BAB II PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDO SATU
Tujuan Pembelajaran Bab 2. ini, merupakan lanjutan dari pembahasan PD bab1, yaitu jenis-jenis persamaan differensial ordo satu dan cara-cara penyelesaiannya. Diantaranya adalah Persamaan Terpisah, PD Homogen Ordo Satu, PD Exacx dan Factor Integrasi, serta contoh-contoh soal. Pada tiap sub pokok bahasan diberikan soal-soal yang diharapkan dapat dikerjakan oleh mahasiswa, sesuai dengan contoh-contoh yang diberikan pada tiap jenisnya masing-masing.
A. Persamaan Differensial Variabel Terpisah Persamaan differensial
dy dx
0 adalah berordo satu dan derajat
F x, y
satu. Persamaan ini dapat dinyatakan dalam bentuk M x, y dx N x, y dy
0.
Dengan M x, y dan N x, y dapat dinyatakan sebagai fungsi x, atau fungsi y atau keduanya, x dan y atau M x, y dan N x, y hanya merupakan konstanta. Persamaan M x, y dx N x, y dy
0 , disebut sebagai persamaan
terpisah apabila dapat dinyatakan oleh persamaan : f x . g y dx p x . q y dy
0 dimana f(x) dan p(x) merupakan fungsi x dan
g(y) dan q(y) sebagai fungsi y. Fungsi x dan fungsi y dapat dipisahkan dan berada pada kelompoknya masing-masing.
Contoh: x 3xy dx
yx 6x dy
0 adalah persamaan terpisah, sebab dapat
dinyatakan dalam bentuk x 1 3y dx x y 6 dy pengelompokan variable dalam bentuk: dx
y 6 dy 3y 1
0
0 , sehingga dapat dilakukan
Contoh: y - x dx
xy - 2x dy
dibuat dalam bentuk
0 , bukan persamaan terpisah, sebab tidak dapat
f x . g y dx p x . q y dy
0 . Atau tidak dapat
dikelompokkan pada variabelnya masing-masing.
B. Solusi Persamaan Terpisah Persamaan terpisah f x . g y dx p x . q y dy
0 dapat diselesaikan
dengan prosedur sebagai berikut: 1. Bagi persamaan dengan g(y), p(x), sehingga didapat: f(x) dx p(x)
g(y) dy q(y)
0 ; p(x)
0 ; q(y)
0
2. Lakukan integrasi persamaan, sehingga didapat F(x) G(y) C, sebagaisolusi umumPD
3. Bila nilai-nilai syarat batas diketahui, maka subsitusikan nilai tersebut ke dalam hasil integral sehingga nilai konstanta C didapat. Persamaan yang didapat adalah solusi khusus dari PD. Selanjutnya dapat diekspresikan dalam bentuk gambar atau grafik.
Contoh 1 Selesaikan
dx y
dy x
0 ; bila y(0)
4
Jawab :
x.dx y.dy 0 1 2 1 2 C 2 x 2 y x2
y2
2 C (solusiumum)
Syarat batas
x
0
y
4
0 16 C x2
y2
2C 8 16 (solusikhusus)
Merupakan lingkaran berpusat di p(0,0) dengan jari-jari r = 4, dapat di ekspresikan dalam bentuk gambar sebagai berikut:
34
y
4
x
0
-4
4
-4
Gbr. 2.1 Lingkaran
x2
y2
16
Contoh 2 Tentukan jawaban khusus dari PD berikut :
y x 2 y dy
xy 2 dx
4x
0, bila y(2)
Jawab : y (1 x 2 ) dy x(4 y 2 ) dx
y (y
2
4)
dy
x dx 1 x2
Integral langsung, misalnya: U
y du . U 2y 1 2
ln U 1
y2
4 y2
x
2
y 1
x dv . V 2x 1 2
ln V 1
2
. 1 x2
0
(y 2
4) dan V
ln C
2
C
4 1 x 2 C 2 (solusiumum) Syarat batas : C2
15
C2
jadi (y 2
0
0
(1 4)(1 4)
4)(1 x 2 )
1
15 (solusikhusus)
34
(1 x 2 )
C. Soal Tentukan jawaban umum dari PD berikut: 1. x 2 dy
y 2 dx
2. xdy 3.
dy dx
ydx
0
10.
