Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
BAB IV Persamaan Differensial Parsial Pada bagian ini difokuskan pada cara untuk menyelesaikan persamaan differensial parsial yang sering dijumpai dalam persoalan fisis.
Persamaan Laplace Persamaan Laplace merupakan persamaan differensial parsial yang berbentuk Misalnya kasus temperatur untuk keadaan tunak (tidak bergantung waktu) dengan syarat batas seperti ditunjukkan gambar. Temperature di antara lempeng dinyatakan dengan persamaan Laplace: atau bila diuraikan Untuk menyelesaikan persoalan tersebut dimisalkan bentuk fungsi T(x,y) yaitu
yang dinamakan pemisahan variabel. Bila bentuk T(x,y) tersebut disubstitusi ke persamaan Laplace akan diperoleh:
selanjutnya dapat dinyatakan
Solusinya adalah
Maka bentuk fungsi T(x,y) menjadi -1-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
Syarat batas memberikan bahwa T(x,∞) = 0; T(x,0) = 100; T(0,y) = 0 dan T(10,y) = 0. Bila langsung diambil salah satu solusi di atas ternyata tidak ada yang memenuhi keempat syarat batas tersebut, dengan demikian dapat dicoba solusi yang merupakan kombinasi dari keempat solusi tersebut. Karena T(x,∞) = 0, maka dapat diperkirakan bahwa bentuk solusinya adalah yang mengandung e−ky (dengan k > 0). Ini berarti solusi yang mengandung eky dapat diabaikan. Kemudian karena syarat T(x,0) = 0, maka memberikan bahwa solusi yang mengandung coskx juga dapat diabaikan. Maka bentuk solusi yang mungkin adalah e−kysinkx. Karena T(10,y) = 0 hal ini memberikan:
sin (10k ) = 0 → sin (10k ) = sin (nπ ) yang memberikan 10k = nπ atau k =
nπ . Ini berarti fungsi 10
temperatur T dapat dinyatakan sebagai: T = e −nπy /10 sin
nπx 10
(*)
Syarat lainnya adalah T(x,0) = 100. Syarat batas ini tidak dapat dipenuhi oleh bentuk persamaan (*), tapi bila solusinya dikembangkan menjadi bentuk deret, maka dapat dinyatakan: ∞
T = ∑ bn e −nπy /10 sin n =1
nπx 10
lalu dengan memasukkan syarat batas tersebut akan diperoleh: ∞
y = 0 → Ty =0 = ∑ bn sin n =1
nπx = 100 10
Koefisien bn dapat dicari dengan menggunakan sifat deret Fourier sin (lihat BAB VII): 400 10 2 nπx bn = ∫ 100 sin dx = nπ 10 0 10 0
untuk n ganjil untuk n genap
Maka ∞
T ( x, y ) = ∑ bn e −nπy /10 sin n =1
nπx 400 −π / 2 π 1 3π = sin + e −3π / 2 sin + ... e 10 2 3 2 π
-2-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Persamaan Difusi
Persamaan difusi atau persamaan aliran kalor adalah persamaan differensial parsial yang mempunyai bentuk: ∇ 2u =
1 ∂u α 2 ∂t
di mana α2 menyatakan karakteristik medium terjadinya proses difusi (aliran kalor). u menyatakan fungsi yang mempunyai variabel ruang dan waktu (misalnya temperatur pada medium). Untuk menyelesaikannya, diasumsikan solusi yang berbentuk u = F ( x, y, z )T (t ) Substitusikan bentuk solusi tersebut ke persamaan difusi akan menghasilkan T∇ 2 F =
1
α
2
F
dT 1 1 1 dT ∇2 F = 2 dt F α T dt
