Pertemuan 9 DIFFERENSIAL Y' =
f(x + h) - f(x) dy = f ' (x) = lim x →0 h dx
Rumus rumus diferensial yang perlu diketahui : n
1. Y =
n −1
→ Y′ = n .
. ′
2. Y = e → Y′ = e . ′ 3. Y = a → Y′ = a ln a. ′ 4. Y = ln a
→ Y′ =
1
5. Y = log → Y′ =
. '
ln a
6. Y =
+ V → Y′ =
′ + V′
7. Y =
- V → Y′ =
′ - V′
8. Y =
. V → Y′ =
′.V+
. V′
9. Y = V →
' V - V' V2
10. Y = sin
→ Y′ = cos
.
′
11. Y = cos → Y′ = -sin
.
′
12. Y =
tg
→ Y′ = sec 2
. ′ 2
13. Y = cotg
→ Y′ = -cosec
14. Y = sec
→ Y′ = sec
15. Y = cosec Y’= - cosec
. cotg
. tg . ′
. ′ . ′
→ Y′ =
16. Y = arc sin
18. Y = arc tg
→ Y′
19. Y = arc cotg 20. Y = arc sec Y′ = 1 . ′ -1
21. Y = arc cosec −1
Y′ =
2
-1
1−
→ Y′ =
17. Y = arc cos
2
1
. ′
−1 1−
1 = 1+
→ Y′
. ′
2
2
1 = 1+
2
. ′
.′
2
. ′
PENGERTIAN, SIFAT, RUMUS DASAR, DAN DALIL RANTAI 1. Pengertian Derivatif Secara Kalkulus Definisi : Turunan atau derivatif f(x) ke x adalah fungsi lain f’(x) yang nilainya untuk sembarang x = c adalah :
f' (c) = lim h→0
f(c + h) − f(c) h
Bila secara umum untuk x = x, dan h = ∆x, maka :
f' (x) =
lim ∆x → 0
f(x + ∆x) − f(x) ∆x
Jika penambahan kecil x sebesar ∆x, mengakibatkan bertambahnya y sebesar ∆y, sehingga y = f(x) menjadi y + ∆y = f ( x + ∆x) maka kesepadanan penulisan atau arti derivatif f(x) adalah :
dy df f(x + ∆x) − f(x) ∆y = y' = f' (x) = lim = lim dx dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x Contoh : 1.
y = x2 dy (x + ∆x) 2 − x 2 x 2 + 2x.∆x + ∆x 2 − x 2 = lim = lim dx ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x → 0 = lim (2x + ∆x) = 2x ∆x → 0 dy Jadi = 2x dx
> restart: > d(x^2,x)=diff(x^2,x);
2.
f ( x) = sin 2 x
df sin 2(x + ∆x) 2 − sin 2x 2 cos (2x. + ∆x).sin ∆x = lim = lim dx ∆x → 0 ∆x ∆x ∆x → 0 df 2 cos (2x. + ∆x).sin ∆x sin ∆x = lim = 2 cos 2 x.1 = 2 cos 2 x . lim dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x df Jadi, = 2 cos 2 x > restart: dx > d(sin(2*x),x)=diff(sin(2*x),x);
3.
f ( x) = ln 3 x dy ln 3(x + ∆x) − ln 3x = lim = lim dx ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 1
ln
3x + ∆x 1 ∆x ∆x 3x = lim ln 1 + x ∆x ∆x → 0
1 ∆xlim→ 0 x dy 1 1 ∆x ∆x = ln lim 1 + = ln e = ln e x = . ln e = x dx x x ∆x → 0 dy 1 Jadi, = dx x 1
> restart: > d(ln(3*x),x)=diff(ln(3*x),x);
4.
f ( x) = x df x + ∆x − x x + ∆x − x x + ∆x + x = lim = lim . ∆x ∆x dx ∆x → 0 x + ∆x + x ∆x → 0 df x + ∆x - x 1 1 = lim = lim = dx ∆x → 0 ∆x x + ∆x + x ∆x → 0 x + ∆x + x 2 x Jadi,
( )
(
)
d x 1 1 = = x dx 2 x 2x
> restart: > d(sqrt(x),x)=diff(sqrt(x),x);
5.
