PEMBENTUKAN MATRIK KEKAKUAN ELEMEN SEGI EMPAT PADA METODE ELEMEN HINGGA. Mike Susmikanti *, Utaja **

Risalah Lokakarya Komputasi dalam Sains dan Teknologi Nuklir XVI, Agustus 2005 (169-187)

PEMBENTUKAN MATRIK KEKAKUAN ELEMEN SEGI EMPAT PADA METODE ELEMEN HINGGA Mike Susmikanti*, Utaja**

ABSTRAK PEMBENTUKAN MATRIK KEKAKUAN ELEMEN SEGI EMPAT PADA METODE ELEMEN HINGGA. Analisis dengan metode elemen hingga pada struktur benda yang akan dianalisis dilakukan dengan cara membagi struktur menjadi sejumlah besar elemen berhingga. Elemen dapat berupa garis lurus, segi tiga, segi empat dan lainnya. Dalam hal ini akan dibahas diskritisasi dalam bentuk segi empat. Diskritisasi menghasilkan sejumlah elemen dan simpul. Simpul diberi nomer demikian pula elemen sehingga diperoleh informasi elemen. Pengolahan elemen dan simpul akan mengarah pada pembentukan matriks kekakuan. Berikutnya meliputi transformasi koordinat global ke lokal dengan fungsi parameter berbentuk vektor. Pada tahap assemblage, matriks kekakuan dan vektor beban simpul elemen global diassemblage menjadi matriks kekakuan dan vektor beban yang berlaku untuk seluruh struktur yang ditinjau. Kata-kata kunci: Metode Elemen Hingga, Matriks Kekakuan, Elemen segi empat

ABSTRACT STIFFNESS MATRIX CONSTRUCTION OF RECTANGULAR ELEMENT ON THE FINITE ELEMENT METHOD. The finite element method of analysis is to divide the structure analyzed into a large number of finite elements. These elements may be one, two or three-dimensional. This paper will discuss discretization of the rectangular element. Discretization result in a suitable number of elements and nodes. The node and element will give the number to get the information element. The process of element and node produces a form of stiffness matric. Next, the global coordinates are transformed to local using a vector parameter function. In assemblage step, the stiffness matric and global element nodal are assemblaged to create stiffness matric and force vector for the whole structures. Keywords: Finite Element Method, Stiffness Matrix, Rectangular Element

*

Pusat Pengembangan Teknologi Informasi dan Komputasi - BATAN Pusat Pengembangan Perangkat Nuklir - BATAN

**

169


PENDAHULUAN Analisis persoalan struktur thermal, mekanika fluida, elektromagnet, bahan dan lainnya dengan menggunakan Metoda Elemen Hingga semakin diperlukan karena luwes dan dapat diselesaikan dengan komputer. Dalam Metoda Elemen Hingga, suatu struktur, benda atau daerah yang akan dianalisis dibagi menjadi sejumlah besar bentuk yang dinyatakan sebagai elemen. Elemen dapat berupa garis lurus, segi tiga, segi empat, tetrahederal dan quadrilateral. Langkah dalam analis elemen hingga meliputi diskritisasi menjadi sejumlah bilangan hingga elemen yang merupakan tahap dasar. Dalam hal ini akan dibahas diskritisasi dalam bentuk segi empat. Diskritisasi digambarkan sebagai pembagian benda yang masing-masing berkaitan yaitu elemen dan simpul. Simpul ini diberi nomer dari satu hingga sejumlah simpul yang ada, demikian pula dengan elemen. Tahap kedua adalah proses pengolah data yang mengarah pada pembentukan matrik kekakuan. Matrik ini berdasarkan koordinat global. Matrik kekakuan akan digunakan pada tahap penyelesaian dalam persamaan K a = f di mana a vektor yang tidak diketahui, f adalah vektor gaya atau beban, K adalah matriks kekauan. Tahap ketiga meliputi transformasi dari sistim koordinat global ke sistem lokal. Tahap keempat adalah assemblage dari karakteristik elemen global. Pada tahap ini matrik kekakuan elemen global dan vektor gaya nodal elemen global harus di assemblage menjadi bentuk matrik kekakuan assemblage dan vektor gaya nodal assemblage. Sesudah tahap assemblage, pada tahap kelima ini, matriks kekakuan assemblage dan vektor gaya nodal assemblage harus dimodifikasi sesuai dengan pembatasan. Tahap berikutnya adalah tahap keenam yang merupakan penyelesaian. Hasil dari sistem persamaan Ka = f harus dicari untuk vektor yang a yang tidak diketahui. Tahap terakhir atau ketujuh adalah perhitungan dari resultant elemen seperti adanya regangan, tegangan, menjadi lebih atau kurang ditinjau dari arah perpindahan nodal.

