2ππ2+ππ2ππ2
ππ 2
3 π₯π₯4Μ
(ππ3 β ππ1 ) βπ₯π₯4 sin π₯π₯1 β π₯π₯2 π₯π₯6 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 `οΏ½ οΏ½ ππ2 cos π₯π₯1 +π₯π₯4 π₯π₯6 sin π₯π₯1 sin π₯π₯3 β π₯π₯6 2 sin π₯π₯3 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 ππ2 ππ 2 π₯π₯ Μ π₯π₯ sin π₯π₯ 1 + + β 1 4 =
β
ππ 2 co s π₯π₯ 1 ππ 2 cos π₯π₯ 1 sin π₯π₯ 1 cos π₯π₯ 3 (π₯π₯1Μ π₯π₯6 + cos π₯π₯ 1
cos π₯π₯ 1
π₯π₯6Μ β π₯π₯3Μ π₯π₯6 )
(10)
Dari semua langkah penyelesaian persamaan state untuk gerakan Pitch (ππ) diperoleh sebuah fungsi non-linier sebagai berikut : π₯π₯4Μ = ππ2 (π₯π₯) + ππ2 (π₯π₯) + π·π·2 (11) dengan : (ππ3 β ππ1 ) (βπ₯π₯4 sin π₯π₯1 β π₯π₯2 π₯π₯6 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 ππ2 (π₯π₯) = ππ2 cos π₯π₯1 + π₯π₯4 π₯π₯6 sin π₯π₯1 sin π₯π₯3 β π₯π₯6 2 sin π₯π₯3 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 ) 1 ππ2 (π₯π₯) = ππ2 cos π₯π₯1 ππ2 π₯π₯1Μ π₯π₯4 sin π₯π₯1 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 π·π·2 = β β (π₯π₯1Μ π₯π₯6 + π₯π₯6Μ ππ2 cos π₯π₯1 cos π₯π₯1 cos π₯π₯1 β π₯π₯3Μ π₯π₯6 ) dari persamaan gangguan dapat dilihat masih terdapat nilai hal ini dikarenakan terjadi percepatan pada gerakan pesawat, namun dalam kasus ini percepatan dianggap konstan. 3. Persamaan State Yaw Untuk persamaan state ketiga yang harus dicari dalam menyelesaikan system pemodelan pesawat adalah persamaan State Yaw(ππ. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut : π₯π₯5Μ = π₯π₯6 ππ (12) π₯π₯ = οΏ½ππ, ππΜ οΏ½ = [π₯π₯5 , π₯π₯6 ]ππ = οΏ½ π₯π₯6Μ = ππ3 (π₯π₯) + ππ3 (π₯π₯) + ππ3 langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan state Yaw(ππ) : ππ3 ππΜ3 = ππ1 ππ2 ππ1 β ππ1 ππ2 ππ2 + ππ3 + ππ3 = (ππ1 β ππ2 )ππ1 ππ2 + ππ3 + ππ3 (ππ βππ ) ππ ππ ππ3Μ = 1 2 ππ1 ππ2 + 3 + 3 ππ3Μ =
=
ππ 3 (ππ 1 βππ 2 ) ππ 3 ππ3
+
ππ 3
ππ 3
(π₯π₯2 β π₯π₯6 sin π₯π₯3 )(π₯π₯4 cos π₯π₯1 + π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 ) +
ππ 3
ππ 3 ππ 3 (ππ 1 βππ 2 ) ππ 3
(π₯π₯2 π₯π₯4 cos π₯π₯1 + π₯π₯2 π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 β
π₯π₯4π₯π₯6cosπ₯π₯1sinπ₯π₯3βπ₯π₯6 2sinπ₯π₯1sinπ₯π₯3cosπ₯π₯3+ππ3ππ3+ππ3ππ3
ππππ3 ππ(βπ₯π₯4 sin π₯π₯1 + π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 ) = ππππ ππππ = βπ₯π₯Μ 4 sin π₯π₯1 β π₯π₯1Μ π₯π₯4 cos π₯π₯1 + π₯π₯6Μ sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 + π₯π₯4Μ π₯π₯6 cos π₯π₯1 cos π₯π₯3 + π₯π₯3Μ π₯π₯6 sin π₯π₯1 sin π₯π₯3 diketahui bahwa : ππππ3 ππ3Μ = ππππ karena : (ππ βππ ) ππππ 3 = 1 2 (π₯π₯2 π₯π₯4 cos π₯π₯1 + π₯π₯2 π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 β ππππ
ππ 3
π₯π₯4π₯π₯6cosπ₯π₯1sinπ₯π₯3βπ₯π₯6 2sinπ₯π₯1sinπ₯π₯3cosπ₯π₯3+ππ3ππ3+ππ3ππ3
sehingga diperoleh :
