BAB II FUNGSI & GRAFIK FUNGSI Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas (besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Sebagai contoh, harga barang tergantung pada banyaknya permintaan dan persediaan barang, konsentrasi obat dalam plasma terhadap waktu, dan kecepatan reaksi terhadap konsentrasi zat. Fungsi dapat dinyatakan dalam empat cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik) dan aljabar (rumus eksplisit). TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menggambarkan grafik suatu fungsi. 2.1. Pengertian Fungsi Secara informal fungsi didefinisikan sebagai suatu aturan yang memasangkan setiap anggota suatu himpunan, misalkan A, pada tepat satu anggota himpunan lainnya, misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A. Selanjutnya jika f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat satu anggota B, maka ditulis sebagai f : A B.
x
f(x)
a
f(a)
f A Daerah asal
B Daerah hasil
Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu : a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari (r) lingkaran tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan
A(r) = r2. Setiap nilai r
berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit. b. Populasi manusia P tergantung pada waktu t. Tabel berikut memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu. Tabel taksiran populasi penduduk dunia adalah sebagai berikut
14
Tahun 1900
Populasi (dalam jutaan) 1650
1910
1750
1920
1860
1930
2070
1940
2300
1950
2520
1960
3020
1970
3700
1980
4450
1990
5300
1996
5770
Untuk setiap nilai t terdapat nilai padanannya yaitu P, sehingga dapat dikatakan bahwa P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut disajikan dalam bentuk tabel. c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan C bila w diketahui. d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan hubungan antara a dan t. Dalam fungsi f : A B, himpunan A disebut domain atau daerah asal dari f, yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi itu mendapat nilai (suatu bilangan real), sedangkan anggota B disebut kodomain atau daerah kawan dari fungsi f. Himpunan bagian dari B yang merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi itu disebut daerah hasil atau range dari fungsi f. Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam fungsi, karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna. Contoh : 1. Tentukan domain dan range dari f(x) =
25 x 2
Penyelesaian : Domain fungsi f dengan f(x) =
25 x 2 adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai real,
yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 0. Jadi 2
2
D f = {x R : 25 - x 0} = {x R : x 25 }
= {x R : -5 x 5}. Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D f . Jadi R f = {y R : y =
25 x 2 , -5 x 5} = {y R : 0 y 5} .
15
2. Tentukan domain dan range dari g(x) =
x 2 25 x5
Penyelesaian : Domain fungsi g dengan g(x) =
x 2 25 adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real. x5
Ini terjadi jika x – 5 0. Jadi D g = {x R : x 5}, x 2 25 , x 5} = {y R : y 10}. x5
Range fungsi g adalah R g = {y R : y =
Soal latihan Carilah domain dan range dari fungsi f di bawah ini. 1 x 1
1. f(x) =
4
x 2 6x
5. f(x) =
2. f(x) =
3
x 2 6x
6. f(x) = |x| + x
3. f(x) = 4. f(x) =
x2
7. f(x) = |2x + 3|
2x - 6
2x 3 jika 3 - x jika
x2 2x 6
8. f(x) =
x -1 x 1
Soal latihan Untuk soal no 1 – 5, carilah f +g, f-g, f.g, 1.
f dan tentukan daerah asalnya masing-masing. g
f(x) = x3 + 2x2, g(x) = 3x2 – 1
2. f(x) = 1 x , g(x) = 1 x 3.
f(x) =
x , g(x) = 1 x 2 x 1
4. f(x) = x2 + x , g(x) =
2 x3
1 x
5
f(x) = x - , g(x) = x2 + 1
6.
Jika f(x) = x2 + x , g(x) =
7.
Jika f(x) =
8.
f(x) = x -
1 f , carilah (f-g)(2), ( 1 ) , g2(3) g x2
x 2 1 , g(x) =
2 , carilah f4(x) + g4(x) x
1 , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g2(2) x
2.2. Komposisi Fungsi Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga komposisi dari f dan g), didefinisikan oleh (f g)(x) = f(g(x)) 16
Daerah asal f g adalah himpunan semua x di dalam daerah asal g sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g)(x) akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Contoh : Jika f(x) =
x dan g(x) =
2 x , carilah
(a). f g , (b). g f,
(c). f f,
(d). g g dan tentukan daerah asalnya masing-
masing. Penyelesaian : (a). (f g)(x) = f(g(x)) = f( 2 x ) =
2-x =
4
2-x
Daerah asal : x R 2 - x 0= x R x 2= (- , 2] (b). (g f)(x) = g(f(x)) = g( x ) = Agar 2-
2- x
x terdefinisi, maka x 0 dan agar x 0, yaitu
2 - x terdefinisi maka
x 2 atau x 4, sehingga daerah asalnya adalah [0,4].
