FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw p (5 x)(5 + x) 25 x2 (b) lim = lim x s5 5 x x!5 x!5 r ⇠ ⇠ (5⇠ x)(5 + x) 10 ⇠ = lim = = 1. ⇠ ⇠ + ⇠ (5 x)(5 x) 0 x!5 ⇠ p
1. Pernyataan benar dan salah. x100 =0 x!1 ex
(a) lim
Solusi. Benar. Fungsi eksponensial (penyebut) membesar lebih cepat daripada fungsi polinom (pembilang) sehingga pembagiannya menghasilkan nilai 0 Dengan L’Hopital’s Rule sebanyak 100 kali, diperoleh:
ln x3 3 ln x L 1/x 3 = lim = 3 lim = . x!1 (x2 x!1 2x 1) x!1 (x2 1) 2
(c) lim
x100 L 100! L = · · · = lim x = 0 x!1 ex x!1 e
xa x!1 xb
lim
x1/10 (b) lim =1 x!1 ln x
(e) lim p x!1
Solusi. Benar. Bentuk limit di atas adalah 1/1. 1/10
9/10
=1
(c) Jika lim f (x) = 1 dan lim g(x) = 1, maka x!1
x!a
x!a
lim (f (x))g(x) = 0.
x!a
x 6= a) (e) Jika lim
x!1
(Asumsikan f (x)
0 untuk
f (x) = 3, maka limx!1 (f (x) g(x)
3g(x)) = 0. 0
0
2. Bentuk tak tentu: 0/0; 1/1; 0 · 1; 1 1; 0 ; 1 ; 1 ✓ ◆ 1 (a) Tidak. lim ln(x) = 1 1 = 1. x x!0+ (b) Ya. lim (ln(x + 1) ln(x 1) berbentuk 1 1.
(g)
1 x2
1 1+x2
x!1
1
0 0
1 1
1
) dt
= lim
x!1
Rx 0
=
1 = 1. 1+0
1 . 2
1.
4t
1 dt x
= 1.
lim f (x) = lim+ xx x!0 ✓ ◆ ✓ ◆ x ln lim f (x) = ln lim x x!0+
x!0+
= lim+ ln xx x!0
= lim x · ln x; x!0+
ln x 1/x 1/x L = lim+ 1/x2 x!0 = lim+ x!0
ln
✓
lim f (x)
x!0+
◆
=0
lim f (x) = e0 = 1
x!0+
lim xx = 1
3. Hitung ⇠ 3x + 10 (x 5)⇠ (x⇠ +⇠ 2) = lim = ⇠ ⇠ ⇠ x! 2 x+2 (x + 2) ⇠
1+
=p
x!0+
x!0
x! 2
L
= lim
x
x!0+
(h) Ya. lim+ xsin(x) berbentuk 00 .
x2
q
a . b
4. Sebelum mengerjakan soal nomor (4), terlebih dahulu kita coba lim f (x) untuk f (x) = xx .
1
(ln x)2 berbentuk 1/1. x!1 2x ln(x) Tidak. lim = lim ex ln x = 1 · 1 = 1. x!1 e x x!1 2 x = 0. Tidak. lim+ x!0 ln x x2 Ya. lim berbentuk 0/0. x!0 ln(x + ex ) ✓ ◆x 1 Ya. lim+ berbentuk 10 . x x!0
(a) lim
ln(e4t x
x!1
(c) Ya. lim
(f)
1
4x
L
= lim
x!1
(e)
0
(h) lim
(d) Jika lim f (x) = 0 dan lim g(x) = 1, maka
(d)
Rx
x!a
x!a
⇡/4
x
=
ln x L 1/x 1 = lim = = x!1 sin ⇡x cos ⇡x 1
x!1
lim (f (x))g(x) = 1.
