ANALISIS SIMULASI DISTRIBUSI PARAMETER BENAHAN SUPERKONDUKTOR SLAB DAN SILINDER MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA

ANALISIS SIMULASI DISTRIBUSI PARAMETER BENAHAN SUPERKONDUKTOR SLAB DAN SILINDER MENGGUNAKAN METODE ELEMEN HINGGA Oleh: Supardi Staf Pengajar FMIPA UNY RINGKASAN Telah dilakukan penelitian mengenai munculnya distribusi parameter benahan (ordered parameter) bahan superkonduktor bentuk lempengan dan silinder. Distribusi parameter benahan dalam bahan tersebut diperoleh dari pengenaan medan magnet luar H yang sejajar terhadap permukaan bahan. Ketika medan magnet luar diturunkan secara perlahan-lahan, maka distribusi parameter benahan akan muncul ketika melewati harga tertentu yang disebut H c 3 . Metode yang digunakan untuk mempeoleh distribusi parameter benahan dalam bahan superkonduktor ini adalah metode elemen hingga. Untuk memudahkan langkah komputasi dengan metode tersebut, maka digunakan perangkat lunak FEMLAB yang bekerja di bawah MATLAB karena prinsip-prinsip metode elemen hingga telah diwadahi dalam perangkat lunak tersebut. Hasil yang diperoleh melalui simulasi ini menunjukkan adanya kesesuain antara dugaan awal oleh peneliti dengan hasil perhitungan. Jika dibandingkan dengan hasil yang diperoleh oleh peneliti lain sebelumnya, hasilnya tidak menyimpang jauh Kata kunci : parameter benahan, FEMLAB, metode elemen hingga ABSTRACT Investigation of creation of ordered parameter distribution on superconductor material, specially silinder form have been conducted. Distribution of ordered parameter inside the material is obtained by applying external magnetic field parallel to the surface of the material. When the external magnetic field is reduced carefully, ordered parameter distribution will create at a certain value called H c 3 . The method applied to obtain the ordered parameter distribution is finite element method. To make easy in computation work, be applied FEMLAB software. The software works under MATLAB running . Principles of finite element method have been covered in FEMLAB. The result of the numerical simulation show in line between the beginning hipotesa of researcher and computaion result. Compared with previous result, the result does not deviate significantly. Keyword

: order parameter, FEMLAB, finite element method

PENDAHULUAN

Simulasi numerik munculnya parameter benahan di daerah dekat medan kritis H c 3 pada bahan superkonduktor menggunakan landasan model Ginzburg-Landau telah

dilakukan. Parameter benahan (ordered parameter) didefinisikan sebagai parameter fisis yang kehadirannya bertanggung jawab terhadap fase dari suatu bahan superkonduktor. Parameter benahan dapat bernilai antara 0 dan 1. Bahan superkonduktor yang berada dalam keadaan superkonduktif memiliki harga parameter benahan diantara 0 < ψ < 1 . Di bawah medan kritis H c1 bahan berada dalam keadaan superkonduktif murni sehingga harga parameter benahan bernilai 1. Bahan superkonduktor yang hanya memiliki satu macam medan kritis saja disebut sebagai superkonduktor jenis-I. Sedangkan superkonduktor yang memilki dua buah medan kritis yaitu H c1 dan H c 2 disebut sebagai superkonduktor jenis-II. Hal yang menarik tentang superkonduktor jenis-II adalah adanya keadaan campuran (mixed state) antara keadaan superkonduktif dan keadaan normal pada ranah H c1 < H < H c 2 . Dalam daerah ini muncul apa yang dinamakan sebagi vortex. Vortex merupakan filamen-filamen berukuran kecil yang terbentuk akibat pengenaan medan magnet luar H pada sampel superkonduktor jenis ke-II dalam ranah H c1 < H < H c 2 sehingga terjadi terobosan parsial fluks magnet pada bahan tersebut (Cyrot dan Pavuna, 1992,; Tinkham, 1996). Secara teori, munculnya vorteks pada superkonduktor jenis ke-II telah diramalkan oleh Abrikosov. Menurut Abrikosov, pola kisi dengan bentuk bujursangkar merupakan pola kisi stabil vorteks. Dalam kenyataannya, pola kissi stabil pada vorteks adalah kisi dengan bentuk segitiga. Bentuk kisi ini selanjutnya disebut dengan kisi Abrikosov. Simulasi ini didasarkan pada model Ginzbug-Landau yaitu sebuah teori yang mengungkapkan gejala fisis yang terjadi pada bahan superkonduktor berdasar pada intuisi fisis yang ada. Salah satu pencetus model ini yaitu Vitally L. Ginzburg, pada tahun 2003 ini telah memenangkan hadiah Nobel di bidang fisika. Penelitian tentang munculnya parameter benahan dari bahan dalam keadaan superkonduktif hingga berada pada keadaan normal sulit dilakukan dengan pengamatan secara langsung. Oleh sebab itu, diperlukan cara lain untuk memperolehnya, yaitu dengan simulasi numerik. Simulasi numerik mengenai munculnya parameter benahan pada bahan superkonduktor dapat dilakukan dengan menyelesaikan persamaan Ginzburg-Landau

