DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

TURUNAN / DIFERENSIAL

TURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.1 Devinisi Turunan (Derivatif) Turunan fungsi f adalah f ’ yang nilainya pada bilangan x dan didefinisikan oleh : f ' ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) h

untuk semua x dengan limit tersebut ada. TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Contoh

Andaikan f ( x )  13 x  6 cari f ‘ (4) ? Penyelesaian : f ' (4)  lim h 0

 lim h 0

f ( 4  h )  f ( 4) [13(4  h)  6]  [13(4)  6]  lim h h h 0

13h  lim13  13 h h 0 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Keterdiferensial Menunjukkan

Kekontinuan Teorema A Jika f ‘(c) ada, maka f kontinu di c


Bukti  Kita perlu menunjukkan

lim f ( x) 

f (c )

h 0

f ( x )  f (c ) f ( x )  f (c )  ( x  c ), xc

xc TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Karenanya lim x c

f ( x )  f (c )   f ( x )  lim  f (c )  ( x  c ) xc  h c 

 lim f (c)  lim x c

x c

f ( x )  f (c ) ( x  c) lim xc x c

 f (c)  f ' (c).0  f (c)


Persamaan f’(x) didefinisikan oleh aturan

f(x+ x)-f(x) f '(x)=lixm0 x y =lixm0 x Karena y = f(x) maka persamaan itu dapat pula dinyatakan dalam bentuk: TURUNAN DAN DIFERENSIAL

f f '(x)=lixm0 x Bentuk-bentuk

f lixm0 serta lixm0 x

Lazim dinotosikan dengan

df yang dx

disebut dengan notasi leibniz

y x

Jadi untuk menyatakan turunan suatu fungsi f(x) = y dapat digunakan notasi-notasi berikut:

df f '(x) atau dx Notasi

dfdapat juga ditafsirkan sebagai: dx

dy df d d y) = (f ) dan ( = dx dx dx dx

dimana

d dx

menyatakan operasi turunan

dy terhadap x. Jadi dibaca turunan dari y dx terhadap x dan

df dibaca turunan f terhadap dx

x Jadi apabila ada persamaan

dy adalah 2X dx

2

x +1, maka

4.2 Aturan Pencarian Turunan Proses pencarian turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan, yakni dengan menyusun hasil bagi selisih dan menghitung limitnya.

f ( x  h)  f ( x ) h TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema A  (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f’(x)=0

D(k )  0


 Bukti

f ' ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) k k  lim  lim 0  0 h h h 0 h 0


Teorema B  (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x)=x maka untuk sembarang x, f’(x)=1

D(k )  1


 Bukti

f ' ( x)  lim h 0

f ( x  h)  f ( x ) xhx h  lim  lim  1 h h h 0 h 0 h


Teorema C  (Aturan Pangkat)

Jika. f ( x )  x n, dengan n bilangan bulat positif,

maka f ' ( x)  nx n1

n

D( x )  nx


n 1

 Bukti f ' ( x)  lim h0

f ( x  h)  f ( x ) ( x  h) n  x n  lim h h h 0 x n  nx n 1 h 

 lim h 0

n( n  1) n  2 2 x h  ...  nxh n 1  h n  x n 2 h

n(n  1) n  2   h nx n 1 h  x h  ...  nxh n  2  h n 1  2   lim  h h 0 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Di dalam kurung siku , semua suku kecuali yang pertama mempunyai h sebagai faktor,sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila h mendekati nol, jadi n1

f ' ( x)  nx Ilustrasi Teorema C 3

D( x )  3x

2


Teorema D  (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdefinisikan, maka (kf )' ( x)  k. f ' ( x)

D[k. f ( x)]  k.Df ( x)


 Bukti

Andaikan F ( x)  k . f ( x ), maka F ( x)  lim h 0

F ( x  h)  F ( x) k . f ' ( x  h)  k . f ( x)  lim h h h 0

f ( x  h)  f ( x) f ( x  h)  f ( x )  lim k  k . lim h h h 0 h 0

 k. f ' ( x) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema E  (Aturan Jumlah)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ( f  g)'( x)  f ( x)  g( x)

D[ f ( x)  g( x)]  Df ( x)  Dg( x)


