Pertemuan ke 8 GRAFIK FUNGSI Diketahui fungsi f. Himpunan {(x,y): y = f(x), x
Df } disebut grafik fungsi f.
Grafik metode yang paling umum untuk menyatakan hubungan antara dua himpunan yaitu dengan menggunakan sumbu-sumbu kartesius atau sumbu tegak lurus Y Absis (x,y)
Ordinat
O
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
X
1
Misalnya hubungan antara dua variabel x dan y adalah y = 3x + 2
x
….
-2
-1
0
1
2
3
…
y= 3x+2
….
-4
-1
2
5
8
11
..
Y
Y = 3x + 2
X
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
2
Membuat sketsa grafik fungsi linier Grafik funsi linier merupakan garis lurus Sebuah garis lurus dapat digambar minimal diketahui dua titik pada garis tersebut. Sketsa grafik fungsi linier dapat dibuat dengan menentukan dua titik istimewa, yaitu: Titik potong dg sumbu X, bila Y = 0 Titik potong dg sumbu Y, bila X = 0
Titik potong dg sumbu X menjadi (X,0) Titik potong dg sumbu Y menjadi (0,Y)
Selanjutnya hubungkan kedua titik tersebut dengan garis lurus
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
3
Contoh buatlah gambar grafik funsi y = 3x + 2 Penyelesaian Titik potong dg sumbu X, bila Y = 0 0 = 3x + 2
3x = -2 x=-2/3 Titik potong dg sumbu Y, bila X = 0
Titik potong dg sumbu X menjadi (-2/3,0) Titik potong dg sumbu X menjadi (0,2)
y = 3.0 + 2 y=2 Y Grafik
y = 3x + 2
2 -2/3 0
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
X
4
Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi: Fungsi Aljabar dan Fungsi Transenden Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak
Contoh
f ( x)
3x x 2 ( x 1) 2 3 x2 1
Fungsi yang bukan fungsi aljabar disebut fungsi transenden. Contoh fungsi transenden adalah fungsi trigonometri, fungsi logaritma, dsb
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
5
Fungsi Aljabar Fungsi Rasional : Fungsi bulat (fungsi suku banyak) Fungsi pecah. Fungsi Irasional.
Fungsi Suku Banyak
Fungsi suku banyak berderajat n mempunyai bentuk umum: f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + a1x2 + . . . + an xn dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
0.
6
Fungsi Konstan: f(x) = c; c = konstan Grafik fungsi ini berupa garis lurus sejajar sumbu X
Y 3
a0
f(x) = 3
f(x) = a0
X
0 f(x) = 1
1
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
7
Fungsi linear: f(x)= mx + n Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik (0,n) Y
y=x+2 y=x
2
2
y=x
3 X
3
0 3
y= x
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
8
Pertemuan ke 8 Fungsi Kuadrat (a) Fungsi f:x -> ax2 + bx + c; a, b, c(b)bilangan real dan a ≠ 0
Grafik fungsi kuadrat berupa garis lengkung disebut parabola. Diskriminan D = b2 - 4ac
Bentuk grafik fungsi kuadrat ditentukan oleh nilai a dan D
Secara umum bentuk grafik fungsi kuadrat seperti gambar berikut
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
9
D>0 a<0
X
D>0 a>0
X X D=0 a<0
D=0 a>0
(d)
X
X D<0 a>0
D<0 a<0 (f)
(e)
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
X
10
Perhatikan pula gambar grafik berikut apa dapat disimpulkan Y
y = x2 y = ¼ x2
X
2
4 y = 4x – x2
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
11
Fungsi Kubik (derajat tiga) Bentuk:
f ( x)
a3 x 3
a2 x 2
a1 x a0 , a3
0
Grafik: garis lengkung
Y Contoh:
y = x3
y = (x 1)3
0 1
X
1
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
12
Menggambar Grafik Fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c Langkah-Langkah Yang Perlu Dilakukan Menentukan titik-titik istimewa
1. Titik potong dg sumbu x;
y = f(x) = 0