terkopelnya. Untuk mengkaji keadaan superkonduktif di daerah dekat medan kritis H c 3 dapat dilakukan dengan mengabaikan suku non liniernya, sehingga bentuk persamaan diferensialnya menjadi bentuk linier. Dugaan peneliti bahwa munculnya parameter benahan mulai nampak pada permukaan bahan yang sejajar dengan medan magnet luar. Selanjutnya, parameter benahan secara berangsur-angsur akan menghilang di daerah yang semakin menjauhi permukaan. Metode yang digunakan oleh peneliti untuk memperoleh distribusi parameter benahan di dalam bahan adalah metode elemen hingga. Pemilihan metode ini mengingat metode ini dibangun untuk menyelesaiakan persamaan diferensial disamping metode beda hingga. Dibandingkan dengan metode beda hingga, metode elemen hingga memiliki banyak kelebihan terutama keluwesannya dalam memecahkan masalah geometri bahan yang lebih rumit. METODE PENELITIAN Sifat superkonduktivitas suatu bahan superkonduktor dapat ditentukan oleh bentuk fungsional sistem. Bentuk fungsional yang berpadanan dengan persamaan Ginzburg-Landau adalah apa yang disebut beda rapat tenaga bebas Gibbs antara keadaan superkonduktif dan keadaan normal. Ungkapan beda rapat tenaga Gibbs tersebut diberikan oleh (Tinkham,1996; Cyrot dan Pavuna, 1992) ∆ G (ψ , A ) ≡

∫ (g

s

− fn ) =

Ω



∫  α (T ) ψ ( r )

Ω

2

+

1 4 β (T ) ψ ( r ) 2

 1 + [ − i ∇ − 2eA( r ) ]ψ ( r ) 2 + 1 B( r ) − µ 0 H 2  2m 2µ 0 

(1)

Distribusi parameter benahan dan arus di dalam bahan superkonduktor dapat diperoleh dengan melakukan minimisasi terhadap ungkapan fungsional rapat beda tenaga Gibbs tersebut. Minimisasi fungsional dilakukan terhadap ψ (r ) atau ψ * ( r ) dan A(r ) . Dengan menggunakan kalkulus variasi minimisasi fungsional tersebut menghasilkan persamaan Euler-Lagrange (Nurwantoro, 1998) ∂ Gs − ∂ ψ * (r)

dan

∂ j= 1 ∂ x j 3

∑

  ∂ Gs   = 0  ∂ ( ∂ ψ * ( r ) / ∂ x j ) 

(2)

∂ Gs − ∂ Ai ( r )

∂ j= 1 ∂ x j 3

∑

  ∂ Gs   = 0 , dengan i = 1,2,3 .  ∂ ( ∂ Ai ( r ) / ∂ x j ) 

(3)

Variabel x j dengan j = 1, 2, 3 menyatakan sumbu-sumbu koordinat yaitu x, y dan z, sedangkan Ai ( r ) dengan i = 1, 2, 3 menyatakan sebagai komponen-komponen kartesan dari potensial vektor A(r). Jika persamaan Euler-Lagrange (2) dan (3) diekspansikan, maka akan diperoleh ungkapan-ungkapan ∂ Gs 2 = α (T )ψ ( r ) + β ψ ( r ) ψ ( r ) + ∂ ψ * (r )

