METODE RCM UNTUK MENCEGAH TIMBULNYA MATRIKS DENGAN BANDED TIDAK BERATURAN PADA MEH Utaja*
ABSTRAK METODE RCM UNTUK MENCEGAH TIMBULNYA MATRIKS DENGAN BANDED TIDAK BERATURAN PADA MEH. Penyelesaian masalah teknik atau fisika dengan elemen hingga akan menghasilkan sejumlah persamaan linier yang biasanya dinyatakan dalam bentuk matriks. Matriks yang terbentuk ini bersifat sparse dan kerap kali bersifat banded yang tidak beraturan. Matriks sparse dengan banded tidak beraturan tidak dapat diselesaikan secara ekonomis, karena munculnya suffer fillin. Makalah ini akan menguraikan cara untuk mencegah timbulnya matriks sparse dengan banded tidak beraturan pada penyelesaian masalah dengan elemen hingga. Cara yang dipakai adalah melakukan penomoran ulang node dengan metode RCM (Reverse Cuthil McKee). Dengan cara ini matriks yang terbentuk akan bersifat sparse dengan banded beraturan sehingga dapat diselesaikan secara ekonomis. Dari ini dapat disimpulkan pemakaian metode RCM akan meningkatkan kemampuan metode elemen hingga dalam penyelesaian masalah teknik maupun fisika.
ABSTRACT THE RCM METHOD FOR PREVENTING AN EXISTENCE OF IRREGULARLY BANDED MATRIX ON THE FEM. The engineering or physical problem solutions by finite element method , will produce an amount of the liniear aquations which expressed as a matrix equation. This formed matrix is sparse and often irregularly banded. The sparse and irregularly banded matrix can’t be solved economically. This paper describes on the method for preventing an existence of the sparse and irregularly banded matrix on the problem solving by the finite element method. The method used is nodes renumbering by the RCM method. With this method the formed matrix will be sparse and regularly banded, so that it can be solved economically. From this result it can be concluded that the RCM application will improve the finite element method on engineering or physical problem solving.
PENDAHULUAN Penyelesaian masalah dengan metode elemen hingga dilakukan dengan membagi daerah yang dianalisis menjadi sejumlah elemen dan sejumlah node. Penomoran node umumnya didasarkan pada urutan yang mudah diikuti secara geometri, masal ke arah mendatar atau ke arah tegak. Tetapi urutan penomoran ini kerap kali mengakibatkan terbentuknya matriks sparse dengan banded tidak beraturan *
Pusat Pengembangan Perangkat Nuklir - BATAN
saat proses pengolahan data. Matriks sparse dengan banded tidak beraturan, tidak dapat diselesaikan secara ekonomis, sehingga mengurangi kemampuan metode elemen hingga dalam penyelesaian persoalan. Cara untuk mengatasi masalah ini pada paket program berbasis elemen hingga yang ada, tidak dapat diketahui karena paket program umumnya berbentuk program execute. Untuk mencegah terbentuknya matriks dengan banded tidak beraturan, dilakukan penomoran ulang node dengan metode RCM. sebelum dilakukan proses analisis. Dengan penomoran ulang node ini, matriks yang terbentuk selama proses analisis akan bersifat banded beraturan. Tetapi urutan nomor node baru ini tidak mudah diikuti secara geometri. Untuk itu setelah proses analisis selesai, nomor node dikembalikan seperti urutan semula sebelum proses penomoran ulang. Dengan cara ini, matriks yang terbentuk selama proses penyelesaian persoalan dengan elemen hingga diharapkan bersifat sparse dengan banded beraturan, sehingga dapat diselesaikan secara ekonomis.
