METODE ELEMEN HINGGA. Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 1

METODE ELEMEN HINGGA Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS

Handayanu

Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

1

PENGANTAR • M Metode t d El Elemen Hi Hingga adalah d l h metode t d numeris untuk penyelesaian masalah teknik dan fisika matematis. • Masalah tersebut meliputi: p – Analisa struktur – Heat transfer – Aliran fluida – Perpindahan massa – Elektromagnetik Handayanu


2

PENGANTAR (lanjt.) (lanjt ) • U Untuk t k permasalahan l h kompleks k l k d darii geometri, ti pembebanan, dan sifat material, umumnya susah untuk menyelesaikannya secara matematis. • Penyelesaian matematis adalah menggunakan persamaan matematis yang menghasilkan persamaan untuk mendapatkan informasi/penyelesaian dari nilai yang tidak diketahui disetiap p lokasi dibagian g struktur/objek. j Penyelesaiannya umumnya menggunakan ODE & PDE. Handayanu


3

PENGANTAR (Lanjt.) (Lanjt ) • Penyelesaian Metode Elemen Hingga menghasilkan persamaan dari masalah yang dianalisa dalam sistem persamaan serentak yang harus diselesaikan. • Penyelesaian ini memberikan hasil/penyelesaian pendekatan dari nilai yang tidak diketahui pada titik tertentu dalam sistem yang kontinyu. • Sistem yang kontinyu adalah istilah dari kondisi struktur/objek yang sebenarnya. Handayanu


4

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Dikritisasi (discretization) adalah proses pemodelan dari struktur/ objek dengan membaginya dalam elemen-2 kecil (finite elemen atau elemen hingga) yang terhubung oleh titik-2 (nodes) yang digunakan oleh elemen-2 tersebut dan sebagai batas dari struktur/ objek. • Dalam metode elemen hingga persamaan dari seluruh sistem dibentuk dari penggabungan persamaan elemen-2nya. Handayanu


5

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • U Untuk t k masalah l h struktur: t kt penyelesaian l i yang didapat adalah deformasi (displacement) pada setiap titik (nodes) yang selanjutnya digunakan untuk mendapatkan besaran-2 regangan (strain) dan tegangan (stress) (stress). • Untuk masalah bukan struktur: – Heat transfer: temperatur akibat flux temperatur temperatur. – Fluid flow: tekanan fluida akibat flux fluida.

• Metode elemen hingga (finite elemen method) telah berkembang selama 35 tahun bersamaan dengan de ga pe perkembangan e ba ga teknologi e o og komputer. o pu e Handayanu


6

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • P Penyelesaian l i d darii metode t d elemen l hi hingga (MEH) umumnya menggunakan metode matriks. • Penyelesaian MEH memerlukan perhitungan yang sangat banyak dan berulang-ulang dari persaamaan yyang g sama, sehingga gg diperlukan sarana komputer dan bahasa pemrogramannya. • Penyelesaian dari seluruh sistem umumnya merupakan penyelesaian persamaan serentak yang dinyatakan dalam bentuk matriks dan diselesaian menggunakan penyelesaian persamaan serentak (Cholesky, Eliminasi Gauss, Iterasi Gauss-Seidel). Handayanu


7

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Sejarah S j h singkat: i k t – Elemen satu dimensi dikembangkan oleh Hrennikoff (1941) dan McHenry (1943) sebagai elemen rangka (truss) dan balok (b (beam). ) – Courant (1943) mengembangkan definisi t tegangan dalam d l b bentuk t k ffungsii ((variational i ti l form), shg. Sebagai awal penggunaan fungsi bentuk (shape function) yang diterapkan dalam elemen segitiga (elemen dua dimensi). Handayanu


8

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • L Levy (1947) mengembangkan b k metode t d fleksibilitas (flexibility method) atau metode gaya (force method). Pada tahun 1953, dia mengembangkan metode deformasi (displacement method) atau metode kekakuan (stiffness method). Pada masa itu usulannya sangat susah diterima oleh umum karena memerlukan banyak perhitungan sehingga diperlukan p sebagai g sarana p pendukung. g komputer Handayanu


9

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • A Argyris i d dan K Kelsey l (1954) mengembangkan b k analisa struktur metode matriks menggunakan metode energi. Pengembangan ini menunjukkan pentingnya pendekatan prinsip energi dalam penyelesaian persamaan-2 metode elemen hingga. hingga • Awal penggunaan elemen dua dimensi dilakukan oleh Turner Turner, Clough Clough, Martin Martin, dan Top (1956) dengan menurunkan persamaan untuk elemen rangka, balok, elemen segitiga dan persegi, pada pengembangan direct stiffness method untuk mendapatkan kekakuan sistem. Handayanu