1 y 1 x 2
2
4. (1 x ) dy
1 y dx 1 y 2 dx
5. y sec x dy 6. dy
9. xy dy ( x 2 1) dx
0
y tan x dx
11. y '
x 3 (1 y ) bila y (0)
12. y '
2 x cos2 y bila y (0)
13. y '
y sin x bila y ( )
3
14. y '
8 x3 e
0
15. y '
(1 y 2 ) tan x bila y (0)
3 4
0
0
1 x 1 y2
8. sec x dy sec y dx
x xy 2 x2 y y
0
2
dy 7. dx
dy dx
0
2y
bila y (1)
3
0
D. Persamaan Differensial Homogen Ordo Satu Persamaan differensial homogen ordo satu f(x, y, y1 ) = 0. Secara umum ditulis dalam bentuk,
dy dx
f ( x, y) atau M ( x, y) dy
ini dinyatakan homogen jika f ( x, y )
y g( ) . x
Contoh 1 Persamaan
dy dx
(2 x y ) adalah homogen ( x y)
Karena
dy dx dy dx dy dx
(2 x y ) ( x y) 2x y x y x y 2
y
1 y
1 y
x
34
N ( x, y) dy
0 . Persamaan
Jadi :
dy dx
g
y ; merupakan syarat PD homogen x
Persamaan homogen dalam bentuk persamaan y dan x didapat di transformasi (diubah) menjadi bentuk persamaan v dan x, sehingga menjadi bentuk variable terpisah dengan cara mensubsitusikan, y
vx dan dy
v dx x dv
Bukti: Bila M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 maka dapat ditulis sebagai dengan subsitusi y = v dx an dy = v dx + x dv sehingga:
v . dx
dy dx
g
y dapat ditulis x
x . dv
g
y x
dv dx dv v g (v ) x dx dx dv x v gv Hasil integralnya adalah : ln x F(v) v x
ln x F
y x
g (v ) 0 0
C C dimana
dv v g (v )
F (v )
Contoh 2 Tentukan jawaban umum dari ( xy
y 2 ) dx x 2 dy
Jawab : Subsitusikan y = v.x dan dy = v dx + x dv didapat:
34
0
dy dx
g
y x
x 2v
v 2 x 2 dx
x 2 v dx
x 2 v v 2 dx v v 2 dx v dx
x dv
0
x 2 v dx x 3 dv x dv 0
v 2 dx x dv dx dv x v2 1 ln x v x ln x y y
0
: x2
0 0 C atau ln C x ln C x
Dalam bentuk lain : ln x - ln e
x y
ln x x
ln C ln C C .e
ln e
x y
x y
E. Soal-soal 1. ( x 2
y 2 ) dx
2. y dx x dy 3.
y 3 dx
x 3 dy
0
8.
xy ) dx
x x sin
0
4. ( x 3 y) dx x dy 5. ( y 2
7. ( y 2 x) dx 2 x dy
2 xy dy
x 2 dy
x x x y cos dx x cos dy 0 y y y
9. xy dx ( x 3
0
0
6. (6 x y) dx ( x 2 y) dy
10. ( x
0
x y
3 y 2 ) dy
y) e dx ( x e
x y
0 x) dy
0
0
F. Persamaan Differensial Exact dan Factor Integrasi Fungsi f(x,y)=C, merupakan keluarga suatu kurva, memiliki differensial f f total df(x,y) adalah df(x,y) = x, y dx x, y dy 0 x y atau df x, y M x, y dx N x, y dy 0
34
persamaan ini merupakan pesamaan differensial exact apabila : Bukti: untuk M x, y
f x, y x
M x, y y
f x, y x y
N x, y
f x, y y
N x, y x
f x, y x y
M y
Jadi : Dari
M y
N x
N merupakan syarat PD exact. x
dM dx
M x, y
dM
M x, y dx
Integral kearah x adalah
M
M x, y dx F y x
Bila diturunkan kearah y, nilainya harus sama dengan N x, y , jadi N x, y
M x, y dx
y
F' y
N x, y
F y
N x, y dy
y
Jadi : f x, y
F' y
M x, y dx
y
M x, y dx dy
M x, y dx x
N x, y dy
y
y
M x, y dx dy C
Merupakan jawaban dari PD exact. Contoh : periksa apakah xy 2 dx
x 2 ydy
0 merupakan PD exact dan tentukan
jawabannya.
