7.
Bab PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA
Dalam bidang teknik sering dijumpai persamaan suatu fenomena alam yang dinyatakan dalam persamaan diferensial biasa (PDB) Contoh:
♦ Problem nilai awal:
y’ = f(x,y) dengan y(x0) = Y0
♦ Problem nilai batas:
y” = g(x,y,y’) dimana a<x
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
dengan A & B adalah matrik 2x2 dan
1
&
2
konstanta yg telah diketahui.
Taylor series Taylor mengatakan bahwa suatu fungsi dengan sifat tertentu dapat dinyatakan sebagai h h2 h n (n ) f ( x0 ) + ... f ( x ) = f ( x0 ) + f ′( x0 ) + f ′′( x0 ) + ... + 1! 2! n! atau h h2 h n (n ) ′ ′ ′ y 0 + ... h + x − x0 y(x ) = y0 + y0 + y 0 + ... + 1! 2! n! Deret ini akan digunakan dalam bab ini 1 Contoh: y ′ − y = 0, y (0) = 1 2 dy 1 dy 1 = y → = dx dx 2 y 2 Secara analitis 1 1 ∫ y dy = 2 ∫ dx x 1 Jadi 1n y = x = c → y = e 2 + c 2 0 y (0) = 1 → 1 = e 2 + c → c = 0 Jika Maka secara analitis y = e
x
2
Dengan deret Taylor dapat diselesaikan sbb:
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 61 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
1 y 2 1 y ′′ = y ′ 2 Pers. Asli 1 y ′′′ = y ′′ 2 1 y ′′′' = y ′′′ 2 1 1 Jadi y (x ) = 1 + x + x 2 2 8
Buku kuliah
y (0 ) = 1
y′ =
x0 = 0
y ′(0) =
1 2 1 y ′′(0 ) = 4 1 y ′′′(0) = 8 1 3 1 4 + x + x + ... 48 384
y
y = ex/2
y = 1+
1 1 1 3 x + x2 + x 2 8 384
y = 1+
1 1 x + x2 2 8
y = 1+
1 x 2 x
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
Gambar 15 Penyelesaian dengan Metoda Euler Cara numeris untuk menyelesaikan problem nilai awal adalah diferensial hingga. Pada metoda diferensi hingga penyelesaian pendekatan didapat pada titik-titik hitung x0 < x1 < x 2 < ... < x n < ... dan nilai pendekatan pada setiap x n diperoleh dengan menggunakan nilai-nilai yg didapat sebelumnya. Ditinjau PDB:
y ′ = f ( x, y ), y ( x0 ) = Y0
Penyelesaian sesungguhnya ditulis Y(x), sehingga pers. diatas menjadi: Y’(x) = f(x, Y(x)), Y(x0) = Y0
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 62 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
Penyelesaian pendekatannya ditulis y(x) dan nilai y(x0), y(x1), …, y(xn), … atau ditulis sebagai y0, y1, …, yn, … sebuah pias h 〉 0 digunakan untuk mendefinisikan titik-titik hitung x j = x0 + jh
j = 0,1, ...
Jika akan diadakan perbandingan penyelesaian pendekatan untuk beberapa nilai h, maka yh(x) digunakan untuk menyatakan y(x) dengan pias h.
7.1. Metoda Euler Dengan deret Taylor hitung Y(xn+1) dengan menggunakan Y(xn) h2 Y ( x n +1 ) = Y ( x n ) + h Y ′(x n ) + Y ′′(ξ n ) 2 dengan x n ≤ ξ ≤ x n +1 Rumus Euler menjadi: dengan
y n +1 = y n + hf ( x n , y n ) y 0 = Y0
n = 0,1,2, ...
