Turunan Pertama
tan
Turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah:
ya
Jika f(x) = xn, maka f ‟(x) = nxn-1, dengan n ∈ R Jika f(x) = axn, maka f ‟(x) = anxn-1, dengan a konstan dan n ∈ R Rumus turunan fungsi aljabar: Jika y = c maka y‟= 0 Jika y = u + v, maka y' = u' + v' Jika y = u - v, maka y' = u' - v' Jika y = k u, maka y' = k u' Jika y = u v, maka y' = u'v + uv'
-ta
Jika y = , maka y‟ = Jika y = un, maka y' = n un-1 Jika y = f(u), maka y‟ = f ‟(u).u‟ Jika y = (g o h)(x) = g(h(x)), maka y‟ = g‟(h(x)).h‟(x) Jika y = In x, maka y ‟=
Turunan Fungsi Trigonometri
ny
Jika y = sin x, maka y‟= cos x Jika y = cos x, maka y‟ = -sin x Jika y = tan x, maka y‟= sec2x Jika y = cot x , maka y‟= -cosec2x Jika y = sec x , maka y‟ = sec x tan x Jika y = cosec x , maka y‟ =-cosec x cot x
a.c
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Persamaan Garis Singgung
Jika kurva y = f(x), maka gradien garis singgung kurva tersebut di x = a adalah:
om
Persamaan garis singgung dari kurva y = f(x) melalui (x1, y1) adalah: (y – y1) = m(x – x1) atau (y – y1) = f „(x1) (x – x1)
Fungsi Naik Turun Fungsi dikatakan naik jika f‟ (x) > 0 Fungsi dikatakan turun jika f‟ (x) < 0
Stasioner Fungsi f(x) dikatakan stasioner jika f ’ (x) = 0 Jenis titik stasioner ada 3 yaitu:
tan
a. titik balik maksimum, jika f “(x) < 0 b. titik balik minimum, jika f ”(x) > 0 c. titik belok horizontal, jika f “(x) = 0
Turunan Kedua
ya
Turunan kedua dari suatu fungsi y = f(x) adalah turunan dari turunan pertama dan diberi lambang:
-ta
CONTOH SOAL & PEMBAHASAN Soal No.1 (SBMPTN 2014 )
Diketahui f(0)=1 dan f‟(0)=2. Jika g(x) = -12 -6 6 8 12
PEMBAHASAN :
a.c
ny
A. B. C. D. E.
, maka g‟(0)=…
g(x)= =(2(f(x) - 1)-3 g'(x)=(-3)(2(f(x) - 1)-4.(2)(f '(x)) = (-6)(f '(x))(2(f(0)- 1)-4 g' (0)=(-6)(f' (0))(2(f(0) - 1)-4 = (-6)(2)(2(1) - 1)-4 = -12 Jawaban : A Soal No.2 (UN 2007)
A. B. C. D.
adalah f ‟(x) =...
om
Turunan pertama dari f (x) =
E. PEMBAHASAN
:
tan ya
Jawaban : E
Soal No.3 (SNMPTN 2011 IPA)
f(0) = 1 f‟(-1) tidak ada f turun pada x > 0 f(x) diskontinu di titik x =-1 f(x) kontinu di titik x=5
om
a.c
ny
A. B. C. D. E.
-ta
Diketahui Pernyataan berikut semua benar, kecuali…
PEMBAHASAN
:
Turunan pertama dari y =
B. C. D.
adalah y‟ =...
om
A.
a.c
Soal No.4 (UN 2008)
ny
-ta
ya
tan Jawaban : A
E. PEMBAHASAN
:
ny
-ta
ya
tan Jawaban : B
Soal No.5 (SNMPTN 2012) Grafik fungsi f(x)= ax3 – x2 + cx + 12 naik jika… b2 – 4ac < 0 dan a ˃ 0 b2 – 4ac < 0 dan a ˂ 0 b2 – 3ac > 0 dan a ˂ 0 b2 – 3ac < 0 dan a˃ 0 b2 – 3ac < 0 dan a˂ 0
PEMBAHASAN : Jika f(x) = ax3 – x2 + cx + 12, maka f‟(x) = 3ax2 – 2bx + c fungsi f(x) akan naik jika: f‟(x) > 0 3ax2 – 2bx + c > 0 Agar fungsi bernilai positif :
koefisien x2 > 0 3a > 0 a>0
D<0 (-2b)2 – 4(3a)(c) < 0
om
a.c
A. B. C. D. E.
4b2 – 12ac < 0 b2 – 3ac < 0 Jawaban : D
tan
Soal No.6 (UN 2008) Di ketahui f(x) = ‟(0) = ... -10 -9 -7 -5 -3
ya
A. B. C. D. E.
. Jika f(x) menyatakan turunan pertama f(x) maka f(0) + 2 f
PEMBAHASAN
:
om
a.c
ny
-ta Jawaban : B
Soal No.7 (SNMPTN 2011) Kolam berenang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. keliling kolam renang sama dengan a satuan panjang. Agar luas luas kolam renang maksimum maka x =… satuan panjang.
