BAB 3 PERSAMAAN DIFFERENSIAL UNTUK MENENTUKAN HARGA SUATU ASET TURUNAN
Pembahasan harga opsi tidak dapat dilepaskan dari pembahasan tentang sekuritas lain yang berhubungan dengan haga opsi. Sehingga perlu dibahas masalah sekuritas yang berhubungan dengan harga opsi.
3.1. Harga Saham
Saham merupakan suatu bentuk aset finansial yang nilainya berubah-ubah mengikuti harga pasar pada suatu saat sesuai dengan banyaknya penawaran dan permintaan pada saat tersebut. Sehingga pada jangka waktu tertentu harga saham dapat mengalami kenaikan maupun penurunan atau bahkan dapat pula tidak mengalami perubahan harga. Jadi perubahan harga saham dipengaruhi oleh perubahan waktu dan dipengaruhi pula oleh peubah-peubah pengganggu yang berupa peubah acak dan mengikuti gerak Brown. Perubahan harga saham tersebut dapat dimodelkan sebagai berikut: dS (t ) = S (t )( μdt + σ dW (t ))
atau dapat ditulis dS (t ) = μS (t )dt + σ S (t )dW (t )
(3.1)
dimana : S (t )
: harga saham
μ
: harapan tingkat pendapatan investor (expected return), yang nilainya tergantung pada resiko pendapatan dari saham
σ
: volatilitas dari harga saham
dt
: periode waktu
dW (t ) : peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, dimana W (t ) proses stokastik yang mengikuti gerak Brown (Hull 2003).
Dengan demikian, perubahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh W(t), tetapi oleh dW(t). Selanjutnya dari (3.1) dapat dicari harga saham S (t ) dengan cara sebagai berikut:
18
Misalkan y (t , S ) = ln S (t ) atau S (t ) = e y (t ) ∂y = 0, ∂t
∂y 1 = , ∂S S
∂2 y 1 =− 2 2 ∂S S
Menurut lemma Itoˆ ⎛ ∂y ∂y 1 ∂2 y 2 2 ⎞ ∂y dy (t , S ) = ⎜ + μS + σ S ⎟ dt + σ SdW (t ) 2 2 ∂S ∂S ⎝ ∂t ∂S ⎠ 1 ∂2 y 2 2 ∂y ∂y dt + ( μSdt + σ SdW (t )) + = σ S dt 2 ∂S 2 ∂t ∂S 1 1 1 2 2 σ S dt = ( μSdt + σ SdW (t )) − S 2S2 1 = μdt + σ dW (t ) − σ 2dt 2 1 2 = ( μ − σ )dt + σ dW (t ) 2 atau dapat dinyatakan 1 dy (t ) = ( μ − σ 2 )dt + σ dW (t ). 2
(3.2)
Persamaan diferensial (3.2) mempunyai solusi 1 ⎞ ⎛ y (t ) − y (0) = ∫ ⎜ μ − σ 2 ⎟ds + ∫ σ dW ( s ) 2 ⎠ 0⎝ 0 t
t
1 ⎞ ⎛ y (t ) = y ( 0 ) + ⎜ μ − σ 2 ⎟ t + σW (t ) 2 ⎠ ⎝ dimana y (0) merupakan nilai awal dari y (t ) . Atau dapat dinyatakan 1 ⎡ ⎤ S (t ) = S (0) exp ⎢ ( μ − σ 2 )t + σW (t ) ⎥ 2 ⎣ ⎦
(3.3)
dimana S (0) merupakan harga awal dari suatu saham. Persamaan (3.3) menunjukkan bahwa harga saham mengikuti proses gerak Brown Geometris. Dengan mengingat sifat eksponensial, dapat disimpulkan bahwa harga saham tidak akan bernilai negatif, dan berdistribusi lognormal. Sehingga untuk T ≥ t 1 ln S (t ) = ln S (0) + ( μ − σ 2 )t + σW (t ) 2
dan 1 ln S (T ) = ln S (0) + ( μ − σ 2 )T + σW (T ) 2
Selanjutnya diperoleh
19
1 ln S (T ) − ln S (t ) = ( μ − σ 2 )(T − t ) + σ (W (T ) −W (t )) 2
atau ln
S (T ) 1 = ( μ − σ 2 )(T − t ) + σ (W (T ) −W (t )). S (t ) 2
(3.4)
Dengan menggunakan prosedur risk-neutral valuation yang menggunakan asumsi bahwa expected return dari underlying asset sama dengan risk-free interest rate ( μ = r ), maka persamaan (3.4) menjadi ln
S (T ) 1 = (r − σ 2 )(T − t ) + σ (W (T ) −W (t )) S (t ) 2
(3.5)
dan 1 ⎛ ⎞ S (T ) = S (t ) exp ⎜ ( r − σ 2 )(T − t ) + σ (W (T ) −W (t )) ⎟ . 2 ⎝ ⎠
Selanjutnya diperoleh ekspektasi dan varians dari ln
(3.6)
S (T ) sebagai berikut: S (t )
⎡ S (T ) ⎤ 1 ⎞ ⎡⎛ ⎤ E ⎢ln = E ⎢⎜ r − σ 2 ⎟ (T − t ) + σ (W (T ) −W (t ) ) ⎥ ⎥ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎣ S (t ) ⎦ 1 ⎞ ⎛ = ⎜ r − σ 2 ⎟ (T − t ) 2 ⎠ ⎝ ⎡ S (T ) ⎤ ⎡⎛ 1 2⎞ ⎤ var ⎢ ln ⎥ = var ⎢⎜ r − σ ⎟ (T − t ) + σ (W (T ) −W (t ) ) ⎥ 2 ⎠ ⎣⎝ ⎦ ⎣ S (t ) ⎦ = σ 2 (T − t ) .
