Bab III Metode Elemen Hingga Pada Shell
III.1 Teori Elastisitas Teori elastisitas merupakan cabang yang penting dari fisika matematis, yang mengkaji hubungan antara gaya, perpindahan, tegangan dan regangan dalam benda elastis. Hampir semua bahan memiliki sifat elastis (elasticity), dimana apabila gaya luar menghasilkan perubahan bentuk (deformation) tidak melebihi batas tertentu, maka perubahan bentuk akan hilang sesudah gaya dilepas. Bila suatu benda dibebani oleh gaya luar, benda tersebut akan berubah bentuk atau berdeformasi sehingga timbul tegangan dan regangan dalam. Perubahan bentuk ini tergantung pada konfigurasi geometris dari benda tersebut dan pada sifat mekanis bahannya. Dalam teori elastisitas, bahan yang dibahas hanya yang elastis linear, yaitu keadaan dimana hubungan antara tegangan dan regangan bersifat linear dan perubahan bentuk akan hilang bila gaya luar dihilangkan. Selain itu, teori elastisitas klasik menganggap bahan bersifat homogen dan isotropik yaitu sifat bahan yang serba sama dan sifat elastisnya juga sama dalam segala arah.
III.2 Komponen Tegangan Tegangan secara umum didefinisikan sebagai rasio antara gaya yang bekerja pada suatu elemen, dengan luas elemen itu sendiri. Dimana intensitas gaya yang bekerja tegak lurus terhadap irisan disebut tegangan normal (Normal Stress), secara matematis didefinisikan sebagai berikut :
ΔF ΔA→0 ΔA
σ = lim
(III-1)
Komponen lain dari tegangan yang bekerja sejajar dengan bidang luasan disebut : Tegangan geser (Shearing Stress) yang didefinisikan : ΔV ΔA → 0 ΔA
τ = lim
(III-2)
Keadaan tegangan pada benda elastis bervariasi dari titik satu ketitik lainnya. Pada keadaan
tiga
dimensi
dapat
dituliskan
III-1
σ(x,y,z)
dan
τ(x,y,z).
Untuk
menggambarkan keadaan tegangannya dapat diambil suatu elemen yang kecil tak berhingga dalam bentuk kotak (dx, dy, dz) Z,w σz τyz σy τyx
τ
τxz xy σx dy
dx
dz
τzy τ zx
X,u
Y,v
Gambar III.1a Komponen tegangan pada suatu titik elemen dx, dy, dz Z
τxz
τxz
τzx
X 0
τzx
Gambar III.1b Komponen tegangan pada bidang x – z
Dimana untuk tegangan normal terdiri dari tiga notasi yakni σx, σy, σz dan Tegangan geser terdiri dari enam notasi yakni τxy, τxz, τyx, τyz, τzx, τzy. Dengan memperhatikan kesetimbangan gaya
∑ Fz = 0 ,
dan juga memperhatikan
dimensi elemen kecil tak berhingga yang kita tinjau adalah (dx)(dy)(dz), sebagaimana halnya tegangan normal, tegangan geser pada bidang yang sejajar secara numerik adalah sama.
∑ Fz = 0
(III-3)
(τxz) kiri (dy)(dz) = (τxz) kanan (dy)(dz) τxz = τxz
(III-4)
Untuk tegangan geser yang saling tegak lurus dapat dicari dalam bentuk bidang (dua dimensi) dengan mencari kesetimbangan momen terhadap titik O, maka diperoleh :
III-2
∑ Mo = 0 τzx (dx.dy)(dz) = τxz (dy.dz)(dx)
(III-5)
Dimana secara berturutan persamaan tersebut dapat disebut dengan tegangan luas dan lengan momen. Dengan menyederhanakan diperoleh : τzx = τxz
(III-6a)
dengan cara yang sama dapat dibuktikan τxy = τyx
(III-6b)
τzy = τyz
(III-6c)
Ketiga persamaan tersebut disebut hukum timbal balik tegangan. Keseluruhan komponen tegangan tiga dimensi disembarang titik benda elastis ditentukan oleh sembilan komponen tensor tegangan yakni tiga tegangan normal dan enam tegangan geser, kalau dinyatakan dengan matriks: σ = τ τ
σ
x yx zx
τ σ τ
xy y zy
τ τ σ
xz
(III-7a)
yz z
Pada pelat tebal keadaan tegangan bersifat tiga dimensi, tetapi pada pelat yang tipis yang memiliki ketegaran lentur mempunyai keadaan tegangan tiga dimensi yang tidak sempurna, yakni komponen tegangan pada permukaan yang sejajar bidang XY sama dengan nol (0). Dalam analisis pelat elastis keadaan tegangan 3 dimensi berperan penting. Pada keadaan ini σz = τyz = τxz = 0, dengan demikian matriks tensor tegangan menjadi :
σ =
σx τ dimana τ = τ yx = τ xy τ σy
(III-7b)
III.3 Komponen Regangan dan Perpindahan
Regangan secara umum didefinisikan sebagai rasio antara perubahan panjang dan panjang semula, yang dituliskan dalam bentuk matematis : ε=
ΔL L
(III-8)
Karena benda elastis tersebut berubah bentuk akibat gaya luar, setiap titik padanya mengalami perpindahan elastis yang kecil. Dengan menyatakan perpindahan atau translasional dalam arah x, y, z sebagai u, v, w kita dapat tuliskan
III-3
u = f (x,y,z)
v = f (x,y,z)
(III-9)
z = f (x,y,z
yang menunjukan bahwa komponen perpindahan juga merupakan fungsi letaknya. Untuk menghubungkan perpindahan dan perubahan bentuk kita dapat meninjau kembali Gambar III.1 Karena keseluruhan benda elastis berubah bentuk, maka elemen kecil dx, dy, dz juga akan berubah bentuk, yakni panjang sisinya dan sudut - sudut antara permukaannya yang semula siku - siku juga akan berubah (Gambar III.2) Z,w
