BAB 3. DIFFERENSIAL Motivasi: bagaimana menentukan gradien garis singgung suatu kurva di suatu titik pada kurva
bagaimana menentukan kecepatan sesaat suatu benda yang bergerak sepanjang garis lurus
Definisi: misalkan f adalah fungsi yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a. Turunan fungsi f di x = a yang dinotasikan sebagai f’(a) adalah
f ( a + h) − f ( a ) h h →0 f ( x) − f ( a ) = lim , x−a x→a
f ′(a ) = lim
jika limit tersebut ada.
Catatan: jika f’(a) ada maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan di x = a.
1
Contoh :
1. f ( x) = k , k konstanta f ( a + h) − f ( a ) k −k ′ f (a) = lim = lim =0 h h →0 h→0 h 2. f ( x ) = x f ( a + h) − f ( a ) a+h−a h f ′( a ) = lim = lim = lim = lim 1 = 1 h h h→0 h→0 h→0 h h→0
3. f (x) = x2 − 4
, tentukan f’(2)
x 2 − 4, x2 − 4 = 4 − x 2 ,
jika x 2 − 4 ≥ 0 yaitu jika x ≥ 2 atau x ≤ −2 jika x 2 − 4 < 0 yaitu jika - 2 < x < 2
f (x) − f (2) f ′(2) = lim = lim x −2 x→2 x→2
x2 − 4 − 0 x −2
x2 − 4 = lim x→2
x −2
= ??? 2
x2 − 4
4 − x2 (2 − x)(2 + x) lim− = lim− = lim x −2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 − (x − 2)(2 + x) = lim = − lim 2 + x = −4 = f−′ (2) x −2 x→2 x→2 x2 − 4
x2 − 4 (x − 2)(x + 2) lim+ = lim+ = lim = lim x + 2 = 4 = f+′ (2) x −2 x→2 x − 2 x→2 x − 2 x→2 x→2 x2 − 4 Karena lim− x→2
x−2
x2 − 4 ≠ lim+ x→2
x−2
x2 − 4 maka lim x →2
x−2
tidak ada.
Jadi f ′(2) tidak ada. Berarti x 2 − 4 tidak terdiferensialkan di x = 2. 3
y = x2 − 4
y = x2
y = x2 − 4
4
Turunan kiri dan turunan kanan Definisi : Turunan kiri (kanan) fungsi f di x = a adalah
f −′ (a ) = lim− h →0
= lim− x →a
f ( a + h) − f ( a ) h f ( x) − f (a) , x−a
f ( a + h) − f ( a ) ′ f + (a ) = lim+ h h →0 f ( x) − f (a) = lim+ . x−a x →a
Kembali lagi ke definisi turunan di suatu titik a :
f ( a + h) − f ( a ) h h →0
f ′(a ) = lim
Bila a diambil sebarang bilangan di himpunan bilangan riil maka diperoleh suatu fungsi yang mengaitkan setiap bilangan riil a ke f’(a) , yaitu
f ′:ℜ → ℜ a → f ′( a) x → f ′( x) Jadi dari fungsi f diperoleh fungsi baru f’(x) yang disebut fungsi turunan / diferensial dari f(x).
5
Sifat-sifat fungsi turunan:
1. ( f ± g )′( x ) = f ′( x ) ± g ′( x ) 2. ( kf )′( x ) = kf ′( x ) 3. ( fg )′( x ) = f ′( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′( x ) ′ f f ′( x ) g ( x ) − f ( x ) g ′( x ) 4. ( x ) = 2 g ( g ( x )) 5. ( fgh )′( x ) = ? n
6. ( f )′( x ) = ? 6
5 . ( fgh )′( x ) = f ′( x ) g ( x ) h ( x ) + f ( x ) g ′( x ) h ( x ) + f ( x ) g ( x ) h ′( x ) n ′ 6 . f ( x ) = f f′ n −1 + ff f′ n − 2 + ff f f′ n − 3 + K + fff K f ′
( )
= nf n −1 f ′ Akibat
: f (x) = x n ,
n bilangan
asli
′
( ) = nx n −1 . 1 = nx n −1
f ′( x ) = x
n
Untuk n = 0 jelas berlaku Untuk n bilangan bulat negatif, maka n = -m, m bilangan asli, sehingga
f ( x) = x
−m
⇒ f ′( x ) =
=
1 xm
0. x m − 1.mx m −1 x 2m n
Jadi : f ′( x ) = ( x ) ′ = nx
=−
n −1
mx m −1 x 2m
= − mx − m −1 = nx n −1 7
,
n bilangan bulat
Teorema: Jika f’(a) ada maka f kontinu di a Hati2! Sifat kebalikannya tidak benar!!!! Jika f kontinu di a maka tidak selalu mengakibatkan f’(a) ada !!!! Demikian pula Jika f’(a) tidak ada maka tidak selalu mengakibatkan f tak kontinu di a !!!! Yang benar: Jika f tidak kontinu di a maka pasti f tidak terdiferensialkan di a Contoh:
f ( x) = x 2 − 4
2 Jelas bahwa f(x) kontinu di x = 2, sebab lim x − 4 = 0 = f (2). Tetapi x →2
Kesimpulan
f ′(2) tidak ada.