f ( x) = sin 2 x df [sin (x + ∆x ) − sin x]x[sin (x + ∆x ) + sin x] sin 2 (x + ∆x ) − sin 2 x = lim = lim ∆x ∆x dx ∆x → 0 ∆x → 0 1 1 1 1 2cos x + ∆x .sin ∆x.2sin x + ∆x .cos ∆x df 2 2 2 2 = lim ∆x dx ∆x → 0 1 1 1 1 2sin x + ∆x .cos x + ∆x .2 sin ∆x.cos ∆x df 2 2 2 2 = lim ∆x dx ∆x → 0 df sin (2x + ∆x ). sin∆x sin∆x = lim sin (2x + ∆x ). lim = lim ∆x dx ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x df = sin 2 x.1 = sin 2 x dx df Jadi, = sin 2 x dx
> restart: > d((sin(x))^2,x)=diff((sin(x))^2,x);
Untuk mencari turunan suatu fungsi dengan menggunakan definisi tidak selalu mudah atau dapat seperti contoh-contoh tersebut. Oleh karena itu diadakan teorema-teorema atau sifatsifat dan rumus-rumus dasar seperti berikut : 2. Teorema Atau Sifat Turunan Bila u = f(x), v = g(x), dan p = konstanta, Maka : 1.
d ( pu ) du = p. dx dx
2.
d (u ± v ) du dv = ± dx dx dx
3.
d (uv ) dv du = u. + v. dx dx dx
u d v. du − u. dv v = dx 2 dx 4. dx v
Teorema tersebut dibuktikan dengan definisi sebagai berikut : 1.
y = pu, penambahan ∆x berakibat penambahan ∆u dan ∆y
y + ∆y = p (u + ∆u ) y = pu − ∆y = p.∆u ∆y ∆u = p. dx ∆x dy ∆u ∆u = limit p. = p. limit limit ∆x →0 dx ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x ∆x dy du = p. dx dx d(p.u ) du = p. , terbukti. Jadi dx dx
2.
y = u ± v, penambahan ∆x berakibat penambahan ∆u, ∆v, dan ∆y y + ∆y = (u + ∆u ) ± (v + ∆v) =u±v − = ∆u ± ∆v ∆u ∆v ± dx dx ∆y ∆u ∆v limit = limit ± . limit ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x dy du dv d(u ± v ) du dv = ± , Jadi = ± , terbukti. dx dx dx dx dx dx y ∆y ∆y = ∆x
3.
4.
y = u .v y + ∆y = (u + ∆u )( . v + ∆v) y = u .v − ∆y = u.∆v + v.∆u + ∆u.∆v ∆y ∆v ∆u ∆v limit = u. limit + v. limit + ∆u. limit ∆x →0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x ∆x → 0 ∆x dy dv du dv d(u.v ) dv du = u. + v. + 0. , Jadi = u. + v. , terbukti. dx dx dx dx dx dx dx
y=
u v u + ∆u v + ∆v u = v − u + ∆u u − ∆y = v + ∆v v u.v + v.∆u - u.v - u.∆v = v 2 + v.∆v ∆v ∆u ∆v ∆u −u − limit u limit v v ∆x = limit ∆y = ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x = ∆x ∆x → 0 ∆x ∆v ∆v ∆x v 2 + v. ∆x limit v 2 + v. ∆x → 0 ∆x ∆x
y+∆y y
∆y ∆y ∆x
=
u dy dv d v du − u dv −u dy dx , terbukti. dx , Jadi v = dx = dx 2 dv dx dx v v 2 + v. .0 dx v
3. Rumus-rumus Dasar Rumus-rumus berikut juga dapat dibuktikan dengan definisi atau teorema yang mendahului.
1. y = x n → y ' = nx n −1 2. y = sin x → y' = cos x y = cos x → y' = - sin x y = tg x → y' = sec 2 x
4. y = a x → y' = a x .ln a y = e x → y' = e x 5. y = arc sin x → y' =
1
y = arc cos x → y' =
1- x 2 1- x 2 1 -1 y = arc tg x → y' = y = arc cotg x → y' = 2 1+ x 1+ x 2 1 -1 y = arc sec x → y' = y = arc cosec x → y' = 2 x x −1 x x 2 −1
y = cotg x → y' = - cosec 2 x 1 3. y = a log x → y' = x ln a 1 y = ln x → y' = x 6. y = sinh x → y' = cosh x
y = cosh x → y' = - sinh x y = tgh x → y' = sech 2 x y = cotgh x → y' = - cosech 2 x
Beberapa kita buktikan. (a)
y = cotg x → y' = - cosec2 x cotg x sin x (-sin x) - cos x.cos x → y' = sin x sin 2 x - sin 2 x - cos2 x −1 y' = = 2 sin x sin 2 x 1 y = a log x → y' =y' = - cosec2 x → terbukti. x ln a a Bukti : y + ∆y = log (x + ∆x)
Bukti : y =
(b)
y = a log x x + ∆x ∆y = a log x 1
∆y a ∆ x ∆x = log 1 + ∆x x 1
1
∆ x ∆x a 1a y ' = log limit 1 + = log e x = . log e. ∆x → 0 x x 1 y' = , terbukti. x ln a a
-1
(c)
Untuk fungsi siklometri berdasarka n :
dx 1 = dy dx dy
1
Misal : y = arc sin x → y' =
1- x2 Bukti : x = sin y, pada Gb. 3.1. Cos y = 1 - x 2
1
x
y
1− x2
dx = cos y dy dy 1 1 = = dx cos y 1− x2 1 y' = → terbukti 1− x2
Gb.3.1
3. Dalil Rantai. Teorema : bila y = f(u) dan u = f(x) Maka
dy dy du = . dx du dx
Selanjutnya,bila y = f(u), u = f(v), v = g(w), w = h(x) Maka
dy dy du dv dw = . . . → terbukti. dx du dv dw dx
Contoh :
y = x 3 → y' = 3 x 2 > restart: > d(x^3,x)=diff(x^3,x); 1.