Z,w π/2 - γzx π/2 - γyz
Ddz
X,u
O
dz
dy Ddy
Y,v
dx
X,u
O
Y,v
π/2 - γxy
Ddx
Gambar III.2 Deformasi suatu Elemen
Dengan membatasi pada perubahan bentuk yang kecil, misal dalam arah X adalah εx =
Δdx dx
(III-10)
dimana pertambahan Δdx dinyatakan dalam suku kedua deret taylor Δdx =
εx =
∂u dx , maka dapat dituliskan ∂x
∂u ∂v ∂w εy = εz = ∂x ∂y ∂z
(III-11)
Akibat pengaruh tegangan geser, permukaan elemen tersebut akan berputar. Proyeksi elemen tersebut pada sumbu XY seperti gambar didefinisikan sebagai Regangan geser (akibat distorsi sudut)
III-4
Y u
(1+εx)dx (j u/j y)dy C"
(j v/j y)dy
(1+εy)dy
A" A' A
C
O
(j v/j x)dx
φ
O'
B'
v
dy
B" X
B
dx
(j u/j x)dx
Gambar III.3 Regangan dan perpindahan suatu elemen
Dari gambar diperoleh :
γx y = γ '+γ "
γ xy
(III.13a)
∂u ∂v dy dx ∂v ∂u ∂y x ∂ = + = + = γ yx dx ∂x ∂y dy
(III-13b)
Dengan cara yang sama diperoleh
γ xz =
∂u ∂z + = γ zx ∂z ∂x
(III-13c)
γ yz =
∂v ∂w + = γ zy ∂x ∂y
(III-13d)
Regangan tensor dapat didefinisikan sebagai berikut:
εx ε = 1 2 γ yx 1 γ 2 zx
γ xy εy 1 γ 2 zy
1
2
γ xz 1 γ 2 yz εz 1
2
(III-13)
III.4 Hukum Hooke
Untuk bahan struktur yang elastis linier, Hukum Hooke yang menghubungkan tegangan dan regangan dinyatakan sebagai : σ = E.ε
(III-14)
atau dapat dinyatakan adanya hubungan yang linier antara komponen tegangan dan regangan pada batas tertentu, seperti Gambar III.4 berikut :
III-5
Tegangan
Regangan Daerah Elastis
Daerah Plastis
Gambar III.4 Hubungan Tegangan dan Regangan
Dimana E = Modulus Elastisitas Young (Thomas Young ;1773-1839, Ilmuwan Inggris). Jika tegangan normal tarik bekerja dalam arah X, perpanjangan εx diikuti oleh perpendekan lateral, jadi regangan dalam arah X,Y,Z :
εx =
σx E
σx
ε y = −μ
E
ε z = −μ
σx
(III-15)
E
Dimana μ adalah Rasio Poisson (Simeon Denis Poisson ; 1781-1840, Ilmuwan Perancis), yang didefinisikan : μ=
Regangan Lateral Regangan Aksial
(III-16) Dl
P
P
Da
Gambar III.5 Perubahan Panjang Aksial dan Lateral
Jika tegangan normal dalam arah x,y,z (σx, σy, σz) bekerja bersamaan pada elemen yang kecil tersebut, maka Hukum Hooke diperluas menjadi :
εx =
σx E
ε y = −μ ε z = −μ
−μ
σx E
σx E
σy E +
−μ
σy E
−μ
σz
−μ
σy E
(III-17a)
E
+
σz E
σz E
III-6
(III-17b) (III-17c)
Hukum Hooke juga berlaku pada tegangan geser, dimana kasus masih pada daerah elastis linier, tegangan geser berbanding lurus dengan regangan geser :
τ = G.γ
(III-18)
Dimana G adalah Modulus Elastistisitas geser (Shear Modulus of Elasticity). Jika Tegangan geser bekerja bersamaan pada permukaan elemen tersebut persamaan menjadi :
γ xy =
1 1 1 τ xy γ yz = τ yz γ xz = τ xz G G G
(III-19)
Dimana hubungan antara Modulus Elastisitas E dan Modulus Elastisitas Geser (G) dapat diperoleh dari hubungan berikut (berdasar Timoshenko ;1993) : G=
E 2 (1 + μ )
(III-20)
III.5 Perumusan Metode Elemen Hingga untuk cangkang a. Umum
Untuk menganalisis bentuk geometri cangkang dengan elemen hingga, kita dapat menggunakan berbagai bentuk pendekatan yang berbeda. Pendekatan yang paling sederhana dengan menggunakan elemen datar dalam bentuk segitiga atau segiempat. Pada elemen segiempat sama seperti pada elemen segitiga yaitu kombinasi peralihan umum dan peralihan nodal komponen membran (tegangan bidang) dan komponen lentur (lenturan pelat). Cara untuk memecahkan elemen campuran ini ialah dengan menggunakan kombinasi elemen segiempat peralihan bilinier (bilinier displacement rectangle) yang dikembangkan oleh melosh untuk masalah tegangan bidang dan elemen segiempat MZC (Melosh, Zienkiewiz,dan Cheung) untuk lenturan pelat. Dengan kombinasi ini maka pada setiap titik nodal akan terdapat lima peralihan nodal terhadap sumbu lokal.
Gambar III.6a Komponen Membran pada elemen segiempat
III-7
Gambar III.6b Komponen lentur pada elemen segiempat
III.6 Akibat Gaya Membran III.6.1 Elemen Segiempat
Jenis elemen segiempat peralihan bilinier (bilinier displacement rectangle) yang dikembangkan oleh Melosh. Selanjutnya kita akan menurunkan kekakuan dan beban titik nodal ekuivalen untuk elemen ini. Kita tinjau sebuah elemen segiempat dengan tebal t seperti yang diperlihatkan dalam Gambar III.6(a). Dalam gambar tersebut juga dilukiskan koordinat sentroidal tanpa dimensi yang didefenisikan sebagai : ξ=
x a
η=
y b
(III-21)
Gambar III.7 Segiempat peralihan bilinier
dimana a dan b berturut – turut adalah setengah lebar dan setengah tinggi. Peralihan umum elemen ini terdiri dari translasi dalam bidang x-y. Jadi :
III-8
u = {u , v}
(III-22)