Ruas kiri persamaan tersebut hanyalah fungsi dengan variabel ruang, sementara ruas kanan hanyalah fungsi dengan variabel waktu. Artinya kedua ruas haruslah sama dengan suatu konstanta, misalkan −k2. Maka dapat dinyatakan 1 2 ∇ F = −k 2 → ∇ 2 F + k 2 F = 0 F 1 1 dT dT = −k 2 → = − k 2α 2T 2 α T dt dt 2
2
Persamaan kedua (T(t)) dapat diselesaikan dengan mengintegralkannya sehingga diperoleh T = e − k α t . Persamaan yang melibatkan variabel ruang dikenal sebagai persamaan Helmholtz. Tinjau kasus 1 dimensi yaitu aliran kalor dalam arah sumbu x. Misalkan pada keadaan awal (steady state) temperatur di x = 0 adalah 0o sedangkan temperatur di x = l adalah 100o. Setelahnya (t > 0) permukaan pada x = l dibuat agar temperaturnya 0o juga. Distribusi temperatur pada keadaan steady state uo memenuhi persamaan Laplace yang dalam kasus 1 dimensi dinyatakan sebagai: d 2uo =0 dx 2 yang memberikan bentuk solusi linier yaitu uo = ax + b . Dengan memasukkan syarat batas, yaitu uo(x = 0) = 0 dan uo(x = l) = 100, maka akan diperoleh b = 0 dan a = 100/l. Sehingga uo =
100 x l
-3-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Kemudian (t > 0) u memenuhi persamaan difusi yang bentuk kebergantungan terhadap waktunya telah diperoleh (bentuk eksponensial) sementara kebergantungan terhadap ruang haruslah memenuhi persamaan Helmholtz ∇2 F + k 2 F = 0 →
d 2F + k 2F = 0 2 dx
sin kx Solusinya adalah berbentuk sinusoida, yaitu F ( x) = cos kx
Dengan demikian solusi untuk u adalah e − k α t sin kx u ( x, t ) = 2 2 e −k α t cos kx 2
2
Karena syarat batas u = 0 pada x = 0 dan x = l maka solusinya bukanlah yang berbentuk cos kx. Dari syarat batas juga, yaitu bahwa u (l , t ) = 0 maka akan diperoleh hubungan kl = nπ atau k = nπ/l sehingga dapat dinyatakan: 2 nπx u ( x, t ) = e −( nπα / l ) t sin l Solusinya adalah
∞ 2 nπx u ( x, t ) = ∑ bn e −( nπα / l ) t sin l n =0
Kemudian syarat awal memberikan u ( x,0) = uo , sehingga dapat dinyatakan ∞ nπx 100 u ( x,0) = ∑ bn sin x = l l n =0 dan selanjutnya dengan menggunakan deret Fourier sinus, dapat diperoleh koefisien bn yaitu
100 2l 1 200 (−1) n−1 (−1) n−1 = l π n π n maka solusi finalnya adalah bn =
(−1) n−1 −( nπα / l )2 t nπx u ( x, t ) = e sin ∑ π n=1 n l 200
∞
Persamaan Gelombang
Persamaan gelombang satu dimensi mempunyai bentuk: ∂2 y 1 ∂2 y = ∂x 2 v 2 ∂t 2
-4-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Untuk menyelesaikan persamaan gelombang tersebut lakukan pemisahan variabel dengan menganggap solusi y adalah berbentuk y = X ( x)T (t ) Kemudian bila bentuk solusi tersebut disubstitusikan ke persamaan gelombang maka akan didapat: 1 d2X 1 1 d 2T d2X d 2T 2 2 k = = − + k X = 0 dan + k 2v 2T = 0 2 2 2 2 2 X dx v T dt dx dt Sebagaimana cara yang telah diuraikan sebelumnya, solusi X dan T adalah berbentuk sin kx sin kvt = sin ωt X = dan T = cos kx cos kvt = cos ωt maka didapat bentuk solusinya adalah sin kx sin ωt y= cos kx cos ωt Untuk persoalan gelombang merambat pada tali yang ujung-ujungnya terikat tetap, maka diperoleh syarat batas yaitu y ( x = 0, t ) = 0 dan y ( x = l , t ) = 0 dengan l menyatakan