RANGKUMAN MATERI ' maupun F(x) = Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

INTEGRAL RANGKUMAN MATERI

A. ANTIDERIVATIF DAN INTEGRAL TAK TENTU Jika kita mengambil buku dari tempatnya maka kita dapat mengembalikannya lagi ke tempat semula. Operasi yang kedua ”menghapus” operasi yang pertama. Kita katakan bahwa dua operasi tersebut adalah operasi balikan (invers). Dalam matematika banyak sekali ditemukan pasangan operasi invers, yaitu penambahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, pemangkatan dan penarikan akar, serta penarikan logaritma dan penghitungan logaritma. Sekarang kita akan mengkaji operasi invers dari derivatif yaitu antiderivatif. 1.1. Definisi F(x) dinamakan antiderivatif dari suatu fungsi f(x) dalam interval [a, b] jika untuk setiap titik dalam interval tersebut berlaku:

F ' x  f  x . 1.2. Contoh: Misal diberikan fungsi f(x) = x5. Dari definisi di atas maka F(x) =

x6 , karena berlaku: 6

'

 x6  1 F '  x      .6.x 61  x5  6 6 pada ( ,  ) . Perhatikan bahwa jawaban tersebut ternyata bukan satu-satunya jawaban yang

x6 x6 + 7 maupun F(x) =  7 juga jawaban yang benar, sehingga untuk 6 6 x6 contoh ini jawaban umumnya adalah F(x) = + c. 6 benar, karena berlaku F(x) =

Pengerjaan f(x) sehingga memperoleh F(x) + c disebut mengintegralkan f(x) ke x dengan notasi:

 f ( x )dx

= F(x) + c.

Integral tersebut dinamakan “integral tak tentu”, karena hasilnya masih memuat c (suatu konstanta). Dalam hal ini: a) f(x) disebut sebagai integran. b) F(x) disebut sebagai elemen integrasi. c) c disebut sebagai konstanta integrasi.

Secara umum, anti derivative dapat kita nyatakan sebagai berikut:

 f (x)dx  f(x)  C B. Rumus-rumus Dasar Berikut adalah aturan-aturan yang ada pada integral tak tentu:

x n1 1.  x dx   c, n  1 n 1 dx   x 1dx  ln x  c 2.  x n

3. 4.

 b dx  bx  c  sin x dx   cos x  c 1

5.

 sin  mx  n  dx   m cos  mx  n   c

6.

 cos x dx  sin x  c

7.

 cos  mx  n  dx  m sin  mx  n   c

1

 tan x dx   ln cos x  c 9.  cot x dx  ln sin x  c 10.  sec x dx  ln sec x  tan x  c 8.

11. 12.

dx

 cos2 x   sec

2

xdx  tan x  c

dx

 sin 2 x   cosec

2

xdx   cot x  c

1 sin m1 x  c m 1 1 cos m1 x  c 14.  cosm x sin xdx   m 1 13.

m  sin x cos xdx 

15. 16. 17.

 sec x tan x dx  sec x  c  csc x cot x dx   csc x  c  e dx  e  c x

x

ax 18.  a dx  c ln a 1 19.   arctan x  c 1  x2 dx 1 x 20.  2  arctan c a a  x2 a x

21.

a

22.



23.



24.

x

25.



2

dx 1 ax  ln c 2 x 2a a  x

dx

 arcsin x  c

1 x 2 dx a2  x2 dx

x2  1 dx x a 2

2

 arcsin

x c a

 arcsec x  c  ln x  x 2  a 2  c

Contoh:

a)

x

5

 ...

Jawab: Perhatikan bahwa:  xndx 

1 n1 x  c, syarat n  -1 n 1

Dengan demikian, 1

 x dx  5  1 x 5

b)

 2x

2

5 1

c 

1 6 x c 6

 3x  4dx  ...

Jawab: Perhatikan bahwa:  axndx 

a n1 x  c, syarat n  -1 n 1

Dengan demikian,

 2x

2

 3x  4dx 

2 3 3 2 x  x  4x  c 3 2

Latihan:

6.

 x  ...  x  3  ...  2x  4  ...  x  ...  x  ...  4x  ...

7.

 x 2  ...

8.

 x 9  ...

9.

 5x  ...  x  3x  ...  x  x  4  ...  2x  3x  2  ...  4x  3x  2x  ...  4x  5x  2x  ...  2x  x  2x  ...

1. 2. 3. 4. 5.