Titik nodal 1, 2, 3, dan 4 digunakan pada titik – titik sudut, dimulai dari kiri bawah, dan selanjutnya berlawanan arah dengan jarum jam. Pada setiap titik nodal terjadi dua translasi (dalam arah x dan y), maka vektor peralihan titik nodal akan menjadi : q = {q 1 , q 2 ,..., q 8 , u 1 , v1 ,..., v 4 }
(III-23)
Bila fungsi peralihan asumsi untuk elemen ini adalah : u = c1 + c 2 ξ + c 3 η + c 4 ξη v = c 5 + c 6 ξ + c 7 η + c 8 ξη maka dapat kita lihat bahwa fungsi tersebut bilinier dalam ξ dan η. Berdasarkan alasan inilah kita sebut elemen tadi sebagai segiempat peralihan bilinier. Dengan fungsi peralihan ini, matriks g akan menjadi : ⎡1 ξ g=⎢ ⎣0 0
η ξη 0 0
0 0 1 ξ
0 0⎤ η ξη⎥⎦
(III-24)
Matriks ini dapat dihitung untuk setiap titik nodalnya guna mendapatkan : ⎡1 − 1 − 1 1 ⎢0 0 0 0 ⎢ ⎡ g 1 ⎤ ⎢1 1 − 1 − 1 ⎢g ⎥ ⎢0 0 0 0 h = ⎢ 2⎥ = ⎢ ⎢g 3 ⎥ ⎢1 1 1 1 ⎢ ⎥ ⎢ ⎣g 4 ⎦ ⎢0 0 0 0 ⎢1 − 1 1 − 1 ⎢ ⎢⎣0 0 0 0
0 1 0 1 0 1 0 1
0 −1 0 1 0 1 0 −1
0 −1 0 −1 0 1 0 1
0⎤ 1 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ − 1⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ 0 ⎥ ⎥ − 1 ⎥⎦
(III-25)
Dengan mengubah matriks h menjadi hT, akan kita peroleh : ⎡h hT = T h = ⎢ 1 ⎣0
0⎤ h 1 ⎥⎦
(III-26)
Operator penyusun ulang T akan menjadi :
III-9
⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ 0 T=⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0
0 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0
0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦
(III-27)
dan submatriks h1 akan menjadi : ⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎢1 1 − 1 − 1⎥ ⎥ h1 = ⎢ ⎢1 1 1 1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎣1 − 1 1 − 1⎦
(III-28)
Invers dari h1 adalah :
h 1−1
⎡1 − 1 − 1 1 ⎤ ⎥ ⎢ 1 1 1 − 1 − 1⎥ 1 T = h1 = ⎢ 4 ⎢1 1 1 1 ⎥ 4 ⎥ ⎢ ⎣1 − 1 1 − 1⎦
(III-29)
Kemudian invers dari h dapat dihitung sebagai :
h −1
⎡1 0 ⎢− 1 0 ⎢ ⎢− 1 0 ⎢ 1⎢1 0 −1 = hT T = 4 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 − 1 ⎢0 − 1 ⎢ ⎢⎣0 1
1 0 1 0 −1 0 −1 0 0 1 0 1 0 −1 0 −1
1 1 1 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 1 1 1
1 0⎤ − 1 0⎥⎥ 1 0⎥ ⎥ − 1 0⎥ 1 T = h 0 1⎥ 4 ⎥ 0 − 1⎥ 0 1⎥ ⎥ 0 − 1⎥⎦
(III-30)
Dengan memperoleh h-1 akan kita dapatkan fungsi bentuk peralihan dalam f. Jadi: f = g h −1 =
1 ⎡(1 − ξ )(1 − η) 0 4 ⎢⎣
(1 + ξ)(1 + η) 0
0 (1 + ξ)(1 + η)
0 (1 − ξ )(1 − η)
(1 + ξ)(1 − η)
(1 − ξ)(1 + η)
0 ⎤ (1 − ξ)(1 + η)⎥⎦
0
Persamaan ini dapat lebih disingkat :
III-10
0
0 (1 + ξ )(1 − η)
(III-31)
⎡f f =⎢ i ⎣0
0⎤ f i ⎥⎦
(i = 1, 2, 3, 4)
(III-32)
dimana
(1 − ξ)(1 − η) f 3 = 14 (1 + ξ )(1 + η) f1 =
(1 + ξ )(1 − η) f 4 = 14 (1 − ξ )(1 + η)
f2 =
1 4
1 4
(III-33)
Untuk menghitung regangan, kita perlu menurunkan fungsi bentuk peralihan terhadap x dan y. Bagaimanapun, fungsi – fungsi ini dinyatakan dalam koordinat yang tidak bersatuan ξ dan η. Jadi kita harus menggunakan cara berantai dari turunan parsial seperti berikut ini : ∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η 1 ∂ + = = ∂x ∂ξ ∂x ∂η ∂x a ∂ξ
∂ ∂ ∂ξ ∂ ∂η 1 ∂ = = + ∂y ∂ξ ∂y ∂η ∂y b ∂η
(III-34)
Operator differensial linier d akan menjadi : ⎡∂ ⎢ ∂x ⎢ d=⎢0 ⎢ ⎢∂ ⎢ ⎣⎢ ∂y
⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎢1 ∂ a ∂ξ ∂⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ∂y ⎥ = ⎢ ∂ ⎥ ⎢1 ∂ ⎥ ⎢ ∂x ⎦⎥ ⎣⎢ a ∂ξ
0 ⎤ ⎥ ⎥ 1 ∂⎥ a ∂ξ ⎥ 1 ∂⎥ ⎥ a ∂ξ ⎥⎦
(III-35)
Dengan memasukkan operator ini ke dalam matriks f akan kita peroleh matriks B sebagai berikut : 0 b(1 − η) 0 ⎡− b(1 − η) 1 ⎢ B = df = 0 − a (1 − ξ ) 0 − a (1 + ξ ) 4ab ⎢ ⎢⎣ − a (1 − ξ ) − b(1 − η) − a (1 + ξ ) b(1 − η) b(1 + η)
0
0 a (1 + ξ ) a (1 + ξ ) b(1 + η)
− b(1 + η) 0 a (1 − ξ )
⎤ a (1 − ξ ) ⎥⎥ − b(1 + η)⎥⎦ 0
(III-36)
Bentuk yang lebih sederhana dari persamaan ini adalah : ⎡f i , x 0 ⎤ ⎥ ⎢ Bi = ⎢ 0 f i,y ⎥ ⎢f i , y f i , x ⎥ ⎦ ⎣
(i = 1, 2, 3, 4)
(III-37)
Notasi fi,x dan fi,y menunjukkan turunan parsial dari fi terhadap x dan y sebagai berikut :
III-11
f i,x =
∂f i 1 ∂f i 1 = = f i ,ξ ∂x a ∂ξ a
f i,y =
∂f i 1 ∂f i 1 = f i ,η = ∂y b ∂η b
(III-38)
Bila kita asumsikan material ortotropik terhadap sumbu x dan y, hubungan tegangan-regangan dapat dituliskan secara umum sebagai : ⎡ E 11 E = ⎢⎢E 21 ⎢⎣ 0
E 12 E 22 0
0 ⎤ 0 ⎥⎥ E 33 ⎥⎦
(III-39)
Tegangan dapat dicari dengan menggunakan : ⎡ E 11f i , x E 11f i , y ⎤ ⎢ ⎥ E B i = ⎢ E 12 f i , x E 22 f i , y ⎥ ⎢E 33 f i , y E 33 f i , x ⎥ ⎣ ⎦
(i = 1, 2, 3, 4)
(III-40)
Kekakuan elemen dengan mudah dapat dihitung melalui persamaan berikut : 1 1
K c = ∫ B Tc E B c dV = abt ∫ ∫ B Tc E B c dξdη
(III-41)
−1 −1
v
Dalam persamaan ini matriks Bc adalah : ⎡ 0 b 0 bη 0 0 0 0 ⎤ 1 ⎢ Bc = d g = 0 0 0 0 0 0 a aξ ⎥⎥ ab ⎢ ⎢⎣0 0 a aξ 0 b 0 bη⎥⎦
(III-42)