10

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Istilah finite element (elemen hingga) diperkenalkan oleh Clough pada th. 1960 saat menggunakan elemen segitiga dan segi empat dalam analisa tegangan bidang ( l (plane stress t analysis). l i ) • Melosh (1961) mengembangkan elemen pelat lentur (plate bending). (p g) • Grafton dan Strome (1963) mengembangkan elemen shell dan axisymmetric shell untuk pemodelan pressure vessel. vessel • Martin (1961), Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962), Melosh (1963), dan Argyris (1964) mengembangkan elemen l titiga di dimensii ttetrahedral. t h d l • Clough, Rashid, dan Wilson (1965) mengembangkan y solid. elemen axisymmetric Handayanu


11

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • K Kebanyakan b k pendekatan d k t regangan d dan ttegangan kkecilil dipakai dalam penyelesaian MEH ditahun 60-an. • Turner, Turner Dill, Dill Martin Martin, dan Melosh (1960) mengembangkan penyelesaian dari Large deformation and thermal analysis. • Gallagher, Padlog, dan Bijlaard (1962) mengembangkan penyelesaian kasus material tidak linier (non-linear material). material) • Gallagher dan Padlog (1963) mengembangkan penyelesaian p y dari masalah tekuk ((buckling). g) • Zienkiewicz, Watson, dan King (1968) mengembangkan penyelesaian dari kasus visco-elasticity. Handayanu


12

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • A Archer h (1965) mengembangkan b k penyelesaian l i dari kasus analisa dinamis dalam pengembangan consistent mass matriks pada rangka dan balok. • Melosh ((1963)) mengembangkan g g pendekatan persamaan variational (vaiational formulation) dalam permulaan dari penyelesaian masalah bukan struktur struktur. • Zienkiewicz, dan Cheung (1965), Martin (1968), dan Wilson dan Nickel (1966) mengembangkan penyelesaian dari masalah torsi dari poros, aliran fluida, dan konduksi panas. Handayanu


13

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • P Penyelesaian l i menggunakan k weighing i hi residual method dikembangkan oleh Szabo dan Lee (1969), dan diterapkan dalam penyelesaian masalah transient field problems oleh Zienkiewicz dan Parekh (1970). Studi tersebut memberikan alternatif penyelesaian bila kasus-2 yang g tidak bisa diselesaiakan dengan pendekatan direct formulation dan variational formulation. Handayanu


14

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Belytscho (1976) mengembangkan penyelesaian yang efisien dari perilaku large displacement non-linear dynamic dengan memperbaiki penyelesaian numerisnya. • Penerapan dari metode elemen hingga telah digunakan dalam bidang bioengineering. Kasus2 dalam bidang ini masih banyak masalah dimaterial pada non-linear material, non-linear geometry, dan banyak hal lain yang masih menunggu penyelesaian. Handayanu


15

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Notasi matriks: matriks gaya dinyatakan dalam {F} = F dan matriks displacement dalam {d} = d atau

Handayanu

 F1 x F  1y  F1 z   F2 x  F2 y  {F }   .  .   .   F nx  F ny   F nz

        ;        


 d1x d  1y  d1z  d 2x d 2y  {d }   .  .   .   d nx  d ny   d nz

                 16

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Matriks kekakuan elemen dinyatakan dalam [k] dan matriks kekakuan global sistem struktur dinyatakan dalam [K] [K].

 k11 k [k ]  k   21  ...  k n1 •

k12 k 22 ... kn 2

... k1n   K11 K ... k 2 n  ; [ K ]  K   21  ... ... ...    ... k nn   K n1

K12 K 22 ... Kn2

... K1n  ... K 2 n  ... ...   ... K nn 

Persamaan dari kesetimbangan sistem struktur dinyatakan dalam:

F=Kd Handayanu


17

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Peran P K Komputer t dalam d l MEH • Hingga th.1950-an, metode matriks dan metode elemen l hi hingga tid tidak k siap i di digunakan k d dalam l penyelesaian-2 masalah kompleks karena besarnya y p persamaan yyang g harus diselesaikan,, sehingga tidak praktis. • Dengan hadirnya komputer, maka perhitungan dari penyelesaian l i persamaan d darii sistem i t struktur t kt tersebut dapat diselesaikan dalam hitungan menit. • Perkembangan komputer menyebabkan perkembangan program-2 numeris untuk masalah struktur dan non-struktur. Handayanu