∂ ∑j = 1 ∂ x j 3

  ∂ Gs   =  ∂ ( ∂ ψ * ( r ) / ∂ x j ) 

∑

 i e  ∂ ψ ( r ) 2e 2 2 Aj + A jψ ( r )   ∂xj m j=1    m

(4)

  2 ∂ 2ψ ( r ) i e ∂ ψ (r)  − Aj   2 m ∂ x j   2m ∂ x j

(5)

3

∑

∂ Gs i e  ∂ ψ * (r) ∂ ψ ( r )  4e 2 ( ) ( ) = − ψ r − ψ * r ψ * ( r ) ∂ ψ ( r ) Ai  + ∂ Ai ( r ) m  ∂ xi ∂ xi  m

(7) Apabila ungkapan (4), (5) dan (6) disubstitusikan ke persamaan (2), maka diperoleh persamaan Ginzburg-Landau pertama yaitu α (T )ψ ( r ) + β ψ ( r ) ψ ( r ) + 2

1 [ − i ∇ − 2eA( r ) ]ψ ( r ) = 0 2m

(8)

Apabila digunakan ungkapan persamaan Maxwell ∇ × B = µ 0 j dengan j adalah rapat super arus dan disubtitusi ungkapan (5) dan (6) ke persamaan (3), maka diperoleh persamaan Ginzburg-Landau kedua yaitu j( r ) =

2 1 e [ψ * ( r )∇ ψ ( r ) − ψ ( r )∇ ψ * ( r ) ] − 4e ψ * ( r ) ∂ ψ ( r ) Ai ∇ × B( r ) = µ0 im m

(9)

Syarat batas yang diberikan untuk kedua persamaan Ginzburg-Landau terkopel tersebut di daerah antarmuka antara insulator dan permukaan superkonduktor adalah n ⋅ [ − i ∇ − 2eA ( r ) ]ψ ( r ) = 0

(10)

Ketika efek permukaan bahan diperhitungkan, yang berarti bahwa superkonduktor bukan lagi berbentuk bongkahan, maka sifat superkonduktivitas bahan tidak lagi musnah pada H > H c 2 (T ) . Efek permukaan ini akan memodifikasi transisi fase antara keadaan superkonduktif dengan keadaan normalnya. Medan kritis bahan superkonduktor biasanya

akan berharga lebih besar dibandingkan dengan harga medan kritis H c 2 . Ketika medan magnet luar yang dikenakan pada bahan mula-mula berharga besar, kemudian secara berangsur-angsur diturunkan, maka keadaan superkonduktif bahan akan sedikit demi sedikit muncul ketika melewati suatu harga tertentu yang disebut dengan H c 3 . Analisa teoritis dari medan nukleasi permukaan ini pertama kali dikenalkan oleh Saint dan de Gennes padatahun 1963. Di daerah dekat dengan fase transisi antara keadaan normal dengan keadaan superkonduktif, harga parameter benahan sangat kecil. Oleh sebab itu, dapat diabaikan 2 2 suku non-linier dari persamaan Ginzburg-Landau yaitu suku ψ (r ) dan ψ (r ) ψ (r ) .

Proses linierisasi dari persamaan Ginzburg-Landau terkopel ini akan mereduksi persamaan tersebut menjadi bentuk yang linier α (T )ψ ( r ) +

1 [ − i ∇ − 2eA( r ) ]ψ ( r ) = 0 2m

(11)

atau 1 [ − i ∇ − 2eA( r ) ]ψ ( r ) = − α (T )ψ ( r ) 2m

(12)

Formulasi Fungsional Ginzburg-Landau untuk Bahan Berbentuk Slab Semi Tak Hingga Ditinjau sebuah bahan superkonduktor berbentuk lempengan (slab) semi tak berhingga yang dikenai oleh medan magnet luar H dengan sudut θ (lihat gambar 1).