 Bukti

Andaikan F ( x)  f ( x) / g ( x), maka [ f ( x  h)  g( x  h)  [ f ( x)  g( x)] F ( x)  lim h h0 

lim h 0

 lim h 0

 f ( x  h)  f ( x) g ( x  h)  g ( x)     h h  

f ( x  h)  f ( x) g ( x  h)  g ( x)  lim h h h 0

 f ' ( x)  g ' ( x ) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Teorema F  (Aturan Selisih)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ( f  g)'( x)  f ( x)  g( x)

D[ f ( x)  g( x)]  Df ( x)  Dg( x)


 Bukti

D[ f ( x)  g ( x)]  D[ f ( x)  (1) g ( x)]

 Df ( x)  D[(1) g ( x)]  Df ( x)  (1) Dg ( x)  Df ( x)  Dg ( x) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Contoh 2

2

D(5 x  7 x  6)  D(5 x  7 x)  D(6)  D(5x2 )  D(7 x)  D(6)  5D( x2 )  7D( x)  D(6)

 5.2 x  7.1  0  10 x  7


Teorema G  (Aturan Perkalian)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan, maka ( f * g)' ( x)  f ( x) g ( x)  g ( x) f ' ( x)

D[ f (x)g(x)]  f (x)Dg(x)  g(x)Df (x)


 Contoh 2 4 ( 3 x  5 )( 2 x  x) cari turunan dari

D[(3x2  5)(2x4  x)]  (3x2  5)D(2x4  x)  (2x4  x)D(3x2  5)  (3x 2  5)(8 x 3  1)  (2 x 4  x)(6 x)  24 x 5  3 x 2  40 x 3  5  12 x 5  6 x 2  36 x 5  40 x 3  9 x 2  5


Teorema H  (Aturan Hasilbagi)

Jika f dan g fungsi yang terdeferensialkan dengan g ( x )  0, maka '

f g ( x) f ' ( x)  f ( x) g ' ( x)   ( x)  2 g g ( x)  

Yaitu, f ( x) g ( x) Df ( x)  f ( x) Dg ( x) D  g ( x) g 2 ( x) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Contoh 1

Cari turunan dari (3x2  5)

( x  7)

 (3 x  5)  ( x 2  7) D(3x  5)  (3 x  5) D( x 2  7) D 2  2 2 ( x  7 ) ( x  7 )  

( x2  7)(3)  (3x  5)(2x)  ( x2  7)2  3x 2  10x  21  ( x 2  7) 2 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Contoh 2

Buktikan aturan Pangkat berlaku untuk pngkat integral negatif; yaitu D ( x  n )   nx  n 1

Penyelesaian  1 D ( x )  D n x n

n n 1  nx n 1  x .0  1.nx  n 1     nx  2n 2n x x 


4.3 Turunan Sinus dan Kosinus  Fungsi f(x)=sin(x)dan g(x)=cos(x) keduanya dapat didiferensialkan.

D(sin x)  cos x D(cosx)   sin x


 Contoh

Cari D(3sin x  2 cos x) Penyelesaian

D(3sin x  2 cos x)  3D(sin x)  2D(cosx)

 3 cos x  2 sin x


 Pembuktian Dua Pernyataan Limit

sin t  1 lim t t 0 1  cos t  0 lim t t 0


 Contoh

1  cos t   .....? lim sin t t 0 1  cos t 1  cos t 0 t   lim   0 lim sin t sin t 1 t 0 t 0 t


4.4 Aturan Rantai  (Aturan Rantai).Andaikan y=f(u) dan u=g(x)

menentukan fungsi komposit y  f ( g ( x))  ( f  g )( x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u=g(x), maka f  g terdiferensialkan di x dan

( f  g )'( x)  f ' ( g( x))g' ( x) yakni,

Dx y  Du yDx u TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Contoh

Jika y  ( 2 x 2  4 x  1) 60 , cari Dx y Penyelesaian : kita pikirkan ini sebagai y  u 60 dan u  2 x 2  4 x  1 Jadi,

Dx y  Du y.Dxu  (60u 59 )(4 x  4) 2

59

 60(2 x  4 x  1) (4 x  4) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.5 Turunan Tingkat Tinggi  Operasi pendiferensialan mengambil sebuah

fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi baru f ‘. Jika f ‘ kita diferensialkan menghasilkan fungsi lain dinyatakan oleh f ‘’ dan disebut turunan kedua dari f, dan seterusnya.


