BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA
BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA Zulkarnain1, M. Imran2 1.2
Laboratorium Matematika Terapan FMIPA Universitas Riau, Pekanbaru e-mail :
[email protected] ABSTRACT
Some iterative methods having third-order derivative for solving nonlinear equations are discussed. We compare every iterative method by looking at the basin of attraction for each method. Keywords: nonlinear equation, iterative method, basin of attraction. kompleks. Berbagai metode iterasi yang ada tersebut biasanya diklasifikasikan berdasarkan orde konvergensi atau indeks efisiensi. Salah satu cara lain untuk mengklasifikasikan metode iterasi adalah dengan melihat basin attraktornya seperti yang dilakukan pada [1,2]. Cara ini juga dapat digunakan untuk melihat sensitifitas metode iterasi terhadap tebakan awal.
PENDAHULUAN Mencari solusi persamaan non-linear yang secara rumusan matematika ditulis sebagai (1) π π₯ =0 sering muncul dalam berbagai bidang seperti fisika, kimia, kelistrikan, ekonomi, dan lain sebagainya. Berbagai penelitian telah dilakukan untuk mencari solusi persamaan (1), ada yang berupa metode analitik dan ada pula yang berbentuk metode numerik. Keterbatasan metode analitik yang dapat ditemukan membuka peluang yang besar untuk mengembangkan riset matematika dibidang metode numerik berupa metode iterasi yang memberikan solusi hampiran sampai ketelitian tertentu. Berbagai metode iterasi telah ditemukan dan dikembangkan dalam beberapa waktu terakhir ini. Pengembangan metode ini pada umumnya masih terfokus pada penemuan metode dan belum melihat bagaimana kelakuan solusi untuk berbagai tebakan awal, terutama untuk tebakan awal berupa titik pada bidang π₯π+1
π π₯π 1 πβ²β² π₯π = π₯π β β πβ² π₯π 2 πβ² π₯π
π π₯π πβ² π₯π
METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA Ada empat metode iterasi dalam menyelesaikan persamaan nonlinear yang dibahas pada makalah ini. Metode pertama adalah metode yang dikemukakan oleh Abbasbandy (AM) [3] dengan persamaan iterasi π₯π+1 = π₯π β π½ β
π½ 2 πβ²β² π₯π π½ 3 πβ²β²β² π₯π β , 2πβ² π₯π 6πβ² π₯π
dimana π½=
π π₯π . πβ² π₯π
Metode kedua adalah metode Germani (GM) yang dikemukakan oleh Germani [4] dengan persamaan iterasi 2
1 πβ²β² π₯π β 2 πβ² π₯π
2
1 πβ²β²β² π₯π β 6 πβ² π₯π
π π₯π πβ² π₯π
3
.
Jurnal Ilmiah Edu Research Vol. 3 No. 1 Juni 2014 31
BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA
π (π ) π₯π πΌπ = , π = 1,2,3. ππβ² π₯π
Metode ketiga adalah Power Series Method (PSM) yang dikemukakan oleh M. Imran [5] dengan persamaan iterasi 3
π₯π+1 = π₯π β
πΌπ π =1
π π₯π πβ² π₯π
π
.
dimana π₯π+1 = π₯π β
Metode keempat adalah metode yang dikemukakan oleh He (HM) [6] dengan persamaan iterasi
πβ²β²β² π₯π πβ²3 π₯π β 3πβ²β²2 π₯π πβ²2 π₯π π 3 π₯π π π₯π πβ²β² π₯π π 2 π₯π β + . πβ² π₯π 2πβ²3 π₯π 2πβ²7 π₯π
Setiap metode iterasi ini memerlukan perhitungan fungsi sampai turunan ketiga. Power Series Method dan metode Germani mempu-nyai orde konvergensi empat, sementara metode Abbasbandy mem-punyai orde konvergensi hampir super kubik sementara metode He mempunnyai orde konvergensi tiga. BASIN ATTRAKTOR Empat metode iterasi di atas digunakan untuk mencari hampiran akar dari persamaan nonlinear berikut ini :
π1 = π₯ 3 β π₯ + 3 π2 = π₯ 3 β 3π₯ 2 + 2π₯ + 0.4 π3 = π₯ 7 + 2π₯ 5 + 3π₯ 3 + π₯ 2 + π₯ + 1
π4 π5 π6 π7
= sin π₯ 2 β π₯ 2 + 1 = π₯ π₯ β 3 β 4 sin2 π₯ = sin π₯ β 0.5 = π₯3 β 1
Proses iterasi dilakukan untuk tebakan awal titik pada bidang kompleks yang diwakili oleh setiap titik grid pada segi empat β2,2 Γ β2,2 yang dibagi menjadi grid berukuran 400 Γ 400. Proses iterasi akan berhenti jika π₯π+1 β π₯π<10β15 atau ππ₯π+1<10β15 dengan iterasi mak-simum adalah 10. Hasil perbandingan setiap metode dapat dilihat pada Tabel 1.
