PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

04-Jun-14

PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER

Persamaan Differensial Linier Pengertian : Suatu persamaan differensial orde satu dikatakan linier jika persamaan tersebut dapat dituliskan sbb: 𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥)

(1)

linier dalam y dan y’, dimana p dan r pada sisi kanan mungkin suatu fungsi dari x. Jika sisi kanan r(x) = 0 untuk semua x dalam interval dimana kita membahas persamaan tsb, maka persamaan tersebut dikatakan homogen.

1

04-Jun-14

Lanjutan • r(x)  0 , persamaan non homogen / heterogen. Solusi pers. (1) dalam interval I dengan mengasumsikan bahwa p dan r adalah kontinyu dalam interval I. Untuk persamaan homogen : 𝑦′ = − 𝑝 𝑥 𝑦 = 0

(2)

Dengan pemisahan variabel : 𝑑𝑦 𝑦

= −𝑝 𝑥 𝑑𝑥 jadi 𝑙𝑛 𝑦 = − 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 ∗

Lanjutan 𝑦 𝑥 = 𝑐𝑒 −

𝑝 𝑥 𝑑𝑥

𝑐 = ±𝑒 𝑐

∗

bila 𝑦 <> 0

• Pada persamaan ini kita juga dapat mengambil nilai c = 0 dan mendapatkan persamaan trivial y = 0

2

04-Jun-14

Lanjutan Persamaan (1) yang bersifat non homogen sekarang dapat diselesaikan:

𝑦 ′ + 𝑝 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥)

(py – r)dx + dy = 0, dimana persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk Pdx + Qdy = 0 dimana P = py – r dan Q = 1. Maka kita mendapatkan faktor pengintegrasi :

1 𝑑𝐹 𝐹 𝑑𝑥

= 𝑝(𝑥)

Lanjutan • Karena hanya tergantung pada x, persamaan (1) mempunyai faktor pengintegrasi F(x), yang mana kita mendapatkannya secara langsung dengan integrasi dan exponensiasi: 𝐹(𝑥) = 𝑒 𝑝𝑑𝑥 • Perkalian persamaan (1) dengan nilai F dan dengan mengobservasi hukum perkalian dari turunan memberikan : 𝑒

𝑝𝑑𝑥

𝑦 ′ + 𝑝𝑦 = 𝑒

𝑝𝑑𝑥

𝑦

′

= 𝑒

𝑝𝑑𝑥

𝑟

3

04-Jun-14

Lanjutan • Sekarang kita mengintegrasikan thd x 𝑒 • Jika

𝑝𝑑𝑥

𝑦=

𝑒

𝑝𝑑𝑥

𝑟𝑑𝑥 + 𝑐

𝑝𝑑𝑥 =h maka penyelesaian untuk y adalah 𝑦 𝑥 = 𝑒 −ℎ

𝑒 ℎ 𝑟𝑑𝑥 + 𝑐 , h=

𝑝(𝑥)𝑑𝑥

(4)

Contoh Selesaikan persamaan differensial linier berikut : 𝑦 ′ − 𝑦 = 𝑒 2𝑥 Penyelesaian : p = -1, 𝑟 = 𝑒 2𝑥 , ℎ =

𝑝𝑑𝑥 = −𝑥

Dan dari persamaan (4) kita mendapatkan penyelesaian yang bersifat umum 𝑦 𝑥 = 𝑒 −ℎ 𝑦 𝑥 = 𝑒𝑥

𝑒 ℎ 𝑟𝑑𝑥 + 𝑐 , h=

𝑝(𝑥)𝑑𝑥

𝑒 −𝑥 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 + 𝑐 = 𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑐 = 𝑐𝑒 𝑥 + 𝑒 2𝑥

4

04-Jun-14

Lanjutan Alternatif lain, kita dapat mengalikan persamaan yang diberikan dengan 𝑒 ℎ = 𝑒 −𝑥 , dengan mendapatkan 𝑦 ′ − 𝑦 𝑒 −𝑥 = 𝑦𝑒 −𝑥 ′ = 𝑒 2𝑥 𝑒 −𝑥 Dan mengintegrasikan pada kedua sisinya, memperoleh hasil sama dengan hasil sebelumnya : 𝑦𝑒 −𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝑐 Sehingga