18

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Langkah-2 umum MEH: – Langkah 1:Diskritisasi/meshing dan pemilihan jenis elemen Pemilihan jenis elemen berkait dengan idealisasi yang ingin i i dil dilakukan k k tterhadap h d struktur t kt yang dimodelkan. Pilihan yang ada berkait dengan jenis elemen(1 dimensi dimensi, 2 dimensi dimensi, atau 3 dimensi) dimensi), dan berlanjut dengan tingkat kesulitan dari jenis elemen yang ditunjukkan oleh jumlah titik (nodes) dalam elemen beserta jumlah derajat kebebasan (degree of freedom atau DOF) dari masing-2 titik (node). Handayanu


19

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) – Langkah 1 (Lanj.): g Penentuan jjumlah elemen berkait dengan ukuran elemen yang penentuan dan penyebarannya y y berkenaan dengan g konsentrasi dari deformasi, regangan, serta tegangan yang akan terjadi pada struktur yang dimodelkan yang disebabkan oleh bentuk geometri dari struktur serta penyebaran beban dan syarat batasnya.

Handayanu


20

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) – Langkah 1:Jenis elemen

Handayanu


21

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) – Langkah 1:Jumlah elemen 12-10 14-10 15-11 18-11 71 16-10 13-10 19-10 17-10 20-10

227 197 195 196 194 193 233

202 Y Z

201

192

198

191 208

226 207 206 205

232

X

Handayanu


22

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • L Langkah k h2 2:Pilih Pilih F Fungsii D Deformasi f i (Displacement Function) – Penentuan fungsi deformasi adalah berkait dengan jumlah titik dalam satu elemen serta DOF yang dimodelkan pada tiap titik atau tingkat/derajat polinomial dalam asumsi fungsi deformasi dalam elemen tersebut.

• Langkah 3:Menentukan persamaan hubungan antara regangan {} dan deformasi {d} serta antara tegangan {} dan regangan {}. – Regangan: x =du/dx ; Y =dv/dy ; Z =dw/dz – Tegangan: X = E x ; Y = E Y ; Z = E Z

Handayanu


23

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • L Langkah k h4 4:Menentukan M t k M Matrik t ik P Persamaan d dan Kekakuan Elemen – Ada tiga metode dalam penentuan persamaan kekakuan elemen: • Metode Kesetimbangan Langsung (Direct Equilibrium Method) • Metode Kerja atau Energi (Work or Energy Method) • Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa (Methods of Weighted Residual)

– Metode Kesetimbangan Langsung: Matrik persamaan elemen yang menunjukkan hubungan antara gaya, kekakuan dan deformasi pada elemen ditentukan kekakuan, berdasarkan pada prinsip kesetimbangan gaya.

Handayanu


24

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) – Metode Kerja atau Energi:Metode ini adalah pendekatan yang dapat mencakup hampir semua tingkat kerumitan dari suatu model yang mencakup k komponen material, t i l di dimensi, i b beban, b d dan syaratt batas. – Metode yyang g menggunakan gg p prinsip p energi/kerja g j lainnya: Metode Castigliano dan Metode yang berdasarkan Prinsip Energi Potensial Minimum. Keduanya edua ya hanya a ya berlaku be a u u untuk u pe penurunan u u a de dengan ga material elastis. – Metode dengan Pemberatan pada Energi Sisa: Metode ini yang terkenal adalah Metode Galerkin Galerkin. Metode ini memberikan hasil yang sama untuk semua penyelesaian Metode Energi. Metode ini sebagai Handayanu


25

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) – (lanj.) penyelesaian saat metode energi tidak bisa digunakan.Metode ini dapat mengadopsi langsung persamaan diferensial. diferensial – Persamaan elemen yang dihasilkan secara umum adalah sebagai berikut:  f1   k11  f  k 21  2   f 3   k31 ...   ...     f n  k n1 Handayanu

k12 k 22 k32 ... kn 2

k13 ... k1n   d1  k 23 ... k 2 n  d 2    k33 ... k3n  d 3    ... ... ...  ...   k n 3 ... k nn  d n  Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS

atau

{f} = [k] {d}

dimana: {f} = matrik gaya [k] = matrik kekakuan {d} = matrik t ik deformasi d f i 26