M
xy 2
N
2
Jawab :
x y
M 2 xy y N 2 xy x
M y
N x
34
jadi Exact.
Dari : dM dx dM
xy 2 x. y 2 dx
f x, y
1 2
M
x2 y2
F y , Turunannya ke arah y, harus sama dengan x2y
Jadi :
x2 y x2 y F' y 0 F y
C 1 2
Didapat M Atau :
1 2
F' y
x2 y2
x2 y2
C
C adalah solusi umumnya.
Cara lain. Dengan rumus : xy 2 dx
M
x 2 ydy
x2 y2
M
1 2
M
x2 y2
M
x2 y2
M
1 2
x2 y2
1 2
y
x 2 y.dy 1 2
x2 y2
y
x2 y
x 2 y 2 dy
C C
C
C 1 2
C
1 2
xy 2 dx dy
x2 y2
C adalah solusi umum.
G. Soal-soal Latihan Periksa PD berikut apakah Exact dan tentukan jawaban umumnya 1. 2 xydx x 2 dy 2. 3 x 3. x
2
0
y dx xdy y dx
xdy
4. e y
y.e x dx
5. x
2
y dy
0 7. x 2
0
xe y
y
1 dx x
6.
2
e x dy
x dx
0 8.
0
34
1 y
ln y dx
x2
2 xy x
y
y 2
cos y dy x dy y
dx
0
x2 x
0
x y
2
dy
0
9. 1 y 2 dx
x2 y
y dy
xy
0
10. e xy y cos x sin x dx xe cos xdy 0
H. Faktor Integrasi Bila M ( x, y) dx N ( x, y) dy
0 , tidak exact maka dapat dibuat menjadi
PD exact dengan cara mengalikan persamaan dengan suatu faktor integral F(x, y). Dengan mengalikan F(x, y) ke dalam persamaan akan didapat: F .M dxy F . N dy
persamaan ini menjadi exact dengan syarat: F.
atau
M y
M
1 F N F x
F y
F
F y
M
N x
N
0
( FM ) y
( FN ) x
F x
M y
N x
Dapat dilihat ada beberapa kasus yang mungkin terjadi: 1. Bila F hanya sebagai fungsi x, maka
1 dF N F dx 1 . dF F ln F F
M y 1 N 1 N exp .
F y
0 dan
F x
dF sehingga: dx
F y
dF , sehingga: dy
N x M y
N dx x
M y 1 N
N dx x M y
N dx x
merupakan faktor integrasi agar PD menjadi exact.
2. Bila F hanya sebagai fungsi y, maka
F x
34
0 dan
1 F M F y
M y
1 . F F F
N x
1 M
M y
N dy x
exp .