(3.7)
(3.8)
3.2. Harga Obligasi
Obligasi merupakan suatu aset tanpa resiko yang bersifat deterministik, dengan tingkat suku bunga bernilai konstan. Sehingga perubahan harga obligasi dirumuskan sebagai berikut: Misalnya B (t ) adalah harga obligasi pada waktu t, maka perubahannya adalah dB (t ) = rB (t )dt
(3.9)
dimana solusi dari persamaan diferensial tersebut adalah B (t ) = B (0)e rt dengan r adalah tingkat suku bunga konstan, dan B (0) harga awal dari obligasi.
20
3.3. Nilai Aset Turunan
Aset finansial dari suatu perseroan merupakan aset dalam bentuk saham atau obligasi. Sehingga nilai aset finansial dipengaruhi oleh saham ( S (t ) ) dan obligasi
( B (t ) ) . Jika dimisalkan nilai aset finansial adalah f (t , S (t ), B (t ) ) , maka dapat ditulis
f (t , S (t ), B (t ) ) = φ (t )S (t ) +ψ (t )B (t )
(3.10)
dimana
f (t , S (t ), B (t ) ) adalah nilai aset finansial
φ (t ) adalah banyak unit saham ψ (t ) adalah banyak unit obligasi. Karena nilai aset finansial dipengaruhi oleh harga saham dan obligasi, maka
f (t , S (t ), B (t ) ) merupakan nilai dari suatu aset turunan (derivative asset) pada waktu t. Dimana perubahan nilainya bergantung pada perubahan harga aset finansial lain, yaitu harga saham dan obligasi. Sehingga perubahan nilai aset finansial akan memenuhi
df (t , S (t ), B (t ) ) = φ (t )dS (t ) +ψ (t )dB (t )
(3.11)
Dengan mensubstitusi (3.1) dan (3.9) ke persamaan (3.11) diperoleh df (t , S (t ), B (t ) ) = φ (t ) [ μS (t )dt + σ S (t )dW (t ) ] + ψ (t )rB (t )dt = ( μφ (t )S (t ) + ψ (t ) rB (t ) ) dt + σφ (t )S (t )dW (t ).
(3.12)
Persamaan (3.12) merupakan refleksi proses perubahan nilai aset turunan yang disebabkan perubahan harga saham dan harga obligasi.
3.4. Persamaan Diferensial untuk Penentuan Harga Suatu Aset Turunan
Untuk mendapatkan persamaan diferensial untuk penentuan harga aset turunan, dapat dilakukan dengan memisalkan f (t , S (t ) ) , t ≤ T merupakan harga aset turunan pada waktu t . Dari persamaan (3.1) berlaku lemma Itoˆ , sehingga diperoleh ⎛ ∂f (t , S (t ) ) 1 ∂ 2f (t , S (t ) ) 2 2 ⎞ ∂f (t , S (t ) ) df (t , S (t ) ) = ⎜ + σ S (t ) + μS (t ) ⎟ dt 2 ∂t ∂S (t ) 2 ∂S (t ) ⎝ ⎠ ∂f (t , S (t ) ) + σ S (t )dW (t ). (3.13) ∂S (t )
21
Padahal dari persamaan (3.12)
df (t , S (t ), B (t ) ) = ( μφ (t )S (t ) +ψ (t )rB (t ) ) dt + φ (t )σ S (t )dW (t ).