MATRIKS SPARSE DAN BANDED PADA ELEMEN HINGGA Matriks yang terbentuk selama proses penyelesaian masalah dengan elemen hingga bersifat simetri dan sparse. Pengertian sparse adalah bahwa koefisien matriks yang bukan nol hanya berada sekitar diagonal utama. Selain bersifat sparse, matriks juga bersifat banded, yang dinyatakan dengan : βi (A) = i - fi(A)
(1)
βi (A) = harga banded pada suatu kolom I = kolom fi(A) = nomor baris dari koefisien awal yang bukan nol pada kolom i Selain itu diperlukan pula indeks Ci(A) yang dinyatakan dengan : Ci(A) = gi(A) – I Ci(A) = indek suatu baris gi(A) = nomor kolom dari koefisien akhir bukan nol pada baris i Untuk menjelaskan ini dapat dilihat Gambar 1a, 1b dan Tabel 1
(2)
3
6
9
12
2
5
8
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
= koefisien bukan nol 1
4
7
10
Gambar 1a. Pembagian bidang Menjadi elemen
Gambar 1b. Posisi koefisien matriks
Tabel 1. Harga banded matriks pada Gambar 1b i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fi(A) 1 1 2 1 1 2 4 4 5 7 7 8
βi(A) 0 1 1 3 4 4 3 4 4 3 4 4
Ci(A) 4 4 3 4 4 3 4 4 3 1 1 0
Gambar 1a, adalah pembagian bidang (domain) menjadi elemen dan node. Gambar 1b menyatakan posisi koefisien matriks simetri, sparse dan banded yang terbentuk dari Gambar 1a., tetapi hanya digambarkan setengah bagian (atas) saja ditambah koefisien pada diagonal utama. Pada Tabel 1 dinyatakan harga i, fi(A), βi(A) dan Ci(A). Kecuali pada kolom 1,2 dan 3, harga βi(A) berkisar di 3 dan 4. Banded βi(A) pada Tabel 1 termasuk beraturan. Bila urutan penomoran node diubah menjadi Gambar 2a, maka posisi koefisien matriks akan menjadi seperti Gambar 2b. Harga banded dinyatakan dengan Tabel 2 Dari Tabel 2 tampak bahwa bended berkisar dari 2 sampai 8. Banded βi(A) pada Tabel
2 termasuk banded tidak beraturan. Suatu banded dinyatakan beraturan bila memenuhi kriteria berikut. 2
4
6
8
1
3
5
7
9
10
11
12
1
2 3 4
5 6 7
8
9
10 11 12
= koefisien bukan nol
Gambar 2a. Pembagian elemen dengan urutan node berbeda
Gambar 2b. Posisi koefisien matriks
Tabel 2. Harga banded dari Gambar 2b i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fi(A) 1 1 1 1 3 3 5 5 1 3 5 7
βi(A) 0 1 2 3 2 3 2 3 8 7 6 5
Ci(A) 8 2 7 2 6 2 5 0 1 1 1 0
Jumlah banded tabel 2 sebesar 42 Jumlah banded {Σ βi(A)} tabel 2 sebesar 42 ( i – n) < Ci(n)
(3)
untuk: fi(A) <= n < i I = nomor kolom N = nomor baris Apabila kriteria pada persamaan (3) tidak dipenuhi, maka matriks bersifat banded tidak beraturan dan pada baris ke n kolom ke i akan timbul suffer fillin yang mempersulit penyelesaian matriks. Bila Tabel 1 diperiksa dengan kriteria pada persamaan (3), maka akan terbukti semua kondisi akan memenuhi kriteria. Untuk Tabel 2 ada beberapa posisi di mana kriteria pada persamaan (3) tidak dipenuhi misal pada baris ke 2 kolom ke 4 dan kolom ke 9.
METODE RCM Untuk mengatasi timbulnya matriks sparse dengan banded tidak beraturan pada penyelesaian persoalan dengan elemen hingga, dilakukan penomoran ulang dengan metode RCM. Metode RCM meliputi dua algoritma yaitu : 1. algoritma penentuan node start 2. algoritma penentuan urutan node
Algoritma Penentuan Node start a. Dicari node yang mempunyai relasi dengan node lain paling sedikit (umumnya lebih dari satu node). Node relasi adalah node yang terletak pada elemen yang sama); b. node dengan relasi paling sedikit, merupakan node awal pencarian; c. dilakukan penomoran node lain, dimulai dari node awal dengan metode Cuthil McKee; d. dari proses ditentukan banyaknya langkah sampai seluruh node selesai diproses; e. proses b sampai d diulang untuk seluruh node awal (bila lebih dari satu); f. dipilih node awal yang mempunyai langkah paling banyak sebagai node start.