Kesalahan diskritisasi adalah
Y ( x n +1 ) − y n +1 =
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
Contoh:
h2 Y ′′(ξ n ) 2
PDB y ′ = y, y (0 ) = 1 → Y ( x ) = e x
Rumus Euler uth h = 0.2 y n +1 = y n + 0.2 y n = 1.2 y n y1 = 1.2 y 0 = 1.2 × 1 = 1.2
y 2 = 1.2 y1 = 1.2 × 1.2 = 1.44 Jika ditabelkan: h 0.2
x 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
yh(x) 1.44000 2.07360 2.98598 4.29982 6.19174
0.1
0.4 0.8 1.2
1.46410 2.14356 3.13843
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
Yh(x) Yh(x)- yh(x) 1.49182 0.05182 2.22554 0.15194 3.32012 0.33414 4.95303 0.65321 7.38906 1.19732 1.49182 2.22554 3.32012
0.02772 0.08198 0.18169
hal. 63 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
h
Buku kuliah
x 1.6 2.0
yh(x) 4.59497 6.72750
Yh(x) Yh(x)- yh(x) 4.95303 0.35806 7.38906 0.66156
Perhatikan bahwa kesalahan menurun ½ dari nilai pertama karena h dikecilkan ½ kali
7.2. Metoda ‘Multi–Step’ Secara umum rumus langkah majemuk dapat ditulis sebagai:
y n +1 = ∑ a j y n − j + h ∑ b j f (x n − j , y n − j ) p
p
j =0
j = −1
n≥ p
Koefisien a 0 , ..., a p , b−1 , b0 , ..., b p adalah suatu konstanta, dan p ≥ 0 Jika a p ≠ 0 dan b p ≠ 0 , metoda ini disebut metoda langkah (p+1), karena (p+1) nilai pendekatan sebelumnya digunakan untuk menghitung y n +1 . Nilai y1 , ..., y p harus dihitung dengan cara lain. Metoda Euler adalah metoda langkah tunggal karena p = 0, dan a 0 = 1 , b−1 = 0 , b0 = 1 . Jika b−1 = 0 maka Y( xn +1 ) hanya terdapat pada ruas kiri, sehingga rumusnya disebut rumus eksplisit. Jika b−1 ≠ 0 , maka Y( xn +1 ) terdapat diruas kanan maupun kiri, sehingga disebut D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
rumus implisit. Koefisien a j dan b j dapat dihitung dari p
p
j =0
j =0
∑ a j = 1 − ∑ ja j + p
p
j =0
j = −1
p
∑b j = −1
j
i i −1 ∑ (− j ) a j + i ∑ (− j ) b j
=1 =1
i = 2, ..., m
Rumus terakhir menjamin bahwa Y ( x ) dapat diderivikasikan
(m + 1)
kali. Jika a 0 = 0 , a1 = 1 , b−1 = 0 , b0 = 2 , maka didapat rumus untuk metoda titik tengah
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
y n +1 = y n −1 + 2hf ( x n , y n )
n≥1
hal. 64 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
Merupakan metoda langkah ganda yang explisit. 1 Jika a 0 = 1 , b−1 = b0 = , maka didapat rumus trapesium yang implisit dan 2 merupakan metoda langkah tunggal: 1 y n +1 = y n + h[ f (x n , y n ) + f ( x n +1 , y n +1 )] , n ≥ 0 2
7.2.1. Metoda Trapesium Metoda ini dapat pula dijabarkan dari: Y’(t) = f(t, Y(t)) Diintegrasikan dari [x n , x n +1 ] x n +1
x n +1
xn
xn
∫ Y ′(t )dt = ∫ f (t , Y (t ))dt