(3.14)
Dengan menyamakan persamaan (3.13) dan (3.14) dapat dipilih
φ (t ) =
∂f (t , S (t ) ) ∂S (t )
(3.15)
dan diperoleh
μφ(t )S (t ) +ψ (t )rB (t ) =
∂f (t , S (t )) 1 ∂2f (t , S (t )) 2 2 ∂f (t , S (t )) + σ S (t ) + μS (t ). (3.16) 2 ∂t 2 ∂S (t ) ∂S (t )
Selanjutya substitusi persaman (3.15) ke persamaan (3.16) diperoleh ∂f (t , S (t ) ) 1 ∂ 2 f (t , S (t ) ) 2 2 + ψ (t )rB (t ) = σ S (t ). ∂t 2 ∂S (t ) 2
(3.17)
Selanjutnya dengan memisalkan f (t , S (t ) ) = f (t , S (t ), B (t ) ) = f , dan substitusi persamaan (3.15) ke persamaan (3.10) diperoleh
ψ (t )B (t ) = f − S (t )
∂f . ∂S (t )
(3.18)
Dengan mensubstitusi persamaan (3.18) ke persamaan (3.17) diperoleh ⎛ ∂f ⎞ ∂f 1 ∂ 2 f r ⎜ f − S (t ) σ 2S 2 (t ) + ⎟= 2 ∂S (t ) ⎠ ∂t 2 ∂S (t ) ⎝ ∂f ∂f 1 ∂ 2 f σ 2S 2 (t ) ⇔ rf − rS (t ) = + ∂S (t ) ∂t 2 ∂S (t ) 2
atau
∂f 1 ∂ 2 f ∂f + rS (t ) − rf = 0. σ 2S 2 (t ) + 2 ∂t 2 ∂S (t ) ∂S (t )
(3.19)
Persamaan (3.19) merupakan Persamaan diferensial untuk penentuan harga suatu aset turunan, yang dikenal dengan Persamaan Diferensial BlackScholes-Merton (BSM) (Stampfli & Goodman 2001). Persamaan diferensial
BSM mempunyai solusi yang berlaku untuk semua aset turunan, bergantung pada syarat batas yang digunakan oleh masing-masing jenis aset turunan (Hull 2003). Selanjutnya untuk menyelesaikan persamaan diferensial (3.19) dilakukan dengan melakukan transformasi ke persamaan panas (Shiryaev 1997).
22
Definisikan
θ = θ (t , S ) = σ 2 (T − t ) Z = Z (t , S ) = ln S (t ) + (r −
σ2 2
)(T − t )
(3.20)
dan V =V (θ , Z ) = e r (T −t ) f (t , S (t )).
(3.21)
Sehingga diperoleh ∂θ ∂θ = −σ 2 , =0 ∂t ∂S (t ) dan
⎛ σ2 ⎞ ∂Z = −⎜r − ⎟, ∂t 2 ⎠ ⎝
∂Z 1 . = ∂S (t ) S (t )
Dari persamaan (3.21) diperoleh f (t , S (t ) ) = e − r (T −t )V ∂f ∂V = e − r (T −t ) rV + e − r (T −t ) ∂t ∂t dV ⎞ ⎛ = e − r (T −t ) ⎜ rV + ⎟ dt ⎠ ⎝ ∂V ∂Z ∂V ∂θ ⎞ ⎛ = e − r (T −t ) ⎜ rV + + ⎟ ∂Z ∂t ∂θ ∂t ⎠ ⎝ ⎛ ⎛ σ 2 ⎞ ∂V ∂V ⎞ = e − r (T −t ) ⎜ rV − ⎜ r − −σ 2 ⎟ ⎟ 2 ⎠ ∂Z ∂θ ⎠ ⎝ ⎝
(3.22)
dan ∂f ∂V = e − r (T −t ) ∂S ∂S ⎛ ∂V ∂Z ∂V ∂θ ⎞ = e − r (T −t ) ⎜ + ⎟ ⎝ ∂Z ∂S ∂θ ∂S ⎠ 1 ∂V = e − r (T −t ) S ∂Z serta
(3.23)
23
∂ 2f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ 2 ∂S ∂S ⎝ ∂S ⎠ ∂ ⎛ − r (T −t ) 1 ∂V ⎞ = ⎜e ⎟ S ∂Z ⎠ ∂S ⎝ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ ∂V ⎛ ∂ 1 ⎞ ⎤ = e − r (T −t ) ⎢ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎥ ⎣ S ∂S ⎝ ∂Z ⎠ ∂Z ⎝ ∂S S ⎠ ⎦ ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂V ⎞ ∂V ⎛ ∂ 1 ⎞ ⎤ = e − r (T −t ) ⎢ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎥ ⎣ S ∂Z ⎝ ∂S ⎠ ∂Z ⎝ ∂S S ⎠ ⎦ ⎡1 = e − r (T −t ) ⎢ ⎣S ⎡1 = e − r (T −t ) ⎢ ⎣S =e
