ABSTRAK
METODE ELEMEN BATAS UNTUK PENYELESAIAN MASALAH PEMBENTUKAN DROPLET PADA BENANG FLUIDA VISCOELASTIS Oleh
A.WAHIDAH.AK NIM : 20105013
Proses deformasi benang fluida tak Newton (Viscoelastis) menjadi tetesan (droplet) dapat dikaji melalui pendekatan analitik dan numerik. Benang Viscoelastis ini berada dalam lingkungan Fluida Newton dan kedua fluida tersebut diasumsikan axissimetris dan immiscible . Model Viscoelastis yang dipilih adalah model linear dari fluida Maxwell. Model ini menyatakan bahwa fluida viscoelastis disusun dari dua komponen mikroskopis yamg tersusun secara seri. Komponen ini adalah Hookean spring dan Newton dashpot. Pada kasus ini kita akan menkaji proses deformasi tersebut melalui pendekatan numerik dengan menggunakan metode elemen batas (MEB). Proses deformasi ini dipandang sebagai dinamik dari lapis batas (interface) benang, sedang waktu yang diperlukan oleh benang untuk berdeformasi dapat diperkirakan. Model yang diperoleh merupakan persamaan Stokes Nonhomogen dan tensor tegangan tak-Newton diperilakukan sebagai sumber dari persamaan Stokes yang menghasilkan integral tambahan di dalam domain material tak Newton. Pada representasi integral domain, kita menggunakan metode Divergensi Gauss dan teorema Green sedemikian sehingga dimensi pada kasus ini tereduksi dari tiga menjadi dua dimensi. Kata kunci. Metode elemen Batas, Persamaan Integral Batas, Tetesan tak Newton, Tetesan Newton, Persamaan Stokes nonhomogen, Teorema Divergensi Gauss, Quadratur Gauss.
i
ABSTRACT
BOUNDARY ELEMEN METHOD FOR BREAKING UP PROCESS IN VISCOELASTIS FLUID By
A.WAHIDAH.AK NIM : 20105013
The process of deformation of Non-Newton (viscoelastic) fluid threadgoes through with droplet can be investigated by using analytical and numerical solution. This viscoelastic thread in area of Newton fluid and both of the fluids are assumed axissymetric and immiscible. The chosen viscoelastic model is linear model of Maxwell fluid. This model declares that elastic property of fluid can be represented by time relaxation parameter. In this case, we can investigate the deformation process by means of numerical approach using Boundary Element Method. In the manner of investigation of dynamics of interface of thread, time needed by thread to deform be droplet can be predicated. Boundary Integral Equation is determined from nonhomogeneous Stokes equation and Non-Newton strain tensor equation are treated as source of Stokes equation that yields additional integral in Non-Newton material domain. In domain integral representation, we use Gauss Divergence method such that the dimension in this case is reduced from three to two dimensions. Keywords. Boundary Element Methods, Boundary Integral Equation, NonNewton Droplet, Newton Droplet, Nonhomogeneous Stokes Equation, Gauss Divergence Theorm, Gauss Quadrature.
ii
METODE ELEMEN BATAS UNTUK PENYELESAIAN MASALAH PEMBENTUKAN DROPLET PADA BENANG FLUIDA VISCOELASTIS
Oleh
A.WAHIDAH.AK NIM : 20105013
Program Studi Matematika Institut Teknologi Bandung
Menyetujui Tim Pembimbing Tanggal 26 September 2007 Ketua
Anggota
Dr. Agus Yodi Gunawan,M.Si
Dr. Wono Setya Budi
PEDOMAN PENGUNAAN TESIS
Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan bahwa hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.
Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pascasarjana, Institut Teknologi Bandung.
iv
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan atas kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta lindungan-Nya selama menjalani studi di Jurusan Matematika, FMIPA Institut Teknologi Bandung.
Sejak penyusunan tesis, penulis telah banyak mendapat bimbingan serta dorongan moril dari Bapak Dr.Agus Yodi Gunawan dan Dr.Wono Setya Budi sebagai pembimbing. Oleh karena itu penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada beliau, kepada ibunda H.St. Asmah, dan kepada pihak-pihak yang telah banyak membantu penyusunan tesis ini.
Semua yang telah diterima oleh penulis tidak cukup hanya dengan ucapan terima kasih. Oleh karena itu semoga Allah SWT melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya kepada mereka, AMIN.
Tida ada sesuatu apapun yang semourna di dunia ini termasuk dengan tulisan ini. Oleh karena itu dengan penuh keikhlasan hati penulis menerima saran dan kritikan yang dapat menyempurnakan tulisan ini. Akhir kata semoga tulisan ini berguna khususnya bagi penulis. Bandung, September 2007 Penulis
vi
DAFTAR ISI
ABSTRAK
i
ABSTRACT
ii
PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS
iv
KATA PENGANTAR
vi
DAFTAR ISI
viii
Bab I Pendahuluan
1
I.1
Latar Belakang Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
I.2
Rumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I.3
Tujuan Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
I.4
Sistematika Pembahasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
Bab II Konsep Dasar Metode Elemen Batas
6
II.1 Kalkulus Dasar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.1.1 Teorema Gradien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.1.2 Teorema Divergensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.1.3 Teorema Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
II.1.4 Turunan Berarah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
II.2
Fungsi Interpolasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.3
Elemen Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
II.4
Dasar Persamaan Integral Batas . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
II.5
Persamaan Integral Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
II.6
Integral Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Bab III Model Proses Deformasi Benang Viscoelastis Linear di Lingkungan Fluida Newton
20
III.1 Stress dan Strain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 vii
III.2 Transformasi Tensor Tegangan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 III.3 Model Maxwell Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 III.4 Penskalaan Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 III.5 Persamaan Stokes Nonhomogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 III.6 Kondisi Awal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 III.7 Kondisi Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Bab IV Persamaan Integral Batas
26
IV.1 Konvensi Simbol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 IV.1 Penentuan Solusi Fundamental
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
IV.2 Persamaan Integral Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Bab V Prosedur Numerik
33
V.1 Integral Batas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 V.2 Integral Domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 V.3 Integral Waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 V.4 Hasil Numerik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Bab VI Kesimpulan
42
DAFTAR PUSTAKA
43
Lampiran A
43
Lampiran B
47
Lampiran C
45
Lampiran D
46
Lampiran E
48
Lampiran F
49
viii
