METODE ITERASI VARIASIONAL HE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR Istawi Arwannur
1∗
, Endang Lily2
1
Mahasiswa Program Studi S1 Matematika 2 Dosen Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia ∗
[email protected]
ABSTRACT This article discusses the application of He’s variational iteration method to solve a nonlinear Volterra-Fredholm integral equation. The application process begins by converting the equation to be solved to an equivalent of integro-differential equations, followed by forming a correction functions of He’s variational iteration method for the integro-differential equation. Then the iteration is performed to obtain the solution of the nonlinear Volterra-Fredholm integral equation. The theoretical study is applied to two examples of the nonlinear Volterra-Fredholm integral equation and the results obtained demonstrate the effectiveness of the discussed method. Keywords: variational iteration method, Volterra integral equations, Fredholm integral equations, nonlinear Volterra-Fredholm integral equations. ABSTRAK Artikel ini mendiskusikan penerapan metode iterasi variasional He untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Proses penerapan dimulai dengan mengkonversi persamaan yang akan diselesaikan ke persamaan integrodiferensial yang ekuivalen, kemudian dilanjutkan dengan membentuk fungsi koreksi metode iterasi variasional He untuk persamaan integro-diferensial tersebut. Dari fungsi iterasi ini dilakukan iterasi untuk mendapatkan penyelesaian persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Kajian teoritis ini diterapkan untuk dua contoh persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear dan hasil yang diperoleh menunjukkan keefektifan metode yang didiskusikan. Kata kunci: metode iterasi variasional, persamaan integral Volterra, persamaan integral Fredholm, persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear.
Repository FMIPA
1
1. PENDAHULUAN Banyak sekali masalah terapan matematika yang digunakan dalam ilmu pengetahuan, misalnya dalam ilmu teknik, fisika, ekonomi, kimia, dan sosial. Salah satu permasalahan yang muncul adalah dalam bentuk persamaan integral. Secara umum, terdapat dua jenis persamaan integral yaitu persamaan integral Volterra yang batas integrasinya berupa variabel dan persamaan integral Fredholm yang batas integrasinya berupa konstanta. Selain itu dikenal juga persamaan integral Volterra-Fredholm yang merupakan gabungan dari persamaan integral Volterra dan Fredholm. Persamaan integral yang akan dibahas dalam artikel ini adalah persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Terdapat beberapa metode secara numerik yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral, diantaranya metode adomian, metode wavelet Legendre, metode kolokasi, dan metode iterasi variasional yang telah dijelaskan pada [1, 2, 4, 7]. Pada artikel ini penulis akan menggunakan metode iterasi variasional He untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear. Metode iterasi variasional hanya dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan integral, jika persamaan integral tersebut dikonversi terlebih dahulu ke persamaan integrodiferensial yang ekuivalen. Oleh kerena itu, untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear, persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear harus dikonversi terlebih dahulu ke persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm nonlinear yang ekuivalen. Artikel ini merupakan review dari artikel yang ditulis oleh S.A. Yousefi, A. Lotfi, Mehdi Deghan [6] yang berjudul ”He’s Variational Iteration Method for Solving Nonlinear Mixed Volterra-Fredholm Integral Equations”. Pembahasan dimulai di bagian dua dengan menjelaskan metode iterasi variasional He. Selanjutnya di bagian tiga dibahas tentang metode iterasi variasional He untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear, kemudian di bagian empat membandingkan solusi numerik dengan solusi eksak dari beberapa contoh . 