Diktat Kuliah TK 301 Matematika
BAB 4 TURUNAN 4.1 Gradien Garis Singgung Tinjau sebuah kurva y = f(x) seperti diperlihatkan pada Gambar 4.1. Garis yang melalui titik P(x1, f(x1)) dan Q(x1 + x, f(x1 + x)) disebut tali busur. Gradien tali busur tersebut adalah
y x
mPQ
f (x
x) x
f ( x)
.
Jika titik Q digerakkan menuju P, x mendekati 0. Pada keadaan ini, y juga mendekati 0. Akan tetapi, y/ x menuju nilai tertentu dan kenyataan ini mengantarkan pada penggunaan konsep limit. y tali busur Q
(x+h, f(x+h)) y garis singgung
(x, f(x)) P
x=h x Gambar 4.1
Gradien garis singgung didifinisikan sebagai limit
y/ x ketika
x mendekati 0,
yakni
m lim h
CONTOH 1
0
y x
lim h
0
f ( x h) h
f ( x)
Tentukan gradien garis singgung pada kurva y (1, 2). Tuliskan persamaan garis singgungnya.
f ( x)
x 2 1 pada titik
Penyelesaian Gradien garis singgung pada titik (1,2) sebagai berikut.
m lim h
0
f (1 h) h
f (1)
{(1 h) 2 1} 2 0 h
lim h
Aip Saripudin
Turunan - 57
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
{(1 2h h 2 ) 1} 2 0 h
lim h
lim h
0
2h h 2 h
lim(2 h) h 0
2 Persamaan garis singgung dengan gradien m = 2 dan melalui titik (1, 2) sebagai berikut. y
m( x x1 ) y1
2( x 1) 2
2x Jadi, persamaan garis singgung pada kurva y y 2x .
x 2 1 pada titik (1, 2) adalah
f ( x)
4.2 Definisi dan Lambang Turunan Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang memiliki nilai pada suatu bilangan x didefinisikan sebagai
f ' ( x)
lim h
0
f ( x h) h
yang menjamin bahwa limit itu ada dan bukan
atau
f ( x)
.
Jika limit itu ada, dikatakan bahwa fungsi tersebut terdiferensialkan pada x. Pencarian turunan disebut pendiferensialan. Lambang turunan dapat dituliskan dalam beberapa bentuk. Lambang-lambang yang digunakan untuk fungsi yang diturunkan terhadap x sebagai berikut. f’(x)
Dx [f(x)]
d [ f ( x)] dx
dy dx
Ketiganya memiliki makna yang sama atau, dengan kata lain,
f ' ( x) Dx [ f ( x)]
Aip Saripudin
d [ f ( x)] dx
dy . dx
Turunan - 58
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
Cari turunan dari f(x) = 2x +5.
Penyelesaian h) f ( x ) h [2( x h) 5] [2 x 5] lim h 0 h 2h lim h 0 h lim 2
f ' ( x) lim h
0
h
0
f (x
2
Jadi, turunan dari f(x) = 2x +5 adalah f’(x) = 2. CONTOH 2
Cari turunan dari f(x) = x2.
Penyelesaian h) f ( x) h 0 h 2 ( x h) x2 lim h 0 h 2 x 2 xh h 2 x 2 lim h 0 h lim ( 2 x h)
f ' ( x) lim
h
f (x
0
2x
Jadi, turunan dari f(x) = x2 adalah f’(x) = 2x.
CONTOH 3
dy jika y dx
Cari
x.
Penyelesaian Ambil f ( x)
x maka
dy dx
lim h
lim
x h h
x
lim
x h h
x
h
h
0
0
lim h
Aip Saripudin
0
f ( x h) h
0
f ( x)
x h
x
x h
x
h h( x h
x)
Turunan - 59
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
1
lim h
0
x h
x)
1 2 x
Jadi, y
x maka
dy dx
1 2 x
.