x!1
x
x
1 1
= lim
+1
1
x!1
(g) lim x!a
x x2
tan
(f) lim
1/10
x x /10 x L lim = lim = lim x!1 ln x x!1 x!1 1/x 10
1 L axa = lim 1 x!1 bxb
(d) lim
x!0+
7. 1
(bentuk 0 · 1)
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw
(a) Misalkan f (x) = (xx )x , dengan cara yang sama seperti sebelumnya
seperti sebelumnya (a): lim f (x) = lim+ ((xx )x )x x!0 ✓ ◆ ✓ ◆ ln lim+ f (x) = ln lim+ ((xx )x )x x!0+
x!0
lim f (x) = lim+ (xx )x x!0 ✓ ◆ ✓ ◆ x x ln lim+ f (x) = ln lim+ (x ) x!0+
x!0
x!0
= lim+ ln((xx )x )x x!0
= lim+ x · ln(xx )x
x!0
x!0
= lim+ ln(xx )x
= lim+ x · lim+ ln(xx )x x!0 x!0 ✓ ◆ x x = lim+ x · ln lim+ (x )
x!0
= lim+ x · ln(xx ) x!0
x!0
= lim+ x · lim+ ln(xx ) x!0 x!0 ✓ ◆ = lim+ x · ln lim+ xx x!0
ln
✓
lim f (x)
x!0+
◆
ln
x!0
=0·1
✓
lim f (x)
x!0+
◆
x!0
= 0 · ln 1 =0
lim f (x) = e0 = 1
x!0+ x x x
=0
lim ((x ) ) = 1
x!0+
lim f (x) = e0 = 1
x!0+
(d) Misalkan f (x) = x(x seperti sebelumnya
x x
lim+ (x ) = 1
x!0
(xx )
)
, dengan cara yang sama (xx )
lim f (x) = lim+ x(x ) x!0+ x!0 ✓ ◆ ✓ ◆ (xx ) ln lim+ f (x) = ln lim+ x(x )
x
x!0
(b) Misalkan f (x) = x(x ) , dengan cara yang sama seperti sebelumnya
x!0
= lim+ ln x(x
(xx )
)
x!0
x
= lim+ (x(x ) ) · ln x x!0
x
= lim+ (x(x ) ) · lim+ ln x
(xx )
lim f (x) = lim+ x x!0+ x!0 ✓ ◆ ✓ ◆ (xx ) ln lim+ f (x) = ln lim+ x x!0
x!0
5. Soal-soal berikut merupakan bentuk tak tentu. Selain dengan cara seperti nomor (4), kita juga dapat menggunakan aturan eksponensial, ingat bahwa x = eln x .
x!0
= lim+ ln x(x
x
)
x!0
(a) Menghitung lim+ xln 2/(1+ln x)
= lim (xx ) · ln x
x!0
x!0+
x
ln ln
✓ ✓
lim+ f (x)
x!0
lim+ f (x)
x!0
◆ ◆
= lim+ (x ) · lim+ ln x x!0
lim+ xln 2/(1+ln x) = lim+ eln x
x!0
x!0
lim+ x(x
x!0
)
x!0
= lim+ e(ln 2/(1+ln x)) ln x
= ln lim+ x
= lim+ e( 1+ln x ) ln 2
x!0
x!0
ln x
x!0
x!0
= e(limx!0+
x!0
x
ln 2/(1+ln x)
= 1 · lim+ ln x
lim+ f (x) = lim+ x
x!0
x!0
L
=e
=0
⇣
limx!0+
= eln 2 = 2
ln x 1+ln x 1/x 1/x
⌘
) ln 2
ln 2
(b) Untuk menghitung lim xln 2/(1+ln x) , cara yang sama x!1
seperti (5a) dapat diterapkan. Hasilnya juga akan memberikan nilai yang sama.
(c) Misalkan f (x) = ((xx )x )x , dengan cara yang sama 2
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw
(c) Dengan metode yang sama dengan nomor 5 part sebelumnya, maka lim (x + 1)
(ln 2)/x
x!0
= lim e
(e) Manipulasi aljabar lim+
ln(x+1)(ln 2)/x
x!0
x!0
ln 2 x
= lim e
x e
= lim+
1/x
x!0
L
ln(x+1)
= lim
x!0
x!0+
ln(x+1) x
= lim e
ln 2
x!0
= e(limx!0
ln(x+1) x
= e(limx!0
1/(x+1) 1
L
=e
ln 2
) ln 2
1
=e
7. Integral tak wajar?
) ln 2
ln 2 2
p
1 2
=2 =
(a) Ya, di batas atas 1.
2
(b) Ya; di batas bawah 0, nilai integran cot(x) tidak terdefinisi.
1 !0 21 (e) Berapapun nilai x 2 R, ingat bahwa 1x = 1.
(d) lim (1x + 2x )1/x ! (1 + 1) x!0
1
!
(c) Ya; di batas bawah 1, nilai integran tidak terdefinisi. (d) Tidak (e) Ya; di x = ⇡/2 pada selang integral, nilai integran tidak terdefinisi.
lim (1x + 2x )1/x = lim (1x + 2x )1/x
x! 1
x! 1
= lim eln(1+2
x 1/x
)
x! 1
= lim e(1/x) ln(1+2 x! 1
= elimx! =e
0·0
(f) Tidak x
(g) Ya; di batas bawah x = definisi.