𝑦 = 𝑒 2𝑥 + 𝑐𝑒 𝑥

Contoh: y‘ + y tan x = sin 2x Dimana y(0) = 1

5

04-Jun-14

Persamaan Differensial Orde Dua

PENDAHULUAN

Linier

PD2 Non Linier

6

04-Jun-14

Suatu persamaan differensial orde 2 persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk : 𝑦 ′′ + 𝑝 𝑥 𝑦 ′ + 𝑞 𝑥 𝑦 = 𝑟(𝑥)

dikatakan

linier

jika

(1)

Dan non linier jika persamaan tsb tidak ditulis dalam bentuk ini. Persamaan (1) adalah linier pada fungsi yang tidak diketahui y dan turunannya, semetara p, q dan r pada sisi kanan dapat berupa suatu fungsi x

Lanjutan Jika r(x) = 0 maka persamaan 1 menjadi y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0

(2)  pers. homogen

Fungsi p(x) dan q(x) disebut coefisien dari persamaan. Contoh : y’’ + 4y = e-x sin x

PD2 non homogen, linier

(1 – x2)y’’ -2xy’ + 6y = 0

PD2 homogen linier

x(y’’y + y’2) + 2y’y = 0

PD2 non linier

7

04-Jun-14

Penyelesaian PD2 (linier atau non linier) pada interval terbuka a < x < b adalah suatu fungsi h(x) yang mempunyai turunan y’ = h’(x) dan y’’ = h’’(x) dan memenuhi persamaan differensial untuk semua x dalam interval tersebut

Persamaan Homogen Linier Contoh • y = ex dan y = e-x adalah penyelesaian dari PD homogen linier y’’ – y = 0 • Untuk semua x karena untuk y = ex kita mendapatkan (ex)’’ – ex = ex – ex =0 dan sama untuk y = e-x. • Bahkan kita dapat melanjutkan suatu tahap lanjutan yang penting. Kita dapat mengalikan ex dan e-x dengan konstanta turunan, katakan, -3 dan 8 ( atau suatu bilangan lain) dan kemudian melakukan penjumlahan • y = -3ex + 8e-x

8

04-Jun-14

Lanjutan −3𝑒 𝑥 + 8𝑒 −𝑥

′′

− −3𝑒 𝑥 + 8𝑒 −𝑥 = −3𝑒 𝑥 + 8𝑒 −𝑥 − −3𝑒 𝑥 + 8𝑒 −𝑥 = 0

Dari contoh  untuk suatu PD2 linier homogen, kita selalu dapat memperoleh penyelesaian baru dari penyelesaian yang diketahui dengan perkalian dengan konstanta dan dengan penambahan. Sehingga kita dapat mendapatkan penyelesaian selanjutnya dari solusi-solusi yang diberikan. Dari y1 (=ex) dan y2 (=e-x) kita mendapatkan suatu fungsi dengan bentuk : y = c1y1 + c2y2

(3)

dimana c1 dan c2 adalah konstanta sembarang.

Lanjutan • Persamaan ini disebut kombinasi yang bersifat linier dari y1 dan y2. • Dengan menggunakan konsep ini, sekarang kita dapat memformulasikan hasil yang disarankan oleh contoh diatas  prinsip superposisi atau prinsip linieritas. • Prinsip ini tidak berlaku untuk persamaan yang sifatnya tidak homogen linier atau persamaan yang sifatnya non linier

9

04-Jun-14

Permasalahan Nilai Awal - Penyelesaian Umum • Untuk persamaan PD1, penyelesaian umum melibatkan satu konstanta sembarang c, dan dalam permasalahan nilai awal kita menggunakan kondisi awal y(x0) = y0 untuk mendapatkan penyelesaian khusus (c mempunyai nilai tertentu). • Untuk persamaan homogen orde 2, bentuk solusi umum : y = c1y1 + c2y2

(4)

• Suatu kombinasi linier dari dua solusi yang melibatkan dua konstanta sembarang c1, c2. Suatu persoalan nilai awal terdiri dari persamaan (2) dan dua kondisi awal y(x0) = K0, y’(x0) = K1

(5)

Lanjutan Dengan memberikan nilai K0 dan K1 dari penyelesaian dan turunanya (kemiringan dari kurva)pada x0 yang sama dalam suatu interval yang ditentukan. Kita akan menggunakan persamaan (5) untuk mendapatkan dari Pers (4) suatu penyelesaian yang khusus dari persamaan (2), dimana c1 dan c2 mempunyai nilai yang tertentu. Mari kita mengilustrasikan hal ini dengan suatu contoh yang sederhana, yang akan membantu kita untuk melihat bahwa kita harus memberikan suatu kondisi pada y1 dan y2 dalam persamaan (4).