1 M
M y
N dx x
Menyatakan faktor integral agar PD menjadi exact. Dari kedua faktor integrasi di atas terlihat bahwa(x,y) sangat ditentukan oleh:
1 F N F x
dF atau : F
M
M
y N
F y
M y
N
x
M
N x
.dz
dimana Z merupakan suatu fungsi dari x saja atau dari y saja atau dari x dan y. Bila Z merupakan fungsi x saja, maka α 1 dan β Bila Z merupakan fungsi y saja, maka β
1 dan α
0 0
Bila Z merupakan fungsi x dan y, maka α 1 dan β 1 Contoh : Selesaikan (3 – 2y) dx + (x2 – 1) dy = 0 Jawab :
M
(3 2y)
N
(x 2 1)
M 2 y N 2x x
M y
N (Tidak Exact) x
Faktor integrasi:
F exp exp
1 N
M y 1
x
2
1
N dx x 2 2x dx
34
21 x dx x 1 x 1 exp . 2 ln (x 1) exp
(x 1)
2
adalah faktor integrasi
kalikan ke dalam persamaan, didapat:
(3 2y) (x 2 1) dx dy 0 (x 1) 2 (x 1) 2 3 2y (x 1) dx dy 0 2 (x 1) (x 1) M y N x
2 (x 1) 2 2 (x 1) 2
M y
F(x, y)
N (Exact) x (x 1) dy F(x) (x 1) (x 1) y F(x) (x 1)
Turunan ke arah x, harus sama dengan M(x,y), yaitu: F x F' (x) F(x) jadi F(x, y) y (x 1) 3 y
2y 3 2y F' (x) 2 (x 1) (x 1) 2 3 (x 1) 2 3 C (x 1) (x 1) 3 y C (x 1) (x 1) C (x 1) C (x 1) 3 adalah jawaban umum dari PD (x 1)
34
I. Soal-soal Tentukan jawaban dari: 1. (x2 + 2y) dx – x dy = 0
6. (x2 + y3 + x) dx + xy dy = 0
2. (y2 + 3) dx + (2xy – 4) dy = 0
7. y2 dx + (x2 – xy +3) dy =0
3. (5xy + 4y2 +1) dx + (2y3 – x) dy = 0
8. (x + y +1) dx – (y – x +3) dy =0
4. (2xy2 + y) dx + (2y3 – x) dy = 0
9. (x + y + 1) dx – (x – y –3) dy = 0
5. (4xy2 + 6y) dx + (5x2y + 8x) dy = 0
10. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0
J. Persamaan Differensial Linier Ordo Kesatu Persamaan differensial yang berordo kesatu yang linier antara variabel terikat dan turunan pertamannya dinyatakan sebagai PDL ordo kesatu. Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk: dy dx
p(x) y
Q(x)
Bentuk persamaan menjadi homogen jika Q(x) = 0, penyelesaian selanjutnya adalah:
dy y
p(x) dx ln y
p(x) dx y.e
0 ln C
p(x) dx
C
turunan dari bentuk ini adalah: d y.e d y.e
p(x) dx
p(x) dx
y.e e
p(x) dx
p(x) dx
. p(x) dx e
p(x) dx
dy
0
p(x) .y dx dy
Bentuk ini memperlihatkan bahwa dengan mengalikan faktor e
p(x) dx
ke
dalam persamaan, maka bentuknya menjadi Exact. Artinya, e
p(x) dx
adalah faktor integrasi, untuk membuat PDL menjadi
Exact, sehingga persamaan menjadi:
34
e
p(x) dx
p(x).ydx
atau d (y.e
dy p(x) dx
e
) e
p(x) dx
p(x) dx
.Q(x) .Q(x)
dan jawaban selanjutnya adalah : y.e
p(x)
e
p(x) dx
.Q(x) dx
C
Contoh : Selesaikan : x2 dy – sin 3x dx + 2xy dx = 0 Jawab : Persamaan dapat (bagi persamaan dengan x2dx).
dy dx
dy x2 2xy dx d x2y x2y x2y 3x 2 y cos3x C
K. Soal-soal dy 1. y dx
sin 3x x2
2 .y x
e
2 dx x
e ln x
2
sin 3x sin 3x dx sin 3x dx C 1 3
cos3x C
0 (JawabanUmum)
6. y’ – a y = f(x) e
x
7.
2. (x + 1) dy – (x2 – y – 1) dx = 0
dy y 1 + = dx x x
dy 3. (1 - x ) +xy = ax dx
8. y’ +
4. y’ + y tan x = sec x
9.