Akan kita peroleh : ⎡0 ⎢0 b 2 E simetris 11 ⎢ 2 ⎢0 0 a E 33 ⎢ 2 2 1 0 b E 11η a E 33 ξ Φ 1 B Tc E B c = 2 2 ⎢ 0 0 0 0 a b ⎢0 ⎢ 0 abE 33 abE 33 ξ 0 b 2 E 33 ⎢0 ⎢0 abE 0 0 abE12 η 0 12 ⎢ 0 b 2 E 11 Φ2 ⎢⎣0 abE12 ξ abE 33 η
Dimana : Φ 1 = b 2 E 11η 2 + a 2 E 33 ξ 2 Φ 2 = ab (E 12 + E 33 ) ξη
III-12
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (III-43) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ a 2 E 22 ⎥ a 2 E 22 ξ Φ 3 ⎥⎦
Φ 3 = a 2 E 22 ξ 2 + b 2 E 33 η 2 Hasil integrasi persamaan (III-42) yang disubstitusikan dalam persamaan(III-43) akan menghasilkan : ⎡0 ⎢0 b 2 E simetris 11 ⎢ 2 ⎢0 0 a E33 ⎢ 0 0 C2 4t ⎢0 Kc = 0 0 0 0 ab ⎢0 ⎢ 0 abE 33 0 0 b 2 E33 ⎢0 ⎢0 abE 0 a 2 E 22 0 0 0 12 ⎢ 0 0 0 0 0 0 ⎣⎢0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ C 2 ⎦⎥
(III-44)
dimana C1 =
b 2 E 11 + a 2 E 33 3
C2 =
a 2 E 22 + b 2 E 33 3
Akhirnya didapat : K = h − T K c h −1 = K 1 + K 2
III-13
(III-45)
Tabel III.1 Matriks Kekakuan elemen segiempat peralihan bilinier
⎡ 2 s1 ⎢ s 2s 2 ⎢ 3 ⎢− 2 s1 − s3 2 s1 ⎢ s3 s 2 − s3 2s 2 K1 = ⎢ ⎢ − s1 − s3 s1 − s 3 ⎢ 2s 2 s3 ⎢− s3 − s 2 ⎢ s − s1 s 3 s3 ⎢ 1 ⎢⎣− s3 − 2 s 2 s3 − s 2
s1 =
t.b.E11 6a
s2 =
⎡ 2s 4 ⎢ s 2s5 ⎢ 6 ⎢ s4 s6 ⎢ − s6 − 2s5 K2 = ⎢ ⎢ − s4 − s6 ⎢ ⎢ − s 6 − s5 ⎢− 2 s − s 4 6 ⎢ s5 ⎢⎣ s 6
s4 =
t.a.E 33 6b
t.a.E 22 6b
simetris
2 s1 s3
2s 2
− 2 s1
− s3
2 s1
s3
s2
− s3
s3 =
t.E12 4
simetris 2s 4 − s6
2s5
− 2s 4
s6
2s 4
− s6
s5
s6
2s5
− s4
s6
s4
s6
2s 4
s6
− s5
− s6
− 2s5
− s6
s5 =
t.b.E 33 6a
s6 =
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 s 2 ⎥⎦
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 s5 ⎥⎦
t.E33 4
III.7 Akibat Momen Lentur
Elemen ini dapat digunakan untuk memodelkan keadaan regangan konstan pada pelat yang mengalami lenturan, dan elemen-elemen ini juga memiliki fungsifungsi yang seimbang dan lengkap. Oleh karena itu, elemen ini akan memberikan hasil yang konvergen. Elemen pada gambar 3.8 disebut segiempat MZC karena ditemukan oleh Melosh,Zienkiewicz, dan Cheung.
III-14
qi1
y,η =
qi 3
y b
qi 2 x,ξ =
∂ w1 ∂y
−
x a
∂w1 ∂x
Gambar III.8 Segiempat MZC
Seperti elemen lain yang sejenis, elemen ini hanya memiliki satu peralihan umum, yaitu w (translasi dalam arah z). Jadi: u=w
(III-46)
Dalam gambar juga dilukiskan peralihan titik nodal: ⎧ ∂w ∂w ⎫ qi = {qi1 , qi 2 , qi 3 } = ⎨wi , i , i ⎬ ∂y ∂x ⎭ ⎩ Perubahan
tanda
dalam
(III-47)
qi 3 = ∂wi / ∂ x dilakukan
dengan
tujuan
untuk
menyelesaikan putaran sudut dengan arah positif perputaran titik nodal. Gaya titik nodal yang menghasilkan peralihan adalah :
pi = {pi1 , pi 2 , pi 3 } = {p zi , M xi , M yi }
(III-48)
Notasi menunjukkan gaya dalam arah z, sedangkan Mxi dan Myi adalah momen dalam arah x dan y 1 x x2 x3 x4
y
x2 y x3 y
y2
xy xy 2 x2 y2
y3 xy 3
y4
Gambar III.9 Segitiga Pascal
Fungsi peralihan yang dipilih untuk elemen ini dengan melihat pola segitiga Pascal adalah :
III-15
w = c1 + c 2 x + c3 y + c 4 x 2 + c5 xy + c6 y 2 + c7 x 3 + c8 x 2 y + c9 xy 2 + c10 y 3 + c11 x 3 y + c12 xy 3 Dalam bentuk koordinat natural : w = c1 + c 2ξ + c3η + c 4ξ 2 + c5ξη + c6η 2 + c7ξ 3 + c8ξ 2η + c9ξη 2 + c10η 3 + c11ξ 3η + c12ξη 3
(III-49)
Yang merupakan fungsi kubik lengkap, yang terdiri dari sepuluh suku dengan dua suku pangkat empat. Dan anggapan ini kita dapat menurunkan fungsi bentuk peralihan menjadi: fi = [ f i1
fi2
f i3 ]
(III-50)
Dimana : 1
f i1 = (1 + ξ 0 )(1 + η 0 )(2 + ξ 0 + η 0 − ξ 2 − η 2 ) 8
1
f i 2 = bη (1 + ξ 0 )(1 − η 0 )(1 + η 0 ) 2 i 8
(III-51)
1
f i 2 = aξ (1 − ξ 0 )(1 + η 0 )(1 + ξ 0 ) 2 i 8 Dan
ξ 0 = ξ iξ
η 0 = η iη (i = 1,2,3,4)
(III-52)
Nilai ξ i dan η i diambil untuk sudut-sudut segiempat seperti pada kuadrilateral, Operator differensial linier umum d adalah sebagai berikut : ⎧ ∂ 2 ∂ 2 2∂ 2 ⎫ d =⎨ 2, 2, ⎬ ⎩ ∂x ∂y ∂x∂y ⎭
(III-53)
Yang tidak mengandung –z. Matriks regangan peralihan umum B dapat dinyatakan dengan : ⎡ f i1 , xx f i 2, xx f i 3, xx ⎤ ⎢ ⎥ B i = df i = ⎢ f i1, yy f i 2, yy f i 3, yy ⎥ ⎢2 f ⎥ ⎣ i1, xy 2 f i 2, xy 2 f i 3, xy ⎦
III-16
(III-54)
Khususnya : ⎡3ξ (1 − η )b 2 0 (1 − 3ξ )(1 − η )ab 2 ⎤ ⎥ 1 ⎢ 0 B i = 2 2 ⎢3η (1 − ξ )a 2 − (1 − ξ )(1 − 3η )a 2 b ⎥ (III-55) 4a b ⎢ 2 2 2 2 ⎥ ⎣(4 − 3ξ − 3η )ab (1 − η )(1 + 3η )ab − (1 − ξ )(1 + 3ξ )a b⎦
Tegangan umum yang sesuai dapat dihitung dengan : M = {M xx , M yy , M xy } = Eφ = E Bq ⎡1 μ 0 ⎤ E ⎢ Jadi, untuk material isotropik : E = μ 1 0 ⎥⎥ 1− μ 2 ⎢ ⎢⎣0 0 λ ⎥⎦
(III-56)
λ=
1− μ , maka 2
⎡3ξ (1 − η )b 2 + 3μ (1 − ξ )ηa 2 K⎤ ⎢ ⎥ Et EB = 3μξ (1 − η )b 2 + 3(1 − ξ )ηa 2 K⎥ 2 2 2 ⎢ 48a b (1 − μ ) ⎢ 2 2 K ⎥⎦ ⎣ λ (4 − 3ξ −3η )ab 3
(III-57)
Yang berupa matriks 3 X 12. Matriks kekakuan elemen dapat dihitung dari : +1 +1
K = ∫ B E B dA = ab ∫ ∫ B E B dξ dη T
A
T
−1 −1
III-17
(III-58)