1
2.
y = x → y = x 2 → y' =
-1
1 2 1 1 x = = x 2 2 x 2x
> restart: > d(sqrt(x),x)=diff(sqrt(x),x);
3. 4. 5. 6.
y = x 2 − tg x → y' = 2 x - sec 2 x
y = x 3 .ln x → y' = x 3 . y=
1 + 3x 2 .ln x → y' = x 2 + 3x 2 .ln x x
sin x x 2 .cos x + 2x.sin x x cos x + 2 sin x → y' = → y' = 2 4 x x x3
y = cos 3x, y' = ? Jawab : misal 3x = u → y = cos x →
du =3 dx
dy = − sin u dx
dy dy du = = − sin u.3 = − 3 sin 3x . dx du dx 7.
y = sin 3 3x, y' = ? Jawab : u = sin 5x, v = 5x y = u 3 , u = sin v dy dy du dv . . = = 3u 2 cos.v.5 dx du dv dx dy = 3sin 2 5x. cos 5x.5 dx y' = 15sin 2 5x . cos 5 x
Contoh (6) dan (7) menggunakan dalil rantai, masih menggunakan pemisalan yang tertulis. Untuk menyingkat pengerjaan tersebut dapat pemisalan tidak tertulis, hal itu tergantung pada kecermatan penglihatan dan pemikiran tentang arti fungsi komposisi. Nomor (6) dan (7) dapat dikerjakan langsung, sebagai berikut : 8.
y = c os 3x, y' = - sin 3x.3 = -3 sin 3x
9.
y = sin 3 5x → y' = 3 sin 2 5x .cos 5x.5 y' = 15 sin 2 5x .cos 5x
10.
y = e 5x → y' = e 5x .5 y' = 5 e 5x
11.
y = e sin 3x → y' = e sin 3x .cos 3x.3 y' = 3 e sin 3x . cos 3 x
12.
y = x 3 .tg 5x → y' = x 3 .sec 2 5x.5 + 3 x 2 .tg 5x y' = 5 x 3 .sec 2 5x + 3 x 2 .tg 5x
13.
y = ln 2 4x → y' = 2 ln 4x.
1 .4 4x
2 ln 4x x 14. y = ln 2 sin 4x → y' = 2 ln sin 4x. y' =
1 .cos 4x.4 sin 4x y' = 8 ln sin 4x . cotg 4x
15.
y = ln3 cos 4x5 → y' = ? Jawab: hati - hati! tulisan tersebut maksudnya:
{ [ ( )] }
y = ln cos 4x5
3
(
)
1 . - sin 4x5 .20x4 5 cos 4x 4 5 y' = - 60x . tg 4x .ln2 cos 4x5 y' = 3 ln 2 cos 4x5 .
Contoh (15) ini diberikan demi meningkatkan keakuratan berpikir tentang fungsi majemuk. Pada aplikasinya fungsi tidak semajemuk itu.
[
]
x x x x 16. y = e sin x → y' = x e cos x + e sin x − 1.e sin x , dst. 2
x
17.
y = e2x −
x
sin x e x cos x − e x sin x − 1.e x sin x 2x → y' = 2 e − , dst. ex e2x
18. y = arc sin 3x → y' = y' =
1 1 - 9x 2 3 1 - 9x 2
.3
19. 20.
y = (arc sin 3x) → y' = 2. arc sin 3x 2
3
, dst. 1 − 9x2 3 2 y = (arc tg 3x ) → y' = 2. arc tg 3x .3, dst. 1 − 9x2
