1.1
Pengertian Persamaan Differensial
Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya. Suatu persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya dinamakan persamaan differensial. Jika mengandung turunan parsial dinamakan persamaan differensial parsial. Selain persamaan differensial parsial, dikenal persamaan differensial yang lain yang dinamakan persamaan differensial biasa.
Definisi : Persamaan Differensial adalah persamaan yang mengandung fungsi dan turunannya. Persamaan Differensial Biasa adalah persamaan yang mengandung turunan biasa, yaitu turunan dengan satu peubah bebas. Persamaan Differensial Parsial adalah persamaan yang mengandung turunan parsial, yaitu turunan dengan peubah bebas lebih dari satu.
Dalam bab ini akan dijelaskan beberapa metode penyelesaian persamaan differensial biasa yang sering muncul dalam ilmu-ilmu terapan. Sebagai gambaran, perhatikan contoh sederhana berikut :
(i)
Hukum II Newton dalam bentuk vektor adalah ð¹ = ð. ð . Jika percepatan ð ditulis sebagai
ðð£ ðð¡
, dengan ð£ adalah kecepatan, atau ditulis sebagai
ð²ð ðð¡Â²
, dengan ð adalah
perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut : ð¹=ð
ð²ð£ ð²ð =ð ðð¡ ðð¡Â²
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ... (1.1) Pendahuluan Persamaan Differensial
1
Jadi masalah mekanika di atas yang digunakan untuk menentukan gerak benda (misalnya elektron, mobil atau satelit) karena pengaruh gaya, mengandung persamaan differensial. (ii)
Laju perubahan panas ð¬ yang berkurang melalui jendela atau dari pipa air panas sebanding dengan luas permukaan ð¢ dan sebanding dengan perubahan temperatur ðµ terhadap jarak ð, dapat ditulis : ðð¬ ðð = ððŽ ðð¡ ðð¥ âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ... (1.2) dengan ð adalah konduktivitas panas yang bergantung pada material/bahan yang dilalui panas. Persamaan (1.2) di atas mengandung 2 turunan yang berbeda, yaitu ðð ðð¥
ðð¬
dan ðð¡ , dan penyelesaiannya adalah menentukan fungsi ð sebagai fungsi ð¥, atau
ð¬ sebagai fungsi ð¡. (iii)
Perhatikan rangkaian sederhana berikut (gambar 1.1), yang terdiri dari resisitor R, kapasitor C dan induktor L yang dihubungkan dengan tegangan AC.
Gambar 1.1 Rangkaian RLC seri, dihubungkan dengan tegangan AC, V
Jika arus yang mengalir pada rangkaian suatu saat adalah ðŒ(ð¡) dan muatan pada kapasitor adalah ð(ð¡) , diperoleh hubungan ðŒ ð¡ =
ðð ðð¡
. Tegangan diujung-ujung ð
resistor ð
adalah ðŒ. ð
, tegangan pada kapasitor ð¶ adalah ð¶ , dan tegangan pada ððŒ
induktor ð¿ adalah ð¿ ðð¡ , maka tegangan setiap saatnya adalah : ð¿
2
ððŒ ð + ð
. ðŒ + = ð ðð¡ ð¶
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jika persamaan tersebut kita turunkan terhadap fungsi ð¡ dengan mensubstitusikan ðŒ ð¡ =
ðð ðð¡
, diperoleh : ð²ðŒ ððŒ ðŒ ðð + ð
. + = ðð¡Â² ðð¡ ð¶ ðð¡
ð¿.
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ. (1.3)
Masih banyak lagi masalah-masalah fisika dan ilmu terapan lainnya yang mengandung persamaan differensial.
Contoh 1.1 Manakah dari persamaan-persamaan berikut yang termasuk persamaan differensial biasa. a. b.
ð¥ 2 x ðŠ 2 = 25 ððŠ ðð¥
+ðŠ+6= 0
c.
ð¥ðŠ + ðŠ â² + ð¥ = 0
d.
ð¥ðŠâ²â² + ð¥ 2 ðŠ â² + 6ðŠ = ð ð¥
e.
ðð¢ ðð ð²ð¢
f.
ð𥠲
+ ð¢= +
ð²ð¢ ððŠ ²
ðð¢ ðð§
=0
Jawab a.
Bukan Persamaan Differensial Biasa (PDB), karena tidak mengandung turunan fungsi.
b.
PDB, dengan peubah bebas ð¥ dan peubah tak bebas ðŠ.
c.
PDB (ingat : ðŠ â² =
d.
PDB ( ðŠ â²â² =
e.
Termasuk persamaan differensial parsial, karena peubah bebasnya ada dua, yaitu ð
ð²ðŠ ðð¥Â²
ððŠ ðð¥
), dengan peubah bebas ð¥ dan peubah tak bebas ðŠ.
), dengan peubah bebas ð¥ dan peubah tak bebas ðŠ.
dan ð§. f.
Termasuk persamaan differensial parsial, karena peubah bebasnya ada dua, yaitu ð¥ dan ðŠ. Pendahuluan Persamaan Differensial
3
1.2
Persamaan Differensial Biasa
Tingkat/orde suatu persamaan differensial adalah turunan tertinggi yang terdapat dalam persamaan tersebut. Secara umum, persamaan differensial biasa orde ð mempunyai bentuk : ð¹ ð¥, ð¢ ð¥ , ð¢â² ð¥ , ð¢â²â²(ð¥), âŠ, ð¢ð ð¥
= 0
âŠâŠâŠâŠâŠ.....âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠ. (1.4)
Persamaan (1.4), menyatakan hubungan antara peubah bebas ð¥, fungsi ð¢ dan turunannya ð¢â² , ð¢â²â² , ð¢â²â²â² , ⊠, ð¢ð . Untuk selanjutnya akan digunakan variabel ðŠ sebagai pengganti ð¢ ð¥ , dan ðŠ â² , ðŠ â²â² , ðŠ â²â²â² , ⊠, ðŠ ð sebagai pengganti ð¢â² ð¥ , ð¢â²â² (ð¥), ð¢â²â²â² ð¥ , âŠ, ð¢ð ð¥
, sehingga
persamaan (1.4) dapat ditulis dalam bentuk : ð¹ ð¥, ðŠ â² , ðŠ â²â² , ⊠, ðŠ ð = 0
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠ. (1.5) Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut : a.
ðŠ â² + ð¥ðŠÂ² = 1, dimana ðŠ â² =
b.
ð¥ðŠ â² + ðŠ = ð ð¥
c. d.
ðð£ ðð¡
ð¿
ððŠ ðð¥
= âg
ððŒ ðð¡
+ ð
ðŒ = ð
Persamaan a, b, c dan d di atas adalah persamaan differensial orde satu, karena persamaan-persamaan tersebut mengandung turunan pertama sebagai turunan tertinggi. e.
ð²ð
ð ðð¡Â² = âðð, adalah persamaan differensial orde dua, karena persamaan tersebut mengandung turunan kedua sebagai turunan tertinggi.
Derajat/pangkat suatu persamaan differensial yang berbentuk polinom dalam peubah tak bebas dan turunan-turunannya adalah derajat/pangkat tertinggi polinom tersebut. Sebagai gambaran, perhatikan contoh-contoh berikut : ðŠ â²â²â² + 2ð¥ðŠ ðŠ â²
b.
ðŠ â²â² + 5ðŠ â² + 6ð¥ðŠ = sin ð¥ , merupakan persamaan differensial berderajat satu.
c.
ðŠ â²â² =
(ð¥ 2 +1) , ðŠ
3
= 0, merupakan PD berderajat empat, karena mengandung ðŠ(ðŠ â² )³
a.
merupakan persamaan differensial berderajat dua.
Perhatikan bahwa persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk ðŠ. ðŠ â²â² = ð¥ 2 + 1 d.
3ð¥ â 2ðŠ ðŠ â² = 1 â ð¥ â ð¥ 2 , merupakan persamaan differensial berderajat tiga.
e.
3ð¥ + 5ðŠ ððŠ = 2ð¥ + 2 ðð¥, merupakan persamaan differensial berderajat dua.
4
Pendahuluan Persamaan Differensial
1.3
Persamaan Differensial Linier dan Tak Linier
Suatu persamaan differensial linier (dengan ð¥ adalah peubah bebas dan ðŠ adalah peubah tak bebas) adalah salah satu bentuk dari persamaan : ð0 ðŠ + ð1 ðŠ â² + ð1 ðŠ â²â² + ⯠+ ðð ðŠ ð = ð âŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ (1.6) Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut : a.
ðŠ â² + ð¥ðŠ 2 = 1, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 dari ðŠ)
b.
ðŠ â² = cot ðŠ, (tidak linier, karena terdapat fungsi transenden cot ðŠ)
c.
ðŠðŠ â² = 1, (tidak linier, karena terdapat perkalian ðŠ dan ðŠâ)
d.
ðŠâ²
2
= ð¥ðŠ, (tidak linier, karena terdapat pangkat 2 pada ðŠâ)
Dengan demikian, persamaan differensial biasa disebut linier, jika memenuhi kriteria sebagai berikut : (i)
Tidak terdapat fungsi transenden dalam peubah tak bebas
(ii)
Tidak terdapat perkalian antara peubah tak bebas dengan turunannya
(iii)
Peubah tak bebas dan turunannya paling tinggi berpangkat Satu
(iv)
ðð (ð¥) adalah fungsi kontinu
Sebaliknya persamaan differensial biasa yang tidak memenuhi kriteria tersebut di atas, disebut persamaan differensial tak linier.
Sebagian besar persamaan differensial yang muncul dalam masalah-masalah terapan adalah linier dengan orde 1 atau orde 2. Untuk itu kita akan membahas secara khusus mengenai persamaan differensial linier orde 1 dan orde 2.
Contoh 1.2 Tentukan apakah persamaan differensial berikut termasuk persamaan differensial biasa atau parsial? Tentukan orde, pangkat dan kelinierannya! a.
ð¥ðŠ â² + ð ð¥ = ðŠ
b.
(sin ð¥)ðŠ â²â² + 4ð¥ 2 â ðŠ = 0
c.
ðŠðŠ â²â² + ðŠ 2 + 4ð¥ðŠ = sin ð¥
Pendahuluan Persamaan Differensial
5
ð¥ 2 + 1 ðð¥ = ð¥ â ðŠ + 4 ððŠ
d. e.
1 ðŠ ð¥
f.
ðŠ
ðŠ â² + 4ð¥ + 1 = 0 ðð¥ = 2ððŠ
g.
ðŠ â² sin ð¥ + ðŠ cos ð¥ = 5
h.
ð¥ sin ðŠ + ðŠ â² cos 5ð¥ + 3 = ð ð¥
i.
Uð¥ð¥ + ð¥ðŠUð¥ðŠ â ðŠUx = 0
j.
ðŠ â²â²â² + ðŠ â²â² cos ð¥. sin ð¥ + ðŠ â² tan ð¥ â 2ðŠ = 0
k.
ð²ð¢ ðð¥ 2 ð4ð¥
l.
ðð¡ 4
ð²ð¢
+ ððŠ 2 = ð¥Â² +
ð2ð¥ ðð¡ 2
5
+ 5ðŠ = 0
Jawab :
a.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier
b.
Persamaan differensial biasa, orde 2, pangkat 1, dan linier
c.
Persamaan differensial biasa, orde 2, pangkat 2, dan tak linier
d.
Persamaan di atas dapat ditulis : ð¥2 + 1
ðð¥ = (ð¥ â ðŠ + 4) ððŠ
yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 3, dan tak linier ð¥ 2 + 1 = (ð¥ â ðŠ + 4)
ððŠ ðð¥
yang merupakan PDB, orde 1, pangkat 2, dan tak linier e.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier
f.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan tak linier
g.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan linier
h.
Persamaan differensial biasa, orde 1, pangkat 1, dan tak linier
i.
Persamaan differensial parsial, orde 2, pangkat 1, dan tak linier
j.
Persamaan differensial biasa, orde 3, pangkat 1, dan linier
k.
Persamaan differensial parsial, orde 2, pangkat 2, dan linier
l.
Persamaan differensial biasa, orde 4, pangkat 5, dan linier
6
Pendahuluan Persamaan Differensial
1.4
Solusi Persamaan Differensial
Perhatikan persamaan differensial biasa orde ð berikut : ð¹ ð¥, ðŠ â² , ðŠ â²â² , ⊠, ðŠ ð = 0 Solusi persamaan tersebut pada interval terbuka ðŒ < ð¥ < ðœ adalah suatu fungsi ð dimana ð â² , ð â²â² , ð â²â²â² , ⊠, ð ð ada, dan memenuhi persamaan ð¹ ð â² , ð â²â² , ð â²â²â² , ⊠, ð ð = 0 untuk setiap ð¥ pada interval di atas. Kecuali ada pernyataan lain, kita anggap bahwa ð¹ pada persamaan (1.5) adalah fungsi nilai riil dan ðŠ = ð(ð¥) juga bernilai riil. Sebagai contoh, fungsi ð1 ð¥ = cos ð¥
dan ð2 ð¥ = sin ð¥ adalah solusi persamaan
ðŠ â²â² + ðŠ = 0 untuk setiap ð¥, karena jika ð1 ð¥ dan/atau ð2 ð¥ disubstitusikan kedalam persamaan ðŠ â²â² + ðŠ = 0, akan diperoleh kesamaan. Contoh lain yang agak rumit, ð1 ð¥ = ð¥ 2 ln ð¥ adalah solusi persamaan ð¥ 2 ðŠ â²â² â 3ð¥ðŠ â² â 4ðŠ = 0, ð¥ > 0
Bukti : ð1 ð¥ = ð¥ 2 ln ð¥ 1 ð1 ð¥ = ð¥ 2 . + 2ð¥ ln ð¥ ð¥ ð1 ð¥ = ð¥ + 2ð¥ ln ð¥ ð1â²â² ð¥ = 1 + 2 ln ð¥ + 2ð¥.