Tabel III.2 Matriks kekakuan segiempat MZC
K= ⎡ 6 ⎢ 0 ⎢ ⎢−6a ⎢ ⎢ −6 ⎢ 0 ⎢ b ⎢−6a K1 = 3 ⎢ −3 6a ⎢ ⎢ 0 ⎢ −3a ⎢ ⎢ 3 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣ − 3 a
K
2
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
a = 6b3
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ μ ⎢ K3 = 2ab ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
Et 3 ( K1 + K 2 + K 3 + K 4 ) 12(1 − μ 2 ) ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 8 a 2 ⎥⎦
0 0 0 0
8a 2 6a 0
6 0
0
0 0 0
4a 2 3a 0
6a 3 0
0 0 0
8a 2 3a 0
6 0
0
0 0 0
2a 2 − 3a 0
3a −3 0
0 0 0
4a 2 −3a 0
6a −6 0
0 0 0
8a 2 −6a 0
6 0
0
0
4a 2
3a
0
2a 2
6a
0
4a2
−6a
0
6 6b 0
8b 2 0
0
3
3b
0
6
3b 0 −3
4b 2 0 − 3b
0 0 0
6b 0 −6
8b 2 0 −6b
3b 0 −6
2b 2 0 −6b
0 0
6b 0 −3
4b 2 0 − 3b
6b 0
4b 2 0
3b 0
2b 2 0
0 0 0
0 0
6 −6b
0 0
0
0 0 0
3 − 3b 0
8b 2 0 − 3b 4b 2 0
0 0 0 0
6 −6b 0
8b 2 0
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
1
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥
b
0
−a
−2ab
0
−1
−b
0
1
−b
0
0
b
0
0
0
0
a
2ab
0
1 0
0 0
0 0
−1 0
0 0
−a 0
1 −b
0
0
0
0
−a
0
0
a
−2ab
0
−1
0
a
1
0
0
−1
b
0
1
0
0
0
0
0
0
b
0
0
−b
0
a
0
0
0
0
0
0
0
0
−a
2ab
0
8b 2 0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 2 8 a ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ λ ⎢ K4 = 15 ab ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
21 3b
8b 2
− 3a
0
8a 2
− 21
− 3b
3a
21
− 3b − 3a
− 8b 2 0
0 −2 a 2
3b 3a
8b 2 0
8a 2
21
3b
− 3a
− 21
− 3b
− 3a
21
− 3b
2b 2
0
3b
− 2b 2
0
− 3b
8b 2
0
−8a
3a
0
8a 2
3a
2
− 3a
2
0
2a
− 21
− 3b
3a
21
3b
3a
− 21
3b
− 3a
21
3b 3a
− 2b 2 0
0 −8a 2
− 3b − 3a
2b 2 0
0 2a 2
3b 3a
− 8b 2 0
0 −2a 2
− 3b − 3a
III-18
III.8 Perumusan Isoparametrik III.8.1 Elemen Isoparametrik Kuadrilateral (Q4)
Elemen segiempat peralihan bilinier merupakan induk dari elemen isoparametrik kuadrilateral (Q4), yang ditujukan dalam gambar berikut: y/b
q8 q7
q6
4
3
q5
2b x/a
q1
1
q3
2 q4
q2 2a
(a) η
q6 q8
q5 v
q7
u
ξ
q3 y
q1 q4
q2 x
Gambar III.9 Elemen Q4 : (a). Segiempat induk. (b) Pasangan isoparametrik
Peralihan yang ditunjukan dalam gambar tersebut adalah : u = {u , v}
(III-59)
Pada setiap titik nodal terdapat translasi arah x dan y, jadi vektor peralihan titik nodal adalah :
III-19
q = {q1 , q 2 ,..., q8 } = {u1 , v 2 ,..., u 4 , v 4 }
(III-60)
Fungsi bentuk peralihannya adalah: 4
u = f 1u1 + f 2 u 2 + f 3u 3 + f 4 u 4 = ∑ f i u i
(III-61)
i =1
4
v = f1v1 + f 2 v 2 + f 3 v3 + f 4 v 4 = ∑ f i vi
(III-62)
i =1
Dalam bentuk matriks: u i = f i qi
(III-63)
⎡1 0⎤ fi = ⎢ ⎥ fi ⎣0 1⎦
(III-64)
Dimana
Peralihan umum ui merupakan translasi pada setiap titik akibat peralihan qi ke titik nodal i. Jika disederhanakan, maka fungsi fi dapat ditulis sebagai berikut : fi =
1 (1 + ξ 0 )(1 + η 0 ) 4
(III-65)
Dimana
ξ 0 = ξ iξ Adapun nilai ξ i dan η i
η 0 = η iη diberikan dalam tabel berikut
Tabel III.3 Koordinat titik nodal untuk elemen Q4
I
1
2
3
4
ξi
-1
1
1
-1
ηi
-1
-1
1
1
Dengan cara yang sama, hubungan regangan peralihan untuk elemen Q4 dapat dinyatakan sebagai berikut :
ε i = Bi qi Dimana
III-20
⎤ ⎡∂ 0 ⎥ ⎢ ⎡ f ix ⎥ ⎢ ∂x ⎢ ⎢ ∂ ⎥ fi Bi = df i = ⎢0 = ⎢0 ⎥ ∂y ⎥ ⎢ ⎢ ⎣ f i, y ⎥ ⎢∂ ∂ ⎥ ⎢ ⎣ ∂y ∂x ⎦
0⎤ ⎥ fi y ⎥ ⎥ f i,x ⎦
(III-66)
Submatriks Bi dapat juga dituliskan dalam bentuk : ⎡ DG1i 0 ⎤ Bi = ⎢⎢0 DG 2i ⎥⎥ ⎢⎣ DG 2i DG1i ⎥⎦
(III-67)
Untuk faktor-faktornya seperti berikut : DG11 =
1 [− (1 − η ) J 22 + (1 − ξ ) J 12 ] 4J
DG12 =
1 [− (1 − η ) J 22 + (1 − ξ ) J 12 ] 4J
DG13 =
1 [− (1 − η ) J 22 + (1 − ξ ) J 12 ] 4J
DG14 =
1 [− (1 − η ) J 22 + (1 − ξ ) J 12 ] 4J
DG 21 =
1 [− (1 − η ) J 21 + (1 − ξ ) J 11 ] 4J
DG 22 =
1 [− (1 − η ) J 21 + (1 − ξ ) J 11 ] 4J
DG 23 =
1 [− (1 − η ) J 21 + (1 − ξ ) J 11 ] 4J
DG 24 =
1 [− (1 − η ) J 21 + (1 − ξ ) J 11 ] 4J
(III-68)
Matriks kekakuan elemen Q4 (dengan tebal konstan t) dapat dinyatakan dalam koordinat Cartesius: K = t ∫ B T ( x, y ) EB( x, y )dxdy A
Dalam koordinat natural rumus kekakuan ini akan menjadi :
III-21
(III-69)
1 1
K = t ∫ ∫ B T (ξ ,η ) EB(ξ ,η ) J (ξ ,η ) dξdη
(III-70)
−1 −1
Dalam bentuk integrasi numerik n
n
K = t ∑∑ R j R j B T (ξ j ,η k ) EB(ξ j ,η k ) J (ξ j ,η k )
(III-71)
k =1 j =1
Dimana Rj,Rk = adalah faktor bobot integrasi Gauss-Legendre B = matriks kinematik E = matriks material J = Jacobian
III.9 Perakitan Matriks Kekakuan Cangkang
Untuk perakitan elemen cangkang dalam kasus ini adalah kombinasi dari elemen pelat lentur dan elemen tegangan bidang (gambar III.10). Untuk elemen pelat lentur terdiri dari 3 DOF yaitu perpindahan transversal serta dua rotasi untuk tiap nodal. Sedang untuk elemen tegangan bidang terdiri dari 2 perpindahan dalam arah bidang per nodal.