METODA Koordinat Global Karakteristik elemen segi empat dinyatakan dengan simpul i, j, k dan m seperti Gambar-1. Elemen segi empat tersebut berorientasi demikian sehingga sisi ij, dan km sejajar ke sumbu y dan sisi jk dan mi sejajar dengan sumbu x. Setiap elemen dibatasi oleh empat simpul. Urutan simpul suatu elemen harus diberikan dengan memulai dari simpul i dan mengikuti lawan jarum jam ke simpul m.

170


y

k

j

m

i

x Gambar 1. Elemen segi empat dengan 4-simpul dalam nomer simpul global

y k

j

(xk,yk)

(xj,yj) e

(xm,ym)

(xi,yi) m

i x

Gambar 2. Elemen segi empat dalam koordinat simpul global Setiap simpul didefinisikan dengan koordinat global, misal simpul i adalah (xi,yi) , simpul m adalah (xm,ym) dan seterusnya yang dinyatakan dalam Gambar 2. Fungsi bentuk (shape function) linear dinyatakan dalam bentuk fungsi parameter Φ untuk masing-masing simpul i, j, k dan m yaitu Φi, Φj, Φk, Φm. Parameter Φ menyatakan perpindahan komponen kearah x atau y (misalnya karena tegangan atau temperatur). Dalam hal ini berarti fungsi bentuk untuk elemen segi empat 4-simpul dapat dinyatakan dalam bentuk sistim koordinat global (x,y).

171


Akan ditinjau persamaan distribusi suhu yang berlaku pada bidang yang ditinjau, dinyatakan dengan persamaan:

∂ ∂T ∂ ∂T (kt ) + (kt ) − h(T − T f ) + Q = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y

(1)

Pada setiap elemen seperti yang ditunjukan pada gambar-2, suhu disetiap titik dalam elemen dinyatakan dengan Φ = c1+ c2x + c3yi+ c4xy

(2)

atau

Φ=

[1

x

y

c1  c  2 xy ]   c 3    c 4 

Harga c1, c2, c3 da c4 sedemikian rupa sehingga berlaku : Φi = c1 + c2xi + c3yi + c4xiyi Φj = c1 + c2xj + c3yj + c4xjyj Φk = c1 + c2xk + c3yk + c4xkyk Φm = c1 + c2xm + c3ym + c4xmym

(3)

Penulisan persamaan diatas dalam bentuk matrik menjadi

φ φ  φ  φ

1 2 3 4

 1  1    = 1   1 

xi

yi

xj xk

yj yk

xm

ym

xi yi  x j y j  xk y k   xm ym 

c1  c   2 c 3    c 4 

(4)

172


Dari persamaan (4) penyelesaian untuk vektor konstanta C diperoleh

c1  1 c  1  2  c3  = 1    c 4  1

xi

yi

xj xk

yj yk

xm

ym

xi yi  x j y j  xk yk   xm ym 

−1

φ φ  φ  φ

1 2 3 4

     

Persamaan (2) diperoleh menjadi

1 1  Φ = [1 x y xy ] 1  1

xi

yi

xj xk

yj yk

xm

ym

xi yi  x j y j  xk yk   xm ym 

−1

φ φ  φ  φ

1 2 3 4

     

(5)

Pengolahan lebih lanjut persamaan (3) dan (5) akan memberikan Φ = Ni(x,y) Φi + Nj(x,y) Φj + Nk(x,y) Φk + Nm(x,y) Φm

(6)

Pemakaian persamaan (6) pada penyelesaian selanjutnya akan menimbulkan kesulitan sehingga untuk itu dipakai koordinat lain. Pada persamaan suhu dalam elemen, bentuk fungsi dinyatakan linier sebagai berikut T = NiTi + NjTj + NkTk + NmT m atau

T = Na e

Substitusi persamaan (5) ke persamaan (1) akan memberikan sisa R(x,y,T1,T2,T3,T4) =

∂ ∂Na e ∂ ∂Na e (kt ) + (kt ) − h( Na e − T f ) + Q" ∂x ∂x ∂y ∂y

(6a)

Penyelesaian persamaan (6a) memberikan

K eae = f e 173


di mana:

K e = K xxe K xxe

+

K yye

+

e

K cve

+ K cvB

∂N T ∂N = ∫ dxdy kt ∂x ∂x

(6b)

=

∂N T ∂N ∫ ∂y kt ∂y dxdy

(6c)

=

∫N

hNdxdy

(6d)

e T K cvB = ∫ N hB tNdC

(6e)

e yy

K cve

K

T

Penyelesaian (6b), (6c), (6d) dan (6e) akan lebih mudah dilakukan bila memakai koordinat serendipity.