1 ð¥
ð1â²â² ð¥ = 3 + 2 ln ð¥ Substitusikan pada persamaan differensial di atas, diperoleh : ð¥ 2 3 + 2 ln ð¥ â 3ð¥ ð¥ + 2ð¥ ln ð¥ + 4 ð¥ 2 ln ð¥ = 3ð¥ 2 + 2 â 6 + 4 ð¥ 2 ln ð¥ = 0 Terbukti bahwa ð1 ð¥ = ð¥ 2 ln ð¥ merupakan solusi persamaan differensial ð¥ 2 ðŠ â²â² â ð¥ðŠ â² + 4ðŠ = 0 di atas.
Jadi : Suatu penyelesaian (solusi) persamaan differensial (dalam peubah ð¥ dan ðŠ) adalah suatu hubungan antara ð¥ dan ðŠ, yang jika disubstitusikan kedalam persamaan itu, akan memberikan kesamaan (identitas).
Pendahuluan Persamaan Differensial
7
Contoh 1.3 Persamaan ðŠ = ð ðð ð¥ + ð, adalah penyelesaian persamaan differensial ðŠâ = ððð ð¥, sebab jika disubstitusikað akan diperoleh kesamaan ððð ð¥ = ððð ð¥. Contoh 1.4 Persamaan ðŠââ = ðŠ mempunyai penyelesaian : ðŠ = ð ð¥ atau ðŠ = ð âð¥ atau ðŠ = ðŽð ð¥ + ðµð âð¥ . (Buktikan dengan mensubstitusikannya!). Jawab : (i)
ðŠ = ðð¥ ðŠâ² = ð ð¥ ðŠâ²â² = ð ð¥ Substitusikan pada persamaan ðŠ â²â² = ðŠ â¹ ð ð¥ = ð ð¥ (terbukti)
(ii)
ðŠ = ð âð¥ ðŠâ² = âð âð¥ ðŠâ²â² = ð âð¥ Substitusikan pada persamaan ðŠ â²â² = ðŠ â¹ ð âð¥ = ð âð¥ (terbukti)
(iii)
ðŠ = ð ð¥ + ð âð¥ ðŠâ² = ð ð¥ â ð âð¥ ðŠ â²â² = ð ð¥ + ð âð¥ Substitusikan pada persamaan ðŠ â²â² = ðŠ â¹ ð ð¥ + ð âð¥ = ð ð¥ + ð âð¥ (terbukti)
Suatu pertanyaan yang mungkin muncul adalah apakah ada solusi lain disamping solusi yang telah dibahas di atas? Atau bahkan timbul pertanyaan lebih lanjut, apakah persamaan di atas mempunyai suatu solusi? Ini adalah pertanyaan tentang keujudan suatu solusi persamaan differensial. Tidak semua persamaan differensial mempunyai solusi. Jika suatu masalah yang telah dirumuskan dengan model matematika dan mengandung suatu persamaan differensial, kemudian masalah tersebut tidak mempunyai solusi, maka kita harus menguji kembali keabsahan model matematika itu.
8
Pendahuluan Persamaan Differensial
Kedua, jika persamaan yang diberikan mempunyai suatu solusi, apakah ada solusi yang lainnya? Ini adalah pertanyaan tentang ketunggalan suatu solusi persamaan diferensial.
Pertanyaan yang ketiga adalah bagaimana cara menentukan solusi suatu persamaan differensial? Jika kita mengitegralkan ðŠ â² = ð(ð¥) diperoleh : ðŠ =
ð ð¥ ðð¥ + ð yang mengandung satu
Jika kita mengitegralkan ðŠ â²â² = g(ð¥) dua kali untuk
tetapan integrasi, yaitu ð.
mendapatkan ðŠ, ðŠ mengandung dua tetapan integrasi. Secara umum, suatu persamaan differensial orde n akan mempunyai penyelesaian yang mengandung n buah tetapan integrasi. Penyelesaian seperti ini dinamakan solusi umum dari persamaan differensial tak linier. Solusi yang diperoleh dari solusi umum dengan mengambil konstanta/tetapan yang sesuai, dinamakan solusi khusus.
Jadi : Solusi umum suatu persamaan differensial adalah solusi yang mengandung tetapan integrasi, sedangkan solusi khusus suatu persamaan differensial adalah solusi yang di peroleh dari suatu solusi umum dengan menentukan konstanta yang sesuai.
Dalam penerapannya, diinginkan solusi khusus yang sesuai dengan persamaan differensial tersebut yang memerlukan syarat-syarat tertentu. Perhatikan contoh berikut : Contoh 1.5 (Penerapan pada bidang Fisika) Tentukan jarak benda jatuh karena gravitasi sebagai fungsi waktu ð¡, jika benda mula-mula diam.
Pendahuluan Persamaan Differensial
9
Jawab : Misalkan ð¥ adalah jarak benda jatuh sebagai fungsi waktu ð¡, percepatan benda karena pengaruh gravitasi adalah g, sehingga diperoleh persamaan :
ð²ð¥ ðð¡Â²
= g, dengan
mengintegralkan, diperoleh : ðð¥ = g. ð¡ + ð = g. ð¡ + ð£0 ðð¡ kemudian, 1
ð¥ = 2 gð¡Â² + ð1 ð¡ + ð2 , dengan ð1 = ð£0 dan ð2 = ð¥0 , atau 1 ð¥ = g. ð¡ 2 + ð£0 . ð¡ + ð¥0 2 âŠâŠâŠâŠ....âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.. (1.7) dengan ð£0 dan ð¥0 adalah nilai ð£ dan ð¥ pada ð¡ = 0, persamaan (1.7) adalah solusi umum dari persamaan differensial
ð²ð¥ ðð¡Â²
= g, karena penyelesaian persamaan differensial linier
orde 2 tersebut mengandung 2 konstanta, yaitu ð£0 dan ð¥0 Untuk mendapatkan solusi khusus, kita masukkan nilai ð£0 = 0 (benda mula-mula diam), dan ð¥0 = 0 (jarak benda 1
jatuh nol pada ð¡ = 0), sehingga solusi khusus yang diinginkan adalah : ð¥ = 2 gð¡Â² Contoh 1.6 (Penerapan pada bidang Geometri) 3
Tentukan solusi dari persamaan ðŠâ²â² = ðŠ yang melalui pusat koordinat dan titik (ln 2 , 4) Jawab : Solusi umum dari persamaan differensial tersebut adalah ðŠ = ðŽð ð¥ + ðµð âð¥ . (lihat contoh 1.4). persamaan kurva ðŠ = ðŽð ð¥ + ðµð âð¥ melalui titik pusat koordinat 3
3
(ðŠ = 0 dan ð¥ = 0) dan melalui titik (ln 2 , 4) (ðŠ = 4 dan ð¥ = ln ð¥). Dengan mensubstitusikan titik-titik tersebut, diperoleh : 0 = ðŽ + ðµ, atau ðµ = âðŽ 3 = ðŽ. ð ln 2 + ðµ. ð â ln 2 4 10
Pendahuluan Persamaan Differensial
3 4
1
= ðŽ. 2 + ðµ. 2, karena ðµ = âðŽ, maka :
3 1 = 2ðŽ â ðŽ 4 2 3 4
3
1
1
= 2 ðŽ â ðŽ = 2 dan ðµ = â 2
Solusi khusus yang diinginkan adalah : 1
1
ðŠ = 2 ð ð¥ â 2 ð âð¥ , atau 1 ðŠ = (ð ð¥ â ð âð¥ ) 2 ðŠ = sinh ð¥ 1
{ingat bahwa sinh ð¥ = (ð ð¥ â ð âð¥ ) dan cosh ð¥ = (ð ð¥ + ð âð¥ )} 2
Kondisi yang diberikan untuk mendapatkan solusi khusus dinamakan syarat batas, sedangkan kondisi yang diberikan pada ð¡ = 0 dinamakan syarat awal. Umumnya (tetapi tidak selalu untuk persamaan differensial tak linier), solusi khusus yang diinginkan diperoleh dari solusi umum dengan menentukan nilai konstantanya.
LATIHAN 1.1
1.
Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukan orde dan derajatnya ! Tentukan juga apakah persamaan differensial linier atau tak linier ? a. b. c. d. e. f.
2.
ð²ðŠ
ððŠ
ð¥ 2 ðð¥Â² + ð¥ ðð¥ + 2ðŠ = sin ð¥ ð2ðŠ
1 + ðŠ2
ðð¥ 2
ð4 ðŠ
ð3ðŠ
ð2ðŠ
ðð¥
ðð¥
ðð¥ 2
ððŠ ðð¥
4 +
3 +
ððŠ
+ ð¥ ðð¥ + ðŠ = ð ð¥ +ð¥
ððŠ ðð¥
+ðŠ =1
+ ð¥ðŠ 2 = 0
ð2 ðŠ ðð¥ 2 ð3 ðŠ ðð¥ 3
+ sin ð¥ + ðŠ = sin ð¥ ððŠ
+ ð¥ ðð¥ + ðŠ cos² ð¥ = ð¥ 3
Buktikan bahwa fungsi-fungsi yang diberikan merupakan solusi persamaan differensial. a.
ðŠ â²â² â ðŠ = 0 ; ðŠ1 ð¥ = ð ð¥ , ðŠ2 ð¥ = cosh ð¥
b.
ðŠ â²â²â² + 2ðŠ â² â 3ðŠ = 0 ; ðŠ1 ð¥ = ð â3ð¥ , ðŠ2 ð¥ = ð ð¥
Pendahuluan Persamaan Differensial
11
3.
ð¥
ð¥
c.
ðŠ ðð£ + 4ðŠ â²â²â² + 3ðŠ = ð¥ ; ðŠ1 ð¥ = 3 , ðŠ2 ð¥ = ð âð¥ + 3
d.
2ð¥ 2 ðŠ â²â² + 3ð¥ðŠ â² â ðŠ = 0, ð¥ > 0 ; ðŠ1 ð¥ = ð¥ Âœ , ðŠ2 ð¥ = ð âð¥
e.
ð¥ 2 ðŠ â²â² + 5ð¥ðŠ â² + 4ðŠ = 0, ð¥ > 0 ; ðŠ1 ð¥ = ð¥ â2 , ðŠ2 ð¥ = ð¥ â2 ln ð¥
f.
ðŠ â²â² + ðŠ = sec ð¥ , 0 < ð¥ < 2 ; ðŠ ð¥ = (cos ð¥) ln cos ð¥ + ð¥ sin ð¥
g.
ðŠ â² â 2ð¥ðŠ = 1 ; ðŠ ð¥ = ð ð¥
ð
ð¥ â©
2
2
ð âð¡ ðð¡ + ð ð¥Â²
Pada contoh 1.4, buktikan bahwa ðŠ = cosh ð¥ dan ðŠ = sinh ð¥ adalah penyelesaian 1
persamaan differensial ðŠâ²â² = ðŠ. [ingat : cosh ð¥ = 2 (ð ð¥ + ð âð¥ )] 4.
Selesaikanlah contoh 1.6 dengan menggunakan solusi umum ðŠ = ð sinh ð¥ + ð cosh ð¥
5.
Buktikan bahwa ðŠ = sin ð¥, ðŠ = cos ð¥, ðŠ = ð 5ð¥ , dan ðŠ = ð â5ð¥ adalah solusi-solusi untuk persamaan differensial ðŠ â²â² = âðŠ
6.
Tentukan jarak benda yang bergerak, sebagai fungsi waktu ð¡, jika benda mula-mula diam dan percepatan benda
ð²ð¥ ðð¡Â²
= g. ð âðð¡ . Tunjukkan bahwa untuk ð¡ kecil, hasilnya 1
dapat dianggap sama dengan ð¥ = 2 gð¡ 2 , dan untuk ð¡ besar, kecepatan
ðð¥ ðð¡
dapat
dianggap konstan ! 7.
Tentukan posisi ð¥ suatu partikel sebagai fungsi waktu ð¡, jika percepatannya ð²ð¥ ðð¡Â²
8.
= ðŽ sin ðð¡!
Momentum (ð) suatu elektron yang bergerak dengan kecepatan yang mendekati kecepatan cahaya naik menurut persamaan ð =
ð 0ð£ 1â
,
ð£Â² ð²
dimana ð0 : massa diam elektron. Jika elektron tersebut dipengaruhi gaya konstan ð¹, maka hukum Newton II menjadi : ðð ð = ðð¡ ðð¡
ð0ð£ ð£2 1â 2 ð
=ð¹
Tentukan kecepatan ð£ sebagai fungsi waktu ð¡ dan tunjukkan bahwa limit kecepatan jika ð¡ mendekati tak hingga adalah ð. tentukan jarak ð¥ yang ditempuh elektron pada waktu ð¡, jika elektron mulai diam.
12
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.1
Persamaan Differensial Linier
Jenis persamaan differensial orde 1 yang paling sederhana adalah ðŠ â² = ð(ð¥) dengan fungsi ð hanya bergantung pada ð¥. Kita akan menentukan ðŠ = ð(ð¥), yang turunannya merupakan fungsi ð di atas. Dari teori kalkulus, diketahui bahwa ð adalah anti turunan ð, ditulis : ðŠ=ð ð¥ =
ð ð¥ . ðð¥
dengan ð adalah konstanta yang sesuai. Misalkan, jika ðŠ â² = sin 2ð¥, Maka
ðŠ=ð ð¥ =
sin 2ð¥ðð¥
1 ðŠ = â cos 2ð¥ + ð 2 Secara umum, persamaan differensial linier orde 1 mempunyai bentuk umum : ðŠâ² + ð ð¥ ðŠ = g ð¥ âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠ (2.1) dengan ð dan g adalah fungsi kontinu pada interval ðŒ < ð¥ < ðœ. Pada bagian ini, kita akan memfokuskan pada metoda penyelesaian persamaan (2.1). Perhatikan persamaan berikut : ðŠ â² + ððŠ = 0 dengan ð adalah konstanta riil. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan metoda inspeksi. Kita perlu suatu fungsi dengan turunannya yaitu ðŠâ² sama dengan (âð) kali ðŠ. Salah satu persamaan yang mempunyai sifat seperti itu adalah :
Pendahuluan Persamaan Differensial
13
ðŠ = ðð âðð¥ âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.. (2.2) dengan ð adalah konstanta.