Gambar III.10 Cangkang gabungan dari lentur dan membran
Dari gabungan tersebut maka cangkang mempunyai 5 DOF yaitu tiga perpindahan dan dua rotasi. Untuk matriks kekakuan cangkang dapat dituliskan sebagai berikut ⎡[K b ] [0] ⎤ ⎧{d b } ⎫ ⎧{Fb } ⎫ ⎢[0] [K ]⎥ ⎨{d }⎬ = ⎨{F }⎬ m ⎦⎩ m ⎭ ⎣ ⎩ m ⎭
III-22
(III-72)
Untuk K,d dan F adalah masing-masing matriks kekakuan, perpindahan atau rotasi nodal, dan gaya atau momen pada titik nodal, gaya atau momen pada titik nodal. Subskrip b dan m adalah momen (bending) dan membran. Perakitan matriks kekakuan selanjutnya dengan memperhitungkan rotasi cangkang, sebagai konsekwensinya bertambah 1 DOF per nodal. Maka dari pers (III-72) dapat dituliskan kembali, ⎡[K b ] [0] 0 ⎤ ⎧{d b } ⎫ ⎧{Fb } ⎫ ⎢[0] [K ] 0 ⎥ ⎪{d }⎪ = ⎪{F }⎪ m ⎢ ⎥⎨ m ⎬ ⎨ m ⎬ ⎢⎣0 0 0⎥⎦ ⎪⎩ θz ⎪⎭ ⎪⎩ 0 ⎪⎭
(III-73)
Matriks dari pers (III-73) mengekspresikan sistem koordinat lokal. Untuk selanjutnya maka matriks tersebut ditransformasikan menjadi sistem koordinat global. Jika matriks transformasi [T ] diketahui maka :
{d local } = [T ]{d global }
(III-74)
Untuk setiap nodal hubungan antara DOF lokal dan global dapat dituliskan : ⎧u local ⎫ ⎡l11 ⎪ ⎢ ⎪u ⎪ local ⎪ ⎢l 21 ⎪⎪u local ⎪⎪ ⎢l 31 ⎬=⎢ ⎨ θ x local ⎪ ⎢0 ⎪ ⎪θy local ⎪ ⎢0 ⎪ ⎢ ⎪ ⎩⎪θz local ⎭⎪ ⎣⎢0
l12
l13
l 22
l 23
l32
l33
0 0 l11 0 0 l 21 0 0 l 31
0 0 0 ⎤ ⎧u global ⎫ ⎪ ⎪ 0 0 0⎥⎥ ⎪u global ⎪ 0 0 0 ⎥ ⎪⎪u global ⎪⎪ ⎥⎨ ⎬ l12 l13 ⎥ ⎪θx global ⎪ l 22 l 23 ⎥ ⎪θy global ⎪ ⎥⎪ ⎪ l32 l33 ⎦⎥ ⎪θz global ⎪ ⎭ ⎩
(III-75)
Untuk lij adalah cosinus arah antara sumbu lokal xi dan sumbu global xj. Maka untuk transformasi [T ] matriks untuk empat nodal : ⎡[Td ] 0 0 0⎤ ⎢0 [T ] 0 0⎥ d ⎥ [T ] = ⎢⎢ 0 0 [Td ] 0⎥ ⎢ ⎥ ⎣0 0 0 [Td ]⎦
(III-76)
Dimana matriks [Td ] dengan menggunakan pers (III-75) dengan ukuran 6 x 6. Dengan menggunakan transformasi matriks, maka matriks kekakuan dan vektor beban yang ditransformasi diberikan berikut:
[K [F
] = [T ] [K ][T ] ] = [T ] [F ] T
global
global
lokal
T
lokal
III-23
(III-77) (III-78)
3.10 Teori analisis dynamic shell
Di dalam bagian ini, kita mengkhususkan bidang hexahedron yang isoparametric H20 untuk menjadi empat elemen yang dilengkungkan untuk analisis dari shell umum. Perakitan dari elemen cangkang SHQ8 adalah serupa dengan teknik yang digunakan di dalam memperoleh elemen dalam perakitan pelat. Bagaimanapun, kondisi kendala dimodifikasi karena dua translasi tambahan, u i dan vi , terjadi pada masing-masing titik nodal dari elemen cangkang. Jadi, Dengan demikian, matriks C ai untuk suatu titik nodal sudut dari elemen segi empat, mempunyai dua lagi kolom dibanding sebelumnya, sebagai berikut: ⎡ ⎢1 ⎢0 ⎢0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎣
0 1 0 0 1 0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0 hi 0− 2 1 0 0 0 h 0 i 2 1 0
⎤ 0 ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ hi ⎥ 2 ⎥ 0 ⎥ 0 ⎥ h ⎥ − i⎥ 2⎥ 0 ⎥ 0 ⎥⎦
(3-79)
Dengan cara yang sama, matriks C bi untuk suatu titik nodal tengah balok dari segi empat menjadi:
III-24
⎡ ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣
h ⎤ 0 0 0 i ⎥ 2 hi ⎥ 1 0− 0⎥ 2 0 1 0 0⎥ h 0 0 0 − i ⎥⎥ 2 hi 1 0 0 ⎥⎥ 2 0 1 0 0 ⎥ ⎥ ⎥⎦
(3-80)
dengan lima displacement pada masing-masing dari delapan titik nodal, elemen SHQ8 miliki (8)(5)=40 displacement lokal. Seperti halnya elemen pelat PBQ8, elemen cangkang yang umum SHQ8 akan dirumuskan secara langsung. Tunjukkan bagan geometris dari elemen SHQ8, yang mana koordinat segala titik adalah ⎡x ⎤ 8 ⎢ zy ⎥ = ∑ ⎣ ⎦ i =1
⎡ xi ⎤ 8 hi ⎡l3i ⎤ fi ⎢ yi ⎥ + ∑ fiζ ⎢m3i ⎥ 2 ⎣ n 3i ⎦ ⎣ zi ⎦ i =1
(3-81)
fungsi f i muncul di persamaan (3-81) Jadi dengan demikian, bahwa ketebalan h boleh berubah secara kwadrat berdasarkan elemen. Sebagai tambahan, istilah l3i, m3i,dan n3i adalah arah kosinus dari suatu vektor V3i, permukaan hi merupakan tebal dari cangkang pada titik nodal i, vektor yang diperoleh sebagai ⎡ x j − x k ⎤ ⎡l 3i ⎤ V3i = ⎢ y j − y k ⎥ = ⎢m3i ⎥ hi ⎢⎣ z j − z k ⎥⎦ ⎣n3i ⎦
(3-82)
j dan k adalah di permukaan dari cangkang. Di suatu program komputer yang manapun koordinat dari j dan k atau arah kosinus V31 yang harus diberi sebagai data. Displacement pada setiap titik pada elemen cangkang dalam arah global, jadi u = {u , v, w}