2. METODE ITERASI VARIASIONAL HE Pada bagian ini dibahas bentuk umum metode iterasi variasional [5, h.82-85]. Metode iterasi variasional adalah metode yang baru dikembangkan yang terbukti efektif dan dapat diandalkan untuk tujuan analitis dan numerik. Metode iterasi variasional (MIV) dioptimalkan oleh Ji-Huan He yang sekarang digunakan untuk menangani berbagai macam persamaan linear dan nonlinear, homogen dan nonhomogen. Metode ini memberikan aproksimasi yang cepat konvergen ke solusi eksak jika solusi eksaknya ada. Pandang persamaan diferensial L(u(t)) + N (u(t)) = g(x),
(1)
dengan L adalah operator linear, N adalah operator nonlinear, dan g(x) fungsi analitik yang diketahui. Metode iterasi variasional memberikan fungsi koreksi untuk Repository FMIPA
2
persamaan (1) dalam bentuk
∫
x
λ(ξ)(L(un (ξ)) + N (˜ un (ξ)) − g(ξ))dξ,
un+1 (x) = un (x) + 0
dengan λ(ξ) adalah pengali Lagrange, u˜n (ξ) adalah variasi terbatas [3] yang berarti akan diperlakukan sebagai konstanta, sehingga δ˜ un (ξ) = 0, dimana δ adalah turunan variasional. 3. METODE ITERASI VARIASIONAL HE UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN INTEGRAL VOLTERRA-FREDHOLM NONLINEAR Pandang persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear ∫ y∫ u(x, y) = f (x, y) + G(x, y, s, t, u(s, t))dsdt, (x, y) ∈ [0, y] × Ω, 0
(2)
Ω
dengan u(x, y) adalah fungsi yang tidak diketahui, fungsi f (x, y) dan G(x, y, s, t, u) analitik di D = Ω × [0, T ], dan Ω adalah subset tertutup dari (Rn , n = 1, 2, 3). Bentuk lain dari persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear diberikan sebagai berikut ∫ x ∫ 1 y(x) = f (x) + λ1 K1 (x, t)F (y(x))dt + λ2 K2 (x, t)G(y(x))dt, 0 ≤ x, t ≤ 1, 0
0
(3) dimana f (x) dan kernel K1 (x, t) dan K2 (x, t) diasumsikan terdapat di dalam L (R) pada interval 0 ≤ x, t ≤ 1. Misalkan pada persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear (2) diberikan Ω = [0, 1]. Untuk mendapatkan solusi persamaan (2) dengan menggunakan metode iterasi variasional He, maka persamaan integral (2) harus dikonversi terlebih dahulu ke persamaan integro-diferensial yang ekuivalen. Persamaan integral VolterraFredholm nonlinear (2) diturunkan terhadap y, sehingga diperoleh ∫ 1 ∂u(x, y) ∂f (x, y) = + G(x, y, s, y, un (s, y))ds ∂y ∂y 0 ∫ y∫ 1 ∂G(x, y, s, t, u(s, t)) + dsdt. (4) ∂y 0 0 2
Selanjutnya, persamaan integro-diferensial (4) akan diselesaikan dengan menggunakan metode iterasi variasional , sehingga didapat rangkaian iterasi yang disebut fungsi koreksi sebagai berikut ∫ y ( ∂un (x, τ ) ∂f (x, τ ) − un+1 (x, y) = un (x, y) + λ ∂τ ∂τ 0 ∫ 1 − G(x, τ, s, τ, un (s, τ ))ds 0 ) ∫ τ∫ 1 ∂G(x, τ, s, t, un (s, t)) − dsdt dτ. (5) ∂τ 0 0 Repository FMIPA
3
Untuk mengoptimalkan fungsi koreksi (5) maka akan ditentukan pengali Lagrange (λ) yang optimal. Pengali Lagrange (λ) dapat diperoleh dengan cara memberi batasan terhadap operator nonlinear N , sehingga persamaan (5) menjadi ∫ y ( ∂un (x, τ ) ∂f (x, τ ) un+1 (x, y) = un (x, y) + λ − ∂τ ∂τ 0 ∫ 1 − G(x, τ, s, τ, u˜n (s, τ ))ds 0 ) ∫ τ∫ 1 ∂G(x, τ, s, t, u˜n (s, t)) − dsdt dτ, (6) ∂τ 0 0 dimana u˜n adalah variasi tebatas dan δ˜ un = 0. Kemudian fungsi koreksi (6) diturunkan terhadap un , sehingga didapat (∫ y ) δ δun+1 ∂un (x, τ ) =1+ λ dτ , δun δun ∂τ 0 atau ekuivalen dengan
(∫ δun+1 = δun + δ
y
λu′n dτ
) .
(7)
0
Dengan menyelesaikan integral pada persamaan (7) diperoleh ∫ y δun+1 =δun (1 + λ(τ )|τ =y ) − λ′ δun dτ. 0
Kondisi ekstrimum dari un+1 mangharuskan bahwa δun+1 = 0, sehingga diperoleh ∫ y δun (1 + λ(τ )|τ =y ) − λ′ δun dτ = 0. (8) 0
Dari persamaan (8) didapat kondisi stasioner sebagai berikut 1 + λ(τ )|τ =y = 0, λ′ (τ )|τ =y = 0,
(9)
sehingga dari persamaan (9) didapat λ = −1.