Bukti : ðŠ = ðð âðð¥ ðŠâ² =
ððŠ = âððð âðð¥ = âððŠ ðð¥
Substitusikan pada persamaan : ðŠ â² + ððŠ = 0, diperoleh :
âððŠ + ððŠ = 0 â 0 = 0 Karena ð suatu konstanta, persamaan (2.2) memberikan tak hingga banyaknya solusi. Pertanyaan yang mungkin muncul, apakah ada bentuk solusi lain selain solusi pada persamaan (2.2) di atas ? Pada bagian lain akan dibuktikan bahwa tidak ada bentuk solusi lain selain persamaan (2.2). Secara geometri, persamaan (2.2) menyatakan suatu keluarga kurva. Untuk ð = 1, beberapa anggota keluarga kurva digambarkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Keluarga kurva persamaan
14
Pendahuluan Persamaan Differensial
Akan lebih baik, jika kita menentukan suatu kurva yang melalui titik (ð¥0 , ðŠ0 ). Dalam hal ini, kita menentukan ðŠ = ð(ð¥) sedemikian sehingga ð ð¥0 = ðŠ0 , atau ðŠ ð¥0 = ðŠ0 . Keadaan ini dinamakan syarat awal. Persamaan differensial orde 1 dengan syarat awal dinamakan Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem). Sebagai contoh, perhatikan persamaan differensial berikut : ðŠ â² + ððŠ = 0, dengan syarat awal ðŠ 0 = 2, yang mempunyai solusi seperti persamaan (2.2). Solusi yang sesuai dengan syarat awal di atas ditentukan dengan mensubstitusikan ð¥ = 0 dan ðŠ = 2 pada persamaan (2.2), diperoleh ð = 2, sehingga solusi yang diinginkan adalah:
ðŠ = ð ð¥ = 2ð âðð¥ Ini merupakan solusi khusus dari masalah nilai awal di atas. Sedangkan persamaan (2.2) merupakan solusi umum dari persamaan ðŠ â² + ððŠ = 0. Sekarang perhatikan persamaan differensial berikut :
ðŠ â² + ððŠ = g(ð¥) âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.. (2.3) Jika ð = 0, ruas kiri persamaan hanya mengandung turunan ðŠ. Persamaan (2.3) tersebut menjadi ðŠ â² = g(ð¥), yang dimiliki solusi ðŠ = ð ð¥ =
g ð¥ ðð¥.
Jika ð â 0, ruas kiri persamaan mengandung turunan ðŠ dan ðŠâ². Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk : ðŠâ² + ððŠ =
ð ð (? ), dimana (? ) = g(ð¥) ðð¥ ðð¥
Selanjutnya kedua sisi kita integralkan. Salah satu cara bagaimana menentukan solusinya, perhatikan kembali persamaan differensial ðŠ â² + ððŠ = 0, yang mempunyai solusi ðŠ = ð. ð âðð¥ atau dalam bentuk lain ð = ðŠð ðð¥ Differensialkan, diperoleh : ð ðð¥
ðŠð ðð¥ = 0,
ingat bahwa ð = ðŠð ðð¥ dengan ð adalah konstanta dan turunan konstanta sama dengan nol, atau ððŠ ðð¥ ððŠ ð + ðð ðð¥ . ðŠ = ð ðð¥ + ððŠ = 0 ðð¥ ðð¥
Pendahuluan Persamaan Differensial
15
Jadi, ð ððŠ ðŠð ðð¥ = ð ðð¥ + ððŠ = 0 ðð¥ ðð¥ Jika persamaan (2.3) dikalikan dengan ð ðð¥ , diperoleh : ð ðð¥ ðŠ â² + ððŠ = ð ðð¥ . g(ð¥) ð ðŠð ðð¥ = ð ðð¥ . g(ð¥) ðð¥ Integralkan, diperoleh : ð¥
ðŠð
ðð¥
=
ð ðð¡ . g ð¡ ðð¡
Jadi solusi persamaan (2.3) adalah : ð¥
ðŠ = ð âðð¥
ð ðð¡ . g ð¡ ðð¡
Contoh 2.1 Tentukan solusi umum persamaan differensial ðŠ â² â ðŠ = 2ð ð¥
Jawab :
Bandingkan persamaan differensial di atas dengan bentuk umum persamaan differensial [persamaan (2.3)], diperoleh ð = â1. Kalikan persamaan differensial dengan ð âð¥ ð âð¥ ðŠ â² â ðŠ = 2ð ð¥ . ð ð¥ ð âð¥ ð ðŠ =2 ðð¥ Integralkan, diperoleh : ð âð¥ ðŠ = 2ð¥ + ð ðŠ = 2ð¥ð ð¥ + ðð ð¥ Jadi solusi umum persamaan differensial tersebut adalah ðŠ = 2ð¥ð ð¥ + ðð ð¥
16
Pendahuluan Persamaan Differensial
Contoh 2.2
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut : ðŠ â² + 2ðŠ = ð âð¥ ðŠ ðŠðŠ 0 = 3
Jawab : Bandingkan persamaan tersebut dengan persamaan (2.3), diperoleh ð = 2, kemudian kalikan persamaan dengan ð 2ð¥ , diperoleh : ð 2ð¥ ðŠ â² + 2ð 2ð¥ ðŠ = ð 2ð¥ ð âð¥ ð 2ð¥ ð ðŠ = ðð¥ ðð¥ Integralkan, diperoleh : ð 2ð¥ ðŠ =
ð ð¥ ðð¥
ð 2ð¥ ðŠ = ð ð¥ + ð Solusinya : Solusinya :
ðŠ = ð â2ð¥ ð ð¥ + ðð â2ð¥ ðŠ = ð âð¥ + ðð â2ð¥
Substitusikan ð¥ = 0 dan ðŠ = 3, diperoleh ð = 2 Jadi solusi masalah nilai awal diatas adalah : ðŠ = ð âð¥ + 2ð â2ð¥
Contoh 2.3 Tentukan solusi umum persamaan differensial ðŠ â² + 3ðŠ = ð¥ + ð â2ð¥
Jawab : Dari persamaan diperoleh ð = 3. Solusi umum persamaan differensial diatas adalah : ð¥
ðŠ=ð
âðð¥
ð ðð¡ g ð¡ ðð¡
Pendahuluan Persamaan Differensial
17
ð¥
ðŠ=ð
â3ð¥
ð 3ð¡ g ð¡ + ð â2ð¡ ðð¡ ð¥
ðŠ = ð â3ð¥
ð¥
ð¡ð 3ð¡ ðð¡ +
ð ð¡ ðð¡
1 3ð¥ 1 3ð¥ ð¥ð â ð + ð1 + ð ð¥ + ð2 3 9 1 1 ðŠ = ð â3ð¥ ð¥ð 3ð¥ â ð 3ð¥ + ð ð¥ + (ð1 + ð2 ) 3 9 1 1 ðŠ = ð â3ð¥ ð¥ð 3ð¥ â ð 3ð¥ + ð ð¥ + ð 3 9 1 1 ðŠ = ð¥+ ð â2ð¥ â + ðð â3ð¥ 3 9 ðŠ = ð â3ð¥
â¡
Faktor Integrasi
Kita perhatikan kembali persamaan differensial orde 1 berikut [persamaan(2.1)] : ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = g(ð¥) Analogi dengan cara di atas, kita akan memilih fungsi ð ð¥ sehingga jika persamaan (2.1) dikalikan dengan ð ð¥ , ruas kiri persamaan dapat ditulis dalam bentuk turunan fungsi ð ð¥ . ðŠ. ð ð¥ . ðŠâ² + ð ð¥ ðŠ =
ð ð ð¥ ðŠ ðð¥
ð ð¥ . ðŠâ² + ð ð¥ ð ð¥ ðŠ = ð ð¥ . ðŠâ² + ð â²
ð¥
.ðŠ
Jadi ð ð¥ yang sesuai harus memenuhi ð ð¥ . ð ð¥ = ðâ² ð¥ Anggap ð ð¥ > 0, diperoleh : ð ð¥ = Karena
ðâ² ð¥ ð ð¥
ðâ² ð¥ ð ð¥
adalah turunan dari ln ð ð¥ ,
maka, ð¥
ln ð ð¥ =
ðâ² ð¡ = ð ð¡
1 ðŠ= ð(ð¥)
ð¥
ð ð¡ . g ð¡ ðð¡ + ð
ð¥
ð ð¡ . g ð¡ ðð¡ +
ð ð(ð¥)
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠ. (2.4)
18
Pendahuluan Persamaan Differensial
Persamaan (2.4) adalah Solusi Eksplisit dari bentuk umum persamaan differensial linier orde 1 [persamaan(2.1)] dengan ð dan g adalah fungsi kontinu. Dua integrasi diperlukan, pertama, pada saat menentukan ð(ð¥), dan kedua, pada saat menentukan ðŠ. Dua hal penting yang harus diperhatikan dalam menentukan solusi persamaan (2.3). 1.
sebelum menentukan faktor integrasi ð(ð¥), kita perhatikan dahulu apakah persamaan betul-betul mempunyai bentuk seperti persamaan (2.3), dengan kata lain koefisien (ðŠ â² ) nya satu.
2.
setelah memperoleh ð(ð¥) dan mengalikannya dengan persamaan differensial terkait, apakah turunan ð ð¥ . ðŠ ada atau tidak. Selanjutnya setelah solusi ditemukan, uji ulang dengan mensubstitusikannya pada persamaan differensial tersebut. Cara seperti diatas dinamakan Metode Integrasi.
Contoh 2.4
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut ; ðŠ â² â 2ð¥ðŠ = ð¥, ðŠ 0 = 1
Jawab : Untuk persamaan terebut, faktor integrasinya, ð ð¥ , diperoleh : ð âð¥Â² ðŠ â² â 2ð¥ð âð¥Â² ðŠ = ð¥ð âð¥Â² atau
ð ðð¥
2
ð âð¥ ðŠ = ð¥ð âð¥Â²
Integralkan, diperoleh : ð¥
ð âð¥Â² ðŠ =
2
ð¡ð âð¡ ðð¡ + ð
1 2 ð âð¥Â²ðŠ = â ð âð¥ + ð 2 1 2 ðŠ = â +ðð ð¥ 2 2
Substitusikan ðŠ 0 = 1, diperoleh ð = 3 1
3
2
2
Jadi solusi masalah nilai awal di atas adalah ðŠ = â + ð ð¥
Pendahuluan Persamaan Differensial
2
19
Contoh 2.5
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut : ðŠ â² â 2ð¥ðŠ = 1, ðŠ 0 = 1
Jawab : Untuk persamaan tersebut, faktor integrasinya, ð(ð¥) adalah :
ð ð¥ =ð
â2ð¥ðð¥
2
= ð âð¥
2
2
ð âð¥ ðŠ â² â2ð¥ð âð¥ ðŠ = 1. ð âð¥ ð
2
ð âð¥ ðŠ = ð âð¥
ðð¥
2
2
Integralkan, diperoleh : ð¥
ðŠ = ðð¥
2
2
ð âð¡ ðð¡ + ð. ð ð¥
2
Substitusikan ðŠ 0 = 1, diperoleh ð = 1, sehingga solusi masalah nilai awal diatas adalah: ð¥
ðŠ=ð
ð¥2
2
ð âð¡ ðð¡ + ð ð¥
2
Contoh 2.6 Tentukan solusi masalah nilai awal berikut : ðŠ â² â ðŠ = 2ð¥ð 2ð¥ , ðŠ 0 = 1
Jawab :
ð ð¥ =ð
âðð¥
= ð âð¥
ð âð¥ ðŠ â² â ðŠ = ð âð¥ (2ð¥. ð 2ð¥ ) ð âð¥ ð ðð¥
20
= 2ð¥ð ð¥ ð âð¥ ðŠ = 2ð¥ð ð¥ Pendahuluan Persamaan Differensial
ð âð¥ ðŠ =
2ð¥ð ð¥ ðð¥
ð âð¥ ðŠ = 2ð¥ð ð¥ â 2ð ð¥ + ð ð âð¥ ðŠ = 2ð¥ â 2 ð ð¥ + ð ðŠ = 2ð¥ â 2 ð 2ð¥ + ð. ð ð¥ Substitusikan ðŠ 0 = 1, diperoleh ð = 3, sehingga solusi masalah nilai awal diatas adalah: ðŠ = 2ð¥ â 2 ð 2ð¥ + 3ð ð¥
LATIHAN 2.1
1.
Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukanlah solusinya ! a.
ðŠ â² â 2ðŠ = ð¥ 2 ð 2ð¥
b.
ðŠ â² + ðŠ = ð¥ð âð¥ + 1
c.
ðŠ â² + ð¥ ðŠ = 3 cos 2ð¥, ð¥ > 0
d.
ðŠ â² â 4ðŠ = ð¥ â 2ð¥ 2
e.
ð¥ðŠ â² + 2ðŠ = sin ð¥, ð¥ > 0
1
(Petunjuk : bagi persamaan dengan ð¥ untuk mendapatkan koefisien ðŠâ² sama dengan 1).
2.
3.
Untuk setiap masalah nilai awal berikut, tentukan solusinya ! a.
ðŠ â² + 2ðŠ = ð¥ð â2ð¥ , ðŠ 1 = 0
b.