(3-83)
Sebaliknya, displacement lokal terdiri atas translasi yang sama di dalam arah global seperti juga dua rotasi kecil α i dan β i sekitar dua aksis menurut garis singgung lokal x’dan y’. q i = {u i , vi , wi , α i , β i }
(i =1,2,.....,8)
III-25
(3-84)
Displacement global dalam hal dari displacement lokal adalah ⎡u ⎤ 8 ⎢vw⎥ = ∑ ⎣ ⎦ i =1
[]
⎡ui ⎤ 8 hi i fi ⎢vi ⎥ + ∑ fiζ μi α β i 2 ⎣ wi ⎦ i =1
(3-85)
Di dalam rumusan ini, simbol μ i menandakan matriks yang berikut: ⎡− l − l
⎤
i μ i = ⎢− m2i2i −1m 1i ⎥ ⎣− n 2i − n1i ⎦
(3-86)
Kolom 1 berisi nilai-nilai negatif dari kosinus arah vektor menurut garis singgung yang kedua V2i; dan kolom 2 mempunyai kosinus arah untuk vektor pertama menurut garis singgung Vli, seperti yang ditunjukkan di dalam gambar, vektorvektor ini bersifat ortogonal ke vektor V3i dan untuk satu sama lain, hanya pilihan untuk arah dari arbitrer. Untuk mengatasi pilihan, kita dapat V1i = e y x V3i
(3-87)
V2i = V3i x V1i
(3-88)
Lalu
Jika V3i adalah paralel oleh ez. translasi umum lokal u' dan v' di dalam arah Vli dan V2i karena rotasi-rotasi yang nodal β i dan α i , nilai-nilai nya adalah u' = ζ
hi βi 2
v' = −ζ
hi αi 2
(3-89)
Displacement global pada setiap titik diberi oleh tambahan kedua di persamaan (3-85) Perihal elemen pelat, bentuk displacement berfungsi di persamaan (3-85) bisa ditranvers ke dalam bentuk matriks
⎡ ⎢1 0 0 − ζ ⎢ fi = ⎢0 1 0 − ζ ⎢ ⎢0 0 1 − ζ ⎣
hi h ⎤ l 2i ζ i l1i ⎥ 2 2 hi h ⎥ m2i ζ i m1i ⎥ f i 2 2 ⎥ hi hi n2i ζ n1i ⎥ 2 2 ⎦
(i =1,2,....8)
(3-90)
Untuk mendapatkan submatrix fi perkalian ζ ,maka ⎡1 0 0 0 0⎤ f Ai = ⎢0 1 0 0 0⎥ f i ⎣0 0 1 0 0 ⎦
dan
III-26
(3-91)
⎡0 0 0 − l 2i l1i f Bi = ⎢0 0 0 − m2i m1i ⎣0 0 0 − n 2i n1i
⎤ hi ⎥ fi ⎦ 2
(3-92)
jadi f i = f Ai + ζf Bi
(3-93)
f = f A + ζf B
(3-94)
Dan
akhirnya rumus ini akan digunakan untuk memperoleh mariks massa yang konsisten dan beban-beban untuk elemen lokal SHQ8. Matriks 3 x 3 Jacobi yang diperlukan di dalam formulasi ini adalah ⎡ x, ξ J = ⎢ x ,η ⎣ x, ζ
y, ξ y ,η y, ζ
z, ξ ⎤ z ,η ⎥ z, ζ ⎦
(3-95)
Kita dapatkan turunan di dalam matriks J dari persamaan (3-81): 8
8
i =1
i −1
8
8
i =1
i −1
x, ξ = ∑ fi, ξxi + ∑ f i , ξζ x,η = ∑ fi,ηxi + ∑ f i ,ηζ 8
x, ξ = ∑ f i i −1
hi l 3i 2 hi l 3i 2
hi l 3i 2
Invers matriks J adalah ⎡ξ , x η , x ζ , x ⎤ J −1 = J * ⎢ξ , y η , y ζ , y ⎥ ⎣ξ , z η , z ζ , z ⎦
(3-96)
Kita memerlukan turunan tertentu dari displacement global dapat dilihat pada persamaan (3-85) berkenaan dengan koordinat lokal. Ini yang diturunkan berdasarkan suatu vektor kolom dari sembilan baris, sebagai berikut: ⎡ fi, ξ 0 0 ⎡u , ξ ⎤ ⎢ fi,η 0 0 η , u ⎢u , ζ ⎥ 0 0 0 ⎢ v, ξ ⎥ 8 ⎢0 f i , ξ 0 ⎢ ⎢v,η ⎥ = ∑ 0 f i ,η 0 0 0 ⎢v, ζ ⎥ i =1 ⎢0 ⎢0 0 f i ,η ,ξ ⎥ ⎢w w,η ⎢0 0 f i ,η ⎢⎣ w, ζ ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0
− ζfi, ξl 2i − ζfi,ηl 2i − f i l 2i − ζf i , ξ m 2i − ζf i ,η m2i − f i m2i − ζf i , ξ n 2i − ζf i ,η n2i − f i n2i
⎡
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ hi ⎥ fim1i ⎢ ζfi, ξn1i ⎥ ⎢ 2 α i ⎥ ζfi,ηn1i ⎥ ⎢ hi ⎥ βi ⎥⎦ fin1i ⎣⎢ 2 ⎦⎥
ξfi, ξl1i ⎤ ⎢ ζfi,ηl1i ⎥ f i l1i ⎥ ⎢ui ζfi, ξm1i ⎥ ⎢vi ζfi,ηm1i ⎥ ⎢ wi
(3-97)
Transformasi ini turunan pada koordinat global yang diperlukan dalam Matriks Jacobi itu diterapkan. Oleh karena itu,
III-27
⎡u , x ⎤ ⎡ J * 0 0⎤ ⎡u, ξ ⎤ u , y ⎥ = 0 J * 0 ⎢u,η ⎥ ⎢... ⎢ ⎥ ⎢⎣ w, z ⎥⎦ ⎣0 0 J *⎦ ⎢⎣... w, ζ ⎥⎦
(3-98)
Mengalikan baris di dalam persamaan ini, kita memperoleh
⎡ai ⎡u , x ⎤ u y , ⎢bi ⎢u , z ⎥ c ⎢v, x ⎥ 8 ⎢0i ⎢v , y ⎥ = ∑ ⎢0 ⎢v, z ⎥ i =1 ⎢0 ,x ⎢0 ⎢w w, y ⎥ ⎢00 ⎢⎣ w, z ⎥⎦ ⎣
0 0 0 ai bi ci 0 0 0
− d i l 2i d i l1i ⎤ − ei l 2i eil1i ⎥ − g i l 2i gil1i ⎥ ⎡ui ⎤ − d i m 2i d i m1i vi − eim2i eim1i ⎥ ⎢⎢ wi ⎥⎥ − gim2i gim1i ⎥ αi − din 2i din1i ⎥ ⎢⎣ β i ⎥⎦ − ein2i ein1i ⎥ − gin 2i gin1i ⎦
0 0 0 0 0 0 ai bi ci
ai = J *11 f i ,ξ + J *12 f i ,η
di =
hi (a i ζ + J *13 f i ) 2
bi = J *21 f i ,ξ + J *22 f i ,η
ei =
hi (bi ζ + J *23 f i ) 2
ci = J *31 f i ,ξ + J *32 f i ,η
gi =
hi (ci ζ + J *33 f i ) 2
(3-99)
(3-100)
Untuk elemen SHQ8 kita menganggap enam tipe dari tegangan yang tidak nol, sebagai berikut:
⎤ ⎡∈x ⎤ ⎡u , x ⎥ ⎢∈ y ⎥ ⎢v, y z ⎥ = ⎢ w, z ∈= ⎢∈ γ u , + v, ⎥ ⎢γ xy ⎥ ⎢v, y + w,x ⎥ ⎢γ yz ⎥ ⎢ w,z +u, y ⎥ z⎦ ⎣ zx ⎦ ⎣ x