(10)
Selanjutnya, λ = −1 disubstitusikan ke persamaan (5), sehingga didapat formula iterasi sebagai berikut ∫ y( ∂un (x, τ ) ∂f (x, τ ) − un+1 (x, y) = un (x, y) − ∂τ ∂τ 0 ∫ 1 − G(x, τ, s, τ, un (s, τ ))ds 0 ) ∫ τ∫ 1 ∂G(x, τ, s, t, un (s, t)) − dsdt dτ. ∂τ 0 0 Repository FMIPA
4
Untuk menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm (3) dengan menggunakan metode iterasi variasional He, maka persamaan integral (3) harus dikonversi terlebih dahulu ke persamaan integro-diferensial yang ekuivalen. Untuk mengkonversi persamaan integral Volterra-Fredholm (3) ke persamaan integro-diferensial, maka persamaan integral Volterra-Fredholm (3) diturunkan terhadap x, sehingga didapat persamaan integro-diferensial Volterra-Fredholm sebagai berikut ∫ x df (x) ∂K1 (x, t) ′ y (x) = + λ1 K1 (x, x)F (y(x)) + λ1 F (y(t))dt dx ∂x 0 ∫ 1 ∂K2 (x, t) + λ2 G(y(t))dt. (11) ∂x 0 Metode iterasi variasional memberikan fungsi koreksi untuk persamaan integrodiferensial (11), yang diberikan sebagai berikut ∫ x ( ∫ s ∂K1 (s, t) ′ F (yn (t))dt yn+1 = yn + λ yn (s) − λ1 K1 (s, s)F (yn (s)) − λ1 ∂s 0 0 ) ∫ 1 df (s) ∂K2 (s, t) − λ2 G(yn (t))dt − ds. (12) ∂s ds 0 Untuk menentukan pengali Lagrange (λ) yang optimal, maka bagian nonlinear pada persamaan (12) harus diberi batasan dengan cara mengganti yn dengan y˜n , dimana y˜n adalah variasi terbatas yang mengakibatkan δ y˜n = 0, sehingga diperoleh ( ∫ s ∂K1 (s, t) ′ = yn + λ yn (s) − λ1 K1 (s, s)F (˜ yn (s)) − λ1 F (˜ yn (t))dt ∂s 0 0 ) ∫ 1 df (s) ∂K2 (s, t) − λ2 G(˜ yn (t))dt − ds. (13) ∂s ds 0 ∫
yn+1
x
Selanjutnya, fungsi koreksi (13) diturunkan terhadap yn , sehingga didapat ) (∫ x δyn+1 δ ′ =1 + λyn (s)ds , δyn δyn 0 atau ekuivalen dengan (∫ δyn+1 = δyn + δ
x
λyn′ ds
) .
(14)
0
Selanjutnya integral pada persamaan (14) diselesaikan, sehingga diperoleh ∫ x δyn+1 =δyn (1 + λ|s=x ) − λ′ δyn ds.
(15)
0
Persamaan (15) memberikan kondisi stasioner sebagai berikut 1 + λ(s)|s=x = 0, λ′ (s)|s=x = 0, Repository FMIPA
(16) 5
sehingga dari persamaan (16) diperoleh λ = −1. Selanjutnya λ = −1 disubstitusikan ke persamaan (12), sehingga didapat formula iterasi sebagai berikut ∫ x( ∫ s ∂K1 (s, t) ′ yn+1 = yn − yn (s) − λ1 K1 (s, s)F (yn (s)) − λ1 F (yn (t))dt ∂s 0 0 ) ∫ 1 ∂K2 (s, t) df (s) − λ2 G(yn (t))dt − ds. ∂s ds 0 4. CONTOH NUMERIK Pada bagian ini diaplikasikan metode iterasi variasional pada dua buah contoh untuk memperlihatkan efisiensi solusi numerik menggunakan metode iterasi variasional. 3.1 Contoh 1 Diberikan persamaan integral campuran Volterra-Fredholm nonlinear sebagai berikut ∫ y∫ 1 1 4 u(x, y) = xy − y + (17) t(u(s, t))2 dsdt, 0 ≤ y ≤ 1, u(x, 0) = 0. 12 0 0 Solusi eksak dari persamaan ini adalah u(x, y) = xy. Persamaan integral (17) akan diselesaikan menggunakan metode iterasi variasional He. Sebelum menggunakan metode iterasi variasional He, konversi terlebih dahulu persamaan integral (17) kebentuk persamaan integro-diferensial, sehingga didapat ∫ 1 ∂u(x, y) 1 3 =x − y + y(u(s, y))2 ds. (18) ∂y 3 0 Metode iterasi variasional He memberikan fungsi koreksi untuk persamaan integrodiferensial (18) sebagai berikut ) ∫ y( ∫ 1 ∂un (x, τ ) 1 3 2 un+1 (x, y) = un (x, y) − −τ (un (s, τ )) ds + τ − x dτ. (19) ∂τ 3 0 0 Misalkan u0 (x, y) = 0, dengan mengunakan formula iterasi (19) didapat solusi hampiran dari u(x, y). Setelah dilakukan beberapa iterasi dengan menggunakan aplikasi Maple 13 didapat solusi hampiran dari u(x, y) sebagai berikut u0 (x, y) =0, 1 4 y , 12 1 1 1 u2 (x, y) =xy + y 0 − y7, 1440 84 1 1 10 1 u3 (x, y) =xy − y + 118720y 13 + y 16 − y 19 + 145619200y 22 , 840 112896 1149120 u1 (x, y) =xy −
Repository FMIPA
6
dan seterusnya. Grafik solusi eksak u(x, y) dan solusi hampiran u6 (x, y) diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1: Grafik solusi eksak (hijau) dan solusi hampiran (merah) Contoh 1.