Koordinat Serendipity Fungsi bentuk untuk elemen segi empat dalam bentuk koordinat r dan s yang didefinisikan pada Gambar-3, diperoleh dengan perubahan yang diberi nama koordinat _

_

Serendipity, (r = 0 dan s = 0 pada x = x dan y = y ) di mana _

x

=

x j + xk

2

=

xt + x m 2

_

y

=

yi + y j

2

=

yk + ym 2

(7)

koordinat Serendipity r dan s dinyatakan dalam _

x−x r= 2

_

dan

y−y s= 2

(8)

di mana a dan b adalah setengah panjang elemen yang ditunjukkan dalam Gambar 3.

174


y

x j

j

kki

s b r b

i

m a

y

a

x

Gambar 3. Elemen segi empat 4-simpul menunjukkan koordinat serendipity (r,s) relatif terhadap koordinat global (x,y) _

_

-1 ≤ r ≤ +1 dan -1 ≤ s ≤ +1; r = (x - x )/a dan s = (y - y )/a Suatu elemen mempunyai empat simpul dan tiap simpul mempunyai satu fungsi bentuk yang bergabung dengannya, maka keempat fungsi bentuk tersebut dapat ditentukan. Fungsi ini dapat dimodifikasi berdasarkan hasil dari persamaan (5), (7) dan (8) sesudah melalui beberapa manipulasi aljabar, menjadi fungsi yang dinyatakan sebagai Ni = 1 (1+r)(1-s)

Nk = 1 (1-r)(1+s)

4 1 Nm = (1+r)(1+s) 4

4 1 Nm = (1-r)(1-s) 4

Fungsi parameter merupakan gabungan dari fungsi bentuk dan harga pada simpul Φi, Φj, Φk dan Φm adalah Φ = 1 (1+r)(1-s) Φi + 1 (1+r)(1+s) Φj + 1 (1-r)(1+s) Φk + 1 (1-r)(1-s) Φm

4

4

4

4

Misalkan dua global koordinat (x,y) dinyatakan sebagai berikut (Ni’ : fungsi bentuk) x = N1’x1 + N2’x2 + N3’x3 + N4’x4

175


dan y = N1’y1 + N2’y2 + N3’y3 + N4’y4 di mana N’1 , N’2 dan lainnya merepresentasikan fungsi bentuk yang digunakan untuk mendefinisikan geometri dan xi,yi sebagai koordinat simpul (untuk elemen isoparametrik, fungsi bentuk Ni = Ni’ adalah sama). Fungsi parameter ini harus memenuhi kondisi: 1. untuk simpul i, Ni(xi,yi) = 1, Nj(xi,yi) = Nk(xi,yi) = Nm(xi,yi) = 0 2. untuk simpul j, Nj(xj,yj) = 1, Ni(xj,yj) = Nk(xj,yj) = Nm(xj,yj) = 0 3. untuk simpul k, Nk(xk,yk) = 1, Ni(xk,yk) = Nj(xk,yk) = Nm(xk,yk) = 0 4. untuk simpul m, Nm(xm,ym) = 1, Ni(xm,ym) = Nj(xm,ym) = Nk(xm,ym) = 0 n

x=

n

∑ N i xi

y=

i =1

∑N x i =1

i

i

(13)

Kemudian kita mempunyai Ni = N’i untuk semua titik simpul di mana Ni, Nj, Nk dan Nm adalah fungsi parameter yang memenuhi kondisi berikut; 1. Di simpul i : NiTi = Ti ; NjTj = 0 ; NkTk = 0 ; NmTm = 0 2. Di simpul j : NiTi = 0 ; NjTj = Tj ; NkTk = 0 ; NmTm = 0 3. Di simpul k: NiTi = 0 ; NjTj = 0 ; NkTk = Tk ; NmTm = 0 4. Di simpul m: NiTi = 0 ; NjTj = 0 ; NkTk = 0 ; NmTm = Tm Untuk menyelesaikan persamaan (6b) dan (6c), bentuk diferensial diubah menjadi