(c). (f f)(x) = f(f(x)) = f( x ) =
x =
4
x
Daerah asal = [0 , ) (d). (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 Agar
x)=
2- 2-x
2 x terdefinisi maka 2 – x 0, yaitu x 2 dan agar
terdefinisi maka 2 - 2 x 0 , yaitu
2- 2-x
2 x 2 atau x - 2, sehingga daerah
asalnya [-2, 2]. Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah dengan menerapkan h, kemudian g, lalu f sebagai berikut (f g h)(x) = f(g(h(x))) Contoh : Carilah f g h jika f(x) =
x , g(x) = x5 dan h(x) = x -1. x 1
Penyelesaian : (f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x -1)) = f((x -1)5) =
( x 1 )5 ( x 1 )5 1
Soal latihan Carilah (a). f g , (b). g f, (c). f f, (d). g g dan tentukan daerah asalnya untuk masing-masing fungsi di bawah ini, jika 1. f(x) =
2 x 1 , g(x) = x
2. f(x) =
1 , g(x) = x3 + 2x x
17
3. f(x) =
1 x 1 , g(x) = x 1 x 1
4. f(x) = x 2 1 , g(x) = 1 x 5. Carilah f g h jika a. f(x) = x – 1, g(x) = b. f(x) =
x , h(x) = x – 1
1 , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2 x
6. Carilah fungsi f dan g sedemikian hingga g f =
x3
7. Carilah fungsi f dan g sedemikian hingga f g =
x2 x2 4
2.3. Invers Fungsi Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru ini, yang memadankan nilai y dengan x, dilambangkan dengan f -1 dan disebut invers dari f. Daerah asal f -1 adalah B dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan berarti
1 . Hal ini dapat dituliskan f
y = f(x) x = f -1(y) Contoh : Tentukan f -1(x) jika f(x) = 2x + 6. Penyelesaian : Peubah x dapat dicari dari y = f(x) = 2x + 6, yaitu x = Sehingga f -1(x) =
y-6 = f -1(y) 2
x 6 . 2
Soal latihan Tentukan f -1(x) dari 1. f(x) = -
x +5 4
6. f(x) =
2. f(x) =
3 x
7. f(x) =
3. f(x) = 5 – 4x3
8. f(x) =
2x 1 x 1
4. f(x) = (x – 4)3
9. f(x) =
x2 1 x2 1
5. f(x) = x3/2
1 x5
1 x 3
x 1 x 2
3
10. f(x) =
18
2.4. Grafik Fungsi Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real, maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. Grafik fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x). Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang digunakan, yaitu sketsa kasar dan sketsa halus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan digunakan, tentu tergantung dari kebutuhan. Jika yang dibutuhkan hanya pola hubungan antar variabel, cukup digunakan sketsa kasar, tetapi jika grafik itu akan digunakan untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu, tentu saja sketsa halus yang dibutuhkan. Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya sekumpulan datanya, maka untuk menentukan fungsinya terlebih dahulu diprediksi bentuk fungsi tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan data-data yang tersedia, kemudian dicari konstantakonstanta yang belum diketahui. Contoh : 1. Sketsalah grafik y = x2 – 3x2 + 2 2. Pada waktu anda membuka kran air panas, suhu air tergantung pada berapa lama air telah mengalir. Buatlah sketsa kasar dari masalah di atas. Penyelesaian : 1. y = x2 – 3x +2
(a=1, b=-3, c=2).
Titik potong dengan sumbu x, diperoleh jika y = 0 x2 – 3x +2 = 0 (x – 1)(x – 2) = 0 x = 1 atau x = 2. Jadi titik potong dengan sumbu x adalah (2,0) dan (1,0).
