ANALISIS PERILAKU STATIK PADA STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell) DENGAN METODE ELEMEN HINGGA TESIS

ANALISIS PERILAKU STATIK PADA STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell) DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

TESIS Karya tulis sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister dari Institut Teknologi Bandung

Oleh

HUSNAH NIM : 25004065 Program Studi Rekayasa Struktur

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG 2007

ANALISIS PERILAKU STATIK PADA STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell) DENGAN METODE ELEMEN HINGGA

Oleh

Husnah NIM : 25004065

Program Studi Rekayasa Struktur Institut Teknologi Bandung

Menyetujui, Pembimbing

(DR. Herlien D. Setio)

ABSTRAK ANALISIS PERILAKU STATIK PADA STRUKTUR CANGKANG SILINDER (Cylindrical shell) DENGAN METODE ELEMEN HINGGA Oleh Husnah NIM : 25004065

Penulisan tesis ini bertujuan untuk menganalisis perilaku statik struktur cangkang translasional dengan permukaan silindris. Analisis struktur cangkang mengacu pada literatur metode analitik (eksak) Design and Construction of Concrete Shell Roof oleh G.S. Ramaswamy dengan studi kasus : 1) cangkang pendek dengan tumpuan sendi, 2) cangkang pendek dengan tumpuan jepit, 3) cangkang panjang dengan tumpuan sendi, dan 4) cangkang panjang dengan tumpuan jepit. Pada metode elemen hingga dibuat program berbasis pendekatan numerik, yaitu cylindrical shell program yang bertujuan untuk menganalisis perilaku statik cangkang, dan untuk mempermudah solusi analisa struktur. Hasil analisis cylindrical shell program akan dibandingkan dengan hasil analitik (eksak) dan software SAP 2000 v-9. Proses analisis struktur cangkang meliputi tahap pengidentifikasian pemodelan struktur, input geometri, pembebanan, parameter material, lalu diproses dengan perhitungan integrasi gauss, operator transformasi, fungsi bentuk, matrik Jacobian, invers matriks Jacobian, kekakuan lenturmembran-geser total. Keluaran analisis statik dan cylindrical shell program adalah gaya-gaya dalam dan displacement. Analisis pembahasan meliputi analisis struktur dengan jenis tumpuan jepit dan bebas, hubungan beban (gaya) dan perpindahan, pengaruh angka poisson serta pengaruh ketebalan struktur terhadap perilaku statis struktur cangkang. Kata kunci : statik, cangkang, metode elemen hingga, displacement

i

ABSTRACT STATIC BEHAVIOR ANALYSIS AT CYLINDRICAL SHELL STRUCTURES WITH FINITE ELEMENT METHOD

By Husnah NIM : 25004065

The Goal of this thesis is analyzing the static behavior of shell structure translational with cylindrical surface. The shell structure analysis refers to analytic method literature (exact method) Design and Construction of Concrete Shell Roof by G.S.Ramaswamy with case study: 1) short shell with hinge fixed, 2) short shell with end fixed, 3) long shell with hinge fixed, and 4) long shell with end fixed. Finite element method has been programmed and based on approach numerical method, that is cylindrical shell program for analyzing static behavior of shell and to make easier structure analysis solution. The result of analysis cylindrical shell program will be compared to analytic result (exact) and software SAP 2000 versions – 9. Shell structure analysis process covers an identification phase of structure modeling, geometry input, encumbering, material parameter, then processed with calculation integration of gauss, orthogonal transformation operator, form function, Jacobian matrix, Jacobian matrix inverse, total rigidity of bending-membrane-shear. The output of static analysis and cylindrical shell program are stresses and displacements. The discussions analysis covers with boundary conditions, the relation of load and displacement, poisson’s ratio influence and structural thickness influence to behavior of static shell structure.

Keyword : static, shell, finite element method, displacement

ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS Tesis S2 yang tidak dipublikasikan terdaftar dan tersedia di Perpustakaan Institut Teknologi Bandung, dan terbuka untuk umum dengan ketentuan hak cipta ada pada pengarang dengan mengikuti aturan HaKI yang berlaku di Institut Teknologi Bandung. Referensi kepustakaan diperkenankan untuk dicatat, tetapi pengutipan atau peringkasan hanya dapat dilakukan seizin pengarang dan harus disertai dengan kebiasaan ilmiah untuk menyebutkan sumbernya.