(3-101)
Mencatat versi dari vektor regangan ini yang kedua, kita bisa rakit di bagian dari matriks B dari persamaan (3-99) ⎡ai 0 0 ⎢0 bi 0 Bi = ⎢b0 0a ci0 ⎢0i ci i bi ⎢⎣ci 0 ai
− d i l 2i − ei m 2 i − g i n2i − ei l 2 i − d i m 2 i − g i m 2 i − ei n 2 i − d i n2i − g i l 2i
d i l1i ⎤ ei m1i ⎥ g i n1i ei l1i + d i m1i ⎥ g i m1i + ei n1i ⎥ d i n1i + g i l1i ⎥⎦
(3-102)
Serupa dengan elemen pelat, kita dapat mengisolasikan baris di submatrix Bi yang mengalikan ζ untuk menemukan Bi = B Ai + ζBBi
(3-103)
Submatrices BAi dan BBi disusun dari persamaan (3-100) dan (3-102), jadi B = B A + ζB B
(3-104)
ketika menentukan mariks kekakuan untuk elemen cangkang. maka berikut ditekankan di dalam arah maxes yang akan dipertimbangkan:
III-28
σ ' = {σ x ' σ y ' τ x ' y ' , τ y ' z ' τ z ' x ' }
(3-105)
Dan tegangan yang sesuai adalah ∈' = {∈x ' ∈ y '
γ x' y ' , γ y 'z ' γ z 'x' }
(3-106)
Dan regangan, telah dihilangkan. Lalu mariks E regangan tegangan untuk satu bahan isotropik menjadi sama halnya bahwa untuk elemen PBQ8. Untuk menghubungkan tegangan lokal di dalam vektor ∈' itu kepada tegangan global di dalam vektor, kita dapat menggunakan mariks 6 x 6 transformasi regangan T∈
sebagai berikut: ∈' = T∈ ∈
Bagaimanapun, deret yang ketiga dari mariks T∈ harus dihapus, karena ∈z ' tidak untuk menjadi tercakup di vektor ∈' untuk tujuan mengevaluasi T∈ pada satu titik pengintegrasian, kita memerlukan kosinus arah untuk vektor-vektor V1,V2, dan V3 di titik. Ini bisa lakukan atas sebagai kelanjutan urutan persamaan: e1 = ( J 1 ) norm
e3 = ( J 1 xJ 2 ) norm
e2 = e3 xe1
(3-107)
Di dalam ekspresi vektor ( J 1 ) norm deret yang pertama dari mariks jacobian itu yang dinormalisir kepada panjangnya satuan, dan seterusnya. Ketika menghitung di dalam arah lokal, ini juga berguna bagi B' = T∈ B
(3-108)
Mariks B’ Akan berisi hanya lima baris, karena penghapusan deret yang ketiga T∈ Sekarang kita adalah siap untuk merumuskan mariks kekakuan untuk elemen SHQ8 yang menggunakan mariks B’, sebagai berikut: 1 1 1
K=
∫ ∫ ∫ ( B' )
T
E B' dξ dη dζ
−1 −1 −1 1 1 1
=
∫ ∫ ∫ (B
A
'+ζBB ' ) T E ( B A '+ζBB ' ) J dξ dη dζ
(3-109)
−1 −1 −1
Di sini mariks BA' dan BB’ adalah maupun dari ukuran 5x40, tetapi yang berisi hanya baris yang dikalikan dengan ζ
[
]
K = ∫ ∫ 2( B A ' ) T EB A '+2 / 3( BB ' ) T E BB ' J dξ dη
III-29
(3-110)
Integral pada persamaan (3-110) harus dievaluasi sesuai nomornya, menggunakan dua poin pengintegrasian di setiap Arah ξ dan η . Di dalam proses ini, faktor 2 dan 2/3 dikalikan dengan hi/2 dari deret yang ketiga J , dan BB’ juga berisi konstan yang sama. Jadi, Dengan demikian, kita secara efektif memperoleh faktor hi dan hi 3 / 12 di dalam keduanya bagian-bagian dari mariks K
Mariks massa yang konsisten untuk elemen SHQ8 adalah 1 1 1
M = ρ ∫ ∫ ∫ f T f J dξ dη dζ −1 −1 −1
1 1 1
= ρ ∫ ∫ ∫ ( f A + ζf B ) T ( f A + ζf B ) J dξ dη dζ
(3-111)
−1 −1 −1
Ingat bahwa mariks FA dan FB adalah maupun dari ukuran 3 x 40, tetapi yang kedua hanya mempunyai baris untuk dikalikan dengan ζ mengintegrasikan persamaan (3-111) melalui ketebalan yang menghasilkan 1 1
[
]
M = ρ ∫ ∫ 2[ f A f A + EB A '+2 / 3( f B f B ]E BB ' J dξ dη T
T
(3-112)
−1 −1
Karena faktor 2 dan 2/3 secara efektif hi dan hi3/12 kesatu dan kedua bagianbagian dari M mariks berisi translational dan inersia-inersia hal pemutaran, berturut-turut. Beban-beban nodal setara karena gaya tubuh di elemen SHQ8 bisa ditemukan dengan hanya mariks FA, sebagai berikut: 1 1 1
pb(t ) =
∫ ∫ ∫( f
T A
b(t ) J dξ dη dζ
−1 −1 −1 1 1
= 2 ∫ ∫ f A b(t ) J dξ dη T
(3-113)
−1 −1
Di dalam ekspresi ini, vektor beban b(t) diasumsikan untuk berisi komponen gaya (per volume satuan) yang bersifat seragam melalui ketebalan dari cangkang. Jadi; Dengan demikian,
b(t ) = {bx, by, bz}
(3-114)
Perihal elemen pelat, gaya tubuh ini tidak menyebabkan setiap saat ekuivalen nodal. Setelah displacement nodal di dalam vektor q(t) telah diperoleh, maka elemen dalam arah lokal,
σ ' (t ) = ET∈ Bq(t ) = EB' q(t )
III-30
(3-115)
seperti harus ditentukan titik contoh untuk pengintegralan numerik.
III-31