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 (ππ1 β ππ2 ) (π₯π₯ π₯π₯ cos π₯π₯1 + π₯π₯2 π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 ππ3 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 2 4 β π₯π₯4 π₯π₯6 cos π₯π₯1 sin π₯π₯3 β π₯π₯6 2 sin π₯π₯1 sin π₯π₯3 cos π₯π₯3 ) ππ3 ππ3 π₯π₯4Μ π₯π₯1Μ π₯π₯4 cos π₯π₯1 + + + + ππ3 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 ππ3 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 cos π₯π₯3 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 π₯π₯4Μ π₯π₯6 cos π₯π₯1 π₯π₯3Μ π₯π₯6 sin π₯π₯3 β β sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 atau ditulis dalam sebuah bentuk persamaan sebagai berikut : π₯π₯6Μ = ππ3 (π₯π₯) + ππ3 (π₯π₯) + ππ3 (13) dimana : (ππ 1 βππ 2 ) (π₯π₯2 π₯π₯4 cos π₯π₯1 + π₯π₯2 π₯π₯6 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3 β ππ3 (π₯π₯) = π₯π₯6Μ =
ππ 3 sin π₯π₯ 1 cos π₯π₯ 3
π₯π₯4π₯π₯6cosπ₯π₯1sinπ₯π₯3βπ₯π₯6 2sinπ₯π₯1sinπ₯π₯3cosπ₯π₯3 ππ3 (π₯π₯) =
dan ππ3 =
1 ππ3 sin π₯π₯1 cos π₯π₯3
ππ 2
ππ 2 cos π₯π₯ 1
+
π₯π₯ 1Μ π₯π₯ 4 sin π₯π₯ 1 cos π₯π₯ 1
+
sin π₯π₯ 1 cos π₯π₯ 3 cos π₯π₯ 1
(π₯π₯1Μ π₯π₯6 β π₯π₯6Μ β π₯π₯3Μ π₯π₯6 )
Sehingga persamaan non-linier untuk model pesawat yang sedang dalam posisi seimbang adalah menjadi seperti: π₯π₯ (ππ) = ππ(π₯π₯) + ππ(π₯π₯)π’π’ + ππ dengan n=2, π₯π₯ = [π₯π₯ π₯π₯Μ ]ππ adalah variabel state yang akan dikontrol. π’π’ adalah input kontroler, sedangkan ππ(π₯π₯) dan ππ(π₯π₯) adalah bentuk yang tidak pasti pada persamaan non-linier. Dan ππ adalah bounded disturbance.
B. Transformasi Pergerakan Pesawat Telah dijelaskan bahwa arah kosinus diperlukan untuk transformasi antar sistem koordinat. Dengan cara mentransformasikan kecepatan linier dari koordinat badan pesawat ke koordinat bumi. Beberapa langkah transformasinya adalah sebagai berikut : ππππ 1 0 0 ππ (14) οΏ½ ππππ οΏ½ = οΏ½0 cos ππ βsin πποΏ½ οΏ½ ππ οΏ½ 0 sin ππ cos ππ ππ ππππ ππππππ cos ππ 0 sin ππ ππππ (15) οΏ½ ππππππ οΏ½ = οΏ½ 0 1 0 οΏ½ οΏ½ ππππ οΏ½ ππππππ ππ β sin ππ 0 cos ππ ππ ππππ cos ππ β sin ππ 0 ππππππ (16) οΏ½ ππππ οΏ½ = οΏ½ sin ππ cos ππ 0οΏ½ οΏ½ ππππππ οΏ½ ππππ 0 0 1 ππππππ Dari hasil perkalian matriks diatas didapatkan sebuah matriks : ππ1 ππ1 ππ1 ππ ππππ οΏ½ ππππ οΏ½ = οΏ½ππ2 ππ2 ππ2 οΏ½ οΏ½ ππ οΏ½ (17) ππππ ππ3 ππ3 ππ3 ππ dengan : ππ1 = cos ππ cos ππ ππ2 = sin ππ cos ππ ππ3 = β sin ππ ππ1 = sin ππ sin ππ cos ππ β cos ππ sin ππ ππ2 = sin ππ sin ππ sin ππ + cos ππ cos ππ ππ3 = sin ππ cos ππ ππ1 = sin ππ cos ππ cos ππ +sin ππ sin ππ ππ2 = sin ππ cos ππ cos ππ βsin ππ cos ππ ππ3 = cos ππ cos ππ