panjang tali. Hal ini memberikan bahwa bentuk fungsi ruang yang memenuhi adalah yang berbentuk sinus. Dan karena sin kl = 0 maka artinya k = nπ / l . Dengan demikian solusinya menjadi nπx nπvt sin l sin l y= sin nπx cos nπvt l l Bila diberikan syarat yang berkaitan dengan waktu (misalnya syarat awal), yaitu misalnya diberikan bentuk simpangan tali pada keadaan awal t = 0 berbentuk y ( x,0) = f ( x) dengan f(x) suatu bentuk fungsi dalam x yang diberikan, maka solusi khusus untuk keadaan yang dimaksud dapat diperoleh. Misalnya pada saat awal tali diberi simpangan sebagaimana ditunjukkan gambar berikut:
Dan dengan mengingat bahwa pada saat awal laju transversal gelombang adalah ∂y / ∂t = 0 (karena tali tepat saat akan dilepas), maka dapat diperkirakan bahwa dari kedua bentuk solusi di atas yang nπx nπvt memenuhi keadaan ini adalah yang berbentuk y = sin cos karena hanya dari bentuk inilah l l
akan menghasilkan
nπv nπx nπvt ∂y = sin sin = 0 ∂t t =0 l l l t =0 -5-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Dengan demikian dapat dituliskan bentuk solusinya adalah ∞
y ( x, t ) = ∑ bn sin n =1
nπx nπvt cos l l
Dari syarat awal bentuk simpangan tali yaitu f(x), maka dapat diperoleh ∞
y ( x,0) = ∑ bn sin n =1
nπx = f ( x) l
Sebagaimana halnya contoh terdahulu, koefisien bn dapat ditentukan menggunakan uraian deret Fourier. Jika syarat awal yang diberikan berbeda, maka bentuk solusi yang dipilih juga kemungkinan berbeda. Misalnya yang diberikan sebagai syarat awal adalah kecepatan transversal ∂y / ∂t pada saat t = 0 yang mempunyai bentuk fungsi tertentu f(x) sedangkan simpangan awalnya y pada saat t = 0 adalah sama nπx nπvt dengan 0, maka ini memberikan bentuk solusi yang mungkin adalah y = sin sin l l
PDP dalam sistem koordinat silinder dan bola
Penyelesaian persamaan Laplace (ataupun bentuk persamaan differensial parsial lainnya) untuk persoalan yang mempunyai simetri silinder ataupun bola perlu memperhatikan bentuk operator differensial dalam sistem koordinat silinder ataupun bola. Perlu diingat bahwa laplacian dalam sistem koordinat silinder adalah 1 ∂ ∂u 1 ∂ 2u ∂ 2u ∇ u= + r + r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 2
sedangkan dalam sistem koordinat bola bentuknya adalah ∇ 2u =
∂ ∂u ∂ 2u 1 ∂ 2 ∂u 1 1 r + + sin θ r 2 ∂r ∂r r 2 sin θ ∂θ ∂θ r 2 sin 2 θ ∂φ 2
Untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam sistem koordinat silinder, dilakukan pemisahan variabel dengan menganggap solusinya berbentuk u = R (r )Θ(θ ) Z ( z ) kemudian substitusikan ke persamaan Laplace sehingga diperoleh 1 d dR 1 d 2Θ d 2Z ΘZ + RΘ 2 = 0 r + RZ 2 r dr dr r dθ 2 dz bila persamaan tersebut dibagi dengan RΘZ maka akan didapat 1 1 d dR 1 1 d 2 Θ 1 d 2 Z + =0 r + R r dr dr Θ r 2 dθ 2 Z dz 2
-6-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Hal ini berarti dapat dinyatakan bahwa
1 d 2Z = K 2 , dengan K suatu konstanta. Ini memberikan 2 Z dz
bentuk solusi fungsi Z, yaitu berbentuk e Kz Z = −Kz e
Karena