2
5.
x2
dy 1 - - y = x ex dx x
2y x 1
( x 1) 3
dy + y cotg x = sec x dx
10. y’ + y f(x) = f(x)
34
L. Persamaan Bernoulli Bentuk umum dari persamaan bernoulli adalah
dy dx
p(x) y
Prosedur penyelesaiannya dengan cara sebagai berikut: 1. Bagi persamaan dengan yn, didapat y
n
dy dx
p(x).y1
n
Q(x).....(*)
2. Misalkan U = y1-n sehingga didapat
du dx
(1-n)y
n
dy dx
3. Kalikan (*) dengan (1-n) sehingga didapat (1 – n) y-n atau
dy + (1 – n) p(x) y1-n = (1 – n) Q(x) dx
du + p’(x) U = Q’(x) adalah PDL dx
yang dapat diselesaikan dengan perkalian faktor integrasi.
Contoh : Selesaikan
dy dx
1 y x
x y2
Jawab : Bagi persamaan dengan y2, didapat : y
misalkan U
y
1
du dx
y
2
2
dy dx
1 y x
1
x
dy dx
kali persamaan dengan negatif (-1)
y
2
dy dx
34
1 y x
1
x
Q(x). y n .
atau :
du dx 1 du x dx
1 U x2 1 d U x U x U y
2.
dy dx
3. 2
y
dy dx
1
x e
dx
1
x2
Cx
x2
Cx
Cx x2
1
; jawaban umum.
11.
dy dx
1 y 2x
y2 ex
12.
dy dx
xy 3
y 3 (x 1)
5. y' y tan x y 3 sec4 x dy dx
2x
8.
dy dx
5y 3
5x y 4
7. y' 2y 1 y x
y 2 sin x
9. y 2 dx (3y 1) dy
10.
dy dx
1 y 3
ln x
C
xy 4
y
e
dx
4. y' 2y tan x y 2 tan 2 x
6. y
1 dx x
1
y
M. Soal dy 1. y dx
1 y x
0 dalam bentuk
dy dx
1 (1 2x) y 4 3
34
x y3 y
1 x
N. Subsitusi dan Transformasi Persamaan dengan koefisien linier dalam bentuk (ax + by+ c) dx + (px + qy + r) dy = 0 yang sulit untuk dinyatakan atau diselesaikan seperti PD yang telah dibicarakan didepan, dapat ditransformasikan menjadi salah satu diantara PD yang dapat diselesaikan. Transformasi dilakukan dengan cara membuat ulang persamaan dalam bentuk variabel baru yang mungkin dapat menyelesaikan PD. Prosedurnya adalah sebagai berikut: 1. Jika c = r = 0, persamaan berbentuk (ax + by) dx + (px + qy) dy = 0 persamaan ini homogen. Misalkan y = v.x 2. Selanjutnya bila
a p
b q
k , maka dapat ditransformasikan Z = ax + by dan
dz
= a dx + b dy, untuk merubah persamaan awal ke bantuk variabel lain. 3. bila
a p
b , maka dapat ditransformasikan; q
U = ax + by + C dan du = a dx + b dy v = px + qy +r
dan dv = p dv + q dy
sehingga:
dx
dy
du
b
dv
q
a
b
p
q
a
dy
p
dv
a
b
p
q
q du aq
b dv bp
a dv aq
p du bp
subsitusikan harga dx dan dy dalam persamaan sehingga diperoleh persamaan homogen, yang dapat diselesaikan.