1 h3 h[ f ( x n , Y ( x n )) + f ( x n +1 , Y ( x n +1 ))] − Y ′′′(ξ n ) x n ≤ ξ n ≤ x n +1 2 12 sehingga pendekatannya menjadi 1 y n +1 = y n + h[ f ( x n , Y ( x n )) + f ( x n +1 , Y (x n +1 ))] 2 Karena rumusnya implisit, maka yn+1 dapat dihitung dengan iterasi, jadi secara Y ( x n +1 ) − Y ( x n ) =
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
umum:
[
]
1 y n( +j +11) = y n + h f ( x n , y n ) + f (x n +1 , y n( +j )1 ) 2
j=0, 1, …
Langkah-langkah hitungan: 1. xn,yn telah diketahui/dihitung pada langkah sebelumnya 2. y n(0+)1 diprakirakan dgn rumus eksplisit, misalkan
y n(0+)1 = y n + hf ( x n , y n )
3. y n(0+)1 dimasukkan kedalam ruas kanan sehingga y n(1+)1 dapat dihitung 4. langkah 2 diulang s/d ketelitian yang dikehendaki Walaupun secara umum dapat diselesaikan dengan iterasi, tetapi mungkin dapat diselesaikan dengan cara lain atau bahkan tanpa iterasi tergantung dari ƒ(x,y). Contoh:
y’= y
Karena
ƒ(x,y) = y, maka y n +1 = y n +
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
y(0) = 1
1 h( y n + y n +1 ) 2
hal. 65 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
h 2y = h n 1− 2 1+
y n +1
Untuk
1.1 y n = 1.2222 y n 0.9 y1 = 1.2222 y 0 = 1.2222 × 1
h = 0.2 → y n +1 =
y 2 = 1.2222 y1 = 1.2222 × 1.2222 = 1.49383 Jika ditabelkan: x 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0
yh(x) 1.49383 2.23152 3.33350 4.97968 7.43878
Yh(x) 1.49182 2.22554 3.32012 4.95303 7.38906
Yh(x)- yh(x) -0.00200 -0.00598 -0.01339 -0.02665 -0.04972
7.3. Metoda Runge-Kutta (RK)
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
Metoda Runge-Kutta merupakan metoda langkah tunggal yang lebih teliti dibandingkan metoda Euler. Semua metoda RK dapat ditulis sebagai: y i +1 = y1 + hΦ( xi , yi , h ) dengan Φ( xi , y i , h ) disebut fungsi penambah
7.3.1. Metoda RK derajat dua dengan
Φ = ak1 + bk 2 k1 = f ( xi ,yi ) k 2 = f ( xi + ph,qhf ( xi ,y i ) + y i )
= f ( xi + ph,qhk1 + y i )
dimana a,b,p,q akan ditentukan kemudian. Ditinjau deret Taylor untuk 2 variabel (x,y):
f ( x + r , y + s ) = f ( x, y ) + rf x ( x, y ) + sf x ( x, y ) + rsf xy ( x, y ) +
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
[
1 2 r f xx ( x, y ) + 2
1 2 3 s f yy (x, y ) + O ( r + s ) 2
]
hal. 66 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
∴ k 2 = f ( xi ,y i ) + phf x (xi ,y i ) + k1 qhf y ( xi ,y i ) + O(h 2 )
Jadi
y i +1 = y i + hf ( xi ,y i ,h )
[
]
= y i + h[af (xi ,y i ) + bf ( xi ,y i )] + h 2 pbf x ( xi ,y i ) + bqf ( xi ,y i ) f y ( xi ,y i )
(A)
Dengan deret Taylor: y i +1
= y i + hy ′(xi ,y i ) +
h2 y ′x ( xi ,y i ) + ... 2!
[
]
h2 y i′′ + y ′y y ′ 2 h2 f x (xi ,y i ) + f (xi ,y i ) f y ( xi ,y i ) = y i + hf ( xi ,y i ) + 2 A = B → a + b = 1, bp = 12 , bq = 12 = y i + hy i′ +
[
(B)
]
Tidak dapat diselesaikan karena hanya ada 3 persamaan dengan 4 bilangan anu yaitu a,b,p,q. Biasanya nilai b adalah ½ atau 1.