4.3 Aturan Pencarian Turunan Pencarian turunan menggunakan limit merupakan pekerjaan yang sulit dan menjemukan. Akan tetapi, dari dua contoh di atas, kita mendapatkan metode yang lebih singkat. Teorema-teorema yang berkaitan dengan aturan pencarian turunan sebagai berikut. Untuk k konstanta, n real, u = u(x), dan v = v(x): (1) f(x) = k maka f’(x) = 0. (2) f(x) = xn maka f’(x) = nxn-1. (3) g(x) = k f(x) maka g’(x) = k f’(x) v maka f’(x) = u’
(4) f(x) = u
v’
(5) f(x) = uv maka f’(x) = u’v + uv’ (6) f ( x)
CONTOH 1
u maka f ' ( x) v
Cari turunan dari f ( x)
u ' v v' u v2
2x3
x2
5.
Penyelesaian Dengan menggunakan aturan (1), (2), (3), dan (4) diperoleh f ' ( x)
CONTOH 2
3 2x 3 1
2 x2 1
Cari turunan dari f ( x)
0
(x2
6x 2
2x
2 x 6) 2 .
Penyelesaian Fungsi di atas dapat dianggap sebagai hasil kali dua buah fungsi sebagai berikut.
f ( x) uv dengan
u v
x2
2x 6
Gunakan aturan (6), f ' ( x) u' v uv' , diperoleh
Aip Saripudin
Turunan - 60
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
f ' ( x) (2 x 2)( x 2 2(2 x 2)( x 4x 3
2 x 6) ( x 2 2
12 x 2
2 x 6)(2 x 2)
2 x 6) 32 x 24
Untuk menguji kebenarannya, gunakan cara lain (x2
f ( x)
2 x 6) 2
x4
4 x 3 16 x 2
24 x 36
maka sesuai aturan (1), (2), (3), (4), dan (5) diperoleh 4 x 3 12 x 2
f ' ( x)
CONTOH 3
32 x 24
Cari turunan dari f ( x)
x x
2
1
.
Penyelesaian
x
Misal u = x dan v = x2 + 1 maka f ( x)
x
2
1
u v
sehingga dengan aturan hasil bagi, 1 ( x 2 1) 2 x x ( x 2 1) 2
u ' v v' u v2
f ' ( x)
1 x2 . ( x 2 1) 2
4.4 Turunan Fungsi Komposisi: Aturan Rantai Jika f(u) terdiferensialkan pada u = g(x) dan g(x) terdiferensialkan pada x, fungsi komposisi y ( f g )( x) f ( g ( x)) f (u) terdiferensialkan pada x. Turunan fungsi komposisi ini dapat dicari menggunakan rumus berikut.
dy dx
dy du du dx
Rumus di atas disebut aturan rantai.
CONTOH 1
Cari
dy jika y dx
(x 2) 2 .
Penyelesaian Dengan metoda biasa, y
dy dx
( x 2) 2
2x 4
Dengan aturan rantai: misal u
Aip Saripudin
x2
4 x 4 maka
2( x 2) .
x 2 maka y
( x 2) 2
u 2 . Dengan demikian,
Turunan - 61
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dy dx
CONTOH 2
dy du du dx
2u 1 2( x 2)
2x 4 .
(x 2 1) 3 .
Cari turunan dari y
Penyelesaian Misal u
x2
1 maka y ( x 2 dy dx
CONTOH 3
Cari
1) 3
u 3 . Dengan demikian,
dy du 3u 2 2 x 3( x 2 du dx
1
dy jika y dx
(2 x 5) 3
1) 2 2 x 6 x( x 2
1) 2 .
.
Penyelesaian Misal u
2x 5 maka y dy dx
1 (2 x 5)
dy du du dx
3u
3
4
1 u3
u 3 . Dengan demikian,
2
6(2 x 5)
6
4
(2 x 5) 4
.
Ketika menerapkan aturan rantai, akan cukup membantu jika kita menggunakan tahapan berikut: turunkan fungsi” luar” f dan fungsi “dalam” masing-masing, lalu kalikan satu sama lain. Perhatikan contoh berikut.
CONTOH 4
Cari
dy jika y dx
2x x2 .