2

3

5

1

5

10. 11. 12. 13. 14. 15.

3 4

2

2

2

3

2

5

4

7

8

6

9

C. Integral Substitusi Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan integral adalah metode substitusi, yaitu sebagai berikut:

 f(x)n1

n

 f '(x)   f(x) dx 

n 1

c

Contoh:

a)

 x x

2

 5  dx  ... 4

Jawab: Perhatikan bahwa:

d  x 2  5 dx

 2x 

d  x 2  5 2

 xdx

Dari sini akan kita peroleh:

 x x

2

 5  dx 

 x  x

4

2

 5   xdx 

2

 5 d  x 2  5

4

4

4 1 1 x 2  5  c  4 1 5 1 2   x  5  c 5



b)

 x 3x 2

3

 5 dx  ... 4

Jawab:

 x 3x 2

3

 5 dx  ... 4

Substitusi U  3x 3  5 

du 1  9x 2  x 2 dx  du dx 9

Sehingga diperoleh:

 x  3x 2

3

 5  dx  4

1

 9 U du 4

1 1 4 1 U c 9 4 1 1 5  U c 45 5 1  3x 3  5   c  45 

Cara lain: Perhatikan bahwa:

d  3x 3  5  dx

Dari sini akan kita peroleh:

 9x 2 

d  3x 3  5  9

 x 2 dx .

 x  3x 2

3

 5  dx 

  3x



  3x

4

3

 5   x 2 dx 

3

 5

4

4

d  3x 3  5 

9 4 1    3x 3  5  d  3x 3  5  9 4 1 1 1  .  3x 3  5  c 9 4 1 5 1  3x 3  5   c  45

Latihan:

2.

 2x 3x  1 dx  ...   x  3  x  6x  dx  ...

3.

  2x

4.

  2x  2   2x

5.

1 2 2   3x  15  2 x  5x  dx  ...

6.

 18x

7.

 3x

8.

  3x  2 3x

9.

 x2  x  5      5x  dx  ...   2 

10.

  2x

1.

2

2

3

4

2

2

 5x   20x  25 dx  ... 6

1



2

 x  dx  ... 8

1

2

2

 2  3x 3  x  dx  ... 9

1

 2  x 3  2  2 dx  ... 2

 4x  dx  ... 7

10

2

 5x   4x  5 dx  ...

D. Integral Parsial Ada bentuk integral yang tidak mudah untuk diselesaikan dengan metode substitusi, yaitu bentuk

 u dv . Untuk menyelesaikan bentuk integral seperti ini, kita menggunakan metode parsial. Sebelumnya kita misalkan y = uv. Perhatikan bahwa: y  uv dy d  uv  dv du  u v dx dx dx dx d  uv   u dv  v du

Jika kedua ruas kita integralkan, maka akan kita peroleh hal seperti berikut:

 d uv    u dv  v du uv   u dv   v du uv   v du   u dv Dengan demikian, kita peroleh aturan untuk menyelesaikan integral parsial, yaitu sebagai berikut:

 u dv  uv   v du

Contoh:

a)

 3x sinx dx  ...

Jawab: Secara singkat penyelesaian integral tersebut adalah sebagai berikut:

 3x sinx dx  3 x sinx dx  3 x  sinx dx   3 xd  cosx   3  x cos x   cos x dx   3  x cos x  sin x  c   3x cos x  3 sin x  c

Dengan demikian diperoleh:  3x sinx dx  3x cos x  3sin x  c . b)

 x cosx dx  ….

Jawab: misal :

U=x dU = dx

dan dV = cos x dx dan V =  cos x dx V = sin x

Dengan rumus:

 UdV  x cos x dx

= UV   VdU = x.(sin x)   sin x dx = x.sin x + cosx+c

Cara lain:

x

cos x

1

sin x

0

- cos x

Turunkan

+ _

Integralkan

Maka diperoleh:  x cos x dx = x.sin x + cos x + c Latihan: 1. 2.

 2x sin 7x  dx  ...  3x cos 3x  dx  ... x

3.

 x sin 2

4.

 3x sin2x dx  ...  x sin  x-1 dx  ...  2x sin  x +1 dx  ...

5. 6.

dx  ...

2

x

7.

 x cos 5

8.

 x cos 1-x  dx  ...

9.

 5x cos 1- 2  dx  ...

10.

 2xe dx  ...  xe dx  ...  xe dx  ...  2x e dx  ...  2x e dx  ...  2x e dx  ...