Insulator

Superkonduktor

H

Gambar 1. Superkonduktor jenis-II berbentuk slab semi tak berhingga yang dikenai medan magnet luar H

Dalam kasus ini, potensial vektor pada persamaan (12) bersifat linier sehingga koreksi terhadap medan magnet yang masuk ke dalam bahan tidak ada. Oleh sebab itu dipilih bentuk potensial vektor

A( r ) = ( 0, µ 0 Hx cos θ − µ 0 Hz sin θ ,0 )

. Dengan

pemilihan bentuk potensial tersebut, maka bentuk persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasinya adalah 2

  2 ∂ 2ψ 1  ∂  2 ∂ 2ψ ( ) − + − iH − 2 e µ H x cos θ − z sin θ ψ − = α (T ) ψ 0  2m ∂ x 2 2m  ∂y 2m ∂ z 2 

(13)

dengan syarat batas yang diberikan adalah ∂ψ ∂x

Dengan ψ ( x, y , z ) = e −

= 0

memilih

ik y y cos θ

(14)

x= 0

ungkapan

parameter

benahan

berbentuk

f ( x, z ) akan diperoleh bentuk baru persamaan (13) berbentuk

2  ∂ 2 f ∂ 2 f  1 +  k y cos θ − 2eµ 0 H ( x cos θ − z sin θ  2 + 2  2m  ∂ x ∂ z  2m

[

)]2 f

= α (T ) f

(15)

dengan syarat batas yang sesuai adalah ∂f ∂x

= 0

(16)

x= 0

Salah satu langkah penting untuk perhitungan secara numerik adalah membuat variabel-variabel dalam ungkapan (15) menjadi variabel tak berdimensi. Oleh sebab itu diplih variabel-variabel sebagai berikut X ≡ x

4eµ 0 H cos θ , 

∈≡

Z≡ z

4eµ 0 H sin θ , 

X 0 ≡ k y cos θ

 eµ 0 H

H c 2 (T ) 2H

(17)

Apabila ungkapan (17) disubstitusikan ke persamaan (15) maka akan diperoleh  ∂2 Z − sin θ  − 2 4  ∂Z

  ∂2 X  f − cos θ  − 2 4   ∂X

 XX 0 cos θ XZ cos θ sin θ  f − f − f 2 2 

ZX 0 sin θ X2 + f + 0 f =∈ f 2 4

(18)

dengan syarat batas yang sesuai adalah ∂f ∂X

= 0 X =0

pada X = 0

(19)

Sedangkan di daerah yang jauh dari permukaan bahan sifat superkonduktivitas bahan semakin menghilang, sehingga syarat batas yang cocok untuk keadaan ini adalah f ( X , Z ) → 0 pada X → ∞

(20)

Bentuk diskritisasi dalam bentuk elemen hingga dapat dilihat pada gambar 3.

Gambar 2. Diskritisasi bahan dengan metode elemen hingga Formulasi Fungsional Ginzburg-Landau untuk Bahan Berbentuk Silinder Ditinjau sebuah bahan superkonduktor berbentuk silinder dengan panjang jari-jari a dengan panjang tak berhingga dikenai oleh medan magnet luar H yang arahnya sejajar dengan sumbu z (lihat gambar 2). z

a

y H x Gambar 3. Bahan superkonduktor jenis-II berbentuk silinder pejal yang dikenai medan magnet luar sejajar dengan sumbu z

Dalam koordinat polar silindris ( ρ , ϕ , z ) diasumsikan bahwa medan magnet luar H berarah paralel dengan sumbu z silinder, sehingga potensial vektor A dapat dipilih sedemikian hingga A=

1 µ 0H × ρ 2

(21)

Dengan menggunakan ungkapan div A = 0, maka diperoleh ungkapan persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasi −

2 1 ∂ 2m ρ ∂ ρ 1 2m

 ∂ ψ ( ρ , ϕ , z )   2 ∂ 2ψ ( ρ , ϕ , z )  ρ  − + ∂ρ ∂z2   2m 2

 i ∂   − ρ ∂ ϕ − eµ 0 Hρ  ψ ( ρ , ϕ , z ) = α (T )ψ ( ρ , ϕ , z )  