Penyelesaian Ubah bentuk fungsi di atas menjadi 1
y (2 x x 2 ) 2 maka
dy dx
1 d (2x x2 ) 2 dx dalam
1
1 x 2 ) 2 ( 2 2 x) 2 (2 x turunan "luar"
turunan "dalam"
luar
1 x 2x x 2
Aip Saripudin
.
Turunan - 62
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
4.5 Turunan Fungsi Trigonometri Untuk menurunkan fungsi sinus dan cosinus, kita dapat menggunakan konsep limit dan identitas penjumlahan sudut: sin( x h) sin x cos h cos x sin h cos( x h)
cos x cos h sin x sin h
Turunan fungsi sinus, f ( x) sin x , sebagai berikut.
d sin(x h) sin x sin x lim h 0 dx h lim h
h
0
lim h
sin x cos h cos x sin h sin x sin x(cos h 1) cos x sin h h
0
lim sin x h
0
sin x lim h
0
(cos h 1)
lim cos x
h
h
cos h 1 h
sin h h
0
cos x lim h
sin h h
0
sin x 0 cosx 1 cos x
Turunan fungsi cosinus, f ( x) cos x , sebagai berikut.
d cos(x h) cos x cos x lim h 0 dx h lim h
h
0
lim h
cos x cos h sin x sin h cos x cos x(cos h 1) sin x sin h h
0
lim cos x h
0
cos x lim h
0
(cos h 1) h
cos h 1 h
lim sin x h
sin h
0
sin x lim h
0
h
sin h h
cosx 0 sin x 1 sin x
Aip Saripudin
Turunan - 63
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Dari penurunan di atas diperoleh teorema sebagai berikut.
d sin x cos x dx
dan
d cos x dx
sin x
Turunan fungsi trigonometri dasar lainnya dapat diperoleh dengan bantuan teorema di atas. CONTOH 1
Cari turunan dari y = tan x.
Penyelesaian
y
tan x
sin x cos x
u v
maka, sesuai aturan hasil bagi,
dy dx
u ' v v' u v2
cos x cos x ( sin x) sin x cos 2 x
cos 2 x sin 2 x cos 2 x
1 cos 2 x
sec 2 x
Jadi,
d tan x sec2 x dx
CONTOH 2
Tentukan
d secx . dx
Penyelesaian Dengan mengingat bahwa secx
d secx dx
d 1 dx cos x
1 u ' v v' u dan turunan hasil bagi: y' , diperoleh cos x v2 0 cos x ( sin x) 1 cos2 x
1 sin x cos x cos x
secx tan x
Jadi,
d secx secx tan x dx
Aip Saripudin
Turunan - 64
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 3
Cari turunan dari y = 2 sin 2x.
Penyelesaian Dengan menggunakan aturan rantai,
dy dx
CONTOH 4
(2 cos2 x) 2 4 cos2 x .
cos 2 x
Cari turunan dari y
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy dx
(2 cos x) ( sin x)
2 sin x cos x sin 2 x
Cari turunan dari y = sin3 (2x).
CONTOH 5 Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan rantai,
dy dx
(3(sin 2 x) 2 ) (cos2 x) (2) 6 sin2 2 x cos2 x .
4.6 Turunan Fungsi Logaritma dan Eksponen Asli Turunan fungsi logaritma dan eksponen natural sebagai berikut:
d ln x dx
CONTOH 1
Cari
1 ,x x
0
dy jika y ln( x 2 dx
dan
d x e dx
ex
2 x) .
Penyelesaian Misal u maka
x2
du dx
2x
y ln u
2x 2 dan
dy du
1 u
1 x
2
2x
sehingga sesuai aturan rantai diperoleh
CONTOH 2
Aip Saripudin
dy dx
dy du du dx
Cari
dy jika y dx
2x 2 . x 2 2x
ex
2
4x
.
Turunan - 65
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Penyelesaian Misal u maka
x2
du dx
y
4x
2x 4 dan
eu
dy du
eu
ex
2
4x
sehingga diperoleh
CONTOH 3
dy dx
dy du du dx
Cari
dy jika y dx
ex
2
4x
(2 x 4) .
xe x .