11. 12. 13. 14. 15.

dx  ...



x

x 2 +1

x

2x-1 2

3x

3

5x

5

-x

E. Integral Tertentu Integral tertentu berbeda dengan integral tak tentu. Integral tertentu memiliki batas untuk variable integrasi x, biasanya dinotasikan dengan: b

 f  x  dx a

Teorema: Jika f adalah fungsi kontinu pada interval tertutup [a,b], maka berlaku b

 f  x  dx  F  x  a

b a

 F b   F  a 

dengan F adalah antiderivatif dari f, yaitu F’(x) = f(x). Sifat-sifat integral tertentu: a

a)

 f  x  dx  0 a

b

b)

a

 f  x  dx   f  x  dx a

c) d) e)

b

c

b

a

c

b

 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx, a  c  b a

b

b

a

a

 k f  x  dx  k  f  x  dx

dengan k adalah konstanta.

b

a

a

a

b

b

 f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx

Contoh:

1

a)

 x dx  ... 0

Jawab: 1

1

1 2 0 x dx   2 x  0 1 1  12  0 2 2 2 1  0 2 1  2 2

b)

 3x  x-2  dx  ... 0

Jawab: 2

2

0

0

2  3x  x-2  dx   3x -6x dx  2

  x 3  3x 2  0  23  3.22   0 3  3.0 2   4  0  4

Aplikasi dari integral tertentu ini beberapa di antaranya untuk menghitung luas daerah di antara dua kurva dan menghitung volume benda putar. Kedua hal tersebut akan dibahas di sini. 5.1. Luas Daerah Secara umum, langkah-langkah untuk menghitung luas daerah di antara dua kurva y1 dan y2 yaitu sebagai berikut: a) Membuat sketsa kurva y1 dan y2 yang meliputi selang [a,b] yang diinginkan. b) Memperhatikan selang tempat kurva verada, apakah di atas sumbu x atau di bawah sumbu y. c) Menghitung luas daerah di atas dan di bawah sumbu x dengan menggunakan integral tertentu dengan cara terpisah. Jika ada yang hasilnya negatif maka harus dimutlakkan agar mendapatkan hasil yang positif, karena tidak mungkin luas hasilnya negatif. d) Menjumlahkan hasil keduanya sehingga didapatkan luas total. Perhatikan kedua gambar di bawah ini!

b

L

y

atas

 y bawah  dx

a

b

L

y

2

 y1 dx

a

d

L

x

kanan

 x kiri dy

c

d

L

x c

2

 x1  dy

Contoh:

1. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  sinx, y  cos x dan sumbu x untuk 0  x 

 adalah… 2

Jawab:

 4

 2

0

 4

Luas   sin xdx   cos xdx

2.

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola dan sumbu x seperti gambar adalah 32. Ordinat puncak parabola adalah … Jawab:

Dengan menggunakan rumus cepat diperoleh:

4 a b 3 4 Luas   2  b 3 8b 32  3 8b  96 96 b 8 b  12

L

3. Luas daerah yang dibatasi kurva y  x 2  6x  5 dan sumbu x adalah… Jawab: Dengan menggunakan rumus cepat: Luas 

D D 6a2

Syarat: 1. Jika kedua kurva dipotongkan akan menghasilkan persamaan kuadrat 2. Batas integral adalah titik potong Persamaan: y  x 2  6x  5

D  b2  4ac  6 2  4(1)(5)  36  20  16

Sehingga luasnya adalah: L

16 16 32  6  12 3

4. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y  sin2x , sumbu x dan garis x   adalah… Jawab:

  dan garis x  3 6

L

 6

 3

 sin2xdx   sin2xdx 0

0

 6



 1   1 3    cos 2x     cos 2x   2 0  2 0  1   1   1  1      cos 2.  6      cos 2.0      cos 2. 3     cos 2.0     2   2  2   2  1   1   1  1      cos   3      cos 0      cos  23     cos 0   2 2 2 2           1 1   1   1  1   1      .     .1     .      .1   2 2   2   2  2   2   1 1  1 1          4 2 4 2 1 3   4 4 1

5. Luas yang dibatasi garis y 

1 x2 dan kurva y  dapat dinyatakan sebagai integral tertentu, 1 x2 2

yaitu … 1

Kunci:

1 x2

 1 x

2

dx

0

x2 1  2 x 1 2  2x 2  x 2  1  x2  1  x  1

Luas daerah yang diarsir adalah: 1

1 x2  2 dx 2 x 1 0

Luas  2  1

1 x2 dx 2(1  x 2 ) 0

 2 1



1 x2

 1 x 0

2

dx

5.2. Volume Benda Putar Perhatikan kedua hal berikut: 1. Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada p  x  q , maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 bila diputar terhadap sumbu x.

q

V   (y 2 )2  (y1 )2  dx p

q

V   (y jauh )2  (y dekat )2  dx p

2.

Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada r  x  s , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2 terhadap sumbu y

s

V   (x 2 )2  (x1 )2  dy r

s

V   (x jauh )2  (x dekat )2  dy r

Contoh:

1. Daerah D dibatasi oleh kurva y  sin x , 0  x   dan sumbu x. Jika daerah D diputar terhadap sumbu x, maka volume benda putar yang terjadi adalah … Jawab:

1 2  2

Volume benda putar:



v   sin2 x dx 0



1  cos 2x dx 2 0

 



1 1  1      x  sin2x    2 2 2 2 0  

Jadi, volume benda putar yang terjadi adalah 2. Daerah bidang datar yang dibatasi y 

1 2  satuan volume. 2

1 , sumbu x, garis x = 1 dan garis x = 4 diputar x

mengelilingi sumbu y. Volume benda putar yang terbentuk adalah … Kunci:

1

28  3

v    (y 1 2

4

1 2

 1) dy   4 2  12 dy 0

1

1  1      y 3  y    15y 02   21  3

  4 8 1  15           3 3 2  2  28   3

Jadi, volume benda putar yang terbentuk adalah

28  satuan volume. 3

Latihan: 1) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2, garis x = 0, x = 2 dan absis x! 2) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x(x-2), x = 0, x = 3 dan absis x! 3) Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva y = x2 + 2 dan y = 5 – 2x! 4) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4, sumbu y, sumbu x dan garis x = 4 adalah … 5) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4, sumbu y dan sumbu x adalah … 6) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 6 – x adalah …

7) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan garis y = 2x + 3 adalah … 8) Diberikan f(x) = (x – 2)2 - 4 dan g(x) = -f(x). Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f dan g adalah 9) Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x2 di kuadran I, garis y = 2 – x dan garis y = 4 adalah … 10) Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 – 1, sumbu x, garis x = -1 dan x = 2 adalah … 11) Daerah yang dibatasi oleh kurva y2 = 10x, y2 = 4x dan x = 4 diputar 3600 mengelilingi sumbu x. Volume benda putar yang terjadi adalah … 12) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva

y  1

x2 , sumbu x, sumbu y dan diputar mengelilingi sumbu x adalah … 4

13) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva

y  x 2  1 dan sumbu x dari x = -1 sampai x = 1, diputar mengelilingi sumbu x 3600 adalah … 14) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva

y  9  x 2 dan y = 5 diputar mengelilingi sumbu y 3600 adalah … 15) Volume benda putar yang terjadi jika daerah pada kuadran pertama dibatasi oleh kurva

y  2 x 2  1 , x = 1, sumbu x dan sumbu y diputar mengelilingi sumbu x 3600 adalah …

SOAL DAN PEMBAHASAN TAMBAHAN

1.

 cos x  sin

3

xdx  …

Jawab: Dengan menggunakan rumus cepat: a Un1  c U' n  1

n  aU dx 

Syarat:

a k U'

Sehingga:

 cos x sin

3

cos x sin4 x  c cos x 4 1  sin4 x  c 4

xdx 

2

2. Jika

df(x) 11 , maka  f(x)dx  …  x 3  x 3 dan f(1)   dx 20 1

Jawab: Diketahui: df(x)  x 3  x 3 dx

Maka: f(x)   x 3  x 3 dx 

1 4 1 2 x  x c 4 2

Akan dicari nilai c: 11 20 1 4 1 2 11 .1  .1  c   4 2 20 1 1 11  c  4 2 20 1 11  c  4 20 11 1 c  20 4 11 5 c  20 20 6 3   20 10 f(1)  

Sehingga diperoleh persamaan:

f(x) 

1 4 1 2 3 x  x  4 2 10 2

1

 1 5 1 1 3  0 f(x)dx   20 x  2 x  10 x  1

 32 1 6   1 1 3          20 4 10   20 2 10   32 5 12   1 10 6          20 20 20   20 20 20  25 5   20 20 20  20 1