♦ Untuk b = ½, a = ½, p =q = 1 Euler utk y
y i +1
i +1 6474 8 h = y i + [ f ( xi , y i ) + f {xi + h, y i + hf ( xi , y i )}] 424 3 1444424444 3 2 1 slope di xi
(C)
slope di xi +1 dihitung dgn metoda Euler
Jadi metoda RK dapat dipandang sebagai metoda ‘predictor-corrector’
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
1. Langkah predictor: a. prakirakan yi +1 dengan metoda Euler b. slope (y’) dititik (xi +1 , yi +1 ) adalah f ( xi +1 , y i +1 ) 2. Langkah corrector: a. hitung slope (y’) dititik (xi, yi) yaitu f(xi, yi) b. hitung slope rerata = (slope 1.b + slope 2.a)/2 c. hitung yi+1 = yi + h x hasil 2.b
♦ Untuk b = 1, a = 0, p = q = ½ y i +1 = y i + hf (xi + 12 h, y i + 12 hf ( xi + y i ))
7.3.2. Metoda RK berderajat tiga y i +1 = y i + 16 h[k1 + 4k 2 + k 3 ] k1 = f ( x i , y i )
k 2 = f (xi + h 2 , y i 12 hk1 )
k 3 = f ( xi + h, y i + 2hk 2 − hk1 )
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 67 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
7.3.3. Metoda RK berderajat empat
7.3.3.1.
Metoda Pertama
(k1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) f ( xi , y i ) f (xi + 12 h, y i + 12 hk1 ) f (xi + 12 h, y i + 12 hk 2 ) f (xi + 12 h, y i + 12 hk 3 )
y i +1 = y i + k1 = k2 = k3 = k4 =
7.3.3.2.
h 6
Metoda Kedua
(k1 + 3k 2 + 3k 3 + k 4 ) f ( xi , y i )
y i +1 = y i + k1 =
h 8
k 2 = f (xi + h 3 , y i + 13 hk1 )
k 3 = f (xi + 23 h, y i − 13 hk1 + hk 2 )
k 4 = f ( xi + h, y i + hk1 − hk 2 + hk 3 )
7.3.3.3.
Metoda Ketiga Metoda inilah yang paling banyak digunakan y i +1 = y i + 16 h k1 + 2 − 2 k 2 + 2 − 2 k 3 + k 4
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
[ (
)
k1 = f ( x i , y i )
(
)
)
( )hk )
k 2 = f (xi + 12 h, y i + hk1 )
( = f (x
(
k 3 = f xi + 12 h, y i + 12 − 1 + 2 hk1 + 1 1 − k4
Contoh:
i
+ h, y i −
1 2
(
hk 2 + 1 +
1 2
y (0 ) = 1 Ú eksak Y ( x ) = e
y′ = y 1 2
x
1 2
]
)hk ) 2
3
2
Y (1) = e 1 2 = 1.648721271 Diselesaikan dengan RK4: f ( x, y ) = 12 Y
k1 = f (x 0 ,y 0 ) = f (0,1) = 12 × 1 =
1 2
k 2 = f (x 0 + 12 h,y 0 + 12 hk1 ) = f (0 + 12 .1,1 + 12 .1. 12 ) = f ( 12 , 54 ) = 12 . 54 =
5 8
( ( ) ( )hk ) [1 + (− 1 + 2 )(1)( ) + (1 − )(1)( )] = 0.64331
k 3 = f x0 + 12 h,y 0 + 12 − 1 + 2 hk1 + 1 − =
1 2
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
1 2
1 2
1 2
5
1 2
2
8
hal. 68 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
( [1 −
Buku kuliah
k 4 = f x 0 + h,y 0 − =
1 2
1 2
(1)( 8 ) + (1 +
1 2
( )hk ) )(1)(0.64331)] = 0.828125
hk 2 + 1 + 1 2
5
1 2
3