Algoritma Penentuan Urutan Node a. dengan node start yang didapat pada algoritma pertama, ditentukan node relasi langkah pertama; b. node start diberi nomor urut pertama;
c. diambil node pada relasi pertama dan pada node tersebut diberi nomor urut berikutnya; d. ditentukan node relasi dari node pada c yang belum disebutkan pada a, sebagai relasi langkah berikutnya; e. langkah c diulang untuk node berikutnya (bila lebih dari satu node); f. ditentukan node relasi dari node pada e yang belum disebutkan pada a dan pada d sebagai relasi langkah berikutnya lagi; g. lakukan proses e dan d sehingga seluruh node pada relasi langkah pertama selesai diproses; h. langkah c sampai g diulang untuk relasi langkah ke dua dan seterusnya, sampai seluruh node telah mempunyai urutan i. dilakukan pembalikan urutan node yang didapat pada proses a sampai h. misal urutan node :Xn Maka nomor urut node yang baru :
n = 1,2,3…., nomor urut terbesar
Yi = Xn-i + 1
(4)
Harga Yi inilah yang dipakai sebagai nomor urut node selama proses. Proses 2a sampai dengan 2h) dikenal sebagai metode Cuthil McKee, sedangkan proses 2i adalah proses pembalikan nomor urut. Proses keseluruhan dikenal sebagai metode Reverse Cuthil McKee (RCM).
HASIL DAN BAHASAN Untuk melihat hasil metode RCM, akan ditinjau 2 kasus geometri dengan pembagian elemen dan urutan nodenya. Kasus pertama dapat dilihat pada gambar 2a dan kasus ke 2 Gambar 4a.
Kasus 1 ( Gambar 2a) Dengan mengambil node start 12, penentuan urutan node dapat diikuti pada Tabel 3 berikut.
Tabel 3. Penentuan Urutan Node dengan RCM Nomor Urut Xn 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Nomor Node Mula-mula 12 7 11 5 8 10 3 6 9 1 4 2
Relasi
Yi = Xn-1+1
7,11 5,8 10 3,6 9 1,4 2 -
12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
Penempatan nomor node dan keadaan banded dapat dilihat pada gambar 3a dan gambar 3b serta Tabel 4. 1
2
3
6
5
9
8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
11 = korfisien bukan nol
4
7
10
12
Gambar 3a. Nomor Node Menurut RCM
Gambar 3b. Posisi Koefisien Matriks dari gambar 3a.
Tabel 4. Harga banded Gambar 3b i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
fi(a) 1 1 1 3 1 1 4 5 5 7 8 10
βi(A) 0 1 2 1 3 4 3 3 3 3 3 2
Ci(A) 2 4 3 3 4 3 3 3 3 2 1 1
Jumlah banded Tabel 4 sebesar 28
Kasus 2 Kasus 2 berupa geometri lingkaran berlubang seperti Gambar 4a. 2 1
16 15 13
14
11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 3 5
9
12
6 = koefisien bukan nol
7 8
10 Gambar 4a. Pembagian Elemen Dan Node
Gambar 4b. Posisi Koefisien Matriks
Tabel 5. Harga banded Gambar 4b i 1 2 3 4 5 6 7 8 9
fi(A) 1 1 1 1 3 3 5 5 7
βi(A) 0 1 2 3 2 3 2 3 2
Ci(A) 14 14 3 2 3 2 3 2 3
i 10 11 12 13 14 15 16
fi(A) 7 9 9 11 11 1 2
βi(A) 3 2 3 2 3 14 14
Ci(A) 2 3 2 3 2 1 1
Jumlah banded Tabel 5 sebesar 59. Dengan mengambil node start 1, penentuan urutan node dan posisi koefisien matriks dapat dilihat pada Gambar 5b, sedang banded dapat dilihat pada Tabel 6. 15 11
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13
12 16 14 7
8 4
10 2 6
3
9 = koefisien bukan nol 5
1 Gambar 5a. Urutan Node Baru
Gambar 5b. Posisi Koefisien Matriks dari gambar 5a
Tabel 6. Harga banded Gambar 5b i 1 2 3 4 5 6 7 8
fi(A) 1 1 1 2 1 1 3 4
βi(A) 0 1 2 2 4 5 4 4
Ci(A) 5 4 4 4 5 4 4 4
i 9 10 11 12 13 14 15 16
fi(A) 5 5 7 8 9 9 11 12
βi(A) 4 5 4 4 4 5 4 4
Ci(A) 5 4 4 4 3 2 1 0
Jumlah banded Tabel 6 sebesar 56. Pada kasus pertama terlihat, bahwa dengan penomoran ulang, urutan node gambar 2a berubah menjadi gambar 3a dengan koefisien matriks pada gambar 3b. Sedangkan urutan node gambar 4a akan berubah menjadi gambar 5a. Posisi koesien matriks yang semula gambar 4b, berubah menjadi seperti gambar 5b. Secara geometri, urutan node pada gambar 3a lebih sulit dari pada gambar 2a, dan gambar 5a lebih sulit dari pada gambar 4a. Tetapi harga banded dari gambar 3b yang diterakan pada Tabel 4, memenuhi kriteria persamaan (3). Demikian pula banded dari gambar 5b memenuhi kriteria persamaan (3). Ini berarti gambar 4b dan 5b adalah matriks dengan banded beraturan. Jumlah banded pada Tabel 4 lebih kecil dari banded Tabel 2, banded Tabel 6 lebih kecil dari banded Tabel 5. Sedangkan jumlah banded adalah ukuran banyaknya koefisien yang akan diproses. Agar pembacaan node tetap mudah dilakukan, maka penomoran node dikembalikan lagi pada urutan yang beraturan secara geometri.