Penyelesaian Misal u
x dan v
ex
y uv sehingga
dy dv u dx dx
v
du dx
xe x
e x 1 e x ( x 1) .
4.7 Turunan Orde Tinggi Turunan dari f adalah f’. Jika f’ didiferensialkan lagi, diperoleh f’’. f’ disebut turunan pertama dan f’’ turunan kedua. Jika didiferensialkan lagi dan lagi, diperoleh turunan ketiga (f’’’), keempat (f(4)), kelima (f(5)), dan seterusnya. Lambang turunan dari y = f(x) untuk orde tinggi diberikan pada Tabel 4-1.
Tabel 4-1 Lambang turunan orde tinggi
Turunan
Lambang f’
Lambang y’
Lambang D
Lambang Leibniz
Pertama
f’(x)
y’
Dx y
dy dx
Kedua
f’’(x)
y’’
D x2 y
d2y dx 2
Ketiga
f’’’(x)
y’’’
D x3 y
d3y dx 3
Keempat
f(4) (x)
y(4)
D x4 y
d4y dx 4
Aip Saripudin
Turunan - 66
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
Kelima
f(5) (x)
y(5)
D x5 y
d5y dx 5
Keenam
f(6) (x)
y(6)
D x6 y
d6y dx 6
f(n) (x)
y(n)
D xn y
dny dx n
Ke-n
CONTOH 1
Cari turunan kelima dari f ( x)
x4
2x 3
5x 2
6x 8 .
Penyelesaian f ' ( x) 4 x 3
6x 2
f ' ' ( x) 12 x 2
10 x 6
12 x 10
f
( 4)
f
(5)
( x) 24 0
f ' ' ' ( x) 24 x 12
CONTOH 2
Cari f’’’(x) jika f ( x)
x 2 ln x , x
0.
Penyelesaian Gunakan aturan turunan hasil kali maka
f ' ( x)
1 x
x2
2 x ln x
f ' ' ( x) 1
2x
1 x
f ' ' ' ( x) 0
2 x
2 x
x 2 x ln x
2 ln x
3 2 ln x
4.8 Pendiferensialan Implisit Dalam beberapa kasus, y sebagai fungsi x tidak dapat dinyatakan secara eksplisit dalam bentuk y = f(x), misalnya y = x2. Sebagai contoh, persamaan y2
3y
x2
tidak dapat ditulis menjadi y = f(x) secara eksplisit Fungsi seperti ini disebut fungsi implisit, dengan kata lain y merupakan fungsi implisit dari x. Akan tetapi, turunan dari y terhadap x dapat dicari. Metode pencarian turunan fungsi implisit disebut pendiferensialan implisit. Berikut beberapa contoh pendiferensialan implisit.
Aip Saripudin
Turunan - 67
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
dy dari persamaan berikut: y 2 dx
Cari
3y
x2 .
2 xy
x2
Penyelesaian Diferensialkan setiap suku di semua ruas terhadap x.
d 2 [y ] dx 2y
d [3 y] dx
dy dx
dy dx
3
d 2 [x ] dx 2x
dy [2 y 3] 2 x dx sehingga diperoleh
CONTOH 2
dy dx
2x 2y 3
Cari
dy dari persamaan berikut: y 3 dx
8.
Penyelesaian Diferensialkan setiap suku di setiap ruas terhadap x,
d 3 d d 2 [y ] [2 xy] [x ] dx dx dx 3y 2
dy dx
3y 2
dy dx
3y 2
2y
2y
2x
d [8] dx
d d [ x] 2 x [ y] dx dx
2x
dy dx
2[ x
dy dx
2x 0
2x 0
y]
sehingga diperoleh dy dx
CONTOH 3
2[ x 3y 2
y] 2x
Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y 3 (0, 2).