ðŠ â² + ðŠ = 1+ð¥ 2 , ðŠ 1 = 0
c.
ðŠâ² + ð¥ ðŠ =
d.
ðŠ â² â 2ðŠ = ð 2ð¥ , ðŠ 0 = 2
e.
ð¥ðŠ â² + 2ðŠ = sin ð¥, ð¥ > 0, ðŠ
1
2
cos ð¥ ð¥2
, ð¥ > 0, ðŠ ð = 0
ð 2
=1
Tentukan solusi persamaan differensial berikut : ððŠ 1 = ðŠ ðð¥ ð â ð¥ (petunjuk : Gunakan ðŠ sebagai variabel bebas)
4.
Buktikan masalah berikut ini : a.
Buktikan ð ð¥ = ð 2ð¥ merupakan solusi persamaan differensial ðŠ â 2ðŠ = 0. Buktikan juga bahwa ðŠ = ð. ð(ð¥) juga merupakan solusi persamaan differensial diatas, dimana ð adalah konstanta sembarang.
Pendahuluan Persamaan Differensial
21
b.
1
Buktikan bahwa ð ð¥ = ð¥ adalah solusi persamaan differensial ðŠ â² + ðŠ 2 = 0, ð¥ > 0. Tetapi buktikan bahwa ðŠ = ð. ð(ð¥) bukan merupakan solusi persamaan differensial diatas, dimana ð adalah konstanta sembarang. (Catatan : persamaan 4.b. tidak linier, sedangkan persamaan 4.a. linier).
5.
Jika ðŠ = ð1 (ð¥) adalah solusi persamaan differensial ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = 0 dan ðŠ = ð2 (ð¥) adalah solusi persamaan differensial ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = g(ð¥), Buktikan bahwa : ðŠ = ð1 ð¥ + ðŠ = ð2 (ð¥) adalah solusi persamaan ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = g(ð¥)
2.2
Masalah Nilai Awal
Pada bagian 2.1, telah dibahas bagaimana menentukan solusi persamaan differensial linier orde 1. Pada bagian ini, diberikan teorama penting masalah nilai awal persamaan differensial linier orde 1, yang selalu mempunyai satu buah solusi. Teorema 2.1. Jika fungsi ð dan g kontinu pada interval ðŒ < ð¥ < ðœ yang mengandung ð¥ = ð¥0 , maka ada fungsi tunggal ðŠ = ð(ð¥) yang memenuhi persamaan differensial pada interval tersebut, dan juga memenuhi syarat awal ðŠ ð¥0 = ðŠ0 dengan ðŠ0 adalah suatu nilai awal yang telah ditentukan.
Untuk membuktikan teorema di atas, telah dibahas pada bagian sebelumnya bahwa : ð¥
1 ðŠ= ð(ð¥)
ð ð¡ . g ð¡ ðð¡ + ð
âŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.. (2.4) dengan
ð ð¥ =ð
ð¥
ð ð¡ ðð¡
Anggap bahwa persamaan (2.1) mempunyai solusi. Karena ð kontinu pada interval ðŒ < ð¥ < ðœ, maka ð(ð¥) terdefinisi pada interval tersebut. Kalikan persamaan tersebut dengan ð(ð¥), lalu differensialkan, diperoleh :
22
ð ðð¥
ð ð¥ ðŠ = ð ð¥ . g(ð¥)
Pendahuluan Persamaan Differensial
Fungsi ð(ð¥). g(ð¥) mempunyai anti turunan, karena ÎŒ dan g kontinu. Anggapan awal bahwa ada sekurang-kurangnya satu solusi untuk persamaan (2.1), dapat dibuktikan dengan mensubstitusikan y pada persamaan (2.4) kedalam persamaan (2.1). akhirnya syarat awal yang diberikan dapat menentukan nilai tunggal konstanta ð. karena persamaan (2.4) mengandung semua solusi persamaan (2.1), persamaan (2.4) dinamakan solusi umum untuk persamaan (2.1) tersebut.
Beberapa hal penting dari teorema 2.1 di atas menyatakan bahwa masalah nilai awal mempunyai solusi dan hanya mempunyai satu buah solusi. Dengan kata lain, teorema tersebut menegaskan keujudan (eksistensi) dan ketunggalan solusi dari masalah nilai awal persamaan (2.1) dan syarat awal yang diberikan.
Contoh 2.7
Perhatikan masalah nilai awal berikut : ð¥ðŠâ² + 2ðŠ = 4ð¥ 2 , ðŠ 1 = 2 Tentukan solusi persamaan differensial tersebut dan memenuhi syarat awal yang diberikan.
Jawab : 2
Dengan membagi persamaan dengan ð¥, diperoleh : ðŠâ² + ð¥ ðŠ = 4ð¥ Kemudian kita mencari solusi dalam interval yang mengandung ð¥ = 1. Karena koefisien pada persamaan tersebut ( yaitu :
2 ð¥
) kontinu, kecuali pada ð¥ = 0,
berdasarkan teorema 2.1, solusi dari masalah nilai awal diatas, sesuai pada interval 0 < ð¥ < â. Untuk mendapatkan solusinya, kita tentukan :
ð ð¥ =ð
ð¥2
1ðð¡
= ð 2ðŒð ð¥ = ð¥ 2
Kalikan persamaan dengan ð(ð¥) = ð¥Â², diperoleh : ð 2 ðŠ â² + 2ð¥ðŠ = 4ð¥ 3 ð ðð¥
ð¥ 2 ðŠ = 4ð¥ 3
Pendahuluan Persamaan Differensial
23
Integralkan, diperoleh : ð¥2 ðŠ =
4ð¥ 3 ðð¥ + ð = ð¥ 4 + ð ð
ðŠ = ð¥2 + ð¥ 4 Yang merupakan solusi umum masalah nilai awal tersebut. Dengan mensubstitusikan syarat awal ðŠ(1) = 2, akan diperoleh ð = 1, jadi solusi masalah nilai awal tersebut adalah : ðŠ = ð¥2 +
1 ð¥4
Pada beberapa masalah, memberikan persamaan diferensial tak linier. Persamaan differensial tak linier ini dapat dipecahkan dengan cara substitusi, sehingga persamaan tersebut menjadi persamaan differensial linier. Salah satu jenis persamaan differensial seperti ini adalah persamaan Bernoulli.
Contoh 2.8 Perhatikan persamaan Bernoulli berikut : ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = g(ð¥)ðŠ ð . Tentukan solusi umum persamaan Bernoulli tersebut, jika ð = 0 dan ð = 1.
Jawab :
(i)
Jika ð = 0, persamaan menjadi ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = g(ð¥)ðŠ Faktor integrasinya adalah : ð ð¥ = ð
ð ð¥ ðð¥
Kalikan persamaan dengan ð(ð¥), diperoleh : ð ð¥ ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = ð ð¥ . g(ð¥) ð ðð¥
ð ð¥ . ðŠ = ð ð¥ . g(ð¥)
ð¥
ð ð¥ .ðŠ =
ð ð¡ . g ð¡ ðð¡ + ð
1 ðŠ= ð(ð¥) (ii)
ð¥
ð ð¡ . g ð¡ ðð¡ +
ð ð(ð¥)
Jika ð = 1, persamaan menjadi : ðŠ â² + ð ð¥ ðŠ = g ð¥ ðŠ, atau ðŠ â² + ð ð¥ â g ð¥ ðŠ = 0
24
Pendahuluan Persamaan Differensial
Faktor integrasinya adalah : ð ð¥ = ð
ð ð¥ âð(ð¥) ðð¥
ð
Sehingga : ðŠ = ð (ð¥) Jika ð â 0 dan ð â 1, persamaan Benoulli dapat dipecahkan dengan cara reduksi orde, yaitu mensubstitusikan ð£ = ðŠ 1âð pada persamaan, sehingga menjadi persamaan differensial linier. Metode seperti ini, ditemukan oleh Leibniz pada tahun 1969.
Contoh 2.9 Tentukan solusi persamaan differensial berikut : ð¥ 2 ðŠ â² + 2ð¥ðŠ â ðŠ 3 = 0
Jawab : Bagi persamaan differensial dengan ð¥Â², diperoleh : 2
ðŠ3
ð¥
ð¥2
ðŠâ² + ðŠ â
2
1
ð¥
ð¥2
= 0 atau ðŠ â² + ðŠ =
ðŠ3
Bandingkan persamaan dengan bentuk umum persamaan Bernoulli, diperoleh : 2
1
ð ð¥ = ð¥ , g ð¥ = ð¥ 2 dan ð = 3 Oleh karena itu, substitusikan : ð£ = ðŠ 1âð = ðŠ â2 Differensialkan, diperoleh : ð£ â² = â2ðŠ â3 . ðŠâ² Kalikan persamaan differensial dengan (1 â ð)ðŠ âð dalam hal ini kalikan dengan â2ðŠ â3 diperoleh : 2 1 â2ðŠ â3 ðŠ â² + ðŠ = â2ðŠ â3 2 ðŠ 3 ð¥ ð¥ 4 2 â2ðŠ â3 ðŠ â² â ðŠ â2 = â 2 ðŠ ð¥ 4
2
Substitusikan : ð£ = ðŠ â2 dan ð£ â² = â2ðŠ â3 . ðŠâ² , diperoleh : ð£ â² â ð¥ ð£ = â ð¥ 2 Sekarang, persamaannya merupakan persamaan differensial linier. Faktor integrasinya : ð ð¥ =ð
ââ4 ðð¥ ð¥
ð ð¥ = ð â4 ðð ð¥ ð ð¥ = ð¥ â4
Pendahuluan Persamaan Differensial
25
4
2
Kalikan persamaan differensial ð£ â² â ð¥ ð£ = â ð¥ 2 dengan ð ð¥ = ð¥ â4 4 2 ð¥ â4 ð£ â² â ð£ = â 2 â ð¥ â4 ð¥ ð¥
ð â4 ð¥ ð£ = â2ð¥ â6 ðð¥ ð¥ â4 ð£ = ð¥ â4 ð£ =
â2ð¥ â6 ðð¥ + ð 2 â5 ð¥ +ð 5
Subtitusikan kembali ð£ = ðŠ â2 , diperoleh : 2 â1 ð¥ + ðð¥ 4 5 1 2 â1 = ð¥ + ðð¥ 4 2 ðŠ 5
ðŠ â2 =
2 ðŠ = ð¥ â1 + ðð¥ 4 5
â
1 2
LATIHAN 2.2
1.
2.
Untuk setiap persamaan differensial berikut, tentukanlah solusi umumnya ! 1
a.
ðŠ â² + ð¥ ðŠ = sin ð¥, ð¥ > 0
b.
ð¥ 2 ðŠ â² + 3ð¥ðŠ = ð¥ sin ð¥, ð¥ < 0
c.
ðŠ â² + (tan ð¥)ðŠ = ð¥ ð ðð 2ð¥ , â 2 < ð¥ <
d.
ð¥ðŠ â² + 2ðŠ = ð ð¥ , ð¥ > 0
1
ð
ð 2
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut. Tentukan integralnya, sehingga solusi tersebut tepat/benar.
3.
ð
a.
ð¥ðŠ â² + 2ðŠ = sin ð¥ , ðŠ
b.
ðŠ â² + (cot ð¥)ðŠ = 2 csc ð¥ , ðŠ
2
=
1 ð ð 2
=1
Dengan menggunakan metode reduksi orde, tentukan solusi persamaan differensial: ðŠ â² = ð. ðŠ â ð. ðŠ 2 ; ð > 0, ð > 0
26
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.3
Persamaan Differensial Peubah Terpisah
Beberapa persamaan differensial orde 1 dapat diubah kedalam bentuk : g ðŠ ðŠ â² = ð(ð¥) karena ðŠ â² =
ððŠ ðð¥
, persamaan diatas dapat ditulis : g ðŠ ððŠ = ð ð¥ ðð¥ .
Persamaan demikian dinamakan persamaan dengan peubah terpisah, atau persamaan yang dapat dipisahkan, karena pada persamaan, peubah ð¥ dan ðŠ terpisah sehingga ð¥ hanya muncul diruas kanan dan ðŠ hanya muncul diruas kiri. Dengan mengintegrasikan kedua ruas, diperoleh : g ðŠ ððŠ =
ð ð¥ ðð¥ + ð
Cara seperti ini dimana persamaan differensial diubah menjadi persamaan dengan peubah terpisah dinamakan metode pemisahan variabel. Secara umum, jika suatu persamaan differensial berbentuk : ððŠ = 0 ðð¥
ð ð¥ +ð ðŠ
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(2.5) Dengan ð(ð¥) adalah fungsi ð¥ dan ð(ðŠ) adalah fungsi ðŠ, dinamakan persamaan terpisah dimana solusinya dapat ditentukan dengan metode pemisahan variabel. Persamaan (2.5) dapat ditulis dalam bentuk : ð ð¥ ðð¥ = âð ðŠ ððŠ Misalkan ð»1 dan ð»2 adalah suatu fungsi sehingga : ð»1â² ð¥ = ð(ð¥) dan ð»2â² ðŠ = ð(ðŠ) Substitusikan pada persamaan (2.5), diperoleh : ð»1â² ð¥ + ð»2â² ðŠ
ððŠ =0 ðð¥
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(2.6) Jika ðŠ = ð(ð¥) merupakan solusi persamaan differensial (2.5). Maka menurut aturan rantai ð»2â² ðŠ
ððŠ ð = ð» ð(ð¥) ðð¥ ðð¥ 2
Persamaan (2.6) menjadi :
ð»1â² ð¥ +
ð ðð¥
ð»2 ð(ð¥) = 0 , atau
Pendahuluan Persamaan Differensial
ð ðð¥
ð»1 ð¥ + ð»2 ð ð¥
=0
27
Integralkan, diperoleh : ð»1 ð¥ + ð»2 ð(ð¥) = ð atau ð»1 ð¥ + ð»2 ðŠ = ð âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ (2.7) Dimana ð adalah konstanta. Jadi ðŠ = ð(ð¥) merupakan solusi persamaan differensial (2.5), yang dapat ditentukan dalam bentuk implisit [persamaan (2.7)], dengan ð»1 dan ð»2 adalah fungsi yang memenuhi persamaan ð»1â² ð¥ = ð(ð¥) dan ð»2â² ðŠ = ð(ðŠ), dan merupakan anti turunan ð dan ð.