4 Titik posisi quaternion pertama pada koordinat pesawat dapat diubah menjadi posisi referensi dengan single rotation π·π·. Suatu quaternion dapat digunakan untuk merotasi suatu vektor Euclidean. Bagian vektor dari quaternion dianggap sebagai sumbu rotasi, sedangkan bagian skalar merepresentasikan sudut rotasi. Sumbu rotasi merupakan direction cosines pada sistem koordinat. Sudut rotasi (π·π·β2) menyatakan bahwa rotasi dapat berlangsung searah maupun berlawanan arah jarum jam, sehingga rotasi quaternion adalah sebagai berikut. ππππππ(π·π·β2) ππππππ(π·π·β2) cos π·π· π π π π π π (π·π·β2) (18) οΏ½ =οΏ½ ππ(π‘π‘) = β ) cos π·π· π π π π ππ(π·π· 2 π π β π π π π π π (π·π·β2) cos π·π· π π π π π π (π·π·β2)
C. Perancangan Kontroler Untuk menyesuaikan perkalian antara vektor dan quaternion agar dapat dilakukan transformasi, suatu vektor Euclidean ditulis sebagai suatu quaternion dengan bagian skalar yang bernilai nol. 0 π£π£ = οΏ½ οΏ½ π―π― dengan π―π― = [π£π£1
π£π£2
π£π£3 ]ππ β β3 .
πππ―π―ππ β = (ππ0 + πͺπͺ)(0 + π―π―)(ππ0 β πͺπͺ) = (2ππ02 β 1)π―π― + 2(πͺπͺ. π―π―)πͺπͺ + 2ππ0 (πͺπͺ Γ π―π―)
Sehingga didapat matriks π°π° yaitu : 2ππππππ β 1+2ππππππ = οΏ½2ππ0 ππ2 + 2ππ0 ππ3 2ππ1 ππ3 β2ππ0 ππ2
π€π€1 οΏ½π€π€2 οΏ½ π€π€3 2ππ1 ππ2 β2ππ0 ππ3 2ππππππ β 1 + 2ππππππ 2ππ2 ππ3 + 2ππ0 ππ1
2ππ1 ππ3 + 2ππ0 ππ2 π£π£1 2ππ2 ππ3 β2ππ0 ππ1 οΏ½ οΏ½π£π£2 οΏ½ π£π£3 2ππππππ β 1 + 2ππππππ
1 β 2(ππ22 + ππ32 ) 2(ππ1 ππ2 + ππ3 ππ0 ) 2(ππ1 ππ3 + ππ2 ππ0 ) π£π£1 = οΏ½2(ππ2 ππ1 + ππ3 ππ0 ) 1 β 2(ππ12 + ππ32 ) 2(ππ2 ππ3 + ππ1 ππ0 )οΏ½ οΏ½π£π£2 οΏ½ 2(ππ3 ππ1 + ππ2 ππ0 ) 2(ππ3 ππ2 + ππ1 ππ0 ) 1 β 2(ππ12 + ππ22 ) π£π£3
Sehingga didapat bahwa matriks posisi A yaitu 1 β 2(ππ22 + ππ32 ) 2(ππ1 ππ2 + ππ3 ππ0 ) 2(ππ1 ππ3 + ππ2 ππ0 ) π΄π΄ = οΏ½2(ππ2 ππ1 + ππ3 ππ0 ) 1 β 2(ππ12 + ππ32 ) 2(ππ2 ππ3 + ππ1 ππ0 )οΏ½ 2(ππ3 ππ1 + ππ2 ππ0 ) 2(ππ3 ππ2 + ππ1 ππ0 ) 1 β 2(ππ12 + ππ22 )
didefinisikan persamaan kinematik untuk mendeskripsikan geometri pergerakan pesawat terbang. π΄π΄Μ = π΄π΄ππ
Komponen matriks ππ(ππ) untuk membuat control law digunakan estimasi nilai ππ(ππ) dan batasan error masingmasing matriks.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6 ππ3 ππ0 βππ1
βππ2 ππ1 οΏ½ ππ0
Telah diketahui pengaturan quaternion error. Dengan mensubstitusikan persamaan kinematika maka : ππππΜ = ππππΜ (π‘π‘) β ππΜ (π‘π‘) 1 1 = ππππΜ (π‘π‘) β ππππππ β πππ½π½β1 ππππ 2
2
ππππΜ = ππππΜ (π‘π‘) β ππΜ (π‘π‘) 1 = ππππΜ (π‘π‘) β ππππππΜ β πππ½π½β1 ππππ 2 2 Dimana : ππ= komponen matriks untuk membuat control law ππ = kecepatan sudut ππππ = quaternion error ππππ = quaternion referensi (yang dinginkan) ππππ = Torsi kontrol π½π½β1 = momen inersia Turunan dari fungsi switching yaitu : ππΜ (ππ) = ππππΜ + πΎπΎππππΜ maka selanjutnya diperoleh : 1 1 ππΜ (ππ) = ππππΜ (π‘π‘) β ππππππΜ β πππ½π½β1 ππππ + πΎπΎ(ππππΜ (π‘π‘) β 1
1
1
2
2
ππππππ β πππ½π½β1 ππππ ) 2 2 Ekuilibrium 0 dikatakan stabil asimtotis apabila titik tersebut stabil dan terdapat ππ > 0 sedemikian sehingga |π₯π₯(0)| β€ ππ yang mengakibatkan π₯π₯(π‘π‘) β 0 ketika π‘π‘ β β. 1 ππ = ππ ππ ππ 2 Dengan ππ(0) dan ππ < 0 untuk ππ β 0. Kondisi yang memenuhi kestabilan sistem merupakan turunan pertama V terhadap waktu yaitu :