[ + (2 + 2 )(0.64431) + 0.828125] = 1.6484375
y (1) = y (0 ) + 16
1 2
7.4. Metoda ‘Predictor-Corrector’ Metoda langkah majemuk berdasarkan rumus integrasi. Secara umum metoda ini mengintegrasi PDB pada interval [xi-k, xi+1] sebagai berikut: y ′ = f ( x, y ) y i +1
xi +1
yi − k
xi − k
∫ dy =
∫ f (x, y )dx
y i +1 = y i − k +
xi +1
∫ f (x, y )dx
xi − k
r
f(x, y) didekati polinomial derajat r, Φ ( x ) = ∑ a j x j j =0
Integrasi terbuka dan beda terbagi mundur menghasilkan:
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
♦ untuk k = 0, r = 3 y i +1 = y i +
h 24
(55 f i − 59 f i −1 + 37 f i −2 − 9 f i −3 )
♦ untuk k = 1, r = 1 y i +1 = y i −1 + 2hf i
O(h5) O(h3)
♦ untuk k = 3, r = 3 y i +1 = y i −3 + 43 h(2 f i − f i −1 + 2 f1+ 2 )
(I)
♦ untuk k = 5, r = 5 y i +1 = y i −5 + 103 h(11 f i − 14 f i −1 + 26 f i − 2 − 14 f i −3 + 11 f i − 4 )
O(h5)
O(h7)
Integrasi tertutup dan beda terbagi mundur menjadi:
♦ untuk k = 0, r = 3 y i +1 = y i +
h 24
♦ untuk k = 5, r = 5 y i +1 = y i −1 +
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
(9 f i +1 + 19 f i − 5 f i −1 +
h 3
( f i +1 + 4 f i +
f i −1 )
f i−2 )
O(h5) (II)
O(h5)
hal. 69 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
♦ untuk k = 3, r = 5 y i +1 = y i −3 +
Buku kuliah
2h 45
(7 f i +1 + 32 f1 + 12 f i −2 + 7 f i −3 )
O(h7)
Kesulitan metoda langkah majemuk adalah pada saat permulaan y i − k belum terhitung sehingga harus harus dihitung dengan cara lain, misalnya metoda Euler. Dari hasil di atas tampak bahwa integrasi terbuka memberikan rumus eksplisit; sehingga hitungan tidak menggunakan iterasi. Integrasi tertutup menghasilkan rumus implisit, sehingga membutuhkan iterasi. Walaupun menggunakan iterasi, integrasi tertutup lebih disukai karena ketelitiannya lebih tinggi. Contoh: 14 5 ( 4 ) h f (ξ ) 15 1 5 (4) (II) kesalahan: − h f (ξ 90
Pada
xi −3 ≤ ξ ≤ xi +1
(I) kesalahan:
)
xi −3 ≤ ξ ≤ xi +1
♦ Rumus Adam-Bashforth (eksplisit) 1. Yn +1 = Yn + hYn′ + 12 h 2Y ′′(ξ n )
[3Y ′ − Yn′−1 ] + 125 h 3Y (3) (ξ n ) Yn +1 = Yn + 12h [23Yn′ − 16Yn′−1 + 5Yn′− 2 ] + 83 h 4Y (4 ) (ξ n ) 251 5 (5 ) Yn +1 = Yn + 24h [55Yn′ − 59Yn′−1 + 37Yn′− 2 − 9Yn′−3 ] + 720 h Y (ξ n )
2. Yn +1 = Yn + 3. D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
4.
h 2
♦ Rumus Adam – Moulton (implisit) 1. Yn +1 = Yn + hYn′+1 − 12 h 2Y ′′(ζ n )
[Yn′+1 + Yn′ ] − 121 h 3Y (3) (ζ n ) Yn +1 = Yn + 12h [5Yn′+1 + 8Yn′ − Yn′−1 ] − 121 h 4Y (4 ) (ζ n ) 19 Yn +1 = Yn + 24h [9Yn′+1 + 19Yn′ − 5Yn′−1 + Yn′− 2 ] − 720 Y (5 ) (ζ n )