Cara yang lebih sederhana, dapat diperoleh dengan mengintegralkan persamaan ð ð¥ ðð¥ = âð ðŠ ððŠ pada masing-masing ruas persamaan. Ruas kiri diintegralkan terhadap ð¥, sedangakan ruas kanan diintegralkan terhadap ðŠ. Jika persamaan (2.5) ditambahkan syarat awal ð¥ = ð¥0 dan ðŠ = ðŠ0 , maka persamaan (2.7) menjadi ð = ð»1 ð¥0 + ð»2 (ðŠ0 ). Kemudian substitusikan nilai ini pada persamaan (2.7), diperoleh : ð¥
ð»1 ð¥ â ð»1 ð¥0 =
ð ð¡ ðð¡ , ð¥0 ðŠ
ð»2 ðŠ â ð»2 ðŠ0 =
ð ð¡ ðð¡ , ðŠ0
Solusi persamaan (2.5) menjadi : y
x
M t dt+ x0
N t dt=0 , yang merupakan solusi implisit. y0
Contoh 2.10
Tentukan solusi umum persamaan differensial berikut : 9ðŠðŠ â² + 4ð¥ = 0
28
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jawab :
Dengan pemisahan variabel, persamaan differensial tersebut dapat ditulis : 9ðŠððŠ = â4ð¥ðð¥ Untuk mendapatkan solusinya, integralkan kedua ruas, diperoleh : 9
ðŠ 2 = â2ð¥ 2 + ð atau 2
ð¥2 9
+
ðŠ2 4
=ð
Solusi diatas menggambarkan suatu keluarga ellips.
Contoh 2.11
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut! ððŠ 3ð¥ 2 + 4ð¥ + 2 = , ðð¥ 2(ðŠ â 1)
ðŠ 0 = â1
Jawab :
Persamaan differensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk : 2 ðŠ â 1 ððŠ = 3ð¥ 2 + 4ð¥ + 2 ðð¥ Integralkan ruas kiri persamaan terhadap ðŠ dan ruas kanan terhadap ð¥, diperoleh : ðŠ 2 â 2ðŠ = ð¥ 3 + 2ð¥ 2 + 2ð¥ + 3 Substitusikan ð¥ = 0 dan ðŠ = â1, untuk memperoleh solusi yang sesuai dengan syarat awal yang diberikan, diperoleh ð = 3. Jadi, solusi implisit dari masalah nilai awal di atas adalah : ðŠ 2 â 2ðŠ = ð¥ 3 + 2ð¥ 2 + 2ð¥ + 3 Untuk mendapatkan solusi eksplisitnya, kita tentukan ðŠ dalam ð¥. ðŠâ1
2
= ð¥ 3 + 2ð¥ 2 + 4
ðŠ = 1 ± ð¥ 3 + 2ð¥ 2 + 2ð¥ + 4 Persamaan di atas memberikan 2 buah solusi, tetapi hanya satu solusi yang sesuai dengan syarat awal. Jadi solusi yang tepat adalah : ðŠ = 1 â ð¥ 3 + 2ð¥ 2 + 2ð¥ + 4
Pendahuluan Persamaan Differensial
29
Contoh 2.12
Tentukan solusi masalah nilai awal berikut! ððŠ ðŠ cos ð¥ = , ðð¥ 1 + 2ðŠ 2
ðŠ 0 =1
Jawab :
Persamaan differensial tersebut dapat ditulis dalam bentuk : 1 + 2ðŠ 2 ððŠ = cos ð¥ ðð¥ ðŠ Integralkan, diperoleh : ln ðŠ + ðŠ 2 = sin ð¥ + ð Substitusikan ð¥ = 0 dan ðŠ = 1, diperoleh ð = 1. Jadi, solusi dari masalah nilai awal diatas adalah : ln ðŠ + ðŠ 2 = sin ð¥ + 1
LATIHAN 2.3
1.
Tentukan solusi umum (yaitu, suatu penyelesaian yang mengandung konstanta) untuk setiap persamaan differensial berikut, dengan pemisahan variabel. Kemudian tentukan suatu solusi khususnya dengan syarat batas yang diberikan ! a.
ð¥ðŠ â² = ðŠ ; ðŠ = 3 pada ð¥ = 2
b.
ð¥ 1 â ðŠ 2 ðð¥ + ðŠ 1 â ð¥ 2 ððŠ = 0 ; ðŠ = 2 pada ð¥ = 2
c.
ðŠ â² sin ð¥ = ðŠ ln ðŠ ; ðŠ = ð pada ð¥ =
d.
3
1 â ðŠ 2 ðð¥ + ð¥ðŠððŠ = 0 ; ðŠ = 0 pada ð¥ = 5 ð¥ðŠ â² â ð¥ðŠ = ðŠ ; ðŠ = 1 pada ð¥ = 1
f.
ðŠâ² =
g.
ðŠððŠ + ð¥ðŠ 2 â 8ð¥ ðð¥ = 0 ; ðŠ = 3 pada ð¥ = 1
h.
ðŠ â² + 2ð¥ðŠ 2 = 0 ; ðŠ = 1 pada x=2
j.
1
ð
e.
i.
30
1
2ð¥ðŠ 2 +ð¥ ð¥ 2 ðŠâðŠ
; ðŠ = 0 pada ð¥ = 2
1 + ðŠ ðŠ â² = ðŠ ; ðŠ = 1 pada ð¥ = 1 ðŠ â² â ð¥ðŠ = ð¥ ; ðŠ = 1 pada ð¥ = 0
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.
Untuk setiap persamaan berikut, tentukan solusi eksplisit masalah nilai awal, dan tentukan interval agar persamaannya terdefinisi ! a.
sin 2ð¥ ðð¥ + cos 3ðŠ ððŠ = 0 ; ðŠ
b.
ð¥ ðð¥ + ðŠð âð¥ ððŠ = 0 ; ðŠ 0 = 1
c. d. e.
ðð ðð ððŠ ðð¥ ððŠ ðð¥
ð 2
=
ð 3
=ð ; ð 0 =2 2ð¥
= ðŠ+ð¥ 2 ðŠ ; ðŠ 0 = â2 2ð¥
= 1+2ðŠ ; ðŠ 2 = 0 1
3.
Selesaikan persamaan : ðŠ 2 1 â ð¥ 2 2 ððŠ = ð ððâ1 ð¥ ðð¥ Pada interval â1 < ð¥ < 1
4.
Selesaikan persamaan : ðð¥ =
5.
Selesaikan persamaan : ðð¥ =
6.
Buktikan bahwa :
ððŠ ððŠ
ððŠ ðð¥
=
ðŠâ4ð¥ ð¥âðŠ
ðð¥ +ð ðð¥ +ð ððŠ +ð ððŠ +ð
dengan ð, ð, ð dan ð konstanta. Dengan ð, ð, ð, dan ð konstanta.
bukan merupakan persamaan variabel terpisah, tetapi ðŠ
jika variabel ðŠ diganti dengan ð£ dimana ð£ = ð¥ , maka persamaan merupakan variabel terpisah. Tentukan solusinya !
2.4
Reduksi Menjadi Bentuk Persamaan Terpisah
Persamaan differensial orde 1 tertentu, yang bukan persamaan terpisah, dapat diubah menjadi persamaan terpisah dengan suatu pengubahan variabel yang sederhana. Hal ini terjadi pada persamaan berikut :
a.
Bentuk ðâ = ð
ð ð
ðŠ
Dengan ð adalah suatu fungsi dari ð¥ yang diberikan. Bentuk persaman ini mengaharuskan ðŠ
suatu substitusi : ð£ = ð¥ , atau ðŠ = ð£ð¥ Integralkan, diperoleh : ðŠ â² = ð£ + ð£â²ð¥ Dengan substitusi persamaan ke dalam persamaan semula, diperoleh : ð£ â² ð¥ + ð£ = ð(ð£)
Pendahuluan Persamaan Differensial
31
Sekarang persamaannya merupakan persamaan terpisah, yang solusinya dapat ditentukan dengan metode pemisahan variabel. ðð£ ðð£ ðð¥ ð¥ =ð ð£ âð£ â = ðð¥ ð ð£ âð£ ð¥ Integralkan, kemudian hasilnya substitusikan kembali ð£ =
ðŠ ð¥
Contoh 2.13
Tentukan solusi persamaan differensial berikut ! 2ð¥ðŠðŠ â² â ðŠ 2 + ð¥ 2 = 0
Jawab : Bagi terlebih dahulu persamaan dengan ð¥Â², diperoleh : 2
ðŠ â² ðŠ ðŠ â ð¥ ð¥
2
+1=0
ðŠ
Misalkan : ð£ = ð¥ , maka : ðŠ â² = ð£ + ð£â²ð¥ Substitusikan pada persamaan, diperoleh : 2ð£ ð£ + ð£ â² ð¥ â ð£ 2 + 1 = 0 2ð¥ð£ð£ â² + ð£ 2 + 1 = 0 2ð¥ð£
ðð£ = â(1 + ð£ 2 ) ðð¥
Dengan pemisahan variabel, diperoleh :
2ð£ 1+ð£ 2
1
ðð£ = â ð¥ ðð¥
Integralkan, diperoleh : ln(1 + ð£ 2 ) = â ln ð¥ + c = â ln ð¥ + ln a Pemakaian konstanta ln ð, untuk penyederhanaan, sehingga menjadi : 1 + ð£ 2 = ðð¥ â1 ðŠ
Substitusikan kembali : ð£ = ð¥ , diperoleh : 1+
ðŠ ð¥
2
= ðð¥ â1
ð¥ 2 + ðŠ 2 = ðð¥
32
Pendahuluan Persamaan Differensial
b.
Persamaan Homogen
Tinjau persamaan differensial berikut : ððŠ ð¥ + 3ðŠ = ðð¥ 2ð¥ âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ. (2.8) Persamaan tersebut diatas tidak dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel. Dalam hal ini, lakukan substitusi ðŠ = ð£ð¥, dengan ð£ adalah fungsi ð¥ . Differensialkan ðŠ = ð£ð¥ terhadap ð¥ , diperoleh : ððŠ ðð£ = ð¥+ð£ ðð¥ ðð¥ ð¥ + 3ðŠ ð¥ + 3ð£ð¥ 1 + 3ð£ = = 2ð¥ 2ð¥ 2 Persamaan (2.8) menjadi : ðð£ 1 + 3ð£ +ð£ = ðð¥ 2 ðð£ 1 + 3ð£ ð¥ = âð£ ðð¥ 2 ðð£ 1 + ð£ ð¥ = ðð¥ 2 2 1 ðð£ = ðð¥ 1+ð£ ð¥ ð¥
Dengan pemisahan variabel, diperoleh : 2 ðð£ = 1+ð£
1 ðð¥ ð¥
2 ln 1 + ð£ = ln ð¥ + ð 1+ð£
2
(ð = ln ðŽ)
= ðŽð¥
Substitusikan kembali ðŠ = ð£ð¥ :
ðŠ 2
1+ð¥
ð¥+ðŠ
= ðŽð¥ 2
= ðŽð¥ 3
Kesimpulan : âkunci untuk memecahkan persamaan homogen adalah dengan mensubtitusi ðŠ = ð£ð¥ , dengan ð£ adalah fungsi ð¥. subtitusi ini akan mengubah persamaan menjadi bentuk yang dapat dipecahkan dengan pemisahan variabel.â
Pendahuluan Persamaan Differensial
33
Persamaan (2.8) adalah persamaan homogen, karena pangkat ð¥ dan ðŠ yang terlibat dalam masing-masing suku, berderajat sama.
c.
Persamaan Bernoulli
Perhatikan persamaan Bernoulli berikut : ððŠ + ððŠ = ððŠ ð ðð¥ Untuk menentukan solusi dari persamaan Bernoulli, perhatikan langkah-langkah berikut: a.
Bagi kedua ruasnya dengan ðŠ ð , diperoleh ðŠ âð
b.
Misalkan ð§ = ðŠ 1âð
ððŠ ðð¥
+ ððŠ1âð = ð
ðð§ ððŠ = (1 â ð)ðŠ âð ðð¥ ðð¥ Kalikan persamaan (ð) dengan (1 â ð), diperoleh : 1 â ð ðŠ âð
ððŠ + 1 â ð ððŠ 1âð = 1 â ð ð ðð¥
Substitusikan dengan persamaan (ð), diperoleh : ðð§ + ð1 ð§ = ð1 ðð¥ Dengan ð1 = 1 â ð ð dan ð1 = 1 â ð ð, yang merupakan fungsi ð¥. c.
Integrasikan persamaan baru tersebut, kemudian substitusikan kembali ð§ = ðŠ 1âð
Contoh 2.14
Selesaikan persamaan differensial berikut ! ððŠ 1 + ðŠ = ð¥ðŠ 2 ðð¥ ð¥
Jawab : Bagi terlebih dahulu persamaan dengan ðŠÂ², diperoleh : ðŠ â2
ððŠ 1 â2 + ðŠ =ð¥ ðð¥ ð¥
Misalkan ð§ = ðŠ 1âð , dalam hal ini ð = 2 â ð§ = ðŠ â1 34
Pendahuluan Persamaan Differensial
ðð§
ððŠ
Differensialkan : ðð¥ = âðŠ 2 ðð¥ , dan substitusikan ke persamaan yang telah dibagi dengan ðŠÂ², diperoleh : ððŠ 1 â1 ððŠ 1 â1 + ðŠ = ð¥ â âðŠ 2 â ðŠ = âð¥ ðð¥ ð¥ ðð¥ ð¥ ðð§ 1 â ð§ = âð¥ ðð¥ ð¥
ðŠ â2
Selesaikan dengan faktor integrasi, diperoleh : ð§ = ðð¥ â ð¥Â² Substitusikan kembali ð§ = ðŠ â1 : ðŠ â1 = ðð¥ â ð¥ 2 ðŠ = ðð¥ â ð¥ 2
â1
LATIHAN 2.4
1.