Memperbanyak atau menerbitkan sebagian atau seluruh tesis haruslah seizin Direktur Program Pasca Sarjana, Institut Teknologi Bandung.

iii

KATA PENGANTAR Bismillaahirrohmanirrohiim. Awal dan akhir adalah suatu keniscayaan bagi segala sesuatu yang terikat dengan dimensi waktu. Begitu hebatnya dimensi waktu ini karena atas perannya kehidupan

ini

menjadi

nyata

tetapi

setiap

orang

yang

menghempaskan

sekaligus tidak

karenanya

pula

mengoptimalkan

dapat hakikat

kemanusiaannya kedalam belantara kebingungan dan ketidakjelasan format hidup.

Oleh karena itu pada kesempatan ini, dengan setulus hati dan penuh keinsyafan akan ketidakberdayaan diri, penulis panjatkan puji serta syukur kepada Dzat Penggenggam setiap kehidupan dan Penguasa seluruh alam semesta, Allah SWT, yang telah memberikan jalan keluar dari kegelapan-kebodohan menuju cahaya di atas cahaya. Sholawat dan salam semoga senantiasa tercurah kepada Rasulullah SAW, yang dengan segala pengorbanannya telah hadir menjadi satu sosok tauladan yang sempurna.

Pada kesempatan yang berbahagia ini pula, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. DR. Herlien D Setio, selaku dosen pembimbing yang telah memberikan kesempatan, bimbingan, dan kepercayaan penuh selama proses penyelesaian tesis ini. 2. DR. Saptahari Sugiri, selaku dosen penguji yang telah memberikan feed back konstruktif dan perhatian serius pada proses penyelesaian tesis ini. 3. Ir. Dyah Kusumastuti, Ph.D, selaku dosen penguji yang dengan penuh kesabaran dan ketelitian telah membantu mengoreksi naskah tesis ini. 4. Seluruh staf pengajar, tata usaha Departemen Teknik Sipil dan struktur 2004 serta semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Bandung, Mei 2007

Penyusun

iv

DAFTAR ISI ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

PEDOMAN PENGGUNAAN TESIS

iii

KATA PENGANTAR

iv

DAFTAR ISI

v

DAFTAR LAMPIRAN

ix

DAFTAR GAMBAR

x

DAFTAR TABEL

xiv

DAFTAR LAMBANG

xv

Bab I

Pendahuluan

I.1

Latar Belakang

I-1

I.2

Tujuan Penulisan

I-3

I.3

Metodologi Analisis

I-3

I.4

Batasan Permasalahan

I-5

I.5

Sistematika Penulisan

I-5

Bab II

Dasar Teori Analitik Shell

II.1

Konsep Dasar

II-1

II.I.1

Persamaan Differensial cangkang

II-1

II.I.2

Persamaan Differensial Donnel untuk cangkang

II-1

II.1.2.1 Kesetimbangan

II-1

II.1.3

II-2

Penurunan persamaan

II.1.3.1 Kesetimbangan

II-2

II.1.3.2 Hubungan gaya dan perpindahan

II-3

II.1.3.3 Hubungan momen dan kelengkungan

II-3

II.1.3.4 Hubungan gaya (titik tengah permukaan) dan perpindahan

II-4

II.2

Persamaan Differensial

II-5

II.3

Rumus-rumus matematik analisa cangkang

II-6

II.3.1

Pemecahan persamaan polinomial pangkat delapan

II-6

II.3.1.1

Bilangan kompleks

II-7

v

II.3.2

Penyelesaian numerik

II-8

II.3.2.1

Metode Iterasi

II-8

II.3.2.2

Metode Newton

II-8

II.3.3

Rumus-rumus matriks

II-12

II.3.4

Sifat-sifat kelengkungan

II-12

II.3.5

Jari-jari kelengkungan

II-13

II.3.6

Persamaan lengkungan

II-14

II.3.7

Istilah atau bagian-bagian cangkang silindris

II-14

II.4

Teori selaput

II-15

II.4.1

Beban-beban

II-15

II.4.2

Persamaan keseimbangan

II-16

II.5

Rumus umum tegangan selaput cangkang silindris

II-19

II.5.1

Rumus khusus tegangan selaput cangkang silindris

II-20

II.5.2

Rumus pergeseran selaput

II-21

II.6

Analisa lenturan cangkang silindris

II-21

II.6.1

Hubungan tegangan-tegangan cangkang silindris

II-22

II.7

Teori lenturan cangkang silindris

II-23

Bab III

Metode Elemen Hingga Pada Shell

III.1

Teori Elastisitas

III-1

III.2

Komponen Tegangan

III-1

III.3

Komponen Regangan dan perpindahan

III-3

III.4

Hukum Hooke

III-4

III.5

Perumusan Metode Elemen hingga untuk cangkang

III-7

III.6

Akibat gaya membran

III-8

III.6.1

Elemen segiempat

III-8

III.7

Akibat momen lentur

III-14

III.8

Perumusan Isoparametrik

III-19

III.8.1

Elemen Isoparametrik kuadrilateral (Q4)