B. C. D.
om
a.c
ny
-ta
E.
ya
tan A.
PEMBAHASAN
:
a.c
ny
-ta
ya
tan Jawaban : E
Soal No.8 (EBTANAS 1998) Turunan pertama fungsi f(x) = e(3x+5) + In (2x+7) adalah ...
B. C. D.
om
A.
E. PEMBAHASAN
:
tan Jawaban : D
-6 -4 -2 2 4
-ta
A. B. C. D. E.
ya
Soal No.9 (SBMPTN 2014 ) Jika m dan n bilangan real dan fungsi f(x) =mx3 + 2x2 – nx + 5 memenuhi f‟(1) = f‟(5) = 0 , maka 3m-n =…
ny
PEMBAHASAN : Jika f(x) = mx3 + 2x2 – nx + 5 maka f ‟(x) = 3mx2 + 4x - n Diketahui f(1) = 0 3m(1)2 + 4(1) – n = 0 3m – n = -4 Jawaban : B Soal No.10 (UN 2003) Fungsi f(x) = x3 + 3x2 - 9x – 7 turun pada interval .... 1<x<3 -1 < x < 3 -3 < x < 1 x < -3 atau x > 1 x < -3 atau x > 3
om
PEMBAHASAN : Jika f(x) = x3 - 3x2 - 9x – 7 maka f „(x) = 3x2 + 6x -9 Fungsi akan turun jika f „(x) < 0, maka: 3x2 + 6x -9 < 0 x2+ + 2x – 3 < 0 (x+3)(x-1) < 0
a.c
A. B. C. D. E.
Maka fungsi f(x) turun saat -3 < x < 1 Jawaban : C Soal No.11 (SNMPTN 2009)
tan
Jika (a,b) adalah titik minimum grafik fungsi f(x) = 7 b2 adalah … A. B. C. D. E.
maka nilai a2 +
4 5 8 10 13
:
ny
Jawaban : A
-ta
ya
PEMBAHASAN
Soal No.12 (EBTANAS 2001) Nilai minimum fungsi f(x) =
B. C. D. E. 1
om
a.c
A. -1
x3 + x2 – 3x + 1 pada intrerval 0 ≤ x ≤ 3 adalah .....
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : B
Soal No.13 (SIMAK UI 2009) Diberikan grafik fungsi f(x)=x+
Fungsi naik pada himpunan {x ∈R|x ˂ 0 atau x ˃2} Fungsi turun pada himpunan {x ∈R|˂ 0 x ˃2} Terjadi minimum lokal di titik (2,3) Terjadi maksimum lokal di titik (0,0)
om
a.c
ny
1. 2. 3. 4.
, x≠0 maka ….
PEMBAHASAN
:
Soal No.14 (UN 2014)
ny
-ta
ya
tan Jawaban : A
Diketahui fungsi g(x)= x3 – A2x + 7, A konstanta. Jika f(x)= g(2x + 1) dan f turun
A. B. C. 2
E.
, nilai minimum relatif g adalah …
om
D.
≤x≤
a.c
pada
PEMBAHASAN
:
Soal No.15 (SIMAK UI 2009) Diketahui A. 0 B.
D. E. 5 PEMBAHASAN :
= 2y-3 maka nilai maksimum dari 3xy + 6x –3 adalah ….
om
C.