Tentukan solusi persamaan differensial berikut! a. b. c.
ððŠ
ð¥ ðð¥ = ð¥ 2 + 2ð¥ â 3 1âð¥ ððŠ
2 ððŠ ðð¥
= 1 + ðŠ2
+ 2ðŠ = ð 3ð¥
ðð¥
ððŠ
d.
ð¥ ðð¥ â ðŠ = ð¥ 2
e.
ð¥ 2 ðð¥ = ð¥ 3 sin 3ð¥ + 4
f.
ð¥ cos ðŠ
ððŠ
ððŠ ðð¥
â sin ðŠ = 0
g.
ð¥ 3 + ð¥ðŠ 2
h.
ð¥2 â 1
i. j.
k. l.
ððŠ
ððŠ ðð¥
ððŠ ðð¥
= 2ðŠ 3
+ 2ð¥ðŠ = ð¥
+ ðŠ tanh ð¥ = 2 sinh ð¥
ðð¥
ððŠ
ð¥ ðð¥ â 2ðŠ = ð¥ 3 cos ð¥ ððŠ ðð¥
ðŠ
+ ð¥ = ðŠ3
ððŠ
ð¥ ðð¥ + 3ðŠ = ð¥ 2 ðŠ 2
Pendahuluan Persamaan Differensial
35
2.
Tentukan solusi persamaan homogen berikut! a. b.
ðð¥ ððŠ ðð¥
= =
ð¥ 2 +ðŠ 2
(masing â masing suku berderajat sama)
ð¥ðŠ
2ð¥ðŠ +3ðŠ 2
(masing â masing suku berderajat sama)
ð¥ 2 +2ð¥ðŠ
c.
ð¥2 + ðŠ2
d.
ð¥âðŠ
e.
3.
ððŠ
ððŠ ðð¥
ððŠ
= ð¥ðŠ
=ð¥+ðŠ
ðð¥
ððŠ
2ð¥ 2 ðð¥ = ð¥ + ðŠ ððŠ
f.
ð¥ 2 + ð¥ðŠ
g.
2ðŠ â ð¥
h.
ð¥ðŠ + ðŠ 2 + ð¥ 2 â ð¥ðŠ
i.
ð¥ 3 â ðŠ 3 = 3ð¥ðŠ 2 ðð¥
j.
ðŠ â 3ð¥ + 4ðŠ + 3ð¥
k.
ð¥ 3 + 3ð¥ðŠ 2
ðð¥ ððŠ ðð¥
= ð¥ðŠ â ðŠ 2
= 2ð¥ + ðŠ ; ðŠ = 3 pada ð¥ = 2 ððŠ ðð¥
=0
ððŠ
ððŠ ðð¥
ððŠ ðð¥
=0
= ðŠ 3 + 3ð¥ 2 ðŠ
Tentukan solusi persamaan linier berikut dengan menggunakan metode faktor integrasi! a. b. c. d. e. f.
ðð¥ ððŠ ðð¥
+ 5ðŠ = ð 2ð¥ âðŠ = ð¥
ððŠ
ð¥ ðð¥ + ðŠ = ð¥ 3 ððŠ ðð¥
+ ðŠ cot ð¥ = cos ð¥
ð¥+1
ððŠ ðð¥
+ ðŠ = (ð¥ + 1)2
ððŠ
ð¥ ðð¥ â 5ðŠ = ð¥ 7
g.
1 â ð¥2
h.
ð¥â2
i.
36
ððŠ
ððŠ ðð¥
ððŠ ðð¥ ððŠ ðð¥
â ð¥ðŠ = 1
âðŠ = ð¥â2
3
; ðŠ = 10 bila ð¥ = 4
+ 3ðŠ = ð 4ð¥
ððŠ
j.
ð¥ ðð¥ + ðŠ = ð¥ sin ð¥
k.
tan ð¥ ðð¥ + ðŠ = sec ð¥
ððŠ
Pendahuluan Persamaan Differensial
l. m. n. o. p. 4.
5.
ððŠ
ð¥ ðð¥ â ðŠ = ð¥ 3 + 3ð¥ 2 â 2ð¥ ððŠ ðð¥
+ ðŠ tan ð¥ = sin ð¥
ððŠ
ð¥ ðð¥ â ðŠ = ð¥ 3 cos ð¥ ; ðŠ = 0 pada ð¥ = ð 1 + ð¥2 ððŠ ðð¥
ððŠ ðð¥
+ 3ð¥ðŠ = 5ð¥ ; ðŠ = 2 pada ð¥ = 1
+ ðŠ cot ð¥ = 5ð ððð ð¥ ; ðŠ = â4 pada ð¥ =
ð 2
Tentukan solusi persamaan differensial berikut dengan pemisahan variabel ! a.
ð¥ ðŠâ3
ððŠ
b.
1 + ð¥3
ððŠ
ðð¥ ðð¥
= 4ðŠ = ð¥ 2 ðŠ ; ðŠ = 2 pada ð¥ = 1 2 ððŠ ðð¥
c.
ð¥3 + ðŠ + 1
d.
cos ðŠ + 1 + ð âð¥ sin ðŠ ðð¥ = 0 ; ðŠ =
e.
ð¥2 ðŠ + 1 + ðŠ2 ð¥ â 1
=0 ððŠ
ððŠ ðð¥
ð 2
pada ð¥ = 0
=0
Gunakan substitusi yang diberikan dan kerjakan seperti memecahkan persamaan homogen.
6.
ððŠ
a.
3ð¥ + 3ðŠ â 4
b.
ðŠ â ð¥ðŠ 2 = ð¥ + ð¥ 2 ðŠ
c.
ð¥ â ðŠ â 1 + 4ðŠ + ð¥ â 1
d.
3ðŠ â 7ð¥ + 7 + 7ðŠ â 3ð¥ + 3
e.
ðŠ ð¥ðŠ + 1 + ð¥ 1 + ð¥ðŠ + ð¥ 2 ðŠ 2
ðð¥
= â ð¥+ðŠ ; ð¥+ðŠ = ð£ ððŠ ðð¥
ð£
; ðŠ=ð¥ ððŠ ðð¥
=0 ; ð£ = ð¥â1 ððŠ ðð¥ ððŠ ðð¥
= 0 ; ð£ = ð¥â1 ð£
=0 ; ðŠ=ð¥
Tentukan solusi persamaan Bernoulli berikut ! a. b. c. d. e.
ððŠ ðð¥ ððŠ ðð¥
+ ðŠ = ð¥ðŠ 3 + ðŠ = ðŠ4ðð¥
ððŠ
2 ðð¥ + ðŠ = ðŠ 3 (ð¥ â 1) ððŠ ðð¥ ððŠ ðð¥
â 2ðŠ tan ð¥ = ðŠ 2 tan2 ð¥ + ðŠ tan ð¥ = ðŠ 3 sec4 ð¥
Pendahuluan Persamaan Differensial
37
2.5
Persamaan Differensial Eksak
Suatu persamaan differensial orde 1 berbentuk : ð ð¥, ðŠ + ð ð¥, ðŠ ðŠ â² = 0
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.. (2.9) Jika ada suatu fungsi ð¹ , sehingga : ð¹ð¥ ð¥, ðŠ = ð ð¥, ðŠ , ð¹ðŠ ð¥, ðŠ = ð ð¥, ðŠ , dan ð¹ ð¥, ðŠ = ð
Mendefinisikan ð¹ = ð· (ð¥) secara implisit sebagai fungsi terdifferensial terhadap ð¥, maka: ð ð¥, ðŠ + ð ð¥, ðŠ ðŠ â² + ð¹ð¥ ð¥, ðŠ + ð¹ðŠ ð¥, ðŠ ðŠâ² =
ð ð¹[ð¥, ð· ð¥ ] ðð¥
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ (2.10) Substitusikan persamaan (2.10) ke dalam persamaan (2.9), diperoleh : ð ð¹ ð¥, ð· ð¥ ðð¥
=0
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ (2.11) Persamaan (2.9) dinamakan persamaan differensial eksak. Solusinya diperoleh dengan mengintegralkan persamaan (11), yaitu : ð¹ ð¥, ð· ð¥
=ð
Dengan ð konstanta . Dalam hal yang lebih umum, persamaan (2.9) ditulis : ð ð¥, ðŠ ðð¥ + ð ð¥, ðŠ ððŠ = 0
Dari persamaan (2.10), diperoleh pengertian bahwa suatu persamaan differensial dikatakan eksak, apabila terdapat suatu fungsi ð¹ (ð¥, ðŠ), sehingga : ð¹ð¥ =
ðð¹ ðð¹ = ð ð¥, ðŠ , ð¹ðŠ = = ð(ð¥, ðŠ) ðð¥ ððŠ
Andaikan ð dan ð terdefinisi dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu dalam suatu daerah ð¥ðŠ, maka diperoleh : ðð ð2ð¹ = ððŠ ððŠðð¥ ðð ð2 ð¹ ð2ð¹ = = ðð¥ ðð¥ððŠ ððŠðð¥ Dengan asumsi kontinuitas turunan, maka dua turunan kedua dari fungsi di atas akan bernilai sama.
38
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jadi, ððŽ ððµ = ðð ðð
Teorema 2.2. Jika fungsi ð, ð, ððŠ, dan ðð¥ kontinu pada suatu daerah di bidang ð¥ðŠ; ðŒ < ð¥ < ðœ dan ðŸ < ðŠ < ð¿ , maka persamaan differensial : ð ð¥, ðŠ ðð¥ + ð ð¥, ðŠ ððŠ = 0 Adalah persamaan differensial eksak pada bidang ð¥ðŠ, jika hanya jika: ððŠ ð¥, ðŠ = ðð¥ (ð¥, ðŠ)
Jika persamaan differensial eksak, maka fungsi ð¹(ð¥, ðŠ) dapat ditentukan dengan cara sistematis berikut : Dari persamaan :
ðð¹ ðð¥
ð¥, ðŠ = ð ð¥, ðŠ ,
ðð¹ ððŠ
(ð¥, ðŠ) = ð(ð¥, ðŠ)
Integralkan terhadap ð¥, dengan menganggap ðŠ konstanta, diperoleh : ð¥
ð¹ ð¥, ðŠ =
ð ð¡, ðŠ ðð¡ + ð(ðŠ)
Fungsi ð(ðŠ) berperan sebagai konstanta integrasi. Untuk menentukan ð(ðŠ), differensialkan persamaan diatas terhadap ðŠ, diperoleh : ðð¹ ð ð¥, ðŠ = ððŠ ððŠ
ð¥
ð ð¡, ðŠ ðð¡ + ðâ² ðŠ
ðð¹
Karena ððŠ = ð, maka: ð ðâ² ðŠ = ð ð¥, ðŠ â ððŠ
ð¥
ð ð¡, ðŠ ðð¡
Integralkan ðâ² (ðŠ) untuk memperoleh ð(ðŠ); dimana ðŠ
ð ðŠ =
ð ð ð¥, ðŠ â ðð
ð¥
ð ð¡, ð ðð ðð
Jadi solusi persamaan differensial eksak adalah : ðŠ
ð¥
ð¹ ð¥, ðŠ =
ð ð¡, ðŠ ðð¡ +
Pendahuluan Persamaan Differensial
ð ð ð¥, ð â ðð
ð¥
ð ð¡, ð ðð¡ ðð
39
Contoh 2.15 ððŠ
Tentukan solusi persamaan differensial berikut 2ð¥ðŠ 3 + 3ð¥ 2 ðŠ 2 ðð¥ = 0
jawab
dengan metode inspeksi (metode ini hanya digunakan untuk persamaan-persamaan sederhana, dan dapat diperoleh dengan cepat), persamaan pasa ruas kiri merupakan turunan dari persamaan ð¥Â²ðŠÂ³. jadi persamaan tersebut dapat ditulis : 2ð¥ðŠ 3 + 3ð¥ 2 ðŠ 2
ððŠ ð 2 3 = ð¥ ðŠ =0 ðð¥ ðð¥
Solusi implisitnya ditentukan dengan pengintegralan langsung, dan diperoleh ð¥Â²ðŠÂ² = ð 2
atau solusi eksplisitnya adalah : ðŠ = ðð¥ â3
Contoh 2.16
Selesaikanlah persamaan differensial berikut : (ðŠ cos ð¥ + 2ð¥ð ðŠ ) + (sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + 2)
ððŠ =0 ðð¥
Jawab
Dari persamaan differensial diatas, diperoleh : ð ð¥, ðŠ = ðŠ cos ð¥ + 2ð¥ð ðŠ ðð = ð, cos ð¥ + 2ð¥ð ðŠ ððŠ dan ð ð¥, ðŠ = sin ð¥ + ð¥ 2 ðŠ 2 + ð ðŠ ðð = ðð¥ = cos ð¥ + 2ð¥ð ðŠ ðð¥
Ternyata
ðð ððŠ
=
ðð ðð¥
, dengan demikian persamaan differensial tersebut merupakan
persamaan differensial eksak.