III-19

III.9

Perakitan Matrik kekakuan Cangkang

III-22

Bab IV

Studi Kasus Analitik Shell

IV.1

Informasi umum

IV-1

vi

IV.2

Kasus I. Analisis cangkang pendek dengan tumpuan sendi

IV-1

IV.2.1

Solusi Persamaan

IV-7

IV.2.2

Perhitungan Hasil Penjumlahan gaya-gaya dalam

IV-7

IV.2.3

Cek Analisis Perilaku Statik

IV-11

IV.3

Kasus II. Analisis shell panjang silinder dengan tumpuan jepit

IV-16

IV.3.1

Solusi Persamaan

IV-32

IV.3.2

Perhitungan resultant gaya-gaya dalam shell

IV-32

Cek untuk Statik

IV-35

Bab V

Implementasi dan Pembahasan Metode Elemen Hingga Pada Struktur Shell

V.1

Umum

V-1

V.2

Program utama dan subrutine

V-1

V.2.1

Program utama

V-1

V.2.2

Subrutin-subrutin

V-2

V.3

Analisa Perilaku statik

V-3

V.3.1

Studi kasus shell pendek dengan tumpuan sendi

V-3

V.3.2

Studi kasus shell pendek dengan tumpuan jepit

V-4

V.3.3

Studi kasus shell panjang tumpuan sendi

V-5

V.3.4

Studi kasus shell panjang dengan tumpuan jepit

V-6

V.4

Pembagian elemen struktur shell

V-7

V.4.1

Pembagian 4 elemen

V-7

V.4.2

Pembagian 81 elemen pada cylindrical shell program

V-8

V.4.3

Penomoran elemen cylindrical shell program

V-8

V.4.4

Perhitungan koordinat cylindrical shell program

V-9

V.4.5

Perhitungan beban cylindrical shell program

V-10

V.4.6

Pembebanan cylindrical shell program

V-11

V.5

Perhitungan uji konvergensi

V-11

V.5.1

Grafik uji konvergensi

V-12

V.6

Hasil analisis statik struktur shell

V-12

V.6.1

Pengaruh angka poisson

V-17

V.6.2

Pengaruh ketebalan

V-18

vii

V.6.3

Hubungan gaya dan perpindahan

V-20

V.6.4

Gambar displacement shell

V-21

V.6.5

Analisis Gaya-gaya dalam struktur shell

V-24

V.7

Verifikasi Analisis struktur shell

V-26

Kesimpulan dan saran

VI-1

Bab VI

Daftar Pustaka Lampiran-lampiran

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran A

Perhitungan koordinat dan beban elemen 36 sampai 81

A-1

Lampiran B

Program utama analisis statik shell

B-1

Lampiran C

Matlab function analisis statik shell

C-1

Lampiran D

Hasil analisis atau output program statik shell

D-1

ix

DAFTAR GAMBAR Gambar I.1

Diagram alir skema Metodologi Analisis

I-4

Gambar II.1

Gaya-gaya dalam Perpindahan

II-2

Gambar II.2

Komponen radial gaya bidang

II-2

Gambar II.3

Regangan tangensial akibat perpindahan radial

II-4

Gambar II.4

Grafik bilangan kompleks

II-7

Gambar II.6

Jari-jari kelengkungan

II-13

Gambar II.7

Bagian-bagian cangkang silindris

II-14

Gambar II.8

Beban-beban cangkang silindris

II-15

Gambar II.9

Sistem sumbu analisa tegangan geseran selaput

II-16

Gambar II.10

Gaya-gaya elemen cangkang silindris

II-17

Gambar II.11a

Keseimbangan gaya shell silindris

II-18

Gambar II.11b

Tegangan selaput cangkang silindris

II-20

Gambar III.1a

Komponen tegangan pada suatu titik elemen, dx,dy,dz

III-2

Gambar III.1b

Komponen tegangan pada bidang x-z

III-2

Gambar III.2

Deformasi suatu elemen

III-4

Gambar III.3

Regangan dan perpindahan suatu elemen

III-5

Gambar III.4

Hubungan tegangan dan regangan

III-6

Gambar III.5

Perubahan panjang aksial dan lateral

III-6

Gambar III.6a

Komponen membran pada elemen segi empat

III-7

Gambar III.6b

Komponen lentur pada elemen segi empat

III-8

Gambar III.7

Segiempat peralihan bilinier

III-8

Gambar III.8

Segiempat MZC

III-15

Gambar III.9a

Elemen Q4 segiempat induk

III-19

Gambar III.9b

Elemen Q4 pasangan isoparametrik

III-19

Gambar III.10

Cangkang gabungan dari lentur dan membran

III-22

Gambar IV.1

Cangkang pendek tanpa balok tepi

IV-1

Gambar IV.2

Pembebanan shell pendek tanpa balok tepi

IV-2

Gambar IV.3a

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Nx)

IV-9

Gambar IV.3b

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Nφ)

IV-9

Gambar IV.3c

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Nxφ)

IV-9

x

Gambar IV.3d

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell (Mφ)

IV-10

Gambar IV.3e

Gabungan grafik nilai total gaya-gaya dalam shell

IV-10

Gambar IV.4

Bagian melintang shell dengan 20 bagian

IV-14

Gambar IV.5

Shell panjang dengan balok tepi

IV-16

Gambar IV.6

Pembebanan shell panjang dengan balok tepi

IV-17

Gambar IV.6a

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Nx)

IV-33

Gambar IV.6b

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Nφ)

IV-33

Gambar IV.6c

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Nxφ)

IV-34

Gambar IV.6d

Grafik nilai total gaya-gaya dalam shell panjang (Mφ)