(22)

dengan syarat batas yang sesuai adalah ∂ ψ ( ρ ,ϕ , z ) ∂ρ

= 0

(23)

ρ =a

Untuk langkah komputasi numerik, maka diperlukan bentuk variabel tak berdimensi yang sesuai berbentuk z Z≡ , a

r≡

dengan Φ

0

ρ , a

h≡

2π a 2 µ 0H , Φ0

ε ≡

2m α ( T ) a 2 2

≡

a2 ξ 2(T )

(24)

≡ π  / e menyatakan kuantum fluks dan ξ (T ) ≡

 2 / 2 m α (T )

adalah

panjang koherensi. Jika ungkapan (24) disubstitusikan ke dalam ungkapan (22), maka akan diperoleh persamaan 2  ∂2  i ∂ 1 ∂ ∂2 hr   − − − +  +   ψ ( r , ϕ , z ) = ε ψ ( r , ϕ , z )  r ∂ϕ 2 2 r ∂r 2   ∂z2  ∂ r 

(25)

dengan syarat batas ∂ ψ (r,ϕ , z ) ∂r

= 0

(26)

r =1

Untuk menyederhanakan persamaan (25), maka diperlukan ungkapan untuk parameter benahan berbentuk ψ ( r , ϕ , z ) = f ( r )e ik Z e z

ψ (r , ϕ , z ) adalah tunggal saat kϕ = n

(27)

ikϕ ϕ

. Untuk menjamin harga

ϕ bertambah dengan 2π n , maka disyaratkan bahwa dengan n = 0, ± 1, ± 2, ...

Hasil substitusi ungkapan ψ ( r , ϕ , z ) = f ( r )e ik Z e z

ikϕ ϕ

terhadap persamaan (25)

diperoleh −

2  ∂ 2 f ( r ) 1 ∂ f ( r )  kϕ 1 − + − hkϕ + h 2 r 2  f ( r ) = ε f ( r ) 2 2  r  r ∂r 4 ∂r  

(28)

dengan syarat batas ∂ f (r ) ∂r

= 0 r =1

(29) Jika diperhatikan pada ungkapan (28) tampak bahwa persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasi untuk bahan bergeometri silinder dengan panjang tak berhingga hanya bergantung pada satu koordinat saja yaitu r. Hal ini akan memudahkan dalam penaganan komputasinya. HASIL DAN PEMBAHASAN Melalui penelitian ini telah diperoleh hasil baik secara numerik maupun grafis distribusi parameter benahan pada superkonduktor jenis ke-II. Dalam penelitian ini, proses pencarian distribusi parameter benahan dilakukan dengan menggunakan paket program komputer FEMLAB yang berjalan di bawah perangkat lunak MATLAB. Disamping

disajikan distribusi parameter benahan pada berbagai arah sudut antara

medan magnet luar dengan bahan berbentuk slab semi tak berhingga, peneliti juga melengkapinya dengan distribusi parameter benahan bahan berbentuk silinder. Pada gambar (4), (5) dan (6) terlihat distribusi parameter benahan pada bahan superkonduktor berbentuk lempengan yang dikenai medan magnet luar H dengan membentuk sudut tertentu..

Gambar 4. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan magnet luar H dengan membentu sudut 0o

Gambar 5. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan magnet luar H dengan membentu sudut 10o

Gambar 6. Distribusi parameter benahan superkonduktor slab yang dikenai medan magnet luar H dengan membentu sudut 15o

Dari hasil analisa terhadap persamaan Ginzburg-Landau terlinierisasi (18) dengan mengingat syarat batas yang sesuai untuk kasus ini maka diperoleh hasil yang mendekati sama dengan hasil yang telah diperoleh sebelumnya. Untuk sudut medan magnet H dengan bahan sama dengan 0o terlihat bahwa harga eigennya adalah

dengan

λ = 0.584763 , untuk sudut θ = 10 λ = 0.687297 dan untuk θ = 15 , λ = 0.797795 .