10

04-Jun-14

Contoh Selesaikan persoalan nilai awal: y’’ – y = 0

y(0) = 5,

y’(0) = 3

Penyelesaian Tahap 1. ex dan e-x adalah penyelesaian (contoh 1), y = c1ex + c2e-x  solusi umum Penyelesaian tahap 2. Dari kondisi awal, karena y’ = c1ex - c2e-x, kita mendapatkan : y(0) = c1 + c2 = 5

y’(0) = c1 – c2 = 3 Maka c1 = 4 dan c2 =1. Jawaban y = 4ex + e-x

Definisi • Penyelesaian umum persamaan (y’’ + p(x)y’ + q(x)y = 0) pada sebuah interval I adalah persamaan (y = c1y1 + c2y2) dengan y1 dan y2 bukan penyelesaian proporsional dari (2) pada interval I dan c1, c2 adalah konstanta sembarang. y1 dan y2 ini kemudian disebut suatu basis ( atau sistem dasar) dari persamaan (2) pada interval I. • Penyelesaian khusus pada interval I diperoleh jika kita memberikan nilai yang spesifik pada c1 dan c2 • Seperti umumnya, y1 dan y2 dikatakan proporsional pada I jika : y1 = ky2

atau y2 = ly1

• Berlaku untuk semua x pada I, dimana k dan l adalah bilangan, nol atau tidak ada

11

04-Jun-14

2.Persamaan Homogen dengan Koefisien Konstan Suatu persamaan linier homogen y’’ + ay’ + by = 0

(1)

mempunyai koefisien a dan b adalah konstan. Persamaan ini mempunyai aplikasi yang penting, khusus hubungannya dengan getaran mekanik dan elektrik. Dari PD1 linier, y’ + ky = 0 penyelesaiannya adalah y = e-kx. Hal ini memberikan kepada kita ide untuk mencoba sebagai suatu penyelesaian dari (1) fungsi 𝑦 = 𝑒 𝜆𝑥

(2)

Lanjutan Maka turunan I dan II 𝑦 ′ = 𝜆𝑒 𝜆𝑥

dan

𝑦 ′′ = 𝜆2 𝑒 𝜆𝑥

Substitusi ke dalam persamaan (1) 𝜆2 + 𝑎𝜆 + 𝑏 𝑒 𝜆𝑥 = 0 Maka persamaan (2) adalah suatu solusi dari persamaan (1), jika 𝜆 adalah suatu solusi dari persamaan kuadratik 𝜆2 + 𝑎𝜆 + 𝑏 = 0

(3)

12

04-Jun-14

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik dari persamaan (1). Akarnya adalah : 𝜆1 =

1 2

−𝑎 +

𝑎2 − 4𝑏

𝜆2 =

1 2

−𝑎 −

𝑎2 − 4𝑏

(4)

Penurunan kita menunjukan bahwa fungsi 𝑦1 = 𝑒 𝜆1 𝑥

dan

𝑦2 = 𝑒 𝜆2 𝑥

(5)

Adalah solusi dari persamaan (1). Kita harus menguji hasil ini dengan mensubtitusikan persamaan (5) kedalam persamaan (1)

Lanjutan Secara langsung dari persamaan (4) kita melihat bahwa, dengan bergantung pada tanda deskriminan a2 – 4b, kita mendapatkan beberapa kemungkinan : • Case I : dua akar real jika a2 – 4b > 0 • Case II: dua akar real kembar jika a2 – 4b = 0 • Case III : akar komplek jika a2 – 4b < 0

13

04-Jun-14

Thank you

14