 Contoh

f ( x)  2 x 3  4 x 2  7 x  8 maka : f ' ( x)  6 x 2  8 x  7 f ' ' ( x )  12 x  8 f ' ' ' ( x)  12 f "" ( x )  0 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

4.6 Diferensial Terdefinisi  Andaikan y=f(x) terdiferensialkan di x dan

andaikan bahwa dx, diferensilkan dari peubah bebas x, menyatakan pertambahan sembarang dari x. Diferensil yang bersesuaian dengan dy dari peubah tak bebas y didefinisikan oleh :

dy  f ' ( x)dx TURUNAN DAN DIFERENSIAL

 Aturan Pangkat

Andaikan r bilangan rasional sembarang, maka

r

D x ( x )  rx

r 1


 Contoh

Cari dy jika y  x 3  3x  1

2

dy  (3 x  3)dx


Rumus turunan


RUMUS-RUMUS TURUNAN


TRIGONOMETRI



Soal ke-1 2

1

Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah …. A. 3x B. 6x

2

2

C. 9x

E. 12x 2

D. 10x


Pembahasan

f(x)

2

= 3x + 4

1

f (x) = 6x


Jawaban soal ke-1 2

1

Jika f(x) = 3x + 4 maka nilai f (x) yang mungkin adalah …. A. 3x B. 6x

2

2

C. 9x

E. 12x 2

D. 10x


Soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah … A. x2 – 8x + 5 2

B. 2x – 24x – 2

D. 6x2 + 24x + 8 2

E. 6x + 24x – 8

2

C. 2x + 24x – 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan

f(x) 1

3

3

= 2x + 12x – 8x + 4 2

f (x) = 6x + 24x – 8


Jawaban soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah … A. x2 – 8x + 5 2

B. 2x – 24x – 2

D. 6x2 + 24x + 8 2

E. 6x + 24x – 8

2

C. 2x + 24x – 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah … A. 24x + 5

D. 12x – 5

B. 24x – 5

E. 12x – 10

C. 12x + 5


Pembahasan f(x) 1

= (3x-2)(4x+1) 2

f (x) = 12x + 3x – 8x – 2 f(x)

2

= 12x – 5x – 2

1

f (x) = 24x – 5 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) Adalah … A. 24x + 5

D. 12x – 5

B. 24x – 5

E. 12x – 10

C. 12x + 5


Soal ke- 4 2 6 -1 Nilai f (x) dari f(x) x  2x adalah... 3 1

A. 2x5 2x

D. 4x5  2x- 1

5

-1

5

-1

B. 2x  2x

5

-2

E. 4x  2x

C. 4x  2x


Pembahasan 2 6 1 f(x)  x  2x 3 2 6 -1 1 1 1 f (x)  6. x  2 (-1).x 3

1 5 2 f (x)  4x - 2x TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 4 2 6 -1 Nilai f (x) dari f(x) x  2x adalah... 3 1

5

A. 2x  2x 5

5

-1

5

-2

D. 4x  2x -1

B. 2x  2x

E. 4x  2x

C. 4x5  2x- 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 5

6

Turunan ke - 1 dari y  x  3 adalah ... A. 3 x B. 3x

2

C. 3 x  2 2

D. 3x  3


E. 3 x  1

Pembahasan 6

y x 3 yx

6

2

3

3

yx 3 1

y  3x

2


Jawaban Soal ke- 5

6

Turunan ke - 1 dari y  x  3 adalah ... A. 3 x 2

B. 3x

C. 3 x  2 2

D. 3x  3


E. 3 x  1

Soal ke- 6 Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah … A. 12x2 – 3x + 12

D. 24x2 – 12x + 6

B. 12x2 – 6x – 3

E. 24x2 – 24x + 6

C. 12x2 – 6x + 3


Pembahasan f(x)

= (2x – 1)3

f1(x) = 3(2x – 1)2 (2) f1(x) = 6(2x – 1)2 f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1) f1(x) = 6(4x2 – 4x+1) f1(x) = 24x2 – 24x + 6


Jawaban Soal ke- 6

Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah … A. 12x2 – 3x + 12

D. 24x2 – 12x + 6

B. 12x2 – 6x – 3

E. 24x2 – 24x + 6

C. 12x2 – 6x + 3


Soal ke- 7

Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah … A. 20x3 – 20x

D. 5x4 – 10x2 + 1

B. 100x3 – 10x

E. 25x4 – 10x2 + 1

C. 100x3 – 20x


Pembahasan f(x)

