METODE SKYLINE UNTUK MENYIMPAN MATRIKS KEKAKUAN PADA PERSOALAN ELEMEN HINGGA Mike Susmikanti.,Utaja.., Arya'
ABSTRAK METODE SKYLINE UNTUK MENYIMPAN MATRIKS KEKAKUAN PADA PERSOALAN ELEMEN HINGGA. Penyelesaianpersoalanteknik ataufisika denganmenggunakan Metode ElemenHingga,akan menghasilkanrnatriks simetri dan sparsdenganukuran yang besar.Agar prosespenyelesaiandan penyimpanandapatdilakukan dengan cepat,diperlukan metodeyang sesuai. Makalah ini menguraikanmetode skyline yang dapatmenyimpandan memprosespeyelesaianmatriks sepertikeadaantersebutdi atassecaraefisien.Denganmetodeskyline,jumlah koefisienmatriks kekakuan yang diproses jauh lebih sedikit dibandingkan denganjumlah koefisien semula. Hal ini berakibat banyaknyamemoriuntukpenyimpananlebih sedikitdanprosespenyelesaiannya lebih cepat.
ABSTRACT SKYLINE METHOD TO STORE STIFFNESS MATRICES ON FINITE ELEMENT PROBLEMS. Solutionsto techniqueor physicsproblemsusing finite elementmethodwill producebig symmetricand sparcematrices.For the final solution,the finishing and storing processneedthe correct methods.This paperexplainsthe skylinemethod which canstoreand will processthe solutionsmatrices more efficiently. The number of coefficients of stiffness matrices to be processesusing the skyline methoddecreases. This methodcausesmore efficient memoryusageand fasterprocessing.
PENDAHULUAN Penyelesaiansuatu persoalan tehnik menggunakanMetode Elemen Hingga memberikan beberapa sifat koefisien matriks, diantaranya matriks simetri clan menyebar (spars). Matriks spars adalah matriks dengan koefisien tidak nol yang mengumpul dekat dengan diagonal utama clan koefisien bemilai nol yang letaknya jauh daTi diagonal utama (banded) [1]. Pada penyelesaian perhitungan menggunakan metode elemen hingga akan dijumpai operasi matriks dengan matriks berukuran besar.
Prosespenyelesaianmetode elemen hingga yang digunakanpada paket program seperti NISA II clan ANSYS tidak dapat dilacak lagi (Black Box). Diharapkan dengan .Pusat Pengembangan Teknologi Informasi dan Komputasi -BATAN ..Pusat Pengembangan Perangkat Nuklir -BAT AN
RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsclanTeknologiNuklir XN, Juli 2003 (171-181)
metode skyline ini, persoalanteknik yang diselesaikandenganelemenhingga dapat dilakukansecararingkasdaDcepat. Adapunprosespenyimpanankoefisien matriks dalammetode skyline dimulai denganmenyimpanbanyaknyakoefisien matrikspada setiapkolom, mulai daTibaris yang nilainya bukan Dol, sampai dengan diagonalutama. Selanjutnyamenyimpan banyaknya koefisien matriks sampai dengandiagonal utama untuk suatu kolom tertentu. Untuk membatasiproses pengulangan(loop) dilakukanproses menyimpan banyaknyakoefisien matriks pada setiapbaris mulai diagonalutama sampaidengan kolom yangberisi bukankoefisiennoloMetodeini dipakaidi dalamprogramberbasis elemenhinggayang dikembangkandi P2PN[2]. Diharapkandenganmetodeskyline ini jumlah koefisienmatriksyang disimpan akan lebih sedikit dibandingkan dengan jumlah koefisien semula daD proses penyelesaiannya akanmenjadilebih ringkasdaDcepat.
TEORI Penyelesaian denganmetodeelemenhingga, dilakukandenganmembagibenda menjadi sejumlah elemen yang dinamakan elemen hingga. Akibat pembagian semacamini maka distribusi perpindahanturnt didiskritisasimenjadi sub-subdaerah yang sesuai. Sehingga elemen-elemenbasil pembagian lebih mudah ditinjau dibandingkandenganpeninjauanseluruhbenda.Misalkan suatulempengdiidealisasi sebagaibenda dua dimensi. Dalam hal ini dipilih pembagianelemenyang masingmasingberbentuksegitigasepertidalamGambar1 berikut. Masing-masingnodebasil pembagianelemendiberi nomor1 sampaidengan15.