3. Turunan pertama dari f(x) adalah

4  1 , jika f(1) =5, maka f(2) = … x3

Jawab: Diketahui: f 1(x) 

4 1 x3

Maka: f(x)  2x 2  x  c

Jika f(1) =5, maka: 5  2  1  c  c  6

Sehingga diperoleh persamaan: f(x)  2x 2  x  6

Nilai f(2) adalah: f(2)  

1 26 2

 7 21

4. Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x 2  5x  2  0 , maka p

 (5  3x)dx  … q

Jawab: Diketahui: factor prima dari 42: 2, 3, 7  p = 3 Akar positif dari persamaan 3x2  5x  2  0 adalah x = 2  q = 2 Jadi:

3

p

3 2  q (5  3x)dx  5x  2 x  2 27     15    10  6  2   1  2 2 1

2

0

1

5. Jika f(x)  ax  b ,  f(x)dx  1 dan  f(x)dx  5 , maka a+b = … Jawab: Diketahui: f(x)  ax  b 1

Jika  ax  b dx  1 , maka: 0

1

a a 2   2 x  bx   2  b  1.....(i) 0 2

Jika  ax  b dx  5 , maka: 1

2

a 2  3   2 x  bx    2 a  b  .....(ii) 1

Dari (i) dan (ii) diperoleh: 3 ab  5 2 1 ab 1 2 a  4  b  1

Sehingga a + b = 3 6. Gradien garis singgung suatu kurva di titik (x,y) sama dengan 2x - 5. Jika kurva ini melalui titik (4,7), maka kurva tersebut memotong sumbu y di titik … Jawab: Diketahui gradien = 2x – 5 dan melalui titik (4, 7), maka persamaan kurvanya: f(x)   2x  5 dx  x 2  5x  c

f(4)  16  20  c  7  c  11

Jadi persamaan garisnya adalah f(x)  x 2  5x  11 Persamaan kurva memotong sumbu y  x  0 f(0)  (0)2  5(0)  11  11

 8

7. Untuk interval   x 

 , nilai 8



1  tan2 2x  tan4 2x  tan6 2x  ...dx  ...

Jawab:



1  tan2 2x  tan4 2x  tan6 2x  ...dx ..

Persamaan merupakan deret geometri tak hingga, maka: a 1 r

S 

1 1  tan2 2x 1  sec2 2x  cos2 2x 

Jadi:



1  tan2 2x  tan4 2x  tan6 2x  ...dx

  cos2 2xdx   cos 2xdx 

1 sin2x  k 2

8. Daerah D dibatasi oleh grafik, fungsi y 

1 , garis x =1, garis x = 4 dan sumbu x. Jika garis x = c x

memotong daerah D sehingga menjadi daerah D1 dan D2 yang luasnya sama, maka c = … Jawab:

x

4

    x  dx    x  dx 1 2

1

1 2

x

p

4

2x   2x 2   1  p 1 2

1

2 p 2  2 4 2 p

p

3 1 p2 2 4

b

x

b

x

9. Jika  cos    dx  c,c  0 , maka  sin2 dx  … 2c c  a a Jawab:

b

x



 cos  c   dx  c a

b

b

x x a  cos c dx  c  a cos c dx  c

Sehingga b

 sin

2

a

b

x 1 1 x dx    cos dx 2c 2 2 c a b

b

1 x 1    x    cos dx c  2 a a 2 1 1 1   b  a   c  (b  a  c) 2 2 2

10.

Luas daerah yang diarsir adalah … Jawab:

1  2 sin2x  0  2 sin2x  1 1 1 sin2x   sin2x  2 2  2x  6  x 12

Luas daerah yang diarsir adalah:

 12

L   1  2 sin2xdx 0

  x  cos 2x 012 

      cos 2.    0  cos 2.0  12   12       cos    0  cos 2.0  12 6         cos30 0    cos 0   12   1     3   (1)  12 2   1   3 1 12 2

SOAL LATIHAN TAMBAHAN

1. Hasil dari

x

 2  dx  ....

2. Hasil dari

  4x

3. Hasil dari

  4x

4. Hasil dari

  4x

5. Hasil dari

x

6. Hasil dari

x

7. Hasil dari

  2x

8. Hasil dari

  2x

3

2

 3x  2  dx  ....

2

 3x  2   8x  3  dx  ....

2

 3x  2   24x  9  dx  ....