)
1 (1/x) ln(1+2
x
)
=1
8. Hitung integralnya jika konvergen (a) Konvergen Z 5 0
2
2
x
L
= lim
x!1
ex
2
x
(2x 1
1)
x!⇡/2
x2016/2017
dx = lim
p!0+
Z
5
x
2016/2017
dx
p x=5
p!0
= lim+ 2017(5
x=p
1/2017
p1/2017 )
p!0
= 2017(51/2017 ) (b) Konvergen Z 4 Z p 1 p dx = lim (4 p!4 4 x 0 0 = lim p!4
= lim p!4
x)
1/2
2(4
x)1/2
2(4
1/2
p)
dx
x=p x=0
+ 2(4
0)1/2
=4
=1
(c) Divergen. Setelah diintegralkan, masih ada (x 5) di penyebut, sedangkan batas bawahnya x = 5 sehingga membuat penyebutnya bernilai 0.
(d) Sederhanakan lim
1
= lim+ 2017x1/2017
(c) Secara tidak langsung, aturan l’Hopital memang tidak dapat membantu, kecuali perlu dilakukan manipulasi aljabar terlebih dahulu. ex ex = lim x!1 xex x!1 x
2, nilai integran tidak ter-
(h) Ya; ada pembuat nol penyebut pada selang integral tersebut sehingga p integran tidak terdefinisi. Lebih tepatnya di x = 12 ( 13 1) ⇡ 1.30278.
p 6. (a) Keluarkan x dari bentuk akar utama menjadi x. p q p x 3 + x4 3x + 4 ⇢⇢ lim p = lim p q x!1 5 2x + 5 x!1 ⇢ ⇢x 2 + x r p 3+0 2 =p = 3 2+0 p p p (b) Perhatikan bahwa a/ b = a/b untuk a 0 dan b > 0. r p x x lim+ p = lim+ sin x x!0 sin x x!0 r p x = lim = 1=1 + x!0 sin x
lim
e1/x ( 1/x2 ) 1/x2
= lim+ e1/x ! e1 = 1
x!0
1 2
e1/x 1/x
:1 ⇠ sec x sec⇠x ⇠ = lim ⇠ sin x : tan x x!⇡/2 ⇠ ⇠x tan 1 = lim =1 x!⇡/2 sin x
2
(d) Divergen. Hasil integralnya adalah 12 e x sedangkan batas bawahnya x ! 1 yang akan membuat nilai dari hasil integral tersebut menuju ke ±1. 3
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw
(e) Kita hitung integral tak tentunya dahulu. Misalkan u = x3 , maka du = 3x2 dx Z
x2 dx = 9 + x6
Z
(h) Z Pada Tutorial Bab 7 Nomor (5.h) telah dibahas bahwa sec x dx = ln | tan x + sec x| + C sehingga divergen
ketika disubstitusikan batas x = ⇡/2. Z 1 (i) Integran sin x dx divergen, karena mengalami os-
1 du 2 9+u 3
1 tan 1 (u) + C 9 1 = tan 1 (x3 ) + C 9 Z 0 Z 1 x2 x2 x2 dx = dx + dx 6 6 9+x 9 + x6 1 9+x 0 Z 0 x2 = lim dx a! 1 a 9 + x6 Z b x2 + lim dx b!1 0 9 + x6 =
Z
1 1
1 = lim tan a! 1 9 1 tan b!1 9
+ lim
(j) Z
a b
(x3 ) 0
lim
a! 1
1 tan 9
1
x3
Z
(f) Hitung integral tak tentu terlebih dahulu Z
dx = 6x + 5
Z
dx (x 5)(x 1) Z 1 1 1 = dx 4 x 5 x 1 1 = (ln |x 5| ln |x 1|) + C 4 1 x 5 = ln +C 4 x 1
x2
Terdapat x = 1 pada selang integral yang membuat integran tidak terdefinisi. Jadi, integral (ada penyebut (x 1)) tersebut divergen. (g) Dengan metode integral Z 1 x e cos x dx = e x (sin x 2 diperoleh Z
1 0
e
x
parsial,
diperoleh
cos x)
p 0
cos p) +
=0
1)
1 p
lim+ p(ln p
p!0
1)
1 2
dx 1 = lim 2 p!1 4 (x + 3)(x + 1)
✓
3+x ln 1+x
✓ 1 3+p = lim ln p!1 4 1+p ✓ ✓ ◆ ◆ 1 5 2 ln 4 3 3 ✓ ✓ ◆ 1 1 5 = (ln 3) ln 4 4 3 1 1 = ln(9/5) + 4 6
◆ 2 1+x ◆ 2 1+p
2 3
◆
(m) Konvergen. Misalkan x = tan u sehingga dx = sec2 u du Z Z 1 1 dx = sec2 u du 2 2 3/2 (x + 1) (tan u + 1)3/2 Z 1 = sec2 u du sec3 u Z 1 = du sec u Z = cos u du
cos x) + C sehingga
1 x e (sin x p! 1 2 1 = lim e p (sin p p! 1 2 1 1 =0+ = 2 2
cos x dx = lim
0
p!0+
ln p 1 1/p 1/p L = lim = lim p = 0 1/p2 p!0+ p!0+ Z Z dx 1 1 2 (k) = dx x(2x + 5) 5 x 2x + 5 1 = (ln |x| 2 ln |2x + 5|) + C 5 1 |x| = ln +C 5 (2x + 5)2 Divergen disebabkan oleh batas atas. (l) Konvergen
(x )
1 = lim tan 1 b3 b!1 9 = ⇡/2 ( ⇡/2) =⇡
ln x dx = lim x(ln x
p!0+
3
1
1
= lim
0
1
0
ilasi.