Titik potong dengan sumbu y, diperoleh jika x = 0 y = 02 – 3.0 +2 = 2. Jadi titik potong dengan sumbu y adalah (0,2)
Persamaan sumbu simetri adalah x =
Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas
b 3 2a 2
19
2.
Soal latihan Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini 1. f(x) = 2x + 3
6. f(x) = x 2 1
2. f(x) = x2 – 4x + 1
7. f(x) = x 2
3. f(x) = log (2x -1)
8. y = ln (x + 1)
x+1
4. f(x) =e 5. f(x) = ex + 1 x 2 5, x 0 9. f ( x ) 2 x 4 , x 0
x 2 1, x 2 ,x 2 10. f ( x ) 3 4 x ,x 2
2.5. Terapan Fungsi (Model Matematika) Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Beberapa contoh penerapan model matematika adalah pemodelan pertumbuhan populasi, permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi zat hasil pada reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi. Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang perilaku fenomena tersebut di masa depan. Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah : 1. Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut dengan seksama. 2. Rumuskan model matematika dengan cara mengenali dan menentukan variabel bebas dan variabel tak bebas, membuat asumsi yang menyederhanakan permasalahan. Selanjutnya, dengan bekal pengetahuan tentang situasi fisik dan ketrampilan matematika, dapat dibentuk persamaan yang mengaitkan variabel – variabel tersebut. 3. Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika dapat dirumuskan kesimpulan secara matematis. Selanjutnya, kesimpulan matematis tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang fenomena dunia nyata semula dengan cara menyodorkan penjelasan atau membuat perkiraan. 20
4. Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil prakiraan model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan model mendekati fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan volid. Jika tidak, model tersebut perlu diperbaiki. Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu dengan memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik menyederhanakan kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika, tetapi cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga. Model Linier Bila hasil ploting grafik antara variabel tak bebas dan variabel bebas menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan bahwa y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan dengan y = f(x) = m x + b Contoh : 1. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Diketahui suhu permukaan tanah adalah 20oC dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10oC. Nyatakan suhu T (dalam oC) sebagai fungsi tinggi h (dalam km) dengan anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai. Selanjutnya gambarkan grafik fungsi di atas. Penyelesaian : Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis T = mh + b Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga 20 = m . 0 + b = b Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga 10 = m . 1 + 20 kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh adalah T = -10 h + 20 Grafiknya berupa sketsa kasar
21
2. Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri pada suhu 250C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam mol perliter) setelah t menit. t C(t)
0
2
4
6
8
0,0800
0,0570
0,0408
0,0295
0,0210
Sketsalah grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7) Penyelesaian : Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4,0.0408) dan (8,0.0210), maka persamaan fungsinya adalah C(t ) 0,0408 t4 0,0210 0,0408 8 4
C(t) = - 0,0198 t + 0,2424 Sehingga dengan mensubstitusikan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai C(t) yang diinginkan. C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038. Soal latihan 1. Perusahaan F harus mengeluarkan biaya 20000 + 1000 x untuk membuat x tempat obat yang dijual dengan harga Rp2.000,00 per buah. a. Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x buah tempat obat. b. Hitung P(200) dan P(2000). c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas? 2. Kotak penyimpanan berbentuk balok tanpa tutup mempunyai volume 4 m3. Panjang alasnya dua kali lebarnya. Biaya bahan untuk pembuatan alas Rp50.000,00 per m2 dan biaya bahan untuk pembuatan sisi lainnya adalah Rp25.000,00 per m2. a. Nyatakan biaya bahan sebagai fungsi lebar alas b. Tentukan ukuran kotak yang mungkin dibuat, jika biaya yang tersedia Rp400.000,3. Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berbentuk persegi panjang berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi dengan panjang sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Nyatakan isi kotak sebagai fungsi dari x. 4. Pengukuran suhu T (dalam oF) dicatat setiap dua jam dari tengah malam sampai tengah hari di Atlanta, Georgia, pada 18 Maret 1996. Waktu t diukur dalam jam sejak tengah malam. t
0
2
4
6
8
10
12
T
58
57
53
50
51
57
61
a. Sketsalah grafik suhu T sebagai fungsi waktu b. Taksir bentuk fungsinya c. Dengan menggunakan hasil b carilah suhu (T) untuk t = 3, 5, dan 11. 22
23