IV-34

Gambar IV.6e

Grafik gabungan nilai total gaya dalam shell panjang

IV-34

Gambar IV.7

Pembagian shell dibagi 7 bagian

IV-35

Gambar V.1

Model struktur shell pendek dengan tumpuan sendi

V-3

Gambar V.2

Pembebanan struktur shell pendek dengan tumpuan

V-3

sendi Gambar V.3

Model struktur shell pendek dengan tumpuan jepit

V-4

Gambar V.4

Pembebanan struktur shell pendek dengan tumpuan

V-5

jepit Gambar V.5

Model struktur shell panjang dengan tumpuan sendi

V-5

Gambar V.6

Pembebanan struktur shell panjang dengan tumpuan

V-5

sendi Gambar V.7

Model struktur shell panjang dengan tumpuan jepit

V-6

Gambar V.8

Pembebanan struktur shell panjang dengan tumpuan

V-7

jepit Gambar V.9

Pembagian 4 elemen struktur shell

V-7

Gambar V.10

Penomoran shell 4 elemen

V-8

Gambar V.11

Pembebanan shell 4 elemen

V-11

Gambar V.12

Grafik Uji konvergensi

V-12

Gambar V.13

Grafik displacement struktur shell pendek dengan

V-13

tumpuan sendi pada arah transversal Gambar V.14

Grafik displacement struktur shell pendek dengan

V-13

tumpuan sendi pada arah tengah transversal Gambar V.15

Grafik displacement struktur shell pendek dengan

xi

V-14

tumpuan jepit pada arah transversal Gambar V.16

Grafik displacement struktur shell pendek dengan

V-14

tumpuan jepit pada arah tengah transversal Gambar V.17

Grafik lendutan struktur shell pendek dengan tumpuan

V-15

sendi dan tumpuan jepit pada arah transversal Gambar V.18

Grafik lendutan struktur shell pendek dengan tumpuan

V-15

sendi dan tumpuan jepit pada arah tengah transversal Gambar V.19

Grafik lendutan struktur shell panjang dengan

V-16

tumpuan sendi dan tumpuan jepit pada arah transversal Gambar V.20

Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell

V-17

pendek dengan tumpuan jepit pada arah transversal Gambar V.21

Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell

V-17

pendek dengan tumpuan jepit pada arah tengah transversal Gambar V.22

Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell

V-17

pendek dengan tumpuan sendi pada arah transversal Gambar V.23

Grafik pengaruh angka poisson pada struktur shell

V-18

pendek dengan tumpuan sendi pada arah tengah transversal Gambar V.24

Grafik pengaruh ketebalan pada struktur shell pendek

V-18

dengan tumpuan jepit pada arah transversal Gambar V.25

Grafik pengaruh ketebalan pada struktur shell pendek

V-19

dengan tumpuan sendi pada arah transversal Gambar V.26

Grafik hubungan gaya terhadap perpindahan struktur

V-20

shell dengan tumpuan jepit pada arah transversal Gambar V.27

Grafik hubungan gaya terhadap perpindahan struktur

V-20

shell dengan tumpuan sendi pada arah transversal Gambar V.28

Displacement shell pendek 4 elemen dengan tumpuan

V-21

sendi Gambar V.29

Displacement shell pendek 4 elemen dengan dengan

V-21

tumpuan jepit Gambar V.30

Grafik gaya-gaya dalam shell panjang dengan

xii

V-24