∂N ∂N dan perlu ∂x ∂y

∂N ∂N dan . Untuk itu dituliskan ∂r ∂s

∂N i ∂N i ∂x ∂N i ∂y = + , dan ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r

∂N j ∂s

=

∂N j ∂x ∂N j ∂y + ∂x ∂s ∂y ∂s

dalam bentuk matriks

 ∂N   ∂r    =  ∂N   ∂s 

 ∂x  ∂r  ∂x   ∂s

∂y  ∂r  ∂y   ∂s 

 ∂N i   ∂x     ∂N i   ∂y  176


di mana matriks order 2 x 2 adalah matriks Jacobian dan dinyatakan dengan J

 ∂x  J =  ∂r ∂x   ∂s

∂y  ∂r  ∂y   ∂s 

Sedangkan harga dxdy diganti dengan nilai |det J| drds

 ∂N i   ∂x  ∂x   ∂r   =   ∂N i   ∂x  ∂y   ∂s

∂y  ∂r  ∂y   ∂s 

−1

 ∂N   ∂r     ∂N   ∂s 

(14)

(15)

untuk elemen isoparametrik, persamaan (13) dapat ditulis n

x=

n

∑N jxj

y=

j =1

∑N j =1

j

yj

(16)

di mana nilai tersebut diatas adalah total dari simpul yang dinyatakan dalam elemen, serta xj dan yj adalah koordinat simpul. Matriks Jacobian menjadi

∂N j  xj ∑ ∂r J=  ∂N j  xj ∑  ∂s

∑ ∑

∂N j

 yj ∂r  ∂N j  yj  ∂s

(17)

Melalui persamaan (14), (15) dan (17) , setiap integral atas luas elemen Ae dapat ditransformasi kedalam integral dalam bentuk

K xxe = ∫

+1 +1

∫

−1 −1

H (r , s )drds

(18)

Menggunakan metoda Kuardratur Gauss, dipilih titik-titik sampel demikian sehingga diperoleh ketelitian. Jika titik sampel dan bobot didasarkan pada polinomial Legendre maka integrasi numerik dilakukan dengan kuardratur Gauss-Legendre (metode ini

177


akan mengintegrasi polinomial 2n-1 di mana n adalah jumlah titik sampel). Titik sampel disebut juga titik Gauss. I

+1 +1

=

∫ ∫

−1 −1

f ( r , s ) drds

m

=

n

∑∑ w w j =1 i =1

i

j

(19)

f (ri , s j )

di mana wi dan wj adalah bobot serta ri dan sj adalah titik sampel. Titik sampel n dimisalkan dalam arah r dan titik sampel m dalam arah s). Tabel 1. Titik sampel dan bobot untuk Kuardratur Gauss Orde (n) 1 2 3

Lokasi (r) 0.00000 ± 0.57735027 ±0.77459669 0.00000000 ± 0.86113631 ±0.33998104

Bobot (wi) 2 ±1.00000000 ± 0.55555555 0.88888888 0.34785484 0.65214515

5

±0.90617985 ±0.53846931 0.00000000

0.23692688 0.4786286 0.56888889

6

±0.93246951 ±0.66120938 ±023861919

0.17132449 036076157 0.46791393

4

PEMBAHASAN Untuk memperoleh nilai integral yang akurat, dievaluasi jumlah titik sampel dalam setiap arah. Selain itu dievaluasi nilai fungsi pada beberapa lokasi, mengalikan fungsi f yang diperoleh dengan faktor bobot w dan menjumlahkannya. Titik-titik sampel diletakkan simetris terhadap pusat selang. Pasangan titik yang simetri

178


mempunyai bobot yang sama Untuk mengevaluasi elemen matriks kekakuan (misal dalam konduksi panas) dalam arah x, maka matriks kekakuan dari konduksi panas dalam arah x seperti halnya persamaan (6b) dan (6c):

K

e xx

∂N T ∂N = ∫ kt dxdy ∂ ∂ x x e A

Merujuk pada persamaan (18), dapat diuraikan matrik N dari fungsi bentuk:

 1 (1 + r )(1 − s )   4  1 (1 + r )(1 + s )   4 N= 1 / 4(1 − r )(1 + s )   1 4(1 − r )(1 − s ) 