34
Cara lain adalah dengan mengambil bentuk-bentuk ax + by + c = 0 sebagai persamaan garis yang berpotongan dengan px + qy + r = 0. dengan memisalkan perpotongannya dititik (h, k) maka substitusikan:
x y
u v
h k
dx du dy dv
ke dalam persamaan awal sehingga didapat persamaan homogen yang dapat diselesaikan. Contoh 1 Selesaikan (3x – 2y + 1) dx – (6x – 4y + 1) dy = 0 Jawab : Karena
a p
dx = 13 dz
b q 2 3
1 , maka ambil transformasi Z = 3x – 2y dan dz = 3 dx – 2dy; 2
dy
Sehingga diperoleh persamaan baru:
1 2 dz dy 3 3 1 2 z 1 dz z 1 dy 3 3 1 2 2 z 1 dz z 3 3 3 z 1
1 z 1 dz 3
2z 1 dy 0 2z 1 dy 0 2z 1 dy 0
4 1 z dy 0 3 3 z 1 dz dy 0, persamaan terpisah. 4z 1
1 3 dz dz 4 4 4z 1 1 3 z ln 4z 1 4 16
dy c Misal : u 4z 1
y
c
du dz
34
4 dz 1 du 4
3 ln 4z 1 4y c 1 c1 4 c 4 Substitusikan nilai z 3x 2y 3 3x 2y ln 12x 8y 1 4 y c1 4 3 3x 6y ln 12x 8y 1 c1 4 1 1 x 2y ln 12x 8y 1 c 2 c2 c1 adalah solusi yang dicari. 4 3 z
Contoh 2 Selesaikan (2x – 4y –10) dx + (5x – y – 7) dy = 0 Jawab : Karena u v
a p
2x 5x
b maka digunakan transformasi: q
4y 10 du 2dv 4dy y 7 dv 5dx dy
dx
dx
du dv
4 1
2 5
du dv
2 5
du dv
2
4
5
1
du 4dv 18
2dv 5du 18
Subsitusikan ke dalam persamaan awal, dan misalkan z = u/v atau u = z . v ; dengan turunan du = z dv + v dz dan penjabaran selanjutnya didapat; dv v
z z
2
5 z
2
dz
0 dv v
2dz z 1
34
dz z
2
0
2 dz z -1
hasil integral: ln v ln v
1 z 2
dz
ln c
2 ln (z 1) ln (z 2) ln c ln v ln
z 1 z 2
2
ln c
ln v ln c
(z 2) (z 1) 2
v c . (z 2) (z 1) 5x
u y 7 c v
2x 4y 10 5x y 7 c 2 5x y 7
2
12x 6y 24 5x y 7 c 5x y 7 5x y 7 . 3x
3x 3y 3 5x y 7
3y 3 ( 3)
(x
2 2
y 1) 2
2
c
c 12x 9 (x
3x 3y 3 5x y 7
2
12x 6y 24 5x y 7
6y 24 y 1) 2
6 c (2x
y
4)
x y 1 6 c 9 2x - y - 4 adalah solusi dari persamaanawal c1 (2x
y
4)
2
c1
5x - y - 7 dy
0
Titik potong (h, k) = (1,-2) Misal: x = u +1 y=v–2
2
2x 4y 10 5x y 7 5x y 7
Cara kedua : 2x - 4y - 10 dx
2
u 1 v
2x 4y 10 1 5x y 7
2x 4y 10 10x 2y 14 5x y 7 c 5x y 7
2
dx = du dy = dv
(2u +2 – 4 v + 8 – 10) dx + (5u + 5 – v + 2 - 7) dv = 0
34
C
2
(2u -4v) dx – (5u - v) dv = 0 Persamaan menjadi (2u – 4v)du + (5u – v) dv = 0 Misal : v = u.z
dv = u dz + z du
Persamaan menjadi : (2u – 4uz) dv + (5u - uz) (udz + zdu) = 0 (2 + z - z 2 )du + (5-z) udz = 0
du u du u ln u ln u ln u
5 1 z 5 1 z
z dz 0 2- z z 0 2 z
2 ln z v
ln v
v u 2u - v
u 2
2
ln( 2
z)
ln
2u - v u
2
u u
u
1
u 2u - v
ln c ln c
ln c
2
c 2
y 2 x -1 2 x -1 y - 2
x y 1 2x - y - 4
c
2
c (jawaban umum),sama seperti contoh di atas.
O. Soal 1. (3y – 2x +7) dx + (6y – 4x + 3) dy = 0 2. (2x – 5y + 3) dx – (2x + 4y – 6) dy = 0 3.
(x – y – 1) dx + (3x – 3y +1) dy = 0
4. (2x – y +3) dx + (4x – 2y + 6) dy = 0 5.
dy dx
4x 2x
y 8 y 1
34
34