KESIMPULAN. Penomoran ulang node dengan metode RCM saat proses analisis pada penyelesaian persoalan dengan elemen hingga, akan menjamin terbentuknya matriks sparse dengan banded beraturan. Karena matriks sparse dengan banded beraturan dapat diselesaikan secara ekonomis, maka berarti metode RCM akan memperbaiki sifat unggul metode elemen hingga dalam penyelesaian masalah teknik dan fisika.
UCAPAN TERIMA KASIH. Kami sampaikan terima kasih kepada KPTF P2PN BATAN yang telah ikut menyempurnakan makalah kami ini.
DAFTAR PUSTAKA. 1. JOSEP W-H.LIU, Computer Solution Of Large Sparse Positive Definite System, Prentice Hall Inc., New Jersey, USA (1981) 2. FRANK L.STASA, Applied Finite ElementAnalysis for Engineers, CBS College Publishing, New York, USA (1985) 3. TIRUPATHI CHANDRAPATLA at all, Introduction to Finite Element in Engineering, Prentice Hall, New Jersey, USA (1991)
DISKUSI
ELFRIDA SARAGI Bagaimana bila dimulai dari node 2, apakah sama dengan node 12? Karena metode RCM adalah melakukan penomoran ulang node.
UTAJA Nomor nodenya berbeda, tetapi tingkat ekonomis penyelesaiannya akan sama.
MOCH. SONHAJI Mohon diberi contoh nyata suatu permasalahan teknik ataupun fisika yang dikatakan sebagai matriks sparse? Kemudian apakah metode RCM itu membuat matriks sparse menjadi matriks beraturan, atau maksudnya mencari elemen/matriks yang hanya beraturan saja?
UTAJA Matriks sparse timbul pada penyelesaian masalah perpindahan panas (distribusi suhu), stress analysis, flow analysis, rangka batang dengan metode elemen hingga. Matriks ini kerapkali bersifat bounded tidak beraturan, yang tidak mudah diselesaikan secara ekonomis. Metode RCM akan melakukan penomoran ulang pada node sehingga matriksnya akan bersifat bounded beraturan yang dapat diselesaikan secara ekonomis.
SUGIHARTO Dapatkah diberikan contoh aplikasi metode RCM dan apa arti fisis dari data distribusi pada matriks?
UTAJA Metode RCM dipakai pada program komputer berbasis elemen hingga, untuk menyelesaikan distribusi suhu, stress analysis, stress pada rangka batang, dan flow analysis. Koefisien matriks tidak mempunyai sifat fisis, hanya pada stress analysis, matriks menggambarkan sifat kekakuan bahan.
DAFTAR RIWAYAT HIDUP
1. Nama
: UTAYA
2. Tempat/Tanggal Lahir
: Wates, 28 Nopember 1946
3. Instansi
: P2PN - BATAN
4. Pekerjaan / Jabatan
: Ka. Sub. Bidang
5. Riwayat Pendidikan
: (setelah SMA sampai sekarang)
•
FT-UGM, Jurusan Teknik Mesin (1983)
6. Pengalaman Kerja
(S1)
: - Kepala kelompok maintenanace/pengembangan sistem sampling reaktor - Kepala divisi mekanik III pada team RPI-10.
7. Organisasi Professional
HOME
:
KOMPUTASI DALAM SAIN DAN TEKNOLOGI NUKLIR X