Dari

gambar

(4),

(5)

dan

(6)

ditunjukkan

bahwa

munculnya

sifat

superkonduktivitas bahan mula-mula di permukaan bahan ketika medan magnet luar diturunkan secara perlahan-lahan. Sifat tersebut semakin menghilang di daerah yang semakin menjauhi permukaan bahan. Hasil yang diperoleh ini sesuai dengan dugaan peneliti. Gambar (7), (8), (9) dan (10) diperlihatkan fungsi gelombang

f ( r ) dari

persamaan Ginzburg-Landau pada bahan superkonduktor dengan geometri silinder. Dipilih harga-harga dari k ϕ atau n yang berharga bulat. Di dalam gambar dicontohkan untuk harga-harga n berturut-turut 0, 1, 2, dan 10.

Gambar 7. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 0

Gambar 8. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 1

Gambar 9. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 2

Gambar 10. Distribusi parameter benahan superkonduktor silinder yang dikenai medan magnet luar H yang sejajar sumbu z dengan n = 10 Untuk memperoleh distribusi parameter benahan pada superkonduktor silinder diperhatikan beberapa aspek, diantaranya adalah pemilihan terhadap parameter h. Parameter h menyatakan ukuran dimensi bahan yang dinyatakan sebagai h ≡

2π a 2 µ 0H . Φ0

Dengan mengambil harga h sangat kecil, itu berarti ukuran dimensi superkonduktor silinder sangat tipis karena jejari silinder sangat kecil. Dengan panjang jejari sangat kecil, maka seluruh parameter benahan akan terdistribusikan secara merata ke seluruh bagian

dalam bahan seperti terlihat pada gambar (7). Hal ini ditunjukkan dengan pemilihan harga n = 0 yang bersesuaian dengan harga h sangat kecil. Jika dilihat pada gambar (8), (9) dan (10), maka dapat kita peroleh kesimpulan bahwa semakin besar ukuran dimensi bahan superkonduktor, maka distribusi parameter benahan semakin tidak merata. Sebagai contoh, perhatikan gambar (10), distribusi parameter benahan terkonsentrasi di daerah permukaan antara 0.5 < r < 1 , sedangkan untuk daerah 0 < r < 0.5 distribusinya praktis sama dengan nol.

SIMPULAN Dari hasil pembahasan di atas, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain : 1

Harga perbandingan antara H c 2 dengan H c 3 pada superkonduktor jenis-II berbentuk lempengan bergantung kepada besarnya sudut antara medan magnet luar H dengan permukaan bahan. Harga perbandigan ini menunjukkankesesuaian dengan hasil perhitungan dengan metode variasi yang telah dilakukan oleh peneliti lain sebelumnya.

2

Distribusi parameter benahan pada superkonduktor berbentuk silinder di dekat medan kritis H c 3 bergantung kepada ukuran dimesi dari bahan. Bahan dengan dimensi kecil menyebabkan seluruh bahan berada dalam keadaan superkonduktif. Sedangkan untuk bahan dengan jejari sangat panjang, maka distribusi parameter benahan hanya terkonsentrasi di daerah permukaan saja.

DAFTAR PUSTAKA

Cyrot, M dan Pavuna, M., 1992. Introduction to Superconductivity and High Tc Material, Singapore: World Scientific Publication co. Ptc. Ltd. Nurwantoro, P. 1998. A Theoritical Study of The Surface Nucleation Field at Hc3 and of Superconducting Surface Sheats in Isotropic Type-II Superconductors. Ph.D’s Theisis,University of Birmingham. Tinkham M., 1996, Introduction to Superconductivity, Singapore: McGraw-Hill Inc.

BIODATA PENULIS Supardi, lahir di Sleman pada tanggal 15 Oktober 1971. Lulus dari Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mada pada tahun 2003 pada bidang kajian Fisika

Komputasi. Karya ilmiah terakhir diterbitkan di jurnal Sains dan Sibernatika UGM dengan judul “Implementasi Metode Simulated Annealing Untuk Menentukan Karakteristik Superkonduktor Geometri Bola”. Tercatat sebagai staf pengajar di Jurdik Fisika sejak 1998 sebagai pengampu matakuliah Pemrograman Komputer dan Simulasi Fisika.