40
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jadi ð¹(ð¥, ðŠ) , sehingga: ð¹ð¥ ð¥, ðŠ = ðŠ cos ð¥ + 2ð¥ð ðŠ dan ð¹ðŠ ð¥, ðŠ = sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + 2 Integralkan persamaan pertama di atas terhadap ð¥, diperoleh : ð¹ ð¥, ðŠ = ðŠ sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + ð(ðŠ) Differensialkan terhadap ðŠ, dan pilih ð¹ðŠ = ð, diperoleh : ð¹ðŠ ð¥, ðŠ = sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + ðâ² ðŠ = sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + 2 Sehingga : ðâ(ðŠ) = 2 , atau ð(ðŠ) = 2ðŠ Konstanta integrasi dapat diabaikan, karena setiap solusi persamaan differensial sebelumnya telah mencukupi. Substitusikan persamaan ð(ðŠ) = 2ðŠ pada ð¹(ð¥, ðŠ), diperoleh : ð¹ ð¥, ðŠ = ðŠ sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + 2ðŠ Dengan demikian, solusi persamaan differensial secara implisit adalah ðŠ sin ð¥ + ð¥ 2 ð ðŠ + 2ðŠ = ð
Contoh 2.17
Selesaikanlah persamaan differensial berikut : (3ð¥Â² + 2ð¥ðŠ) + (ð¥ + ðŠÂ²)ðŠâ = 0
Jawab:
Dari persamaan differensial di atas, diperoleh : ð ð¥, ðŠ = 3ð¥ 2 + 2ð¥ðŠ ððŠ =
ðð = 2ð¥ ððŠ
ð ð¥, ðŠ = ð¥ + ðŠ 2 ðð¥ = Karena
ðð ððŠ
â
ðð ðð¥
ðð =1 ðð¥
, maka persamaan differensial tersebut tidak eksak.
Pendahuluan Persamaan Differensial
41
Untuk membuktikan persamaan differensial tidak dapat diselesaikan dengan cara diatas, pilih fungsi ð¹(ð¥, ðŠ), sehingga : ð¹ð¥ (ð¥, ðŠ) = 3ð¥Â² + 2ð¥ðŠ, dan ð¹ðŠ (ð¥, ðŠ) = ð¥ + ðŠÂ² Integralkan persamaan pertama terhadap ð¥, diperoleh : ð¹(ð¥, ðŠ) = ð¥Â³ + ð¥Â²ðŠ + ð(ðŠ) Dengan ð adalah fungsi terhadap ðŠ saja. Differensialkan ð¹(ð¥, ðŠ) terhadap ðŠ, kemudian substitusikan ð¹ðŠ = ð, diperoleh: ð¹ðŠ(ð¥, ðŠ) = ð¥Â² + ðâ(ðŠ) = ð¥ + ðŠÂ² Sehingga : ðâ²(ðŠ) = ð¥ + ðŠÂ² â ð¥Â², yang merupakan persamaan yang bergantung terhadap ð¥ dan ðŠ. dengan demikian tidak ada ð¹(ð¥, ðŠ) yang memenuhi persamaan differensial : (3ð¥Â² + 2ð¥ðŠ) + 2ð¥ðŠ + (ð¥ + ðŠÂ²)ðŠâ = 0
Contoh 2.18 ððŠ
að¥+ððŠ
Tentukan apakah persamaan differensial ðð¥ = â ðð¥ +ððŠ eksak atau tidak. Jika persamaan eksak, tentukan solusinya !
Jawab :
Persamaan differensial di atas dapat ditulis menjadi : að¥ + ððŠ ðð¥ + ðð¥ + ððŠ ððŠ = 0 , atau að¥ + ððŠ + ðð¥ + ððŠ
ððŠ ðð¥
=0
Sehingga : ð ð¥, ðŠ = að¥ + ððŠ ððŠ =
ðð =ð ððŠ
ð ð¥, ðŠ = ðð¥ + ððŠ ðð¥ =
ðð =ð ðð¥
Karena ððŠ = ðð¥ , maka persamaan differensial tersebut merupakan persamaan differensial eksak.
42
Pendahuluan Persamaan Differensial
Untuk menentukan solusinya, pilih : ð¹ð¥ = að¥ + ððŠ , dan ð¹ðŠ = ðð¥ + ððŠ Integralkan persamaan pertama diatas terhadap ð¥, diperoleh : ð¹=
1 2 ðð¥ + ðð¥ðŠ + ð(ðŠ) 2
Differensialkan terhadap ðŠ, kemudian substitusikan ð¹ðŠ = ð, diperoleh : ð¹ðŠ = ðð¥ + ðâ² ðŠ = ðð¥ + ððŠ sehingga: ðâ² ðŠ = ððŠ 1
Integralkan terhadap ðŠ, diperoleh : ð ðŠ = 2 ððŠ 2 1
Substitusikan persamaan ð ðŠ = 2 ððŠ 2 Pada ðŠ, diperoleh : ð¹=
1 2 1 ðð¥ + ðð¥ðŠ + ððŠ 2 2 2
Jadi, solusi umum persamaan differensial tersebut adalah : 1 2
1
ðð¥ 2 + ðð¥ðŠ + 2 ððŠ 2 = ð atau ðð¥ 2 + 2ðð¥ðŠ + ððŠ 2 = ð
Dengan ð adalah konstanta baru.
Contoh 2.19 Tentukan nilai ð agar persamaan differensial : ð¥ðŠ 2 + ðð¥ 2 ðŠ ðð¥ + ð¥ + ðŠ ð¥ 2 ððŠ = 0 , merupakan persamaan eksak, kemudian tentukan solusinya!
Jawab:
Persamaan differensial diatas dapat ditulis menjadi : ð¥ðŠ 2 + ðð¥ 2 ðŠ + ð¥ + ðŠ ð¥ 2
ððŠ =0 ðð¥
Dan diperoleh : ððŠ = 2ð¥ðŠ 2 + ðð¥ 2 dan ðð¥ = 3ð¥ 2 + 2ð¥ðŠ Agar persamaan differensial tersebut eksak, maka ððŠ = ðð¥ , atau 2ð¥ðŠ + ðð¥ 2 = 3ð¥ 2 + 2ð¥ðŠ Dan diperoleh ð = 3, sehingga persamaan differensialnya menjadi : ð¥ðŠ 2 + 3ð¥ 2 ðŠ + ð¥ 3 ð¥ 2 ðŠ
ððŠ =0 ðð¥
Pendahuluan Persamaan Differensial
43
Untuk menentukan solusinya, pilih : ð¹ð¥ = ð¥ðŠ 2 + 3ð¥ 2 ðŠ , dan ð¹ðŠ = ð¥ 3 + ð¥ 2 ðŠ Integralkan persamaan pertama diatas terhadap ð¥, diperoleh : ð¹=
1 2 2 ð¥ ðŠ + ð¥ 3 ðŠ + ð(ðŠ) 2
Differensialkan terhadap ðŠ, kemudian substitusikan ð¹ðŠ = ð, diperoleh : ð¹ðŠ = ð¥ 2 ðŠ + ð¥ 3 + ðâ² ðŠ = ð¥ 3 + ð¥ 2 ðŠ Sehingga : ðâ(ðŠ) = 0 Integralkan terhadap ðŠ, diperoleh : ð(ðŠ) = ð Substitusikan persamaan ð(ðŠ) pada ð¹,diperoleh : ð¹=
1 2 2 ð¥ ðŠ + ð¥3ðŠ + ð 2
Jadi, solusi umum persamaan differensial tersebut adalah : 1 2
ð¥ 2 ðŠ 2 + ð¥ 3 ðŠ = ð atau ð¥ 2 ðŠ 2 + 2ð¥ 3 ðŠ = ð
LATIHAN 2.5
1.
Tentukan apakah setiap persamaan differensial berikut eksak atau tidak. Jika persamaan eksak, tentukan solusinya ! a.
2ð¥ + 3 + 2ðŠ â 2 ðŠ â² = 0
b.
2ð¥ + 4ðŠ + 2ðŠ â 2 ðŠ â² = 0
c. d. e.
2ð¥ðŠ 2 + 2ðŠ + 2ð¥ 2 + 2ð¥ ðŠ â² = 0 ððŠ ðð¥
=
að¥âððŠ ðð¥ âððŠ
f.
ð ð¥ sin ðŠ â 2ðŠ sin ð¥)ðð¥ + (ð ð¥ cos ðŠ + 2 cos ð¥)ððŠ = 0
g.
ð ð¥ sin ðŠ + 3ðŠ)ðð¥ â (3ð¥ â ð ð¥ sin ðŠ)ððŠ = 0
h.
ðŠð ð¥ðŠ cos 2ð¥ â 2ð ð¥ðŠ sin 2ð¥ + 2ð¥)ðð¥ + (ð¥ð ð¥ðŠ cos 2ð¥ â 3)ððŠ = 0
i. j. k.
44
9ð¥ 2 + ðŠ â 1) â 4ðŠ â ð¥ ðŠ â² = 0
ðŠ ð¥
+ ðð¥ ðð¥ + (ln ð¥ â 2)ððŠ = 0
(ð¥ ln ðŠ + ð¥ðŠ)ðð¥ + (ðŠ ln ð¥ + ð¥ðŠ)ððŠ = 0 , ð¥ > 0 dan ðŠ > 0 ð¥ðð¥ 3 ð¥ 2 +ðŠ 2 2
+
ðŠððŠ 3
ð¥ 2 +ðŠ 2 2
=0
Pendahuluan Persamaan Differensial
2.
Tentukan nilai ð pada persamaan differensial : ðŠð 2ð¥ðŠ + ð¥ ðð¥ + ðð¥ð 2ð¥ðŠ ððŠ = 0, agar menjadi persamaan eksak. Kemudian dengan menggunakan nilai ð tersebut, tentukan solusinya!
2.6
Penerapan Persamaan Differensial Orde 1
Persamaan differensial sangat menarik, karena dengan menggunakannya, dapat menyelidiki berbagai masalah ilmu terapan misalnya dalam bidang fisika, biologi, sosial, ekonomi, teknik, dan ilmu terapan lainnya.
Ada 3 langkah penting untuk mengidentifikasikan dan menyelidiki masalah-masalah tersebut, yaitu : 1.
Menganalisa masalah kemudian membuat model matematikanya. Secara umum langkah ini dapat dilakukan dengan membuat asumsi (anggapan) tentang masalah yang muncul, berdasarkan pada fenomena yang terjadi. Sebagai contoh, diamati bahwa laju peluruhan zat radioaktif sebanding dengan banyaknya zat sisa, laju panas yang mengalir dari suatu benda bersuhu tinggi ke benda bersuhu rendah sebanding dengan perbedaan suhu kedua benda tersebut, laju benda bergerak sesuai dengan hukum Newton tentang gerak, laju pertumbuhan populasi serangga pada tempat tertutup sebanding dengan populasi yang ada, dan sebagainya. Semua fenomena diatas mengandung laju perubahan, yang apabila dinyatakan dengan model matematika, akan membentuk persamaan differensial. Pada kehidupan nyata, model matematika yang dibuat merupakan pendekatan saja dari model/kejadian sebenarnya. Hal ini disebabkan karena pembuatan model berdasarkan pengamatan hasil pendekatan-pendekatan. Sebagai contoh, benda yang bergerak mendekati kecepatan cahaya tidak cocok dengan hukum Newton, populasi serangga tidak berkembang dalam jangka waktu tak terbatas karena adanya keterbatasan persediaan makanan, aliran panas dipengaruhi oleh faktor lain selain perbedaan suhu, dan sebagainya.
Pendahuluan Persamaan Differensial
45
2.
Menentukan solusi dari model matematika
3.
Menginterpretasikan kembali pada masalah semula Pada bagian ini, akan dibahas contoh-contoh penerapan persamaan differensial orde 1.
Contoh 2.20 (Penerapan bidang fisika) Laju peluruhan inti radioaktif sebanding dengan jumlah inti yang tersisa. Jika jumlah inti pada ð¡ = 0 adalah ð0 , tentukan jumlah inti tersisa setiap saat.
Jawab :
Persamaan differensial yang sesuai untuk masalah diatas adalah
ðð ðð¡
= âðð
(ð disebut konstanta peluruhan) Dengan pemisahan variabel, diperoleh :
ðð ð
= âðð¡
Integralkan kedua ruas, diperoleh : ln ð = âðð¡ + ð Karena pada ð¡ = 0 , ð = ð0 , maka nilai ð = ln ð0 , sehingga persamaan menjadi: ln ð = âðð¡ + ln ð0 ln ð = ln ð âðð¡ + ln ð0 ð = ð0 ð âðð¡ Jadi penyelesaian yang diinginkan adalah ð = ð0 ð âðð¡
Contoh 2.21
Radium meluruh menjadi radon, yang kemudian meluruh manjadi polonium. Jika pada ð¡ = 0, sampel hanya merupakan radium, berapa banyak radon terbentuk setiap saat ?