= (5x2 – 1)3

f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x) 1

2

f (x) = 20x (5x – 1) f1(x) = 100x3 – 20x


Jawaban Soal ke- 7 Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah … A. 20x3 – 20x

D. 5x4 – 10x2 + 1

B. 100x3 – 10x

E. 25x4 – 10x2 + 1

C. 100x3 – 20x


Soal ke- 8 2

Turunan pertamadari f(x) 4x 3x adalah... 3 2 A.( x-4) (2x 8) D.(4x- ) (4x2  3x)2 3 2 B.(2-4x)(2x  3) 3 3 C.(4x- ) (4x2 - 3x)3 2

1 3 E.(4x  ) (4x2 - 3x) 2

2


Pembahasan f(x) 

4x 2  3x

1 f(x)  (4x 2  3x) 2 1  1 f1 (x)   (4x 2  3x) 2 (8x  3) 2 1  3 f1 (x)  (4x  )(4x 2  3x) 2 2 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 8 Turunanpertamadarif(x) 4x2  3x adalah... 2 A. ( x - 4) (2x  8) 3 2 B. ( - 4x)(2x  3) 3 3 C. (4x- ) (4x2 - 3x)3 2

3 D. (4x- ) (4x2  3x)2 2 1 3 2 E. (4x  ) (4x - 3x) 2

2


Soal ke- 9 Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) adalah … 2

2

A. 3x – 12

D. 9x – 12

B. 6x2 – 12

E. 9x2 + 12

2

C. 6x + 12 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan f(x)

= (3x2 – 6x) (x + 2)

Cara 1: Misal : U

= 3x2 – 6x

U1 = 6x – 6 V =x+2 V1 = 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan Sehingga: f1(x) = (6x – 6)(x+2)+(3x2+6x).1 1

2

1

2

2

f (x) = 6x +12x – 6x – 12+3x – 6x f (x) = 9x – 12


Pembahasan f(x)

2

= (3x – 6x) (x + 2)

Cara 2: 1

-3

1

2

2

3

f (x) = 3x +6x – 6x – 12x f (x) = 9x +12x –12x – 12 f1(x) = 9x2 – 12


Jawaban Soal ke- 9 Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) adalah … 2

2

A. 3x – 12

D. 9x – 12

B. 6x2 – 12

E. 9x2 + 12

2

C. 6x + 12 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 10 (3x  2) Turunanpertamadari f(x)  adalah... 4x - 1 A.16x2 - 8x  1 2

B. 16x  8x  1

D. 24x2 - 8x - 1 E.

- 11 2

16x - 8x  1 2

C. 24x - 8x - 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan 3x  2 f(x)  4x - 1 Misal : U  3x  2 1 U 3

V  4x - 1 V1  4 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan Maka : 1

f (x)  1

f (x) 

1

1

U V - UV V

2

3(4x  1)  (3x  2)4 (4x  1) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

2

Pembahasan 1

f (x)  1

f (x) 

12x  3  12x  8 2

16x  8x  1  11 2

16x  8x  1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 10 (3x  2) Turunan pertama dari f(x)  adalah ... 4x - 1 A. 16x 2 - 8x  1 2

B. 16x  8x  1

D. 24x 2 - 8x - 1 - 11

E.

2

16x - 8x  1 2

C. 24x - 8x - 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 11 2 Diketahuif(x)  3x - 4x  6 1 Jika f (x)  4. Nilai yang mungkinadalah ... 5 A. 3 4 B. 3

1 E. 3

C.1 2 D. 3


Pembahasan f(x)

2

= 3x – 4x + 6

f1(x) = 6x – 4  Jika f1(x) =

4


Pembahasan Maka : 4  6x  4 4  4  6x 8  6x 6x  8 8 x 6 4 x 3 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 11 2 Diketahuif(x)  3x - 4x  6 Jikaf1(x)  4.Nilai yangmungkinadalah ... 5 1 A. C.1 E. 3 3 4 2 B. D. 3 3 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 12 Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2) Adalah …. A. -29

D. -7

B. -27

E. 7

C. -17


Pembahasan f(x)

= 5x2 – 3x + 7

f1(x)