1 2
= sin u + C x =p +C 2 x +1
4
p
2
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw
Problem Solving
Hitung limitnya
12. Akan ditentukan konstanta c sehingga ✓ ◆x x+c lim =9 x!1 x c . Solusi. ✓
Z
1 1
1 x dx = lim p 2 3/2 2 a! 1 (x + 1) x +1 + lim p b!1
= lim p
◆x x+c lim =9 x!1 x c ✓ ◆x x+c ln lim = ln 9 x!1 x c ✓ ◆x x+c lim ln = ln 9 x!1 x c ✓ ◆ x+c lim x ln = ln 9 x!1 x c ⇣ ⌘ ln xx+cc lim = ln 9 x!1 1/x ⇣ ⌘ ⇣ ⌘ x c 2c x+c · (x c)2 L =) lim = ln 9 x!1 1/x2 ✓ ◆ x c 2cx2 lim · lim = ln 9 x!1 x + c x!1 (x c)2 2cx2 1 · lim 2 = ln 9 x!1 x 2cx + c2 2 2c⇢ x⇢ lim 2 = ln 9 x!1 ⇢ x⇢(1 2c/x + c2 /x2 ) 2c = ln 32 1 0+0 2c = 2 ln 3
0
a
x x2 + 1
b
0
b
b2 + 1 a lim p 2 a! 1 a +1 b p = lim b!1 |b| 1 + 1/b2 a p lim a! 1 |a| 1 + 1/a2 b = lim p b!1 b 1 + 1/b2 a p lim a! 1 a 1 + 1/a2 b!1
b = lim p b!1 b 1 + 1/b2 a p lim a! 1 a 1 + 1/a2 1 1 =p +p =2 1+0 1+0
c = ln 3
13. Aturan LHospital tidak dapat digunakan langsung karena penyebut dan pembilang hanya akan menyisakan fungsi yang divergen dengan masing-masing hasil yang berosilasi. Gunakan teorema apit untuk menghitung limit dari sinx x dan cosx x x(2016 + 2016x + sin x = lim x!1 2017x + cos x x!1 x(2017 + 2016 + 0 = 2017 + 0 2016 = 2017 lim
14. Akan
nilai ◆ A dan ✓ dicari B 1 lim x A + + tan x ada. x!1 x 3
5
B
sin x x ) cos x x )
sehingga
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw
Solusi. Apabila disubstitusikan, limit tersebut memiliki bentuk 1 · (A + ⇡4 ), sedangkan kita tahu bahwa satusatunya kandidat (meskipun belum tentu ada) agar limit tersebut ada adalah memiliki bentuk 1 · 0, jadi dapat dipilih A = ⇡4 .