46
Pendahuluan Persamaan Differensial
Jawab :
Misal :
ð0 : jumlah radium pada waktu ð¡ = 0 ð1 : jumlah radium pada waktu t ð2 : jumlah radon pada waktu t
ð1 dan ð2 : konstanta peluruhan radium dan radon banyaknya peluruhan radium adalah : ðð1 ðð¡
= âð1 ð1 atau ð1 = ð0 ð
âð 1 ð¡
Laju radon yang terbentuk sama dengan laju radium yang meluruh, yakni ð1 ð1 atau ð1 ð0 ð âð 1 ð¡ . Tetapi radon juga meluruh menjadi polonium dengan laju ð2 ð2 . Jadi : ðð2 ðð¡
ð1 ð1 â ð2 ð2 , atau
ðð2 ðð¡
+ ð2 ð2 = ð1 ð1 = ð1 ð0 ð âð 1 ð¡
Bandingkan persamaan ini dengan persamaan (2,-1), yaitu ðŠ 2 + ððŠ = g(ð¥) dengan metode integrasi diperoleh : ð ð¡ = ð2 dan g ð¡ = ð1 ð1 ð âð 1 ð¡
Faktor integrasinya adalah ð ð¡ = ð
ð 2 ð¡ðð¡
= ð ð2 ð¡
Kalikan, kemudian integralkan, diperoleh : ð2 ð ð 2 ð¡ =
ð1 ð0 ð ð 1 ð¡ . ð ð 2 ð¡ ðð¡ + ð
ð2 ð ð 2 ð¡ = ð1 ð0 ð2 ð ð 2 ð¡ =
ð
ð 2 âð 1 ð¡
ðð¡ + ð
ð1 ð0 (ð âð )ð¡ ð 2 1 ð2 â ð1
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(*) Dengan ð1 â ð2 . Karena ð2 = 0 pada ð¡ = 0 (pada ð¡ = 0, sampel hanya merupakan radium), diperoleh : ð ð
ð ð
0 = ð 1âð0 + ð atau ð = â ð 1âð0 2
1
2
1
Substitusikan nilai c tersebut pada persamaan (*) ð2 ð ð 2 ð¡ =
ð1 ð0 (ð âð )ð¡ ð1 ð0 ð 2 1 â ð2 ð1 ð2 â ð1
Pendahuluan Persamaan Differensial
47
ð2 =
ð2 ð0 âð ð¡ ð1 ð0 âð ð¡ ð 1 â ð 2 ð2 â ð1 ð2 â ð1
ð2 =
ð1 ð0 ð âð 1 ð¡ â ð âð 2 ð¡ ð2 â ð1 Contoh 2.22 (Bunga majemuk/berganda)
Anggap uang sebesar ð0 disimpan pada sebuah bank dengan bunga 6%. Besar simpanan ð(ð¡) setelah ð¡ tahun tergantung pada frekuensi simpanan itu digandakan. Pada contoh ini, akan diamati pengaruh frekuensi penggandaan itu. Jika bunga dihitung sekali dalam setahun, maka : ð ð¡ = ð0 1 + 0,06
ð¡
Jika bunga dihitung dua kali dalam setahun, maka : ð ð¡ = ð0 ð ð¡ = ð0
0,06 1+ 2 0,06 1+ 2
0,06 1+ 2
ð¡
ðð¡
Secara umum, jika bunga dihitung ð kali dalam setahun, maka : ð ð¡ = ð0
0,06 1+ ð
ðð¡
Keadaan ini dapat didekati dengan model matematika dengan manganggap bunga dihitung terus menerus. Dengan anggapan ini, hukum pertambahan simpanan sebagai persamaan differensial, ditulis : ð â² ð¡ = 0,06 ð(ð¡) , yang mempunyai solusi ð ð¡ = ð0 ð 0,06ð¡ dengan ð 0 = ð0
2.7
Teorama Keujudan dan Ketunggalan
Pada bagian ini, akan dijelaskan pembuktian teorema 2.1, mengenai teorema keujudan (eksistensi) dan ketunggalan (keunikan) pada masalah nilai awal persamaan differensial orde pertama. Teorema ini menyatakan bahwa pada kondisi tertentu untuk ð ð¥, ðŠ , masalah nilai awal:
48
Pendahuluan Persamaan Differensial
ðŠ â² = ð ð¥, ðŠ , dan ðŠ ð¥0 = ðŠ0 âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.(2.12) Mempunyai suatu solusi tunggal pada interval yang mengandung titik ð¥0 .
Pada beberapa kasus (sebagai contoh, jika persamaan differensial linier), keujudan solusi masalah nilai batas persamaan (2.12) dapat ditentukan secara langsung dengan menyelesaikan masalah-masalah tersebut dan menunjukkan rumus suatu solusinya. Bagaimanapun, secara umum, pendekatan ini tidak mungkin dilakukan, karena tidak ada metode penyelesaian persamaan (2.12) oleh karena itu pada kasus umum, untuk menentukan keujudan solusi persamaan, biasanya dilakukan pendekatan tidak langsung.
Hal terpenting dari metode ini adalah menyusun rangkaian fungsi yang konvergen pada suatu fungsi limit yang memenuhi masalah nilai awal, meskipun secara individu anggota rangkaian itu tidak ada. Secara eksplisit, fungsi limit dapat ditentukan hanya pada kasuskasus yang jarang terjadi. Namun demikian, dengan pembatasan pada ð(ð¥, ðŠ) Yang dinyatakan dalam teorema 2.1, dibuktikan bahwa rangkaian fungsi konvergen dan fungsi limit mempunyai sifat-sifat yang diinginkan.
Sekarang, kita perhatikan masalah dengan titik awalnya adalah titik pusat koordinat (ð¥0 , ðŠ0 ) Dengan demikian : ðŠ â² = ð ð¥, ðŠ , dan ðŠ ð¥0 = 0 âŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(2.13) Jika beberapa titik awal yang lain diberikan, maka kita dapat melakukan pengubahan variabel dengan mengambil titik awal yang diberikan menjadi titik pusat koordinat. Untuk itu, diberikan variabel bebas dan variabel tak bebas yang baru, yaitu ð€ dan ð , yang didefinisikan sebagai : ð€ = ðŠ â ðŠ0 dan ð = ð¥ â ð¥0
Pendahuluan Persamaan Differensial
49
Dengan menganggap ð€ sebagai fungsi ð , dan dengan aturan rantai, diperoleh : ðð€ ðð€ ðð¥ = . ðð ðð¥ ðð ð·ð€ ð ðŠ â ðŠ0 ðð¥ = . ðð ðð¥ ðð ðð€ ððŠ = , ðð ðð¥ ðð
(ingat bahwa ðð¥ = 1) Definisikan ð ð¥, ðŠ = ð(ð + ð¥0 , ð€ + ðŠ0 ), oleh ð¹(ð , ð€) sehingga masalah nilai awal menjadi : ð€ â² ð = ð¹ ð , ð€ ð , dan ð€ 0 =0 âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ..âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ.(2.14) Persamaan (2.14) tidak lain adalah persamaan (2.13), kecuali variabelnya saja yang berbeda,
Teorema keujudan dan ketunggalan dapat dinyatakan dengan cara berikut :
Jika f dan
ðð ððŠ
Teorema 2.3. kontinu pada bidang ð
: |𥠆ð, |ðŠ| †ð. maka ada interval |ð¥| †ð¿ †ð yang
mengandung suatu solusi tunggal ðŠ = â
(ð¥) pada masalah nilai awal persamaan differensial : ðŠ â² = ð ð¥, ðŠ , ðŠ ð¥0 = ðŠ0
Untuk membuktikan teorema ini, ubah masalah nilai awal persamaan (2.13) menjadi bentuk yang lebih tepat. Jika kita mengangap bahwa ada suatu fungsi ðŠ = â
(ð¥) yang memenuhi masalah nilai awal, maka ð[ð¥, â
ð¥ ] merupakan fungsi kontinu pada ð¥ saja. Kita dapat mengintegralkan persamaan (2.13) dari titik awal ð¥ = 0 sampai ð¥ tertentu, â
â
ð¥ =
ð ð¡, â
ð¡ ðð¡ 0
âŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠâŠ(2.15) dengan mengambil â
0 = 0
50
Pendahuluan Persamaan Differensial
Karena persamaan (2.15) mengandung suatu integral pada fungsi yang tidak diketahui, yaitu ð, maka dinamakan persamaan integral. Persamaan integral ini bukan merupakan rumus untuk menentukan solusi masalah nilai awal, tetapi persamaan tersebut memberikan hubungan lain yang sesuai dengan solusi persamaan (2.13). Sebaliknya, anggap ada suatu fungsi kontinu ðŠ = ð(ð¥) yang memenuhi persamaan (2.15), dan memenuhi masalah nilai awal (2.13). untuk membuktikannya, substitusikan ð¥ dengan nol pada persamaan (2.15).
2.8
Trayektori Orthogonal
Solusi umum suatu persamaan differensial, mengandung satu atau lebih konstanta, yang dapat ditentukan dengan mensubstitusikan solusi dengan syarat awal atau pun syarat batas yang diberikan. Solusi umum demikian manyatakan suatu keluarga kurva dalam bidang (ð¥, ðŠ).
Satu kurva untuk satu nilai konstanta. Atau, dapat dikatakan bahwa solusi umum suatu persamaan differensial merupakan suatu keluarga solusi dari persamaan differensial tersebut.
Dalam ilmu matematika, sering kali diperlukan suatu keluarga kurva yang memotong tegak lurus kurva-kurva yang lainnya. Kedua keluarga itu dikatakan saling tegak lurus, sedangkan keluarga kurva yang diperoleh disebut trayektori orthogonal dari keluarga kurva yang diketahui. Pada bagian ini akan dibahas cara mencari keluarga kurva yang memotong tegak lurus keluarga kurva yang lain dengan menggunakan perhitungan persamaan differensial.
Pendahuluan Persamaan Differensial
51
Perhatikan gambar 2.2 berikut :
Gambar 2.2 Setiap garis lurus pada gambar diatas, malalui titik (0, â1), dan merupakan suatu keluarga kurva ðŠ + 1ðð¥. Sedangkan kurva-kurva melingkar, selalu memotong tegak lurus pada setiap garis lurus tersebut. Keluarga kurva demikian, dinamakan trayektori orthogonal dari keluarga kurva yang lain.
Untuk menentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva yang diketahui, perhatikan kembali contoh pada gambar diatas, dimana keluarga kurva yang diketahuinya adalah : ðŠ + 1 = ðð¥ Differensialkan persamaan tersebut untuk mendapatkan kemiringan kurva, sehingga diperoleh : ðŠâ = ð Dari persaman ðŠ + 1 = ðð¥, diperoleh : ð = ðŠâ = ð, diperoleh : ðŠ â² =
ðŠ+1 ð¥
, kemudian substitusikan nilai pada ð pada
ðŠ+1 ð¥
Menurut geometri analitik, kemiringan dua garis yang saling tegak lurus adalah negatif 1
kebalikan kemiringan garis yang satu dengan yang lain, atau : ð1 = â ð 2 , dengan: ð1 adalah kemiringan garis pertama, dan ð2 adalah kemiringan garis kedua.
52
Pendahuluan Persamaan Differensial
Dengan demikian, kemiringan keluarga kurva trayektori orthogonal yang dicari, ð¥
merupakan negatif kebalikan kemiringan kurva yang diketahui. Jadi, ðŠ â² = â ðŠ+1 merupakan kemiringan keluarga kurva trayektori orthogonal dari keluarga kurva ðŠ + 1 = ðð¥.
Untuk mendapatkan persamaan kurva trayektori orthogonal, dapat ditentukan dengan ð¥
menyelesaikan persamaan ðŠ â² = â ðŠ+1, yaitu sebagai berikut : ð¥
ðŠ â² = â ðŠ+1 â
ððŠ ðð¥
ð¥
= â ðŠ+1
ðŠ + 1 ððŠ = âð¥ ðð¥ Integralkan kedua ruas, diperoleh : 1
1
ðŠ 2 + ðŠ = â 2 ð¥ 2 = ð, atau 2 ðŠ 2 + 2ðŠ + 1 + ð¥ 2 = 2ð + 1, â (ðŠ + 1)2 + ð¥ 2 = ð 2 dengan ð adalah konstanta. Persamaan ini merupakan persamaan dari keluarga kurva melingkar yang berpusat di titik (0, â1) dan berjari-jari ð (dimana ð = 2ð + 1), sesuai dengan gambar 2.2
Contoh 2.23 Tentukan trayektori orthogonal untuk keluarga kurva ðŠ = ðð ð¥ (ð parameter). Kemudian gambarlah kurva yang diberikan dan kurva trayektori orthogonalnya !
Jawab : Differensialkan persamaan keluarga kurva diatas, diperoleh : ðŠ â² = ðð ð¥ . Karena ðŠ = ðð ð¥ , maka ðŠ â² = ðŠ 1
Kemiringan keluarga kurva trayektori orthogonalnya adalah : ðŠ â² = â ðŠ yang merupakan persamaan differensial. Selesaikan persamaan differensial tersebut untuk mendapatkan persamaan trayektori orthogonalnya, sebagai berikut : ðŠðŠ â² = â1, atau ðŠððŠ = âðð¥ Pendahuluan Persamaan Differensial
53
Integralkan dan diperoleh : 1 2 ðŠ = âð¥ + ðâ² 2 ðŠ 2 = â2ð¥ + ð
LATIHAN 2.6
1.
Tentukan trayektori orthogonal untuk setiap keluarga kurva berikut. Kemudian untuk setiap kasus, sketsa keluarga kurva yang diberikan dan keluarga kurva trayektori orthogonalnya ! a.
ð¥ 2 + ðŠ 2 = ð, ð ðððð ð¡ððð¡ð
b.
ðŠ = ðð¥ 2 , ð ðððð ð¡ððð¡ð
c.
ðŠ = ðð¥ ð
d.
ð¥ðŠ = ð
e.
ðŠâ1
2
= ð¥2 + ð
2.
Tentukan trayektori orthogonal keluarga kurva ð¥ = ðŠ + 1 + ðð ðŠ
3.
Tentukan trayektori orthogonal dari keluarga kurva yang memiliki garis singgung terhadap sumbu ðŠ di titik pusat.
4.
Tentukan nilai ð sehingga parabola ðŠ = ð1 ð¥ 2 + ð merupakan trayektori orthogonal keluarga ellips ð¥ 2 + 2ðŠ 2 â ðŠ = ð
5.
Tentukan nilai ð sehingga ð¥ ð + ðŠ ð = ð merupakan trayektori orthogonal keluarga ð¥
ðŠ = 1âðð¥ 6.
Tentukan keluarga kurva trayektori orthogonal dari keluarga kurva lingkaran (ð¥ â ð)2 + ðŠ 2 = ð2
54
Pendahuluan Persamaan Differensial