1 d 2Z = K 2 , maka berarti 2 Z dz
1 1 d dR 1 1 d 2 Θ r d dR 1 d 2Θ 2 +K =0→ + K 2r 2 = 0 r + r + 2 2 2 R r dr dr Θ r dθ R dr dr Θ dθ Suku kedua persamaan tersebut hanya fungsi dari θ saja sehingga dapat dinyatakan sebagai suatu konstanta yang lain yaitu misalnya –n2, sehingga
1 d 2Θ = −n 2 . Ini berarti bentuk solusi fungsi Θ 2 Θ dθ
adalah sin nθ Θ= cos nθ Selanjutnya persamaan differensialnya menjadi berbentuk r d dR 2 d dR 2 2 2 2 2 r − n + K r = 0 → r r + (K r − n )R = 0 R dr dr dr dr Ingat kembali bahwa persamaan tersebut mempunyai x
bentuk
persamaan
differensial
d dy 2 2 2 x + (K x − p ) y = 0 . dx dx
Persamaan differensial bentuk tersebut, dalam pembahasan pada BAB terdahulu, merupakan persamaan differensial yang solusinya adalah fungsi Bessel. Solusi lengkapnya adalah kombinasi linier dari Jp(Kx) dan Np(Kx). Hal ini berarti bahwa bentuk solusi fungsi R adalah J n ( Kr ) R= N n ( Kr )
Dengan demikian bentuk solusi persamaan Laplace dalam sistem koordinat silinder adalah Kz J n ( Kr ) sin nθ e u (r , θ , z ) = R(r )Θ(θ ) Z ( z ) = − Kz N n ( Kr )cos nθ e
-7-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Sebagaimana contoh terdahulu, syarat batas yang diberikan pada persoalan yang dimaksud akan menentukan bentuk solusi fungsi R(r), Θ(θ) dan Z(z) yang memenuhi. Untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam sistem koordinat bola, dilakukan pemisahan variabel dengan menganggap solusinya berbentuk u = R(r )Θ(θ )Φ(φ ) kemudian substitusikan ke persamaan Laplace untuk sistem koordinat bola sehingga diperoleh 1 1 d 2 dR 1 d dΘ d 2Φ ΘΦ 2 =0 r + RΦ 2 sin θ + RΘ 2 2 r dr dr r sin θ dθ dθ r sin θ dφ 2 kemudian kalikan persamaan tersebut dengan r2sin2θ/RΘΦ sehingga menjadi sin 2 θ d 2 dR 1 d dΘ 1 d 2Φ =0 r + sin θ + R dr dr Θ dθ dθ Φ dφ 2 Terlihat bahwa suku ketiga hanya merupakan fungsi dari φ saja, sehingga dapat dinyatakan 1 d 2Φ = −m 2 2 Φ dφ Yang memberikan bentuk fungsi Φ yaitu sin mφ Φ= cos mφ Dengan demikian persamaan differensial tersebut dituliskan kembali dalam bentuk sin 2 θ d 2 dR 1 d dΘ 2 r + sin θ −m =0 R dr dr Θ dθ dθ 1 d 2 dR 1 d dΘ m2 θ ⇒ sin − =0 r + R dr dr Θ sin 2 θ dθ dθ sin 2 θ
Sekarang terlihat bahwa suku pertama hanya merupakan fungsi dari r saja, sehingga dapat dianggap sebagai suatu konstanta: 1 d 2 dR r =k R dr dr Selanjutnya 1 d dΘ m2 k+ =0 sin θ − Θ sin 2 θ dθ dθ sin 2 θ 1 d dΘ m2 θ ⇒ sin − + kΘ = 0 sin 2 θ dθ dθ sin 2 θ
Bentuk tersebut merupakan bentuk persamaan differensial yang solusinya adalah fungsi Legendre terasosiasi jika k = l(l+1). Dengan menggunakan k = l(l+1), maka bentuk fungsi Θ adalah fungsi Legendre terasosiasi: -8-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL Θ = Pl m (cos θ )
Sedangkan bentuk solusi fungsi R adalah r l R = −l −1 r
Dengan demikian bentuk solusi persamaan Laplace dalam system koordinat bola adalah r l m sin mφ u (r , θ , φ ) = −l −1 Pl (cos θ ) r cos mφ
Bentuk solusi yang sesuai tergantung dari syarat batas persoalan fisis yang ditinjau.