J=

 4 ∂N j xj ∑ .  j =41 ∂r  ∂N j  ∑ ∂s x j  j =1

 J11 J=   J 21

T

∂N

 yj  j =1  4 ∂N  j yj  ∑ j =1 ∂s  4

∑ ∂r

−1

J12   A11 =   J 22   A21

A12  A22 

Aij fungsi r dan s. Dari persamaan (15)

∂N j ∂N i ∂N = A11 i + A12 ∂x ∂r ∂s Jika semua empat fungsi bentuk dipandang pada satu waktu, maka

∂N ∂x

= A11

∂N ∂r

+ A12

∂N ∂s

179


∂N

∂N

= ( A11

∂x

∂r

+ A12

∂N ∂s

)T

= A11

∂N T ∂N T .. + A12 ∂r ∂s

dxdy = det J drds

K

e

∂N T ∂N T ∂N ∂N )kt ( A11 ) det J drds + A12 + A12 = ∫ ∫ ( A11 −1 −1 ∂r ∂s ∂r ∂s +1 +1

H(r,s) = cT ktc det J

c=

[

A11

∂N ∂r

+ A12

∂N ∂s

]

Derivatif dari fungsi bentuk terhadap r dan s

 ∂N1  T  ∂r   1 (1 − s )   ∂N   4   2 1 (1 + s )  ∂N  ∂r   4 = = − 1 / 4(1 + s )  ∂N 3  ∂r    ∂r    − 1 4 ( 1 − s )  ∂N   4    ∂r  T

 ∂N1   ∂s  T − 1 / 4(1 + r )  ∂N   1 / 4(1 + r )   2 ∂N  ∂s   = =   1 / 4(1 − r )  ∂s  ∂N 3     ∂s   − 1 4(1 − r )   ∂N   4  ∂s  T

Matrik Jacobian mempunyai empat komponen dinyatakan dengan J11 , J12 , J 21 dan

J 22 . Dari persamaan (17) 4

J 11 =

∑ j =1

4

J 12 =

∑ j =1

∂N j ∂r ∂N j ∂r

x j = ¼(1 - s)x1 + ¼(1 + s)x2 - ¼(1 + s)x3 - ¼(1 - s)x4

yj =

¼(1 - s)y1 + ¼(1 + s)y2 - ¼(1 + s)y3 - ¼(1 - s)y4

180


J 21 =

∂N = ∂r 4

J 22 =

∑

4

∑ j =1

∂N j

j =1

∂r

∂N j ∂s

x j = - ¼(1 + r)x1 + ¼(1 + r)x2 + ¼(1 - r)x3 - ¼(1 - r)x4

y j = - ¼(1 + r)y1 + ¼(1 + r)y2 + ¼(1 + r)y3 - ¼(1 - r)y4

Jika koordinat simpul diketahui, matrik Jacobian dapat dihitung untuk (r,s) yang diketahui dan berturut-turut diperoleh A11, A12, A21 dan A22. Dua titik Gauss dalam setiap arah akan digunakan. Elemen induk diberikan pada Gambar-4. Berikut ini diberikan perhitungan empat titik Gauss.

s

C

0.57735

B

r 0.57735

D

A

0.57735

0.57735

Gambar 4. Elemen induk menunjukkan Kuardratur Gauss 2 x 2 Titik Gauss A = r2 = + 0.57735027

s1 = -0.57735027

 0.10000000

0.08943376

J=   − 0.05000000 0.06056624 Determinan J = 0.01052831 5.75270206 − 8.49459588  9.49819863 

J-1 = A =   4.74909931

181


∂N = ∂r

c=

[

H(r2,s1) = c T ktc det J

 0.39433757   0.10566243     − 0.10566243   − 0.39433757 

A11

∂N ∂r

+ A12

T

∂N = ∂s

∂N

]

∂s

− 0.39433757   0.39433757     0.10566243     − 0.10566243

T

 5.61824481  − 2.74189378  =   − 1.50540416     − 1.37094687 

T

0.33232274 − 0.16218476 − 0.08904561 − 0.08109238  0.07915165 0.04345727 0.03957583  =  0.02385970 0.02172864    0.01978791   ( simetris )