Tabel 1. Hasil perhitungan metode AM, GM, PSM, dan HM. Jumlah Rata-rata Metode iterasi iterasi 961401 5.98 π1 1013518 6.30 π2 1128589 7.02 π3 1136304 7.07 π4 AM 1018604 6.33 π5 958185 5.96 π6 937733 5.83 π7 950976 5.92 π1 919154 5.72 π2 1056896 6.57 π3 1139348 7.09 GM π4 971113 6.04 π5 893175 5.56 π6 887605 5.52 π7 956450 5.95 π1 986888 6.14 π2 1124463 6.99 π3 PSM 1132030 7.04 π4 1031005 6.41 π5
% Titik divergen 16.46 9.61 20.11 37.54 17.03 15.36 14.47 21.03 9.11 20.93 44.01 21.24 19.99 15.71 19.15 8.78 22.32 40.18 19.87
Jurnal Ilmiah Edu Research Vol. 3 No. 1 Juni 2014 32
BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA
HM
π6 π7 π1 π2 π3 π4 π5 π6 π7
996399 924890 1089165 1022270 1190104 1280612 1148150 1087812 1068621
6.20 5.75 6.77 6.36 7.40 7.96 7.14 6.76 6.65
17.77 15.12 27.76 15.63 33.46 56.21 35.03 29.20 27.71
Untuk melihat dinamik empat metode iterasi ini, perhatikan plot basin attraktor berikut. Gambar 1. Basin attraktor π1 = π₯ 3 β π₯ + 3 (a) AM (b) GM (c) PSM (d) HM
(a)
(b)
(c)
(d)
Jurnal Ilmiah Edu Research Vol. 3 No. 1 Juni 2014 33
BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 2. Basin attraktor π2 = π₯ 3 β 3π₯ 2 + 2π₯ + 0.4 (a) AM (b) GM (c) PSM (d) HM
(a)
(b)
Jurnal Ilmiah Edu Research Vol. 3 No. 1 Juni 2014 34
BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA
(c)
(d)
Gambar 3. Basin attraktor π6 = sin π₯ β 0.5 (a) AM (b) GM (c) PSM (d) HM
(a)
(b)
(c)
(d)
Gambar 4. Basin attraktor π7 = π₯ 3 β 1 (a) AM (b) GM (c) PSM (d) HM Pada
iterasi
jumlah iterasi dibagi jumlah total titik pada
yang
grid, sementara persentase titik divergen
diperlukan jika metode iterasi diterapkan
adalah persentase titik dari semua titik pada
untuk tebakan awal semua titik pada grid
grid yang memerlukan 10 iterasi pada saat
menyatakan
Tabel total
1, banyak
jumlah iterasi
β2,2 Γ β2,2 . Rata-rata iterasi merupakan
proses iterasi dilakukan.
Jurnal Ilmiah Edu Research Vol. 3 No. 1 Juni 2014 35
BEBERAPA METODE ITERASI DENGAN TURUNAN KETIGA UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN NONLINEAR BESERTA DINAMIKNYA
Warna pada gambar basin attraktor
Untuk membandingkan metode mana
menunjukkan banyak iterasi yang diperlukan
yang lebih baik, dapat dilihat dari luas daerah
oleh titik yang bersesuaian pada saat titik
yang berwarna merah. Semakin sedikit, maka
tersebut menjadi tebakan awal untuk proses
metode tersebut semakin baik. Pada Gambar
iterasi. Sebagai contoh perhatikan Gambar
3, terlihat bahwa luas daerah berwarna merah
1(a), titik pada koordinat (1,1) mempunyai
mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar
warna
berturut-turut adalah Gambar (a), (c), (b), dan
biru
yang
berdasarkan
skala
menyatakan nilai 2. Ini berarti bahwa titik
(d).
1 + π sebagai tebakan awal memerlukan 3 iterasi untuk konvergen dengan menggunakan
KESIMPULAN Empat metode iterasi dibandingkan
metode Abbasbandy (AM). Sementara itu, (β1,1.5)
bilangan
dengan melihat plot basin attraktornya. Dari
kompleks β1 + 1.5π memerlukan 10 iterasi
plot tersebut, terlihat bahwa secara umum
sehingga titik tersebut berwarna merah. Dari
metode PSM lebih baik dari metode Germani.
Gambar 1 terlihat jelas bahwa metode He
Tetapi metode Abbasbandy lebih baik dari
merupakan metode yang menghasilkan titik
kedua metode tersebut. Sementara metode He
divergen terbanyak. Hal ini terlihat dari
merupakan metode terburuk karena selalu
banyaknya gambar daerah berwarna merah.
menghasilkan titik divergen terbanyak. Hasil
Selanjutnya perhatikan Gambar 2, jelas
ini juga dapat menggambarkan bahwa metode
bahwa
titik
yang
metode
menghasilkan
mewakili
He
persentase
(HM)
kembali
iterasi sangat sensitif terhadap tebakan awal.
titik
divergen
Untuk titik tebakan awal yang berdekatan saja
terbanyak, terlihat dari luas daerah berwarna
dapat
merah pada Gambar 2(d).
konvergen atau divergen.
DAFTAR PUSTAKA
[4]
[1]
[2]
[3]
H. Susanto, N. Karjanto. 2009. Newtonβs methodβs basin of attraction revisited. Applied Mathematics and Computation 215 : 1084-1090. M. Scott, B. Neta, C. Chun. 2011. Basin attarctorβs for various methods. Applied Mathematics and Computation 218 : 2584-2599. S. Abbasbandy. 2003. Improving Newton-Raphson method for nonlinear equation by modified Adomian decomposition method. Appl. Math. Comput 145 : 887-893.
[5]
[6]
menghasilkan proses
iterasi yang
A. Germani, C. Manes, P. Palumbo, M. Sciandrone. Higher-Order Method for the Solution of a Nonlinear Scalar Equation. Journal of Optimization Theory and Applications 131 : 347-364. M. Imran. 2014. An Iterative Method of Order Four Based on Power Series for Solving a Nonlinear Equation. Applied Mathematical Sciences 8 : 1739-1746 J. H. He. 2007. Variational iteration method β Some recent results and new interpretations. Journal of Computational and Applied Mathematics 207 : 3 β 17.
Jurnal Ilmiah Edu Research Vol. 3 No. 1 Juni 2014 36