2 xy
x2
8 di titik
Penyelesaian Pada CONTOH 2 telah diperoleh bahwa
Aip Saripudin
dy dari y 3 dx
2 xy
x2
8 adalah
Turunan - 68
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dy dx
2[ x 3y 2
y] 2x
Gradien garis singgung pada kurva tersebut di titik (0, 2) adalah m
dy dx
x 0, y 2
2(0 2) 3 22 2 0
4 12
1 . 3
Persamaan garis singgungnya di titik (0, 2) adalah y
m( x x1 ) y1
1 ( x 0) 2 3 1 x 2 3 Jadi, garis singgung pada kurva y 3
2 xy
x2
8 di titik (0, 2) adalah y
1 x 2 atau 3
dapat ditulis sebagai x 3y 6 0 .
4.9 Laju yang Berkaitan Jika variabel y bergantung pada waktu t, turunannya, dy/dt, disebut laju perubahan terhadap waktu. Secara umum, setiap variabel yang bergantung waktu, turunannya disebut laju. CONTOH 1
Sebuah partikel bergerak sepanjang sumbu-x dan posisinya sebagai fungsi waktu berubah menurut persamaan: x = t2 + 5t – 10, dengan x dalam meter dan t dalam sekon. Cari laju perubahan posisi terhadap waktu (atau dikenal sebagai kecepatan) pada saat t = 2 sekon.
Penyelesaian Turunan dari posisi terhadap waktu,
v(t )
dx dt
2t
5
Pada t = 2 sekon,
v(2) 2 2 5 9 m/s.
CONTOH 2
Setiap sisi kubus bertambah dengan laju 3 cm per sekon. Tentukan laju perubahan volume kubus saat panjang sisinya 12 cm.
Penyelesaian Misalnya sisi kubus dinyatakan oleh s maka volume kubus V = s3. Laju pertambahan sisi ds kubus 3 cm/s, ini berarti 3 cm/s. Laju perubahan volume terhadap waktu, dt
Aip Saripudin
Turunan - 69
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dV dt
d 3 ds . [ s ] 3s 2 dt dt
Dengan demikian, pada s = 12 cm,
dV dt CONTOH 3
3 (12) 2 3 1296 cm3/s.
Seorang anak menyedot minuman dari sebuah cangkir berbentuk kerucut dengan laju 3 cm3/s. Sumbu cangkir vertikal dan tinggi cangkir 10 cm dengan diameter bagian terbuka 6 cm. Tentukan laju penurunan tinggi cairan dalam cangkir ketika kedalamannya 5 cm.
Penyelesaian Kedalaman cairan h dan jari-jari cangkir r maka volume cangkir (kerucut),
V
3 cm
1 2 r h. 3
r
Dari gambar diperoleh hubungan
r h
3 10
V
1 3
h
3h 10
r
10 cm
maka 3h 10
2
h
3 h3 100
Laju perubahan volume terhadap waktu, dV dt
d 3 h3 dt 100
3 dh 3h 2 100 dt
sehingga laju perubahan kedalaman terhadap waktu,
dh dt
100 dV 9 h 2 dt
Karena cairan berkurang (disedot) dengan laju 3 cm3/s, ini berarti
dV dt
3 cm3/s. [tanda negatif menunjukkan berkurang]
Dengan demikian pada h = 5 cm diperoleh
dh dt
100 dV 9 h 2 dt
100 9 52
Jadi, laju penurunan kedalaman cairan adalah
Aip Saripudin
3
4 cm/s. 3
4 cm tiap sekon. 3
Turunan - 70
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 4
Sepeda motor A bergerak lurus dengan kelajuan konstan 60 km/jam menuju ke Timur dan melintasi perempatan jalan tepat pada pukul 10.00. Sepeda motor B bergerak lurus ke Utara dengan kelajuan konstan 80 km/jam dan melintasi perempatan jalan yang sama pada pukul 10.15. Tentukan laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00.
Penyelesaian Misalnya titik O adalah titik yang tepat di perempatan jalan. Pada suatu saat tertentu, jarak motor A ke O sebut saja x, jarak motor B ke O adalah y, dan jarak A dan B adalah r. Keadaan ini diilustrasikan pada gambar. Sesuai dengan dalil Phytagoras diperoeh hubungan r2
x2
y2 .