3.1 Contoh 2 Diberikan persamaan integral Volterra-Fredholm nonlinear sebagai berikut ∫ x ∫ 1 5 5 1 6 1 4 2 2 (x − t)(y(t)) dt + (x + t)y(t)dt, y(x) = − x + x − x + x − + 30 3 3 4 0 0 (20) dimana solusi eksaknya adalah y(x) = x2 − 2 dan y(0) = −2. Untuk menyelesaikan persamaan integral (20), maka persamaan integral (20) akan dikonversi kepersamaan integro-diferensial yang ekuivalen. Oleh karena itu, persamaan integral (20) diturunkan terhadap x, sehingga didapat persamaan integro-diferensial sebagai berikut ∫ x ∫ 1 5 1 5 4 3 2 ′ (y(t)) dt + y(t)dt. (21) y (x) = − x + x − 2x + + 5 3 3 0 0 Fungsi koreksi untuk persamaan integro-diferensial (21) adalah sebagai berikut ∫ s ∫ 1 ∫ x( 2 ′ (yn (t)) dt − yn (t)dt yn+1 (x) = yn (x) − yn (s) − 0 0 0 ) 1 5 4 3 5 ds. (22) + s − s + 2s − 5 3 3 Misalkan y0 (x) = −2, dengan menggunakan formula iterasi (22), persamaan integro-diferensial (21) akan diselesaikan, sehingga akan didapat solusi hampiran
Repository FMIPA
7
untuk y(x). Berikut adalah beberapa solusi hampiran untuk y(x) yang didapat dengan mengunakan aplikasi Maple 13 berdasarkan formula iterasi (22) y0 (x) = −2, 1 1 1 y1 (x) = x2 − 2 − x − x6 + x4 , 3 30 3 2 1 4 1 2 1 7 1 11 y2 (x) = x2 − 2 − x + x3 + x − x5 − x6 − x + x8 105 9 108 30 45 189 70 1 1 1 + 13240x9 + x10 − x12 + x14 , 2025 5940 163800 dan seterusnya. Solusi eksak y(x) dan solusi hampiran y5 (x) diberikan pada Gambar 2.
y(x)
y5 (x)
Gambar 2: Grafik solusi eksak (hijau) dan solusi hampiran (merah) Contoh 2.
Dari contoh yang telah dikerjakan terlihat bahwa metode iterasi variasional sangat baik dalam menyelesaikan persamaan integral Volterra-Fredholm. Hanya dengan beberapa iterasi sudah didapat nilai aproksimasi yang mendekati nilai eksak. Hal ini telah memperlihatkan efisiensi solusi numerik dengan menggunakan metode iterasi variasional. Ucapan Terimakasih Penulis mengucapkan terimakasih kepada Ibu Dr. Leli Deswita, M.Si. yang telah meluangkan waktu, pikiran, dan tenaga dalam memberikan bimbingan, arahan, dan nasehat dalam membimbing penulis menyelesaikan artikel ini.
Repository FMIPA
8
DAFTAR PUSTAKA [1] Brunner, H. 1990. On The Numerical Solution of Nonlinear Volterra-Fredholm Integral Equations by Collocation Methods. SIAM Journal on Numerical Analysis, 27: 987–1000. [2] He, J.H. 1999. Variational Iteration Method – A Kind of Non-linear Analytical Technique: Some Examples. International Journal of Non-Linear Mechanics, 37: 699–708. [3] He, J.H. 2007. Variational iteration method – Some recent results and new interpretations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 207: 3–17. [4] Maleknejad, K. & M. Hadizadeh. 1999. A New Computational Method for Volterra-Fredholm Integral Equations. Computers and Mathematics with Applications, 37: 1–8. [5] Wazwaz, A. M. 2011. Linear and Nonlinear Integral Equations: Methods and Applications, Springer, Berlin. [6] Yousefi, S.A. & A. Lotfi, Mehdi Deghan. 2009. He’s Variational Iteration Method for Solving Nonlinear Mixed Volterra-Fredholm Integral Equations. Computers and Mathematics with Applications, 58: 2172–2176. [7] Yousefi, S. & M. Razzaghi. 2005. Legendre Wavelets Method for The Nonlinear VolterraFredholm Integral Equations. Mathematics and Computers in Simulation, 70: 1–8
Repository FMIPA
9