f ′(a ) ada → f kontinu di a → lim f ( x) ada x→a
f ′(a) ada
f kontinu di a
lim f ( x) ada x→a 8
Contoh : mx + b, x < 2 Jika f ( x) = 2 x , x ≥ 2, tentukan a dan b agar f ( x) terdiferensialkan di ℜ. Jawab: Periksa terlebih dahulu kekontinuan f(x). Karena f(x) berupa polinom untuk x < 2 dan x > 2, maka f(x) kontinu untuk x < 2 dan x > 2. Jadi cukup diperiksa kekontinuan f(x) di x = 2, yaitu
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = f (2), yaitu
x →2
x →2
m.2 + b =
2m + b = 4
4 = 4
Lalu periksa turunan kiri dan turunan kanan di x = 2 :
f (2 + h) − f (2) m( 2 + h) + b − 4 = lim− h h h →0 h →0 mh + 2m + b − 4 mh + 4 − 4 mh = lim− = lim− = lim− = m, 9 h h h →0 h →0 h →0 h
f −′ (2) = lim−
( 2 + h) 2 − 4 f (2 + h) − f (2) = lim− f +′ (2) = lim+ h h h →0 h →0 4 + 4h + h 2 − 4 h( 4 + h) = lim− = lim− = 4, h h h →0 h →0 Agar f(x) terdiferensialkan di x = 2 maka haruslah
f −′ (2) = f +′ (2), yaitu m = 4, dan b = 4 − 2m = −4 y=x
2
y = f(x) y = 4x - 4
10
Turunan fungsi trigonometri
1. Jika f ( x) = sin x, maka f ′( x) = ? f ( x + h) − f ( x ) sin( x + h) − sin x = lim h h h →0 h →0 sin x cos h + cos x sin h − sin x = lim h h →0 cos h sin h sin x = lim sin x + cos x − h h h h →0 sin h cos h 1 = lim sin x − + cos x lim h h →0 h →0 h h sin h cos h − 1 = lim sin x + cos x lim = sin x.0 + cos x.1 = cos x h h →0 h →0 h
f ′( x) = lim
11
2. Jika f ( x) = cos x, maka f ′( x) = ? f ( x + h) − f ( x ) cos( x + h) − sin x = lim h h h →0 h →0 cos x cos h − sin x sin h − cos x = lim h h →0 sin h cos h 1 = lim cos x − − sin x lim h h →0 h→0 h h sin h cos h − 1 = lim cos x − sin x lim = cos x.0 − sin x.1 = − sin x h h →0 h →0 h
f ′( x) = lim
3. Turunan fungsi trigonometri yang lain dapat ditentukan dari turunan fungsi sin x dan cos x menggunakan aturan turunan hasil bagi dua fungsi. 12
ATURAN RANTAI Misalkan y = ( f o g )( x) = f ( g ( x) ) = h( x) tentukanlah Misalkan
y ′(x) ! g ( x) = u → y = f (u )
sehingga
dy dy du dy dg y′ = = = = f ′(u) g ′( x) = f ′( g ( x)) g ′( x) dx du dx du dx
Contoh
1. y = cos( 2 x 2 + 3 x − 1), tentukan y ′ ! Misalkan u = g ( x ) = 2 x 2 + 3 x − 1 maka y = cos(u ) = f (u ) = f ( g ( x ) ) = ( f o g )( x ) dy du sehingga y ′ = = − sin(u )( 4 x + 3) = −( 4 x + 3) sin( 2 x 2 + 3 x − 1) du dx
13
(
)
2. y = cos 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5 , tentukan y ′ ! Misalkan t = 2 x 2 − 4 x + 5 u = 5 sin t v= u =u
1
2
w = cos(v) maka y = w = w
1
2
1 dy dw dv du dt 1 − 12 = 2 w (− sin(v) ) 12 u − 2 5 cos(t )(4 x − 4) dw dv du dt dx 5(4 x − 4) cos(2 x 2 − 4 x + 5) sin 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5 =−
sehingga y ′ =
(
(
)
(
4 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5 cos 5 sin 2 x 2 − 4 x + 5
)
)
14
TURUNAN FUNGSI IMPLISIT Bentuk y =f(x) disebut fungsi eksplisit sebab y dapat dinyatakan secara eksplisit sebagai fungsi dari x. Ciri-ciri fungsi eksplisit: biasanya y dan x terpisah di ruas yang berbeda. y sebagai fungsi dari x juga dinyatakan secara implisit, yaitu dengan mengumpulkan x dan y di ruas yang sama menjadi bentuk F(x,y)=0. Fungsi eksplisit dengan mudah dapat diubah menjadi fungsi implisit, namun fungsi implisit tidak selalu dapat (dengan mudah) diubah menjadi fungsi eksplisit. Contoh
1. y =
cos x 2 3
tan( x − 1)
cos x 2
(eksplisit ) → y − = 0 (implisit) 3 tan( x − 1) 1 4 42 4 43 F ( x, y )
2. x 2 + 3 y 4 = 12
(implisit)
3. 8 x 3 + x 2 y − 4 y + 6 = 0 4. 8 x 3 + x 2 y 3 − 4 y + 6 = 0 5. cos (xy) + xy 2 = 0
(implisit) (implisit)
(implisit) 15
TRIK MENENTUKAN TURUNAN FUNGSI IMPLISIT
1. Bila memungkinkan, nyatakan sebagai fungsi eksplisit
2. Bila tidak memungkinkan, turunkan setiap suku dari F(x,y)=0. Dengan mengingat bahwa y = f(x), gunakan aturan rantai, lalu selesaikan persamaan untuk
Contoh:
dy . dx
1. 8 x 3 + x 2 y 3 − 4 y + 6 = 0 Turunkan setiap suku terhadap x : dy dy −4 =0 dx dx dy 24 x 2 + 2 xy 3 + x 2 3 y 2 − 4 =0 dx dy 24 x 2 + 2 xy 3 = 4 − x 2 3 y 2 dx 24 x 2 + 2 xy 3 + x 2 3 y 2
( (
) )
dy 24 x 2 + 2 xy 3 y′ = = dx 4 − x2 3y2 2. Tentukan persamaan garis singgung dari grafik persamaan y + sin( xy 2 ) + 3x 2 = 3 di titik (1,0).
16