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Langkah 5:Penggabungan Persamaan Elemen pembentuk persamaan global/ total dari sistem dan menentukan syarat batas. – Penggabungan persamaan elemen dilakukan dengan prinsip superposisi dengan mempergunakan prinsip kontunyuitas dan kompatibilitas. – Kontinyuitas: Kontin itas tiap elemen saling berh berhubungan b ngan sehingga dapat menyalurkan beban berupa tegangan keelemen disekitarnya. Sehingga terlihat pada bentuk deformasinya yang kontinyu. – Kompatibilitas: tiap elemen mempunyai titik (nodes) dengan jumlah dan sifat DOF tertentu, kesamaan DOF dari titik dalam tiap elemen yang digunakan merupakan syarat kompatibilitas dari tiap titik dalam tiap elemen dan tiap elemen menggunakan titik-2 tersebut sesuai dengan tingkat kesulitan dari tiap elemen yang digunakan.

Handayanu


27

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • L Langkah k h 5 (l (lanj.):Bentuk j ) B t k persamaan global l b ld darii sistem i t struktur secara matrik adalah sebagai berikut: {F} = [K] {d} Dimana: {F} = adalah vektor gaya global pada titik baik yang diketahui maupun yang tidak diketahui [[K]] = adalah matrik kekakuan global g dari sistem struktur; sifatnya singular atau det[K] = 0 {d} = adalah vektor deformasi yang diketahui dan yang tidak diketahui

Handayanu


28

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Langkah 6:Penyelesaian dari DOF yang tak diketahui, setelah syarat batas diberikan. Persamaan dari sistem menjadi:  F1   K11  F   K 21  2   F3    K 31 ...   ...     Fn   K n1 Handayanu

K12 K 22 K 32 ... K n2

K13 K 23 K 33 ... K n3

... ... ... ... ...

K1n   d1  K 2 n  d 2    K 3n   d 3   ...   ...    K nn  d n 


Dimana: n = jumlah DOF yang tak diketahui.

Matrik [[K]] bersifat nonsingular (det[K] ≠ 0). Penyelesaiannya umumnya menggunakan antara lain: metode eliminasi Gauss Iterasi GaussGauss, Gauss seidel, dst. 29

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Langkah 7:Penyelesaian Regangan dan Tegangan Elemen. – Hasil regangan dan tegangan adalah output yang umum digunakan untuk menentukan kualitas dari d desain i struktur t kt yang dil dilakukan. k k

• Langkah 8:Interpretasi Hasil – Output yang berupa: deformasi, tegangan, dan regangan adalah sebagai acuan dalam menilai desain yang dimodelkan. dimodelkan Dari analisis yang dilakukan, maka dapat ditentukan perubahan-2 untuk perbaikan desain maupun kualitas model. Handayanu


30

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Aplikasi A lik i d darii M Metode t d El Elemen Hi Hingga. – Pada masalah struktur: • A Analisa li T Tegangan: pada d struktur t kt rangka, k b balok l kd dan fframe; pada struktur pelat berlubang, dst. • Kejadian Tekuk (Buckling): pada kolom dan shell. • Analisa Getaran.

– Pada masalah non-struktur: • Kejadian Transfer panas (Heat Transfer). Transfer) • Aliran Fluida (Fluid Flow), termasuk aliran dalam media berpori (tanah). • Distribusi dari potensi magnetik atau elektrik.

– Aplikasi pada Bioengineering. Handayanu


31

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Keuntungan K t dari d iM Metode t d El Elemen Hi Hingga. – Memodelkan bentuk yang kompleks – Menyelesaikan kondisi pembebanan umum – Memodelkan objek/struktur dengan jenis material yang banyak (krn. Pers. Pada tingkat elemen) – Memodelkan banyak macam syarat batas – Dengan mudah menggunakan bermacam ukuran elemen dalam meshing/diskritisasi – Menyelesaikan model dengan mudah dan murah – Dapat memodelkan efek dimanis – Menyelesaikan kelakuan tidak linier dari geometri dan material Handayanu


32

PENGANTAR (Lanj.) (Lanj ) • Program komersial dari MEH: – – – – – – – – – Handayanu

GT STRUDL StruCAD SAP2000 ALGOR IDEAS FEMAP MSC NASTRAN MSC DYTRAN MSC MARC

– CATIA – ABAQUS – FLUENT – CFX – ANSYS – ADINA – MSC PATRAN – ROBOT (AUTODESK) – SACS – MICRO SAS


33

METODE ELEMEN HINGGA. Jurusan Teknik Kelautan FTK ITS. Handayanu Metode Elemen Hingga (LL1206) JTK-FTK-ITS 1

Recommend Documents