ππππ ππ = ππππ ππππππ π π π π π π ( ) Ο΅ Dengan nilai ππππ ππππππ harus minimal sama dengan ππππππ + π π π π π π π π (ππ) atau lebih besar. ππππ ππππππ β₯ οΏ½ππππππ οΏ½ + π π π π π π π π (ππ) Dengan ππ adalah batas maksimal dan minimal pada boundary layer dengan nilai seperti berikut ini : 1 ππ β€ ππ (4.46) ππ ππππ π π π π π π οΏ½ οΏ½ = οΏ½ π’π’π’π’π’π’π’π’π’π’|ππ| β€ |ππ| ππ Ο΅ ππ β₯ ππ β1
(4.47)
V. HASIL SIMULASI
1. Kecepatan Angular 32
Grafik Kecepatan angular terhadap waktu
x 10
2.5
Wx Wy Wz
2 1.5
kecepatan Angular(rad/s)
ππ0 ππ(ππ) = οΏ½βππ3 ππ2
5 ππ ππ
(4.48)
1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5
0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
2. Sudut rotasi (ππ, ππ, ππ)
90
100
Grafik pembelokan sudut rotasi terhadap waktu
0.5
sudut Roll sudut pitch sudut yaw
0.45 0.4
Selanjutnya didefinisikan torsi kontrol : ππππ = ππππππ + π π π π π π π π (ππ) Dimana ππππππ adalah Torsi yang terjadi sebelum sistem diberikan pengontrol. ππππππ = 2π½π½ππβ1 ππππΜ + π½π½π½π½ππΜ + 2πππ½π½β1 πΎπΎππππΜ Sehingga : ππππ = 2π½π½ππβ1 ππππΜ + π½π½π½π½ππΜ + 2πππ½π½β1 πΎπΎππππΜ + π π π π π π π π (ππ) Karena terjadi chattering pada π π π π π π π π (ππ), hal ini dapat menyebabkan ketidakstabilan pada sistem. Maka output dari ππππ ditambahkan dengan boundary layer. pada permukaan sliding yang membuat smooth dinamika input kendali ππππ dan meyakinkan bahwa sistem berada di dalam layer. π’π’ = π’π’οΏ½ β πΎπΎ π π π π π π (ππ) dilakukan dengan ππ adalah mengganti fungsi sgn (ππ) dengan sat οΏ½ οΏ½ dan Ξ¦ konstanta positif. Munculnya chattering merupakan salah satu kekurangan metode SMC. Sehingga nilai ππππ akan menjadi :
sudut rotasi
0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05
0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
90
100
3. Quaternion eror (ππππ )
Grafik Quaternion error terhadap waktu
qe roll qe pitch qe yaw
1
0.5
0
Quaternion error(km)
1 1 ππΜ = ππ ππ ππΜ = ππ ππ οΏ½ππππΜ (π‘π‘) β ππππππΜ β πππ½π½β1 ππππ + πΎπΎ(ππππΜ (π‘π‘) 2 2 1 1 β1 β ππππππ β πππ½π½ ππππ )οΏ½ 2 2
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5 0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
90
100
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2013) 1-6
Terlihat bahwa ketika pesawat terbang berada pada ketinggian sekitar 10 km dianggap mulai mengalami gangguan. Pada ketinggian tersebut dianggap t = 0. Pada gambar simulasi (7). Besarnya gangguan tersebut dipengaruhi oleh besarnya nilai quaternion awal. Dan dalam simulasi itu terlihat bahwa untuk menstabilkan posisi pesawat dibutuhkan sekitar 10 detik setelah gangguan terjadi.