Gambar1. Pembagianelemendanpenomorannode Pemberiannomor node seperti pada Gambar-l akan menghasilkanmatriks kekakuan(stiffness matrix) denganposisi koefisien matriks sepertipada Gambar-2 berikut. PadaGambarI terlihat bahwanomornodeterkecil yangpaling dekatdengan node I adalahnode I, dengandemikian letak koefisienmatrikspada kolom pertama
172
MetodeSkylineuntukMenyimpanMatriks KekakuanpadaPersoalanElemenHingga (Mike Susmikanti,Utaja,Arya)
akan dimulai daTi baris satu sampai dengan diagonal utama. Untuk nomor node terkecil yang dekat dengan node 2 yaitu node 1, sehingga letak koefisien matriks pada kolom dua dimulai pada baris dua sampai diagonal utama. Berikutnya nomor node terkecil yang paling dekat dengan node 3 adalah node 2, sehingga pada kolom tiga letak koefisien matriks dimulai pada baris dua. Demikian seterusnya untuk node 4 clan node 5, nomor node terkecil yang dekat dengan node 4 clan node 5 adalah node I, sehingga letak koefisien matrik pada kolom empat clan lima dimulai daTi baris 1. Ketentuan ini berlaku sarna untuk setiap posisi koefisien matriks pada matriks kekakuan. Pada matriks kekakuan terdapat tiga macam koefisien matriks yaitu koefisien bernilai bukan nol, koefisien bernilai nol clan koefisien embedded. Koefisien embedded merupakan koefisien bernilai nol yang diapit oleh koefisien bernilai tidak nol clan dianggap tidak nol dikarenakan nantinya akan diproses. Pada metoda skyline yang akan diproses adalah koefisien bernilai bukan nol berarti termasuk koefisien embedded. Koefisien embedded dalam matriks kekakuan secara cepat dapat terlihat dengan memperhatikan tidak adanya hubungan antara masing-masing node. Misalnya untuk node 2, tidak terhubung dengan node 4, sehingga posisi pada baris 2 kolom 4 terdapat koefisien embedded. Demikian pula antara node 3 clan node 4 tidak terhubung, berarti posisi pada baris tiga kolom empat akan terdapat koefisien embedded
Gambar2. Posisi koefisienmatriks kekakuan Pada matriks di atas tampak bahwa banyak koefisien nol yang letaknya berjauhandengandiagonalutamaclankoefisien tidak nol yang letaknya mengumpul dekat diagonal utama. Matriks tersebut merupakanmatriks banded. Penyimpanan denganmetodeskyline akanefisien karenamengabaikan koefisien nol yangjauh daTi diagonalutama.
73
RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsdan TeknologiNuklir XIV, Juli 2003
METODE Langkah-langkah padametodeskylinedilakukansebagaiberikut : 1. Menentukanbanyaknyakoefisien matrik pada setiapkolom mulai padabaris yang berisi nilai bukan not sampai dengan diagonal utama. Nilai ini dinyatakandenganvariabelJSTK(i). 2. Menentukanbanyaknyakoefisienmatrikssampaidengandiagonalutamapada baris atau kolom ke i (termasuk koefisien matriks pada kolom/baris sebelumnya.Nilai tersebutdinyatakandenganvariabelJDIAG(i) 3. Menentukan banyaknya koefisien matriks pada setiap baris mulai daTi diagonal utama sampai dengan kolom dengan nilai koefisien bukan not (termasukpula koefisien matriks bemilai not yang diapit oleh koefisien matriks bemilai tidak not). Nilainya dinyatakandenganvariabelISTK(i). 4. Nilai JSTK(i) dan JDIAG(i) mempunyaihubungan[2] : illIAG(i) = ~ JSTK(i) 5
(1)
PosisimatriksM(ij) di mana ~i POSISI = illIAG(j) -(j-i)
(2)
6. Variabel ISTK(i) dipakaiuntuk membatasiLOOPpadapenyelesaianmatriks.
BASIL DAN BAHASAN Dan Gambar1 terlihat bahwa terdapat15 simpul denganpenomoranseperti terlihat pada gambar. Dalam persoalandistribusi suhu, setiap node memiliki satu derajatkebebasan.Diperoleh matriks kekakuandenganukuran 15 x 15 sepertipada Gambar2. Terlihat bahwa koefisien matriks tidak nol, banyak mengumpul dekat dengandiagonalutamaclankoefisiennol menyebarjauh daTidiagonalutama. Tabel berikut menyatakannilai masing-masingvariabelJSTK(i), illIAG(i) clan ISTK(i) yangpengisiannyadibahasdi bawahini.