= 10x – 3

Maka untuk f1(-2) adalah… f1(-2) = 10(-2)+3 f1(-2) = -20+3 f1(-2) = -17


Jawaban Soal ke- 12 Diketahui f(x) = 5x2+3x+7. Nilai f1(-2) Adalah …. A. -29

D. -7

B. -27

E. 7

C. -17


Soal ke- 13 3 2 Diketahuif(x)  2x - 4x  5x  16 1 1  Nilai f   adalah ... 2 A. - 6

C. 0

B. - 3

D. 3


E. 6

Pembahasan 3

2

f(x)  2x - 6x  5x - 16 "

2

f (x)  6x - 12x  5 "

f (x)  12x - 12 " 1 

Maka untuk f   adalah... 2 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan " 1 

1  f    12   - 12 2 2 " 1  f    6 - 12 2 " 1  f    -6 2 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Soal ke- 14 6 1 2 Turunan pertama dari f(x)  3x  4x adalah... 2



1 2 5 A. f (x)  (18x - 12) (3x - 1) 1 2 5 B. f (x)  (18x - 2) (3x  2) 1 2 3 C. f (x)  (18x - 12) (3x - 4x) 1 2 3 D. f (x)  (18x - 12) (3x - 4x) 1 2 3 E. f (x)  (18x - 12) (2x - 4x) TURUNAN DAN DIFERENSIAL



Pembahasan 1 2 6 f(x)  (3x  4x) 2 1 1 2 6 1 f (x)  6. (3x  4x) (6x  4) 2 f1 (x)  3(3x 2  4x)5 (6x  4) f1 (x)  (18x  12)(3x 2 4x)5 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 14 6 1 2 Turunan pertama dari f(x)  3x  4x adalah... 2



1 2 5 A. f (x)  (18x - 12)(3x - 1) 1 2 5 B. f (x)  (18x - 2)(3x  2) 1 2 5 C. f (x)  (18x - 12)(3x - 4x) 1 2 5 D. f (x)  (18x - 12)(3x - 4x) 1 2 5 E. f (x)  (18x - 12)(2x - 4x) TURUNAN DAN DIFERENSIAL



Soal ke- 15 11

2

Diketahuif(x) 6x  3x  1 untukf ( ) 2 makanilaix yangmungkinadalah... 1 A. 3 2 B. 3

C. 1

5 E. 3

4 D. 3 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan 2 f(x)  6x  3x  1 1

f (x)  12x - 3 1 untuk f (x)  2 maka: 1  12x - 3 2        x2 1


Pembahasan 2 26 8 24x

24x  6 24x 24x 8 8 x  24 1 x  3    


Jawaban Soal ke- 15 1 1

2

Diketahuif(x)  6x  3x  1 untuk f ( ) 2 maka nilai x yangmungkinadalah... 1 A. 3 2 B. 3

5 E. 3

C. 1 4 D. 3


Soal ke- 16

Turunanpertamadari: f(x) 4

8

2x-1 adalah...

A. 4x  1

C. 8x - 2

B. 8x  2

D. 8x - 4


E. 8x  4

Pembahasan

8

4

f(x)  (2x - 1) 8 f(x)  (2x - 1)4 2

f(x)  (2x - 1) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan 1

f (x)  2(2x  1)(2) 1

f (x)  4(2x  1) 1

f (x)  8x  4 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Jawaban Soal ke- 16

Turunanpertamadari: f(x) 4

8

2x-1 adalah...

A. 4x  1

C. 8x - 2

B. 8x  2

D. 8x - 4


E. 8x  4

Soal ke- 17 Turunan pertama dari y 

3

1

6

2x - 1

untuk y  2. Maka nilai x yang mungkin adalah... 31 A. 25 B. - 1

C. 0

31 E. 25

D. 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan 3

y  (5x  6) y  (5x - 6) y  (5x - 6)

6

6 3

2

y  2(5x - 6) (5) 1

y  10(5x - 6) TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Pembahasan 1

Untuk y  2, maka : 2  50x - 60 2  60  50x 50x  62 62 x 50 31 x 25


Jawaban Soal ke- 17 Turunan pertama dari y 

3

1

6

2x - 1

untuk y  2. Maka nilai x yang mungkin adalah... 31 A. 25 B. - 1

C. 0

31 E. 25

D. 1 TURUNAN DAN DIFERENSIAL

SELAMAT BELAJAR


LATIHAN TUGAS 3


TRIGONIMETRI


DIFERENSIAL TURUNAN DAN DIFERENSIAL

Recommend Documents