4. Quaternion referensi (ππππ )
Grafik Quaternion referensi terhadap waktu
1
qd pada roll qd pada pitch qd pada yaw
quaternion referensi (km)
0.5
6
0
VI. KESIMPULAN
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
90
100
5. quaternion aktual Grafik Quaternion aktual terhadap waktu 0.9 qx qy qz
0.8
Quaternion aktual(km)
0.7 0.6
Dari hasil analisa pengendali SMC dengan Model Quaternion, maka didapat kesimpulan sebagai berikut : 1. Hasil simulasi menunjukkan bahwa gerak pesawat hanya membutuhkan waktu 30 detik agar dapat mengikuti posisi yang diinginkan untuk mencapai keseimbangan. Pada saat ketinggian pesawat mencapai 10,37 km, pesawat sudah mencapai posisi seimbang. Karena dari hasil simulasi dapat dilihat bahwa sudah tidak terjadi osilasi pada grafik ketinggian. 2. Besar quaternion akhir mengalami simpangan terhadap quaternion referensi, begitu pula dengan sudut rotasi.
0.5 0.4
DAFTAR PUSTAKA
0.3 0.2 0.1
[1] 0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
90
100
[2]
6. Torsi kontrol (Tc) 43
1.5
Grafik Torsi Kontrol terhadap waktu
x 10
Tcx Tcy Tcz
1
[3]
Torsi Kontrol
0.5
[4]
0
-0.5
[5] -1
-1.5
0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
90
100
[6]
7. Ketinggian (r) [7]
Grafik ketinggian pesawat terhadap waktu 10.4 rx ry rz
10.38
ketinggian(km)
10.36
10.34
10.32
10.3
10.28
0
10
20
30
40
50 Time(s)
60
70
80
90
100
Cooke, M.J., Zyda, J.M., Pratt, R.D., dan McGhee, B.R. 1992. βFlight Simulation Dynamic Modeling Using Quaternionsβ. Naval Postgraduate School Department of Computer Science, Code CS/Zk Yulianto, Toni.2012. βAplikasi Metode Linear Quadratic Regulator Pada endali Attitude Rotor Spacecraft yang Berada di Sumbu Tetapβ. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Zhu, F.Q.Q.M., Winfield, A., dan Melhuish, C. 2003. βFuzzy Sliding Mode Control for Discrete Nonlinier Sistemsβ. Transactions of China Automation Society, Vol. 22, No.2 (Sum No. 86). Herlambang, T. 2010. βDesain Pengendali Ketinggian Air dan Temperatur Uap pada Sistem Steam Drum Boiler dengan Metode Sliding Mode Control (SMC)β. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Millah, N. 2012.βAnalisis dan Simulasi Pengendali Robot Polar Derajat Kebebasan Dua Menggunakan Sliding Mode Control (SMC)β. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Alfayuritresna,Q.2009.βPerancangan dan Simulasi Sliding Mode Control Pada Satelit Orbit Rendahβ. Jurusan Teknik Elektro, Fakultas Teknologi Industri, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya. Yuwinati, Y.2012. β Analisis dan Simulasi Pengaturan Perilaku Satelit menggunakan Terminal Sliding Mode Control (TSMC)β. Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember. Surabaya.