Titik Gauss B = r2 = + 0.57735027

s2 = +0.57735027

 0.10000000

0.06056624

J=   − 0.05000000 0.06056624 Determinan J = 0.00908494 6.66666667 − 6.66666667 

J-1 = A =   5.50361582 11.00723165 

∂N = ∂r

c=

[

 0.10566243   0.39433757    + 0.39433757     − 0.10566243

A11

∂N ∂r

+ A12

T

∂N = ∂s

∂N ∂s

]

− 0.39433757   0.39433757     0.10566243     − 0.10566243

T

 3.33333333   0.00000000   =  − 3.33333333    0.00000000 

T

182



0.10094373 0.00000000 − 0.10094373  0.00000000 0.00000000 =   0.10094373   ( simetris )

Titik Gauss C = r1 = - 0.57735027

0.00000000 0.00000000 0.00000000  0.00000000

s2 = +0.57735027

 0.10000000 0.06056624 J=   − 0.05000000 0.08943376

Determinan J = 0.01197169 7.47043843 − 5.05912314  8.35304105 

J-1 = A =  4.17652052

∂N = ∂r

c=

[


 0.10566243   0.39433757    − 0.39433757     − 0.10566243

A11

∂N ∂r

+ A12

T

∂N = ∂s

∂N ∂s

]

 − 0.10566243  0.10566243     0.39433757    − 0.39433757 

T

 1.32390396   2.41131526   =  − 4.94087683    1.20565761 

T

0.02098304 0.03821782 − 0.07830976 0.01910891   0.06960868 − 0.14263083 0.03480434  =   0.29225601 − 0.07131541   0.01740217   ( simetris )

Titik Gauss D = r1= - 0.57735027

s1 = -0.57735027

 0.10000000 0.08943376 J=   − 0.05000000 0.08943376

183


Determinan J = 0.01341506 6.66666667 − 6.66666667   7.45430684 

J-1 = A =  3.72715342

∂N = ∂r

c=

[


 0.39433757   0.10566243     − 0.10566243   − 0.39433757 

A11

∂N

+ A12

∂r

T

∂N = ∂s

∂N

]

∂s

 − 0.10566243  0.10566243     0.39433757    − 0.39433757 

T

 3.33333333   0.00000000   =  − 3.33333333    0.00000000 

T

0.14905627 0.00000000 − 0.14905627  0.00000000 0.00000000 =   0.14905627   ( simetris )

0.00000000 0.00000000 0.00000000  0.00000000

Matrik Kekakuan

K

e xx

∂N T ∂N = ∫ kt dxdy ∂ ∂ x x e A m

=

n

∑∑ w w H (r , s j =1 i =1

i

j

i

j

=

+1 +1

∫∫

−1 −1

H (r , s)drds

)

tiap bobot (wi dan wj) mempunyai suatu nilai kesatuan(tabel-1 untuk n=2) Diperoleh hasil akhir matriks kekakuan.

184


0.60330578 − 0.12396694 0.41735537 − 0.06198347   0.14876033 − 0.09917356 0.07438017  K xxe =   0.56611571 − 0.04958677    0.03719008   ( simetris )

KESIMPULAN Pembentukan matrik kekakuan dapat dilakukan dengan koordinat Serendipity disertai dengan metode integral Gauss. Tersedianya matrik kekakuan untuk elemen segi empat akan mempermudah penyusunan program komputer pengolah data (solver) dalam analisis menggunakan Metoda Elemen Hingga.

185


DAFTAR PUSTAKA 1. COOK, ROBERT, D.; SURYOATMONO, BAMBANG, Konsep dan Aplikasi Metode Elemen Hingga, Bandung, PT Eresco, 1990. 2. REDDY, JN., An Introduction to the Finite Element Method, Singapore, McGraw-Hill, Inc., Second Edition, 1993. 3. STASA, FRANK, L., Applied Finite Element Analysis for Engineers, York, CBS New Publishing, 1985.

186


DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. Nama

: Dra. Mike Susmikanti, MM

2. Tempat/Tanggal Lahir

: Jakarta, 12 November 1956

3. Instansi

: BATAN

4. Pekerjaan / Jabatan

: Staf P2TIK-BATAN

5. Riwayat Pendidikan

:

• S1Matematika Statistik –FIPIA UI • S2 Magister Manajemen 6. Pengalaman Kerja

:

• 1980-sekarang , BATAN

187

PEMBENTUKAN MATRIK KEKAKUAN ELEMEN SEGI EMPAT PADA METODE ELEMEN HINGGA. Mike Susmikanti *, Utaja **

Recommend Documents