a.c
ny
-ta
ya
tan Jawaban : B
ny
-ta
ya
tan Jawaban : D
100 250 500 1250 5000
om
A. B. C. D. E.
a.c
Soal No.16 (UN 2013) Diketahui dua bilangan bulat p dan q yang memenuhi hubungan q – 2p = 50. Nilai minimum dari p2 + q2 adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui: q – 2p = 50 q = 50 + 2p Jika dimisalkan, x = p2 + q2 x = p2 + (50+2p)2 = p2+ 2500 + 200p + 4p2 = 5p2 + 200p+ 2500 Menentukan nilai minimum x‟ = 0
10p + 200 = 0 p= -20 q = 50 + 2(-20) = 10 Maka, p2 + q2 = (-20)2 + (10)2 = 500 Jawaban : C
tan
Soal No.17 (UM UGM 2013) Jika kurva y = (x2-a) (2x+b)3 turun pada interval -1 < x < -3 -2 1 2 3
ya
A. B. C. D. E.
maka nilai ab =…
PEMBAHASAN
:
Soal No.18 (UN 2009) Garis l menyinggung kurva y = 3 garis l dengan sumbu x adalah …
om
a.c
ny
-ta Jawaban : D
di titik yang berabsis 4. Titik potong
A. B. C. D. E.
(-12,0) (-4,0) (4,0) (6,0) (12,0)
tan
PEMBAHASAN
:
-ta
ya Jawaban : B
Soal No.19 (SBMPTN 2013)
A.
-1 ≤ x ≤ -1 ≤ x ≤ 1 -1 ≤ x ≤ 0 0≤x≤1
x2-3x+ . Jika g(x) = f(2x-1) maka g turun pada selang…
om
a.c
B. C. D. E.
≤x≤1
x3-
ny
Diketahui f(x) =
PEMBAHASAN
:
ny
-ta
ya
tan Jawaban : E
A. B. C. D. E.
Rp. 149.000,00 Rp. 249.000,00 Rp. 391.000,00 Rp. 609.000,00 Rp. 757.000,00
om
a.c
Soal No.20 (UN 2011) Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya total sebesar (9.000 + 1.000x + 10x2) rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan terjual habis dengan harga Rp5.000 untuk satu produknya maka laba maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …
PEMBAHASAN : Diketahui: Jumlah produk = x produk Biaya B(x) =(9.000 +1.000 +10x2) Harga jual H(x)= 5.000x Fungsi laba : L(x)=H(x) – B(x) L(x) = 5.000x – (9.000 +1.000 +10x2) = -10x2 + 4.000x – 9000 Menentukan laba maksimum
L (x) = 0 -20x + 4000 = 0 x = 200 L(200) = -10(200)2 + 4000 (200) – 9000 = 391.000 Jawaban : C
tan
Soal No.21 (UM UGM 2010) Diketahui f(x) = g(x 12 16 20 24 28
ya
A. B. C. D. E.
) Jika f ‟(3) = 6 maka g‟(-1)=…
PEMBAHASAN
:
ny
-ta Jawaban : D
m
B.
m
C.
m
D.
m
E.
m
om
A.
a.c
Soal No.22 (UN 2009) Sebuah bak air tanpa tutup berbentuk tabung. Jumlah luas selimut dan alas bak air adalah 28 m2. Volume akan maksimum jika jari-jari alas sama dengan …
PEMBAHASAN
:
-ta
ya
tan Jawaban : D
Soal No.23 (UN 2007) Perhatikan gambar!
ny
A. B.
E.
om
C. D. (3,2)
a.c
Luas daerah yang diarsir pada gambar, akan mencapai maksimum jika koordinat titik B adalah....
PEMBAHASAN
:
tan ya
Jawaban : C
Soal No.24 (UN 2008) Sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya berbentuk persegi, mempunyai volume 4 m3 terbuat dari selembar karton. Agar karton yang diperlukan sedikit mungkin maka ukuran panjang, lebar, dan tinggi kotak berturut-turut adalah....
-ta
A. B. C. D. E.
2 m, 1 m, 2 m 2 m, 2m, 1 m 1 m, 2 m, 2 m 4 m, 1 m, 1 m 1 m, 1 m, 4 m
om
a.c
ny
PEMBAHASAN
:
ny
-ta
ya
tan Jawaban : B
dirumuskan dengan h(t) = - t3 + peluru tersebut adalah.... 26 18 16 14 12
t2 + 2t + 10 maka tinggi maksimum yang dicapai
om
A. B. C. D. E.
a.c
Soal No.25 (UN 2003) Sebuah peluru ditembakkan vertikal ke atas. Jika tinggi h meter setelah t detik
PEMBAHASAN
:
ya
tan Jawaban : C
3 cm 4 cm 6 cm 9 cm 12 cm
om
a.c
A. B. C. D. E.
ny
-ta
Soal No.26 (UN 2013) Sebuah kotak tanpa tutup tampak seperti pada gambar mempunyai volume 108 cm 3. Agar luas permukaan kotak maksimum maka nilai x adalah....
PEMBAHASAN
:
ya
tan Jawaban : C
om
a.c
ny
-ta