174
MetodeSkylineuntukMenyirnpanMatriks KekakuanpadaPersoalanElemenHingga (Mike Susmikanti,Utaja,Arya)
Tabel
Hubungankolom masing-masingdenganvariabel JSTK(i), illIAG(i) clan ISTK(i)
Kolom
JSTK(i)
2
3
2 2
4
4
JDIAG(i) 1 3
ISTK(i) 5 5
5
4
9
5 5
5
5
14
6 7
5
19
4
4
23
8
5 5
10
4 5 5
28 33 37
5 5
9.
11 12 13
4
14
5
15
5
42
47 51 56 61
4
5 5 4
3
2
Banyaknya koefisien matriks pada masing-masingkolom sampai dengan diagonalutama disimpan dalam kolom atau variabel JSTK(i) sepertipada Tabel-l tersebutdi atas. Contohnyauntuk kolom 1, variabel JSTK(1) bernilai 1 sedangkan untukkolom 2 variabelJSTK(2)bernilai 2, demikianseterusnya. Nilai-nilai pada kolom JDIAG(i) menyatakanbanyaknya semua koefisien matriks sampai dengan diagonal utama pada baris atau kolom ke-i ( termasuk koefisien matriks daTibaris/kolom sebe1umnya ). Dalam hal ini untuk kolom 3 atau baris 3, diperolehJDIAG(3) bernilai 5 yaitu banyaknyasemuakoefisien matriks daTi kolom 1,2 clan3 sampaidengandiagonalutama(1+2+2), sesuaidenganpersamaan (I). Sedangkanuntuk kolom 4 atau baris 4, JDIAG(4) bernilai 9 yaitu banyaknya semuakoefisien matriks daTi kolom I, 2, 3 clan 4 sampaidengandiagonal utama (I +2+2+4). Termasuk koefisien matrik bernilai nol didalamnya yang diapit oleh koefisienmatrik bernilai tidak nol (embedded). Selanjutnyanilai-nilai pada kolom ISTK(i) diisi denganbanyaknyakoefisien matrikpadasetiapbaris mulai daTidiagonalutamasampaidengankolom dengannilai koefisien bukan nol (termasukkoefisien nol yang diapit oleh koefisien bukan nol). Sebagaicontoh,pada kolom I nilai ISTK(I) mempunyaikoefisienmatriks berjumlah 5 pada baris pertama.Pada kolom 2, nilai ISTK(2) mempunyaikoefisien matriks berjumlah5 padabaris 2.
175
RisalahLokakaryaKornputasidalamSainsdan TeknologiNuklir XIV. Juli 2003
Berikut ini beberapa contoh posisi matriks sesuaidengan persamaan(2) dengan nilai JDIAG(i) diambil daTiTabel-l; Posisi m(l,l) = JDIAG(l) -( 1 -1 ) = 1 -0 = 1 Berarti nilai koefisien matriks kekakuan m(l, 1) akan disimpan di kotak nomor 1. Posisi m(1,2) = JDIAG(2) -(2 -1 ) = 3 -1 = 2 (disimpan di kotak nomor 2) Posisi m(1,3) = JDIAG(3) -( 3 -1 ) = 5 -2 = 3 (tidak disimpan). Adapun syarat disimpan jika dipenuhi : J -I ~ JSTK(J) -1 Padaposisi m( 1,3), karena 3 -1 tidak 1ebihkecil atau sarnadengan2 -1, berarti syarat penyimpanan tidak dipenuhi. Se1ainitu pula nilai koefisien matriks pada posisi m(1,3) bemilai no1. Kotak nomor 3 akan digantikan dengan nilai koefisien matriks pada posisi m(2,2) berikut; Posisi m(2,2) = JDIAG(2) -(2 -2) = 3 -0 = 3 (disimpan di kotaknomor 3) Posisi m(2,3) = JDIAG(3) -( 3 -2 ) = 5 -1 = 4 (disimpan di kotak nomor 4) Posisi m(3,3) = JDIAG(3) -( 3 -3 ) = 5 -0 = 5 (disimpan di kotak nomor 5) Posisi m(1,4) = JDIAG(4) -(4 -1) = 9 -3 = 6 (disimpan di kotaknomor 6) Posisi m(2,4) = JDIAG(4) -(4 -2 ) = 9 -2 = 7 (disimpan dikotak nomor 7) Posisi m(3,4) = JDIAG(4) -(4 -3) = 9 -1 = 8 (disimpan dikotaknomor 8) Posisi m(4,4) = JDIAG(4) -( 4 -4 ) = 9 -0 = 9 (disimpan dikotak nomor 9), demikian seterusnya. Nilai koefisien matriks m(2,4) daD m(3,4) walaupun bemilai Dol tetap disimpan karena nilai tersebut termasuk koefisien matrik yang diapit oleh nilai koefisien yang bemilai tidak Dol (embedded). Posisi matriks kekakuan dua dimensi ini, saat ini telah berubah menjadi matrik satu dimensi, yang selanjutnya akan digunakan untuk menentukan distribusi
perpindahan.