5

5

2

 8x  dx  ....

2

 8x   x  4  dx  .... 3

2

2

 x  dx  .... 4  1  x   x   dx  .... 4 

0

9. Hasil dari

 x x 2

3

 2  dx  .... 5

1

10.Hasil dari

  cos

2

x sin x  dx adalah….

11.Luas daerah yang dibatasi oleh kurva f(x)  x 2  6x  5 , sumbu x, x = 2 dan x = 4 adalah….  2

12.  1  cos x  sin xdx  … 0

a

13.Jika

b

13 2 3 0 2 x dx  10 , 0  2x  3 dx  4

dan a,b > 0, maka nilai a2  2ab  b2  …

14.Gradien garis singgung fungsi y = f(x) di setiap titik P(x,y) sama dengan dua kali absis titik P tersebut. Jika grafik fungsi melalui (0,1), maka f(x) = … 15.Luas daerah yang dibatasi kurva y  x 2  3x  4 , sumbu x, garis x = 2 dan x = 6 adalah … 16.Jika D adalah daerah yang dibatasi oleh parabola y  4x  x 2 serta garis yang melalui (4,0) dan puncak parabola, maka luas D adalah … 17.Luas daerah yang dibatasi oleh kurva fungsi y   cos x dan turunannya pada interval adalah … 2

18.Jika

df(x) 11 , maka  f(x)dx  …  x 3  x 3 dan f(1)   dx 20 1

19.Diketahui

df(x) 3  x . Jika f(4) = 19, maka f(1) = … dx

 2

x

3 2

4  1 . Jika f(1) = 5, maka f(2) = … x3

20.Turunan pertama fungsi f(x) adalah 1

2

0

1

21.Jika f(x)  ax  b,  f(x)dx  1 dan  f(x)dx  5 maka a + b = … 22.Diketahui f(x)   x 2 dx . Jika f(2)  

19 , maka kurva itu memotong sumbu x pada … 3

1   3  dx  ... 3 x  

23.  

24.Jika p banyaknya faktor prima dari 42 dan q akar positif persamaan 3x2 – 5x – 2 = 0, maka p

 5  3x  dx q

= ...

25.Volume benda putar bila daerah dibatas oleh kurva y = -x2 + 4 dan y = -2x + 4 diputar mengelilingi sumbu y adalah … 26.Volume benda putar yang terjadi jika daerah antara kurva y = x2 + 1 dan y = x + 3 diputar mengelilingi sumbu x adalah … 27.Volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh kurva y = x + 2, x = 0 dan x = 3 diputar mengelilingi sumbu X seperti pada gambar di bawah adalah ...

y =x+2 Y

0

3

X

28.Luas daerah antara kurva y = x2 + 4x + 7 dan y = 13 – x2 adalah ... 29.  xn dx 

1 n1 x  c , dengan c bilangan tetap, berlaku ... n 1

30.Luas daerah antara kurva y = (x + 1)3, garis y = 1, garis x = -1 dan x = 2 dapat dinyatakan sebagai ... 31.Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4, sumbu y, sumbu x dan garis x = 4 adalah … 32.Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 4x + 4, sumbu x dan sumbu y adalah … b

33.Jika b > 0 dan memenuhi persamaan 3b2    x 3  3bx 2  dx  0 , maka nilai dari a2 -2a + 1 adalah … 0

34.Hasil dari   3sin2x  dx  .... 35.Hasil dari

  3sin2x  dx 3

3

 ....

36.Hasil dari

  8 sin3x  dx

37.Hasil dari

 5cos6 x  d

2

2

 .... x  ....

38.Hasil dari  3cos 5x  3  dx  .... 39.Hasil dari   3sin x  2 cos x  dx  .... 1 40.Hasil dari   2 sin3x  cos 2x  dx  .... 2





41.Hasil dari  3sin x cos5 xdx  .... 42.Hasil dari  5sin6 x cos xdx  .... 43.Hasil dari  3x cos xdx  .... 44.Hasil dari  4x sin  2x  dx  .... 45.Hasil dari  2xe x dx  .... 46.Hasil dari  7x 2 e 2x dx  ....  6

  47.Nilai dari  2 sin  x   cos  x   dx  .... 3 3 0









48.Nilai dari  2 cos 2x cos xdx  .... 0

2

49.Nilai dari  2  2x  1 dx  .... 3

0

1

50.Nilai dari  8x 2x 2  1dx  .... 1