2. Yn +1 = Yn + 3. 4.
h 2
7.4.1. Algoritma ‘Predictor-Corrector Rumus A-M membutuhkan penyelesaian iterasi, sedangkan rumus A-B tidak, tetapi A-M ketelitiannya lebih tinggi. Algoritma ‘predictor-corrector’ berusaha menggabungkan keuntungan kedua rumus diatas, sebagai berikut:
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 70 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
1. Gunakan rumus A-B untuk memperkirakan Yn +1 (predictor; rumus A-B) 2. Hitung Yn +1 memakai rumus A-M tanpa iterasi dengan memakai Yn +1 nilai dari a (corrector; rumusA-M) Contoh: 1. A-B-M derajat 4: a. Predictor A-B
y n +1 = y n + h [55 f n − 59 f 24
+37 f
−9 f
n −1
n−2
n −3
]
b. Corrector A-B
y n +1 = y n + h [9 f n +1 − 19 f n−5 f 24
+f
n −1
n−2
]
2. Rumus Milne derajat 4: a. Predictor
y n +1 = y n −3 + 4h (2 f n − f n −1 + 2 f n − 2 ) 3 b. Corrector
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
y n +1 = y n −1 + h ( f n +1 + 4 f n + f n −1 ) 3 Contoh penggunaan: dy 1 − y=0 dx 2 Penyelesaiaan:
y(0)=1 å hitung y(1) = ?
y ′ = 12 y → f ( x, y ) = 12 y
Catatan: solusi eksak Y = e
x
2
Digunakan h = 0.25 Euler y n +1 = y n + hf n i n-3 n-2 n-1 n n+1 A – B –4:
xi 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
yi 1.0000 1.1250 1.2656 1.4238 1.6018
f(xi,yi) 0.5000 0.5625 0.6328 0.7119 0.8009
[55 f n − 59 f n−1 + 37 f n−2 − 9 f n−3 ] .24 = y n + 024 [55(0.7119) − 59(0.6328) + 37(0.5625) − 9(0.50)]
y n +1 = y n +
h 24
= 1.4238 + 0.18887 = 1.6127
(predictor)
A-B-M-4:
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 71 Jack la Motta
Persamaan Differensial Biasa
Buku kuliah
f n +1 = 12 y n +1 = 12 × 1.6127 = 0.8063
[9 f n+1 + 19 f n − 5 f n−1 + f n−2 ] .25 [9(0.8063) + 19(0.7119) − 5(0.6328) + 0.5625] = 1.4238 + 024
y n +1 = y n +
h 24
= 1.4238 + 0.1894 = 1.6132
A-M-4: Iterasi 2:
f n +1 = 12 × 1.6132 = 0.8066
.25 y n +1 = 1.4238 + 024 [9(0.8066) + 19(0.7119) − 5(0.6328) + 0.5625]
f n +1 Iterasi 3: Iterasi 9:
(predictor - corrector)
= 0.613216 = 0.8066
y n +1 = 1.613217
M f n +1 = 0.80661 y n +1 = 1.613217
Tampak bahwa algoritma ‘predictor-corrector sudah mencukupi dibandingkan dengan iterasi. Tabel hasil
D:\My Documents\Publikasi\Metoda Numerik\Metoda Numerik.doc (2028 Kb)
x 0,00 0,25 0,50 0,75 1,00
ex/2 1,0000 1,13315 1,28403 1,45499 1,64872
Euler 1,0000 1,1250 1,2656 1,4238 1,6018 -2,846%
A-B-4 1,6127 -2,185%
A-B-M-4 1,6132 -2,154%
Untuk latihan: hitung y(1) = ? dengan h = 0,125, bandingkan dengan hasil h = 0,25
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 72 Jack la Motta
DAFTAR PUSTAKA
Carnahan, Brice, H.A. Luther, James O. Wilkes, Applied Numerical Methods, John Wiley & Sons, New York, 1969. Spiegel, R. Murray, Theory and Problems of Statistics, Schaum’s Outline Series, McGraw-Hill International Book Company, Singapore, 1981. Al-Khafaji, Amir Wahdi, John R.Tooley, Numerical Methods in Engineering Practice, Holt, Rinehart and Winston, Inc., New York, 1986. Anonim, fx–7000G Owner’s Manual, CASIO® Atkinson, Kendall E., An Introduction to Numerical Analysis, John Wiley & Sons, New York, 1989. James, M.L., G.M. Smith, J.C. Wolford, Applied Numerical Methods for Digital Computation with Fortran and CSMP, 2nd Edition, Harper International Edition, New York, 1977.
Metoda Numerik Ir. Djoko Luknanto, M.Sc., Ph.D.
hal. 73 Jack la Motta