Variabel ISTK(i) dipakai untuk membatasi LOOP yang akan diper1ukan pada saatpenyelesaian matriks da1ammenentukan distribusi perpindahan tiap node. Dari Tabel-1, diperoleh jumlah kotak yang diperlukan untuk penyimpanan seluruh koefisien matriks kekakuan berjumlah 61. Terlihat pada nilai JDIAG(15) = 61.
Pemberian nomor node seperti pada Gambar 1, apabila diubah menurut susunan seperti pada Gambar 3 akan menghasilkan matriks kekakuan dengan posisi koefisien matriks seperti pada Gambar 4. Pada Gambar 3 terlihat bahwa nomor node terkecil yang paling dekat dengan node 1 adalah node 1, sehingga letak koefisien matriks pada kolom satu akan dimulai daTibaris satu sampai dengan diagonal utarna. Hal ini tampak pada Gambar 4. Untuk node terkecil yang dekat dengan node 2 adalah node 1, sehingga letak koefisien matriks pada kolom dua dimulai pada baris dua sampai diagonal utama. Berikutnya node terkecil yang paling dekat dengan node 3 adalah node 2, sehingga pada kolom tiga letak koefisien matriks dimulai pada baris dua. Demikian pula untuk node 4, node
76
~ ~ ~
MetodeSkylineuntukMenyimpanMatriks KekakuanpadaPersoalanElemenHingga (Mike Susmikanti,Utaja, Arya)
terkecil yang terdekat dengannode 4 adalah node 3, berarti letak koefisien rnatrik pada kolom 4 dimulai pada bans tiga. Untuk nomor node terkecil yang paling dekat dengan nomor node 5 adalah nomor node 4, sehingga letak koefisien matriks pada kolom lima dimulai daTibans empat. Sedangkan untuk nomor node 6 yang terdekat adalah nomor node 1,berarti letak koefisien matriks pada kolom 6 dimulai pada baris 1. Hal ini berlaku sarnauntuk semua kolom pada matriks kekakuan tersebut dibawah ini. Penentuan posisi koefisien embedded seperti dijelaskan sebelumnya dalam matriks kekakuan diperoleh dengan memperhatikan tidak terdapatnya hubungan antara masing-rnasing node. Misalnya untuk nomor node 2 tidak terhubung dengan nomor node 4, sehingga posisi pada bans dua kolom empat terdapat koefisien embedded (Gambar 4). Demikian pula antara nomor node 3 clan nomor node 4 tidak terhubung, berarti posisi pada baris tiga kolom empat akan terdapat koefisien embedded. Pada posisi matriks kekakuan untuk bans tiga kolom 5 dijumpai koefisien embedded dikarenakan antara nomor node 3 clan node 5 tidak terhubung. Demikian selanjutnya untuk pengisian posisi koefisien matriks yang embeddedyang lain berlaku serupa.
Gambar 3. Pembagian elemen clanpenomoran node dengan bentuk susunan lain I
~
6
2
~
12
13
14
~:=~==~t:=i
15
=:+-
--
.'K~_""nrd ~ nrd,"'9_"""'(-) .'Koefisien'"
~
Gambar4 Posisi koefisien matriks kekakuansesuaidenganpenomorannode pada Gambar3
177
Risalahwkakarya KomputasidalamSainsclanTeknologiNuklir XIV, Juli 2003
Denganmetode skyline, susunannomor node sepertipada Gambar-3dengan matriks kekakuan yang tampak pada Gambar-4, diperoleh nilai-nilai JSTK(I), JDIAG(I) clanISTK(I) yang ditampilkanpadaTabel2. Tabel2. Hubungankolom masing-masingdenganvariabel JSTK(i), illIAG(i) clan ISTK(i) sesuaidenganpenomorannodepadaGambar3 Kolom 1
JSTK(I) 1
2
2 2 2 2
3 4
5 6 7
8
6 7 7
14
7 7 6 7 7 7
15
7
9 10
11 12 13
m~G(!2-~ 3 5 7
9
15 22 29 36
43 49
56 63 70 77
ISTK(I)
7 7 7
7 6 7
7 7 7 6 5 4
3 2 1
Dan Tabel 2, diperoleh jumlah kotak yang diperlukan untuk penyimpanan seluruhkoefisienmatriks kekakuanberjumlah77. (JDIAG(15)= 77). Terlihat bahwa jumlah kotak yang diperlukanuntuk penempatannomor node seperti pada Gambar 1 dibandingkan dengan Gambar 3, temyata lebih efisien penempatannyasepertipada Gambar1 denganjumlah kotak yang diperlukanhanya berjumlah66.