− r (T −t )
1 S2
∂ ⎛ ∂V ∂Z ⎞ ∂V ⎛ ∂ 1 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ∂Z ⎝ ∂Z ∂S ⎠ ∂Z ⎝ ∂S S ⎠ ⎥⎦ ∂ ⎛ ∂V 1 ⎞ 1 ∂V ⎤ ⎜ ⎟− ∂Z ⎝ ∂Z S ⎠ S 2 ∂Z ⎥⎦ ⎡ ∂ 2V ∂V ⎤ ⎢ ∂Z 2 − ∂Z ⎥ . ⎣ ⎦
(3.24)
Selanjutnya dengan mensubstitusikan persamaan (3.22), (3.23), dan (3.24) ke dalam persamaan (3.19) diperoleh
⎡ ⎛ σ 2 ⎞ ∂V ∂V e − r (T −t ) ⎢ rV − ⎜ r − −σ 2 ⎟ 2 ⎠ ∂Z ∂θ ⎝ ⎣ ⎡ 1 ∂V ⎤ rS ⎥ − rf = 0 +e − r (T −t ) ⎢ ⎣ S ∂Z ⎦
⎤ − r (T −t ) ⎡ 1 1 ⎛ ∂ 2V ∂V − ⎥ +e ⎢ 2 ⎜ 2 2 S Z ∂ ∂Z ⎝ ⎦ ⎣
⎞ 2 2⎤ ⎟σ S ⎥ ⎠ ⎦
⎡ ∂V σ 2 ∂V ∂V 1 2 ∂ 2V 1 2 ∂V ∂V ⎤ σ r ⇔ e − r (T −t ) ⎢ rV − r + −σ 2 + σ − + ⎥ − rf = 0 2 Z 2 Z θ 2 Z 2 Z Z ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎣ ⎦ ⎡ ∂V 1 2 ∂ 2V ⎤ ⇔ e − r (T −t ) ⎢ rV − σ 2 + σ − rf = 0 ∂θ 2 ∂Z 2 ⎥⎦ ⎣ ⇔e
− r (T −t )
⎡ 1 2 ∂ 2V ⎤ 2 ∂V ⎢ rV − σ ∂θ + 2 σ ∂Z 2 ⎥ = rf ⎣ ⎦
⎡ ∂V 1 2 ∂ 2V ⎤ ⇔ rV e − r (T −t ) + e − r (T −t ) ⎢ −σ 2 + σ = rf . ∂θ 2 ∂Z 2 ⎥⎦ ⎣ Dari persamaan (3.21) diperoleh rV e − r (T −t ) = rf .
Sehingga (3.25) memberi hasil
⎡ ∂V 1 2 ∂ 2V ⎤ e − r (T −t ) ⎢ −σ 2 + σ = 0. ∂θ 2 ∂Z 2 ⎥⎦ ⎣
(3.25)
24
Dengan demikian ∂V 1 2 ∂ 2V + σ =0 ∂θ 2 ∂Z 2 ∂V 1 ∂ 2V ⇔− + =0 ∂θ 2 ∂Z 2 ∂V 1 ∂ 2V ⇔ − = 0. ∂θ 2 ∂Z 2
−σ 2
(3.26)
Persamaan (3.26) merupakan persamaan panas untuk V (θ , Z ) . Dari lampiran D diperoleh penyelesaian dari persamaan panas (3.26) yaitu
V (θ , Z ) =
∞
∫
−∞
−( y −Z ) 1 e 2θ h ( y )dy 2πθ 2
(3.27)
dimana h ( y ) =V (0, y ) merupakan syarat batas persamaan.
3.5. Present Value Nilai Harapan Selisih Harga Eksekusi dengan Harga Saham
Untuk menghitung present value nilai harapan selisih harga eksekusi (strike price) dengan harga saham dapat dilakukan dengan menghitung nilai aset turunan f (t ) . Selanjutnya jika tingkat suku bunga aset tanpa resiko (obligasi) tidak bernilai nol ( r ≠ 0) , maka menurut Baxter (Baxter & Rennie, 1996) untuk menghitung nilai aset turunan f (t ) dilakukan dengan memperhitungkan proses diskonto terhadap harga obligasi. Sehingga diperoleh
f (t ) = B (t ) E ( B
−1
(T ) f (T ) )
= e rt E (e − rT f (T ) ) = e − r (T −t ) E ( f (T ) )
(3.28)
Persamaan (3.28) menyatakan bahwa nilai aset turunan f (t ) , merupakan present value nilai harapan harga aset turunan pada saat yang akan datang, sebut T (T > t ) . Pada opsi, harga aset turunan pada waktu T, yaitu f (T ) merupakan
selisih harga eksekusi dengan harga saham pada saat T. Dengan demikian harga opsi f (t ) , merupakan present value nilai harapan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada saat jatuh tempo T.