Persamaan Poisson
Tinjau persoalan elektrostatik yaitu distribusi muatan kontinu. Telah diketahui bahwa medan gaya elektrostatik ataupun medan gaya gravitasi merupakan contoh medan yang bersifat konservatif. Untuk medan yang bersifat konservatif, terdapat hubungan antara gaya F dan fungsi potensial skalar V, yang dinyatakan sebagai F = −∇V Dengan menggunakan operasi vektor dapat dinyatakan ∇ ⋅ F = −∇ ⋅ ∇V = −∇ 2V = 0 yang berarti bahwa persamaan tersebut mempunyai bentuk persamaan Laplace. Sedangkan untuk
distribusi kontinu (muatan pada persoalan elektrostatik ataupun massa pada persoalan gravitasi), maka bentuk potensial V adalah Kρ V =− ∫ dV r Volume Untuk sistem yang mempunyai simetri bola, bentuk elemen volume dV dapat dinyatakan dalam bentuk dV = r 2 sin θdrdθdφ , sehingga bentuk potensial di atas dituliskan kembali menjadi Kρ 2 V =− ∫ r sin θdrdθdφ = − ∫ Kρr sin θdrdθdφ r Volume Volume Untuk persoalan yang mempunyai bentuk persamaan Poisson, dapat diperoleh bahwa ∇ 2u ( x, y, z ) = f ( x, y, z ) solusinya adalah
-9-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL
u ( x, y , z ) = −
1 4π
f ( x' , y ' , z ' )
∫∫∫
2
( x − x' ) + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2
volume
dx' dy ' dz '
Contoh: Bola konduktor yang digroundkan berada di pusat koordinat dengan jari-jari R. Pada titik (0,0,a) diletakkan muatan titik sebesar q. Tentukan bentuk potensial di seluruh ruang di luar bola tersebut. Bentuk potensial dalam ruang dengan adanya sumber distribusi muatan ρ dinyatakan dengan persamaan Poisson ∇ 2V = −4πρ Dengan demikian bentuk solusi persamaan Poisson tersebut adalah: V ( x, y , z ) = −
1 4π
− 4πρ ( x' , y ' , z ' )
∫∫∫
( x − x' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2
volume
dx' dy ' dz '
Karena sumber muatan adalah muatan titik sebesar q yang terletak di (0,0,a), maka artinya ( x' , y ' , z ' ) = (0,0, a ) dan ρ = q, sehingga Vq ( x, y, z ) =
q x 2 + y 2 + ( z − a)2
ini adalah bentuk potensial yang disebabkan oleh muatan titik q
yang terletak di (0,0,a)
dengan menggunakan sistem koordinat bola dapat dinyatakan q Vq = 2 r − 2ar cos θ + a 2 r l m sin mφ Solusi persamaan Laplace dalam sistem koordinat bola mempunyai bentuk − l −1 Pl (cosθ ) . r cos mφ
Karena potensial yang akan ditinjau adalah daerah di luar bola, maka ini memberikan bentuk solusi fungsi r adalah r − l −1 . Kemudian karena solusinya haruslah simetri terhadap sumbu z berarti solusinya - 10 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – PERSAMAAN DIFFERENSIAL PARSIAL mestilah tidak bergantung pada φ. Ini memberikan solusi fungsi φ dalam bentuk cosmφ dengan m = 0. Jadi solusi persamaan Laplace menjadi r − l −1Pl (cosθ ) , sehingga V = Vq + ∑ cl l
1 r l +1
Pl (cosθ )
Syarat btas yang harus dipenuhi adalah bahwa pada permukaan bola (r = R) potensial V = 0 (digroundkan). Maka q 1 V r=R = + ∑ cl l +1 Pl (cosθ ) = 0 R R 2 − 2aR cosθ + a 2 l
Bentuk Vq bila dinyatakan dalam deret Legendre adalah Vq = Maka q∑ l
R l Pl (cosθ ) 1 + ∑ cl l +1 Pl (cosθ ) = 0 l +1 a R l
qR l qR 2l +1 − l −1 + c R = 0 → c = − l l a l +1 a l +1
Maka bentuk solusinya V=
q r 2 − 2ar cos θ + a 2
− q∑ l
R 2l +1r − l −1 Pl (cosθ ) a l +1
atau V=
q 2
r − 2ar cos θ + a
2
−
( R / a)q 2
2
r + ( R / a ) 2 − 2r ( R 2 / a ) cos θ
- 11 -
q R 2 − 2aR cos θ + a 2
= q∑ l
R l Pl (cosθ ) a l +1