tumpuan jepit Gambar V.31

Grafik gaya-gaya dalam shell panjang dengan tumpuan jepit

xiii

V-25

DAFTAR TABEL Tabel III.1

Matriks Kekakuan elemen segiempat peralihan bilinier

III-14

Tabel III.2

Matriks Kekakuan segiempat MZC

III-18

Tabel III.3

Koordinat titik nodal untuk elemen Q4

III-20

Tabel IV.1

Gaya membran dan perpindahan

IV-5

Tabel IV.2a

Nilai gaya membran

IV-8

Tabel IV.2b

Nilai momen

IV-8

Tabel IV.2c

Total nilai gaya-gaya dalam shell

IV-8

Tabel IV.3

Jumlah total gaya bagian melintang yang dibagi 20

IV-11

bagian Tabel IV.4

Jumlah total gaya

IV-13

Tabel IV.5

Jumlah total gaya

IV-15

Tabel IV.6

Gaya membran dan perpindahan untuk shell panjang

IV-20

Tabel IV.7

Tabulasi nilai

IV-33

Tabel IV.8

Kalkulasi momen-momen gaya

IV-36

Tabel IV.9

Perhitungan komponen gaya geser vertikal

IV-37

Tabel V.1

Perhitungan lendutan dengan berbagai pembagian

V-13

elemen yang menggambarkan ke konvergensi program dengan mencoba berbagai pembagian elemen Tabel V.2

Translasi dan rotasi pada shell 81 elemen

V-22

Tabel V.3

Gaya-gaya dalam struktur shell panjang tumpuan jepit

V-24

Tabel V.4

Gaya-gaya dalam struktur shell panjang tumpuan jepit

V-25

Tabel V.5

Verifikasi struktur shell analisis statik

V-26

xiv

DAFTAR LAMBANG

l

: Bentangan longitudinal

a

: Jari-jari

d

: Tebal cangkang

R

: Jari-jari kelengkungan dipermukaan cangkang

Ro

: Jari-jari kelengkungan dipuncak cangkang silindris

θ

: Besar-sudut antara garis singgung pada titik tersebut dengan garis horizontal

B

: Bentangan melintang

L

: Bentangan longitudinal

gd

: Beban berat sendiri

gl

: Beban hidup

gw

: Pengaruh angin

O

: Puncak direxrik melalui tengah bentang

x

: Arah longitudinal

y

: Arah melintang

z

: Arah normal

NX θ

: Tegangan geser

E

: Modulus elastisitas

θc

: Setengah sudut pusat diretrix

u

: Pergeseran atau peralihan tempat arah longitudinal

v

: Pergeseran dalam arah tangensial

w

: Pergeseran dalam arah radial

εu

: Regangan dalam arah u

εθ

: Regangan dalam arah

γ xy

: Regangan geser xy

εx

: Regangan arah x

εy

: Regangan arah y

σx

: Tegangan normal arah x

xv

σy

: Tegangan normal arah y

ν

: Angka poisson

g

: Modulus geser

φ

: Sudut geseran

ϕ

: Rotasi total garis singgung

xθ

: Perubahan kelengkungan

Mx

: Momen

Qx

: Gaya geser radial

D

: Angka poisson

N

: Tegangan normal

σ

: Tegangan normal

τ

: Tegangan geser

ε

: Regangan tensor

ε

: Translasi arah z

w

: Peralihan titik nodal

ai

: Momen arah x

Mxi

: Momen arah y

w

: Koordinat natural

K

: Matriks Kekakuan

M

: Matriks Massa

Rj,Rk : Faktor bobot integrasi gauss-legendre B

: Matriks kinematik

E

: Matriks Material

J

: Jacobian

lij

: Cosinus arah antara sumbu lokal xi dan sumbu global xj

Mφ

: Momen lintang

Qφ

: Gaya geser radial

Nφ

: Gaya tangensial

Nx φ

: Gaya geser tapi shell

b(t)

: Vektor beban

h

: Ketebalan

xvi