Utara
Laju perubahan jarak A dan B (dr/dt) diperoleh melalui pendiferensialan implisit pada persamaan di atas sebagai berikut.
d 2 r dt
2r
dr dt
d 2 (x dt
2x
B r
y
y2 ) O
A
Timur
x
dr dy 2y dt dt
sehingga diperoleh
dr dt
x dr r dt
y dy r dt
atau dr dt
x
dr dy y dt dt 2 x y2
(*)
dx dy = 60 km/jam dan = 80 km/jam. Jarak yang ditempuh motor A selama 1 dt dt jam (dari pukul 10.00 s.d. 11.00) adalah dengan
x
dx dt
t
60 1 60 km,
sedangkan jarak yang ditempuh motor B selama 45 menit atau ¾ jam (dari pukul 10.15 s.d. 11.00) adalah
y
dy dt
t
80
3 4
60 km.
Masukkan nilai-nilai di atas pada (*) diperoleh dr dt
Aip Saripudin
x
dr dy y dt dt 2 x y2
Turunan - 71
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
dr dt
60 60 60 80 60
2
60
60(60 80)
2
70 2 km/jam.
60 2
Jadi, laju perubahan jarak kedua motor pada pukul 11.00 adalah 70 2 km/jam.
4.10 Diferensial dan Hampiran Misalnya y = f(x) terdiferensialkan pada setiap x. Dalam notasi Leibniz, turunan fungsi tersebut dituliskan sebagai
dy dx
f ' ( x)
Sejauh ini, kita belum memberikan makna apa pun pada notasi dy/dx, selain sebagai lambang turunan yang tak terpisahkan. Pada bagian ini, kita akan memberikan makna pada dy dan dx. Dari definisi turunan, untuk fungsi y = f(x) yang terdiferensialkan berlaku
lim x
0
y x
f (x
lim x
x) x
0
f ( x)
f ' ( x) .
Jika x kecil,
y x
f (x
x) x
f ( x)
f ' ( x)
atau
y
f (x
x)
f ( x)
f ' ( x) x .
Karena x = dx, persamaan di atas dapat ditulis
y
f (x
x)
f ( x)
f ' ( x)dx .
Ruas kanan pada persamaan ini didefinisikan sebagai diferensial dari y, dilambangkan oleh dy, yakni
dy
f ' ( x)dx .
Besaran dx disebut diferensial variabel bebas x dan dy disebut diferensial variabel terikat y. Secara grafis, tafsiran diferensial diperlihatkan pada Gambar 4.2. Besaran dy menyatakan perubahan dalam garis singgung pada P ketika x berubah sebesar x = dx. Jika x sangat kecil, dy menjadi hampiran yang cukup baik pada y dan mudah untuk dicari.
Gamba 4.2
Aip Saripudin
Turunan - 72
Diktat Kuliah TK 301 Matematika
CONTOH 1
Cari dy jika (a) y
2 x , (b) y
x2
3x , (c) y sin x .
Penyelesaian Untuk mendapatkan diferensialnya, terlebih dahulu cari turunannya lalu kalikan dengan dx. (a) dy
2dx
(b) dy
(2 x 3)dx
(c) dy
cos xdx
CONTOH 2
Gunakan diferensial untuk menghampiri nilai
1,01 .
Penyelesaian 1,01 . Karena itu, ambil fungsi y
Nilai yang akan kita cari adalah
akan mencari/menghampiri nilai f (1,01) . Turunan dari f ( x)
f ( x)
x dan kita
x adalah
1
f ' ( x)
2 x
maka perubahannya dalam y adalah
y
f ' ( x)dx
f (x
x)
atau
f ( x)
f ' ( x) x .
Sekarang, ambil x = 1 dan x = 0,01 maka
f (x x 1,01
x) x
f ( x) 1
x 1
f ' ( x) x
2 x 1
2 1
x
0,01
1,01 1 0,005
Jadi,
1,01 1,005 .
Aip Saripudin
Turunan - 73