Jelas
1
x
◆
⇡/4 +
= lim
x!1
L
= lim
x!1
= = =
⇣
B x2
✓
+
B x
+ tan 1/x3 ⌘
1
x
3/x4
◆ 1 x4 2 lim Bx + 3 x!1 1 + x2 2 1 Bx Bx4 + x4 lim 3 x!1 1 + x2 2 1 x⇢( B Bx2 + x2 ) ⇢ lim 2 3 x!1 x⇢ (1/x2 + 1) ⇢
Di persamaan terakhir, nilai penyebut bernilai 1, namun pembilangnya masih memiliki bentuk tak tentu, kecuali apabila suku x2 di pembilang tidak ada. Hal tersebut terjadi ketika Bx2 + x2 = 0, atau ketika B = 1. Diperoleh: ✓ ◆ B 1 ( 1 x2 + x2 ) lim x3 A + + tan 1 x = lim x!1 x 3 x!1 (1/x2 + 1) 1 ( 1) = lim 3 x!1 (1/x2 + 1) 1 1 = · 3 0+1 1 = 3
besar
g(x) dx
a
◆
apalagi area yang lebih kecil
(b) Berdasarkan hasil 15(a), kita akan memilih g(x) yang bisa dihitung integralnya dan konvergen, sehingga integran f (x) di bawah ini juga akan konvergen. x i. Kita pilih g(x) = . Jelas bahwa pada inter1 + x4 val [a, 1), fungsi g(x) tak negatif dan lebih besar 1 dari f (x) = 4 . Selanjutnya hitung inx (1 + x4 ) tegral g(x) pada interval yang diberikan dengan cara substitusi u = x2 sehingga du = 2x dx atau 1 2 du = x dx Z
1 1
x 1 dx = 4 1+x 2
Z
1 12
1 dx 1 + u2 b
1 lim tan 1 (u) 2 b!1 1 ✓ 1 1 = lim tan (b) 2 b!1 1 ⇣⇡ ⇡⌘ = 2 2 4 (Konvergen) =
Berdasarkan 15(a), maka
Z
1
x4 (1
a
tan
1
(1)
◆
1 dx juga + x4 )
konvergen. ii. Pada interval yang diberikan, kita ketahui bahwa 2 e x e x sehingga dapat dipilih bahwa g(x) = x e . Z 1 Z 1 2 e x dx e x dx 1
1
b
⇡/2 ~
e
x
= lim
e
b
= lim
1 +e eb
=0+e
1
= lim
b!1
15. Diberikan 0 f (x) g(x) pada [a, 1)
b!1
(a) Karena g(x) dan f (x) tak negatif, maka luas di bawah kurva masing-masing bernilai sama dengan nilai integralnya di interval [a, 1).
b!1
=e
Diberikan g(x) f (x) yang berarti kurva g(x) tidak pernah di bawah kurva f (x) sehingga area di bawah kurva g(x) tidak pernah kurang dari area di bawah kurva f (x), atau dalam hal ini Z 1 Z 1 0 f (x) dx g(x) dx a
yang
1
a
1 1+x2
Jadi, agar limit tersebut ada, maka haruslah A = dan B = 1 dengan nilai limitnya 13 .
area
saja ✓Z 1 konvergen, ◆ f (x) dx .
Setelah memiliki bentuk tak tentu, kita manipulasi aljabar sehingga dapat diterapkan aturan L’Hopital. ✓ B lim x3 A + + tan x!1 x
apabila
✓Z
Jadi
Z
1
e
x2
1
1
+e
1
1
(Konvergen)
dx konvergen.
1
iii. Perhatikan bahwa fungsi eksponensial meningkat secara cepat dibanding dengan polinom. Hal ini berarti nilai ex jauh lebih besar daripada x2(n 1) untuk x L dengan L suatu nilai tertentu. Ke-
a
6
FMIPA - ITB. MA1201 Matematika 2A Semester 2, 2016-2017
Tutorial Bab 8: Bentuk Tak Tentu & Integral Tak Wajar Solusi: @arfnw
mudian, integral di soal dapat kita pisah menjadi: Z
1
x
n 1
e
x
dx =
1
+
Z
Z
L 1 1
xn
1
e
x
dx
xn
1
e
x
dx
L
RL yang mana 1 xn 1 e x dx pasti konvergen (karena batasnyaR tertentu) sehingga kita perlu 1 melihat apakah L xn 1 e x dx konvergen atau tidak. Jika ya, maka integral di soal tersebut konvergen. Kita tahu bahwa x2(n 1) << ex , atau dengan bentuk lain setelah diakar xn 1 << ex/2 , diperoleh: Z 1 Z 1 n 1 x x e dx << ex/2 e x dx L L Z 1 = e x/2 dx L
b
= lim
2e
x/2
= lim
2e
b/2
b!1
b!1
L
= 0 + +2e = 2e
L/2
+ 2e
L/2
L/2
(Konvergen)
R1 Jadi L xn 1 e x dx juga konvergen, akibatnya integral yang diminta di soal juga konvergen.
7