0 = ax2 + bx + c ( pers. Kuadrat dalam x akar-akar x1 dan x2;
2. Titik potong dg sumbu y;
Titik potong dg sb x;
x=0
(x1,0) dan (x2,0)
Didapatkan y = c Titik potong dg sb y;
3. Sumbu simetri
x
4. Koordinat titik puncak;
(0,c)
b 2a b D , 2a 4a
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
b (b 2 4.a.c) , 2a 4a 13
Contoh Gambarkan Grafik Fungsi Kuadrat
Y = X2 – 8X + 12
Penyelesaian Titik Potong dengan sumbu X; y = 0 X2 – 8X + 12 = 0
x12
x12 x12
b 2 4ac 2a
b
( 8)
8
( 8) 2 4.1.12 2.1
64 48 2
x12
Titik Potong dengan sumbu X;
8 4 2
x1 = 6 dan x2 = 2
(6,0) dan (2,0)
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
14
Titik potong dengan sumbu y; x = 0 Titik potong dg sb y;
Y = 02 – 8.0 + 12 = 12 Sumbu simetri
x
b 2a
( 8) 2.1
x
(0,12)
4
Sumbu simetri : x = 4
b D , 2a 4a
Koordinat titik puncak
b 4 2a D b 2 4ac 4a 4a
( 8) 2 4.1.12 4.1
Jadi Koordinat titik puncak
16 4
4
(4, -4)
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
15
Jadi Grafiknya
Y
X= 2 12
0
(0,12)
(2,0) 4
(6,0)
X
(4, -4) Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
16
Fungsi Pecah (Rasional) Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak disebut fungsi pecah
Bentuk Umum:
f ( x)
a0 b0
a1 x ... a n x n b1 x ... bm x m
Grafik beberapa fungsi pecah sederhana seperti:
f ( x)
1 x
dan
f ( x)
x x 1
Dapat diperlihatkan dalam gambar berikut
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
17
Y y
x x 1
y=1 y = 1/x X
0
x=1
x
-4
-3
-2
-1
y=1/x
-0.25
-0.33
-0.5
-1
0
x
-4
-3
-2
-1
0
y=x/x-1
0.8
0.75
0.67
0.5
0
1
1
2
3
1
0.5
0.33
2
3
4
2
1.5
1.33
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
18
Fungsi Irasional Akar Fungsi Irasional adalah fungsi yang memetakan suatu bilangan real x ke bilangan irasional Y Y y
x y
a
x2
Y 0
X
0
X
(b)
(a)
0
X y
a
x2
(c ) Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
19
Pertemuan ke 9 Fungsi Transenden
Definisi: Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar
Fungsi transenden meliputi:. Fungsi Trigonometri, Fungsi Siklometri
Fungsi Eksponen Fungsi Logaritma
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
20
Contoh Golongan fungsi berikut berdasarkan jenisnya invers,trigonometri, eksponensial dan logaritma.
1. f ( x)
4x
3. f ( x)
10 x
1
5. f ( x)
log10 x
7. f ( x )
2t 5
2. f ( x)
tan 2 x x 6 4. f ( x) x 6
t2
6. f ( x)
x
8. f ( x )
x10
x2 x 2 log10 x 2x
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
x2
21
Fungsi Trigonometri
Fungsi sinus Fungsi cosinus Fungsi tangen
Fungsi sinus Bentuk umum:
y = f(x) = sin x,
x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = R, Wf = [-1,1] Grafik: Y y = sin x
1
-2π
0
-π
π
-1
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
2π X
22
Fungsi cosinus Bentuk umum:
y = f(x) = cos x,
x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = R, Wf = [-1,1]
Grafik: Y
y = cos x
1
-2π
π
-π
0 -1
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
2π
X
23
Fungsi Tangen Bentuk umum
y
f ( x)
tan x
sin x , cos x
x dalam radian
Daerah asal Df = R - {π/2 + nπ | n є bulat}
Y y = tan x
Daerah hasil: Wf = R
1
-2π
-
-π -1
0
π
2π
X
Fungsi trigonometri lainnya Bentuk umum:
a. y b. y c. y
1 , x dalam radian cos x 1 f ( x ) cosec x , x dalam radian sin x Matematika Terapan I by Ketut1 Darma. f ( x ) Teknik cot Mesin x , x dalam radian tan x f ( x)
sec x
24
Beberapa sifat fungsi trigonometri a. -1≤ sin x ≤ 1
b. -1 ≤ cos x ≤ 1
c. sin x = sin (x + 2π)
d. cos x = cos (x + 2 π)
e. tan x = tan (x + π)
Matematika Terapan I by Ketut Darma. Teknik Mesin
25