KESIMPULAN Denganmetodeskyline,jumlah koefisienmatriks yang disimpantemyatalebih sedikit dibandingkandenganjumlah koefisien semula dan proses penyelesaiannya akan menjadi lebih ringkas dan cepat. Selain itu metode skyline cocok digunakan untukmemprosespenyelesaianmatriks simetridan sparsdenganukuranyangbesar.
178
2.
MetodeSkylineuntukMenyimpanMatriks KekakuanpadaPersoalanElemenHingga (Mike Susmikanti,Utaja,Arya)
DAFTARPUSTAKA ROBERT D. COOK, "Conceptsand Applications of Finite ElementAnalysis' JohnWiley & Sons,Inc. (1974) UTAJA, "Metode RCM untuk Mencegah Timbulnya Matrib dengan Banded TidakBeraturanpada MetodeElemen Hingga", ProsidingLokakaryaKomputasi dalamSainsclanTeknologi Nuklir X, Jakarta(1999) 3
FRANK L. STASA, "Applied Finite Element Analysis for Engineers", CBS CollegePublishing(1985)
179
RisalahLokakaryaKomputasidalamSainsdan TeknologiNuklir XN, Juli 2003
DISKUSI
RUSTAMA 1. Penomoran node dalam arah yang berbeda menghasilkan jumlah koefisien matriks yang dihasilkan berbeda. Apakah ada "rules" untuk menetapkan arah penomoran yang paling optimal? 2. Apakah jumlah koefisien matriks yang banyak pada metode skyline dengan yang lebih sedikit, menunjukkan yang banyak itu lebih teliti?
MIKE SUSMIKANTI 1. Tidak acta suatu ketentuan yang pasti untuk menetapkan arab penomoran node yang paling optimal, tetapi berdasarkanpengalamandiusahakan bahwa nomOI node yang besar tidak diletakkan berdekatan dengan nomer node yang kecil. Sebenarnya acta suatu makalah yang ingin dikemukakan oleh bapak Vtaja, mengenai cara khusus untuk penomoran node tersebut. 2. Dalam matrik kekakuan sebenarnya yang perlu diperhatikan adalah nilainilai koefisien matriksnya yang kemungkinan memberikan ill condition (kondisi buruk) yang berpengaruh pacta proses penyelesaian nilai perpindahan .Pemecahan persoalan ini dapat diselesaikan secara numerik dengan LV dekomposisi.
RULIY ANTI PARDEWI 1. Yang menentukan matriks ukuran besar apakah dengan mengetahui jum1ah node saja ataujuga melihat derajat kebebasan? 2. Bagaimana mengetahui bahwa suatu persoalan elemen hingga untuk perhitungan matriknya dapat diselesaikandenganmetode skyline.
180
MetodeSkylineuntukMenyirnpanMatriks KekakuanpadaPersoalanElemenHingga (Mike Susmikanti,Utaja,Arya)
MIKE SUSMIKANTI 1. Untuk mengetahui sebelumnya, apakah suatumatriks kekakuan mempunyai ukuran yang besar tidak hanya dipengaruhi oleh faktor, banyaknya node tetapi juga oleh faktor derajat kebebasanatau arah pergerakan yang dialami benda tersebut. 2. Perhitungan matriks dalam persoalan elemen hingga dapat diselesaikan dengan metode skyline apabila matriks tersebutberukuran besar, menyebar, bandeddan simetri.
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
.S2
MagisterManajemen,STIEIGI
KeIja 6. Pengalaman
:
.StafPengolahan Data-BiroBina ProgramBATAN .Kasubbid Statistik-Pusat Pengembangan InformatikaBAT AN .Pranata Komputer-P2TIK BAT AN 7
OrganisasiProfesional
Home
: -
lRl
